专题03有理数的加减运算期末冲刺必备讲义(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学讲义通过表格分块系统梳理有理数加减运算知识体系，将加法法则、减法法则、混合运算步骤及易错点按“核心要点-运算步骤-实例解析”分层呈现，突出“先定符号再算绝对值”等核心方法，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“基础到应用”的阶梯式题型设计，如温度变化的实际应用题培养应用意识，同号结合法等简便计算技巧提升运算能力，搭配15道压轴题实现分层训练。每个知识点附易错点提醒，助力学生自主突破薄弱环节，也为教师精准教学提供清晰抓手。

专题03有理数的加减运算期末冲刺必备讲义 1.掌握有理数加法、减法的法则，能准确进行有理数加减运算。 2.理解有理数加减混合运算的步骤，会将减法转化为加法进行计算。 3.能运用有理数加减运算解决简单的实际问题 期末必备 知识点梳理 1.有理数的加法法则 2.有理数的减法法则 3.有理数加减混合运算 4.易错点及注意事项 常考题型 精讲精炼 1.有理数加法运算规则 2.有理数加法在生活中的应用 3.有理数减法运算方法 4.有理数减法的实际应用 5.有理数的加减混合运算步骤 6.有理数加减中的简便计算技巧 7.有理数加减混合运算的应用 8.有理数运算中加法与括号的省略形式 9.利用数轴上点的位置判断式子的正负 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.有理数加法法则】 核心：先定符号，再算绝对值。 1.同号两数相加 *符号：取与加数相同的符号。 *绝对值：把绝对值相加。 2.异号两数相加 *符号：取绝对值较大的加数的符号。 *绝对值：用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3.特殊情况 *一个数与 0 相加，仍得这个数。示例：0+(−4)=−4；6+0=6 *互为相反数的两个数相加得 0。示例：(−2)+2=0 【知识点02.有理数减法法则】 核心：将减法转化为加法（减负变加正）。 1.法则内容 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母表示：a−b=a+(−b) 2.运算步骤 (1)变号：将减号 “−” 变成加号 “+”，同时将减数变成它的相反数。 (2)计算：按照有理数加法法则进行计算。 (3)示例：5−8=5+(−8)=−3；(−3)−(−5)=(−3)+5=2 【知识点03.有理数加减混合运算】 核心：统一成加法，再简化计算。 一.运算步骤 1.去括号：根据减法法则，将所有减法转化为加法，写成省略加号和括号的代数和形式。 2.简化形式：省略加号和括号，写成 “正数 + 负数” 的形式（可省略正号）。3.计算技巧： (1)同号结合法：将正数与正数、负数与负数分别结合相加。 (2)相反数结合法：将互为相反数的两个数结合相加（和为 0）。 (3)凑整法：将和为整数的数结合相加。 二.注意事项 1.省略加号后，式子中的 “+”“−” 看作性质符号（正、负）。 2.运算顺序：从左到右依次计算，有括号先算括号内的。 【知识点04.易错点与注意事项】 1.符号错误 异号相加时，易混淆符号的选取（需牢记 “取绝对值大的符号”）。 减法变加法时，易漏变减数的符号（如把3−(−2)错写成3−2）。 2.绝对值计算错误 负数的绝对值易算成本身（如∣−5∣错算成−5）。 3.混合运算顺序错误 未按 “先括号，后从左到右” 的顺序计算，盲目凑整。 4.书写规范 省略加号后，数字前的符号要紧跟数字，如−2+5不能写成−2+5。 【题型1.有理数加法运算规则】 【典例】如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（   ） A．都是负数 B．一个是正数，另一个是负数 C．至少有一个是负数 D．以上答案都不正确 【跟踪专练1】若，，且，则 ． 【跟踪专练2】已知a、b为有理数，且，，，则a，b，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型2.有理数加法在生活中的应用】 【典例】某一天固原市早晨的温度是，中午上升了，那么中午的温度是 ． 【跟踪专练1】我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上）． 【题型3.有理数减法运算方法】 【典例】若，，且与异号，则的值为（   ） A．7或3 B．3或 C．7或 D．或 【跟踪专练1】若，且，则的值为 ． 【跟踪专练2】下列说法中，正确的是（   ） A．两个数的和一定比两个数中任何一个都大 B．两个数的差一定比两个数中任何一个都小 C．两个数的和是正数，这两个数一定是正数 D．两个数的差是正数，被减数一定大于减数 【题型4.有理数减法的实际应用】 【典例】清远市今年最高气温为，最低气温为，那么这年的最高气温比最低气温高 ． 【跟踪专练1】某农业科研小组要测量A、B两处土壤温度差，他们选取了D、E、F、G四个中间测量点，并测得它们之间的温度差如下表．根据以下数据，可以判断A、B之间的温度关系为（   ） 2.1 0.8 1.5 1.6 A．B处比A处高 B．A处比B处高 C．A、B两处一样高 D．无法确定 【跟踪专练2】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2025次，蚂蚁在数轴上的位置所对应的数是 ． 【题型5.有理数的加减混合运算步骤】 【典例】．如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么的值为（   ） A．13 B．10 C．9 D．6 【跟踪专练1】小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第 个运算符号写错了． 【跟踪专练2】一个点从数轴原点开始，先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，此时该点所表示的数是（   ）． A． B． C．0 D．1 【题型6.有理数加减中的简便计算技巧】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】式子的结果不可能是（    ） A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数 【跟踪专练2】计算： ． 【题型7.有理数加减混合运算的应用】 【典例】相传很久之前，夏禹治水来到洛水，洛水中浮出神龟，背驮“洛书”，大禹因此治水成功．洛书就是我们今天所说的幻方，如图是一个四阶幻方，不管是把横着的4个数相加，还是把竖着的4个数相加，或者把斜着的4个数相加，其和都相等，则这个幻方中的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况；第一天售出19种商品，第二天售出13种，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，该网店这三天售出的商品最少有 种． 【跟踪专练2】在一组连续整数99，100，101，102，…，2026前任意添加“”或“”，并运算，则可以得到的最小非负整数是（   ） A．1 B．0 C．199 D．99 【题型8.有理数运算中加法与括号的省略形式】 【典例】不计算，把式子写成省略加号的和的形式： ． 【跟踪专练1】将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】把写成省略加号的和的形式是 ． 【题型9.利用数轴上点的位置判断式子的正负】 【典例】如图，数轴上的点、分别对应实数、，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，、、是数轴上点表示的有理数．计算： ． 【跟踪专练2】有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数中绝对值最大的数是c B． C． D． 1．计算： ． 2．将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则m为 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中，正确的有 ．（把正确的序号填在横线上．） ①；②；③；④；⑤． 4．在温控范围内，肉联厂的冷藏库能使冷藏食品每小时降温（冷藏库温度到达零下后自动停止降温），每开库一次，温度上升，现有的肉放入冷藏库，3小时后开一次库，2小时后再次开库，再关上库门4小时，此时肉的温度是 ． 5．对于，先将其中任意两个加号变为减号，再对相邻的两个数间任意添加括号（不存在添加双重括号的情况），然后计算出结果，称为一种“双减添括操作”． 例如：是一种“双减添括操作”，2是其运算结果；是一种“双减添括操作”，是其运算结果．给出下列说法： ①至少存在一种“双减添括操作”的运算结果是10； ②不存在任何“双减添括操作”的运算结果是； ③所有“双减添括操作”共有6种不同的运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 7．用，，，，，这个数组成两个无相同数码的三位数，记较大的三位数与较小的三位数的差为，则的最小值为 ． 8．将自然数1，2，3，4，5，6分别标记在6个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱之后一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为，，，，，，记，以下3种说法中：①A最小值为3；②A的值一定是奇数；③A化简之后一共有5种不同的结果．说法正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也能作减法．例如：现在是10时，4小时后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．若用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时．）现给出以下说法： ①，； ②在有理数运算中，相加为0的两个数互为相反数．若在上述钟表运算中沿用此概念，则有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中仍然成立； ③现规定在钟表运算中也有，对于钟表上任意数字，若，则； ④表盘上的每个数字总可由若干个7作得到（注：7可被认为是由一个7作得到），其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有如：，，，下列说法中正确的有 ． ①； ②； ③； ④若，且，则或； ⑤方程的解为 11．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如下图所示． (1)试判断a，b，c的符号，并比较它们的绝对值的大小． (2)若，，，试计算与的值． 12．某校六年级共有110人参加语文、英语、数学三个活动小组，每人至少参加一组．已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人．那么三组都参加的有多少人？ 13．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础： 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示的点之间的距离；也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是__________； (2)根据绝对值的几何意义，当时，_____； (3)当时，此时整数所有可取的值之和为_____． (4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____． 14．阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 小明写出了一些按照（加乘）运算法则进行运算的式子： ；；；；； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行（加乘）运算时，同号得________，异号得________，并把绝对值________；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于________________； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若，直接写出的值． 15．操作发现．    操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4．将上述过程记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示．将上述过程记作： ；如：； (1)利用图3、图4，直接填空： ； ； (2)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03有理数的加减运算期末冲刺必备讲义 1.掌握有理数加法、减法的法则，能准确进行有理数加减运算。 2.理解有理数加减混合运算的步骤，会将减法转化为加法进行计算。 3.能运用有理数加减运算解决简单的实际问题 期末必备 知识点梳理 1.有理数的加法法则 2.有理数的减法法则 3.有理数加减混合运算 4.易错点及注意事项 常考题型 精讲精炼 1.有理数加法运算规则 2.有理数加法在生活中的应用 3.有理数减法运算方法 4.有理数减法的实际应用 5.有理数的加减混合运算步骤 6.有理数加减中的简便计算技巧 7.有理数加减混合运算的应用 8.有理数运算中加法与括号的省略形式 9.利用数轴上点的位置判断式子的正负 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.有理数加法法则】 核心：先定符号，再算绝对值。 1.同号两数相加 *符号：取与加数相同的符号。 *绝对值：把绝对值相加。 2.异号两数相加 *符号：取绝对值较大的加数的符号。 *绝对值：用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3.特殊情况 *一个数与 0 相加，仍得这个数。示例：0+(−4)=−4；6+0=6 *互为相反数的两个数相加得 0。示例：(−2)+2=0 【知识点02.有理数减法法则】 核心：将减法转化为加法（减负变加正）。 1.法则内容 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母表示：a−b=a+(−b) 2.运算步骤 (1)变号：将减号 “−” 变成加号 “+”，同时将减数变成它的相反数。 (2)计算：按照有理数加法法则进行计算。 (3)示例：5−8=5+(−8)=−3；(−3)−(−5)=(−3)+5=2 【知识点03.有理数加减混合运算】 核心：统一成加法，再简化计算。 一.运算步骤 1.去括号：根据减法法则，将所有减法转化为加法，写成省略加号和括号的代数和形式。 2.简化形式：省略加号和括号，写成 “正数 + 负数” 的形式（可省略正号）。3.计算技巧： (1)同号结合法：将正数与正数、负数与负数分别结合相加。 (2)相反数结合法：将互为相反数的两个数结合相加（和为 0）。 (3)凑整法：将和为整数的数结合相加。 二.注意事项 1.省略加号后，式子中的 “+”“−” 看作性质符号（正、负）。 2.运算顺序：从左到右依次计算，有括号先算括号内的。 【知识点04.易错点与注意事项】 1.符号错误 异号相加时，易混淆符号的选取（需牢记 “取绝对值大的符号”）。 减法变加法时，易漏变减数的符号（如把3−(−2)错写成3−2）。 2.绝对值计算错误 负数的绝对值易算成本身（如∣−5∣错算成−5）。 3.混合运算顺序错误 未按 “先括号，后从左到右” 的顺序计算，盲目凑整。 4.书写规范 省略加号后，数字前的符号要紧跟数字，如−2+5不能写成−2+5。 【题型1.有理数加法运算规则】 【典例】如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（   ） A．都是负数 B．一个是正数，另一个是负数 C．至少有一个是负数 D．以上答案都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，两个有理数的和为负数，说明它们的总和小于零，如果两个数都是非负数（即正数或零），则它们的和必然大于或等于零，与和为负数矛盾，因此，至少有一个数是负数，由此即可得解，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：设两个有理数为和，且， 如果且，则，与矛盾， 故和不能同时为非负数， ∴那么这两个数至少有一个是负数， 故选：C． 【跟踪专练1】若，，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，根据绝对值的定义，可知，，然后根据，即异号，分类讨论得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴异号， ∴当时，，那么； 当时，，那么； 故答案为：或． 【跟踪专练2】已知a、b为有理数，且，，，则a，b，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．由，，得出b的绝对值较大，进而比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴b的绝对值较大， ∴， 故选：B． 【题型2.有理数加法在生活中的应用】 【典例】某一天固原市早晨的温度是，中午上升了，那么中午的温度是 ． 【答案】 3 【分析】此题考查有理数加法的实际应用，根据题意，中午温度是早晨温度与上升温度之和，进行有理数加法运算 【详解】解：早晨温度为，中午上升了， 故中午温度为 故答案为 【跟踪专练1】我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算及古代算筹的表示规则，解题的关键是根据“正放表示正数、斜放表示负数”的规则确定图1中算筹对应的数． 先依据算筹的表示规则，确定图2中正放、斜放算筹对应的数，再列出加法算式计算结果． 【详解】解：根据题意，正放的算筹表示正数，斜放的表示负数： 图1中，正放的算筹有3根，表示； 图2中，斜放的算筹有4根，表示； 因此算式为． 故选 C． 【跟踪专练2】下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上）． 【答案】C 【分析】本题考查正数与负数，根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】若以24小时制计时间， 第一个表的时间为8点或20点， 第二个表的时间为9点或21点， 第三个表的时间为4点或16点， 第四个表的时间为3点或15点， 第五个表的时间为6点或18点， 因为悉尼时间比北京时间多2个小时，所以北京的时间只可能是4点或16点，此时E是悉尼，A是伦敦，B是罗马，D是纽约． 故答案为：C． 【题型3.有理数减法运算方法】 【典例】若，，且与异号，则的值为（   ） A．7或3 B．3或 C．7或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的减法，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义，求出m和n的值，再根据有理数的减法运算法则计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴； ∵ m 与 n 异号， ∴ 当 时， ； 当 时，则 ； ∴的值为7 或． 故选：． 【跟踪专练1】若，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的运算法则． 根据绝对值的定义，确定a和b的可能取值，结合的条件进行筛选，得到满足条件的两种组合，分别计算的值． 【详解】解：由， 得或，或． 因为， 所以：当时，，或当时，， 当，时，； 当，时，； 因此，的值为或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】下列说法中，正确的是（   ） A．两个数的和一定比两个数中任何一个都大 B．两个数的差一定比两个数中任何一个都小 C．两个数的和是正数，这两个数一定是正数 D．两个数的差是正数，被减数一定大于减数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算法则的理解． 根据有理数的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．如，A错误，不符合题意； B．如，B错误，不符合题意； C．如，但不是正数，C错误，不符合题意； D．差为正数时，被减数减数，故被减数减数，D正确，符合题意； 故选：D． 【题型4.有理数减法的实际应用】 【典例】清远市今年最高气温为，最低气温为，那么这年的最高气温比最低气温高 ． 【答案】 41 【分析】本题考查了有理数减法的应用，用最高气温减去最低气温即可． 【详解】解：由题意，得 故答案为41． 【跟踪专练1】某农业科研小组要测量A、B两处土壤温度差，他们选取了D、E、F、G四个中间测量点，并测得它们之间的温度差如下表．根据以下数据，可以判断A、B之间的温度关系为（   ） 2.1 0.8 1.5 1.6 A．B处比A处高 B．A处比B处高 C．A、B两处一样高 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查有理数的减法运算在实际问题中的应用，解题的关键是通过已知温度差的关系推导与的差值． 利用温度差的关系，将转化为已知的与的差，计算后比较大小判断温度关系． 【详解】解：因为， 已知， 所以， 由于，即，所以，关键是处比处高． 故选：B． 【跟踪专练2】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2025次，蚂蚁在数轴上的位置所对应的数是 ． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点的变化规律等知识﹒分别计算出爬行1，2，3，4，5次后对应位置，据此得到规律，设爬行次数为k次，当k为奇数时，则位置为；当爬行次数为偶数时，则位置为，据此即可求解﹒ 【详解】解：记录蚂蚁每次爬行后的位置： 第1次爬行后：； 第2次爬行后：； 第3次爬行后：； 第4次爬行后：； 第5次爬行后：； ……， 由此发现规律：设爬行次数为k次，当k为奇数时，则位置为；当爬行次数为偶数时，则位置为﹒ 当爬行次数为2025次时，位置为﹒ 故答案为：1013﹒ 【题型5.有理数的加减混合运算步骤】 【典例】．如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么的值为（   ） A．13 B．10 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减法，由第一行可得每一行的和为39，继而可求出方格中心位置的空格里面的数及下面的数，即能得出的值．求出下面的空格里面的数是关键． 【详解】解：由题意，得每一行（列或对角线）的和为， ∴方格中心位置的空格里面的数为， 则下面的空格里面的数为， ∴的值为：， 故选：C． 【跟踪专练1】小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第 个运算符号写错了． 【答案】22 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数的四则混合运算，根据计算得出是奇数前面的“”错写成了“”是解题的关键． 先求出没有写错时的正确答案，再比较错误答案与正确答案相差多少，从而即可推出是哪一个数字前面的符号错了． 【详解】解： ， 结果算成了比小， 是奇数前面的“”错写成了“”， ， 写错的是23前面的符号，把“”错写成了“”， 原式从左往右数，第22个运算符号写错了， 故答案为：22． 【跟踪专练2】一个点从数轴原点开始，先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，此时该点所表示的数是（   ）． A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点，根据数轴上的点的移动，左减右加，列出算式，计算即可． 【详解】解：由题意，得， 此时终点所表示的数是． 故选：B． 【题型6.有理数加减中的简便计算技巧】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先将减法转化为加法，再根据加法结合律求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】式子的结果不可能是（    ） A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，解答的关键是对从所给的数字中找到存在的规律，把两个数看成一组，从而可求解． 【详解】解： ． 则1012不可能是奇数． 故选：A． 【跟踪专练2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，两两一组分别计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【题型7.有理数加减混合运算的应用】 【典例】相传很久之前，夏禹治水来到洛水，洛水中浮出神龟，背驮“洛书”，大禹因此治水成功．洛书就是我们今天所说的幻方，如图是一个四阶幻方，不管是把横着的4个数相加，还是把竖着的4个数相加，或者把斜着的4个数相加，其和都相等，则这个幻方中的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，设幻方第二行第二列的数为b，根据幻方的性质，主对角线上四个数的和与第二行四个数的和相等，得出，求出结果即可． 【详解】解：设幻方第二行第二列的数为b，根据题意得： ， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪专练1】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况；第一天售出19种商品，第二天售出13种，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，该网店这三天售出的商品最少有 种． 【答案】29 【分析】本题考查了有理数的加减的应用，先求出第一天售出且第二天没有售出的商品的种数和第三天售出且第二天没有售出的商品的种数，再根据三天商品种数最少时，第三天中种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，列式计算即可得解，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：∵第一天售出19种商品，第二天售出13种，前两天都售出的商品有3种， ∴第一天售出且第二天没有售出的商品有（种）， ∵第二天售出13种，第三天售出18种商品，后两天都售出的商品有4种， ∴第三天售出且第二天没有售出的商品有（种），有种商品第一天未售出， ∴三天商品种数最少时，第三天中种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是（种）， 故答案为：． 【跟踪专练2】在一组连续整数99，100，101，102，…，2026前任意添加“”或“”，并运算，则可以得到的最小非负整数是（   ） A．1 B．0 C．199 D．99 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减混合运算及规律．由所所给数列发现连续四个整数之间添加“”和“”可使其运算结果为，据此解答即可． 【详解】解：由题知， ，，， ∴连续四个整数之间添加“”和“”可使其运算结果为， 又∵， 即这组数据的个数为个， ∵， ∴这组数据可使其运算结果为， 可以得到的最小非负整数是． 故选：B． 【题型8.有理数运算中加法与括号的省略形式】 【典例】不计算，把式子写成省略加号的和的形式： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算的符号简化，解题的关键是掌握“减去一个数等于加上它的相反数”的运算法则． 先将式子中的减法转化为加法，再省略加号和括号，写成和的形式． 【详解】根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数， 因为可以转化为+5， 所以原式可转化为， 省略加号和括号后，得到． 故答案为：． 【跟踪专练1】将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的意义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【跟踪专练2】把写成省略加号的和的形式是 ． 【答案】 【分析】先把原式统一为加法运算，再省略括号与括号前面的加号，从而可得答案. 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是把加减运算统一为加法运算，再写成省略“”的和的形式，掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是解题的关键． 【题型9.利用数轴上点的位置判断式子的正负】 【典例】如图，数轴上的点、分别对应实数、，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、绝对值、相反数、有理数的大小比较、有理数的加法，熟练掌握基本知识是解题的关键． 根据数轴确定出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、根据数轴上的点右边的数大于左边的数，所以，故此选项错误，不符合题意； B、由图形可知： ，故此选项错误，不符合题意； C、由图形可知：， ，所以，故此选项错误，不符合题意； D、由图形可知：， ，所以，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】如图，、、是数轴上点表示的有理数．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，以及合并同类项，根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．根据数轴判断出的正负情况以及绝对值的大小，然后求出的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后合并同类项即可得解． 【详解】解：由图可知：， 所以可得， 故答案为：． 【跟踪专练2】有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数中绝对值最大的数是c B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，相反数的定义，化简绝对值，有理数的减法运算，由数轴可知，，，则，，再由相反数的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∵a与c互为相反数， ∴ ∴a、b、c三个数中绝对值最大的数是， ，，， ∴四个选项中只有B选项说法正确，符合题意， 故选：B． 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键在于找出规律正确计算． 根据有理数的加减混合运算方法，用正有理数的和加上负有理数的和，即可求出结果． 【详解】解： ． 2．将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则m为 【答案】9 【分析】本题考查绝对值的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．设，，分别是3，4，5，，，分别是8，7，6，进行计算求值；然后得出不论怎么分组，原式的值都为恒值9，m的值仍不变，由此即可确定答案． 【详解】解：∵将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，， 设，，分别是3，4，5，，，分别是8，7，6 ， ∴． 由上可知，不论怎么分组，原式的值都为恒值9，故． 故答案为：9． 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中，正确的有 ．（把正确的序号填在横线上．） ①；②；③；④；⑤． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，绝对值，有理数的加减等知识，综合性强，难度较大．根据数轴得到，并且，即可得到①错误，可判断②⑤；化为得到三个负数相加，得到③正确；根据绝对值意义得到，，即可得到④正确，问题得解． 【详解】解：由数值得，并且， ∴，故①错误； ，故②正确； ，故⑤不正确； ，故③正确； ∵，， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 4．在温控范围内，肉联厂的冷藏库能使冷藏食品每小时降温（冷藏库温度到达零下后自动停止降温），每开库一次，温度上升，现有的肉放入冷藏库，3小时后开一次库，2小时后再次开库，再关上库门4小时，此时肉的温度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据温度变化规则，逐步计算降温与开库后的温度变化即可． 【详解】解：∵初始温度为， ∴降温3小时：每小时降温，共降温，温度变为， 开库一次：温度上升，变为， 降温2小时：每小时降温，共降温，温度变为， 再次开库：温度上升，变为， 降温4小时：每小时降温，共降温，温度变为， 未达到降温下限，故最终温度为， 故答案为：． 5．对于，先将其中任意两个加号变为减号，再对相邻的两个数间任意添加括号（不存在添加双重括号的情况），然后计算出结果，称为一种“双减添括操作”． 例如：是一种“双减添括操作”，2是其运算结果；是一种“双减添括操作”，是其运算结果．给出下列说法： ①至少存在一种“双减添括操作”的运算结果是10； ②不存在任何“双减添括操作”的运算结果是； ③所有“双减添括操作”共有6种不同的运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，理解“双减添括操作”的定义是解题的关键．根据题意通过分类讨论的方法，将所有“双减添括操作”列式计算，并求出结果，即可求解． 【详解】解：将其中任意两个加号变为减号，有三种情况： （1）当前两个加号变成减号时：，有四种加括号的方式，分别为： ，，，， 运算结果是2或10或； （2）当第一个和第三个加号变成减号时：，有四种加括号的方式，分别为： ，，，， 运算结果是或； （3）当后两个加号变成减号时：，有四种加括号的方式，分别为： ，，，， 运算结果是或； 综上可知， “双减添括操作”共有12种，运算结果为2，10，，，，共6种． 所以：有一种“双减添括操作”的运算结果是10，故①正确； 不存在任何“双减添括操作”的运算结果是，故②正确； 所有“双减添括操作”共有6种不同的运算结果，故③正确； 正确的个数是3， 故选：D． 6．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减法，知道横竖以及两圈的和都是2是解题的关键．设小圈上的数为，大圈上的数为，根据题意得出两个圈的和都是2，横、纵的和也是2，然后利用有理数的加减法计算a，b，然后代入求解即可． 【详解】设小圈上的数为，大圈上的数为， ， 横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， 两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， 当时，，则， 当时，，则， 故选：A． 7．用，，，，，这个数组成两个无相同数码的三位数，记较大的三位数与较小的三位数的差为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，要使得值的最小，需两个三位数尽可能的接近，即百位上的数字相差，较大三位数中的十位取最小数，较小三位数中的十位取最大数，据此，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：两个三位数需尽可能的接近， 故百位上的数字相差， 当两个三位数百位上的数字分为是和时， 较大的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 较小的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 此时； 当两个三位数百位上的数字分为是和时， 较大的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 较小的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 此时； 当两个三位数百位上的数字分为是和时， 较大的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 较小的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 此时； 综上，的最小值为． 故答案为：． 8．将自然数1，2，3，4，5，6分别标记在6个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱之后一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为，，，，，，记，以下3种说法中：①A最小值为3；②A的值一定是奇数；③A化简之后一共有5种不同的结果．说法正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法运算，数的奇偶性，先根据，，，即可判断①，再判断总的奇偶性，两两组合相减，总的奇偶性共两种情况：第一种：奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-偶数=偶数，第二种：奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，即可判断②，根据，可得A的最大值一定为9，故结合①②可判断③，问题得解． 【详解】根据题意可知，，，，，，指代自然数1，2，3，4，5，6， ∴，，， ∴，故①正确； ∵1，2，3，4，5，6是包含三个奇数和三个偶数， 则两两组合相减，总的奇偶性共两种情况： 第一种：奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-偶数=偶数， 则最终A的答案为：偶数+奇数+偶数=奇数； 第二种：奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数， 则最终A的答案为：奇数+奇数+奇数=奇数； ∴A的值一定是奇数，故②正确， ∵， ∴A的最大值一定为9， 又∵A最小值为3，且为奇数， ∴A的值只可能是3、5、7、9， ∴A化简之后不可能有5种不同的结果， 故③错误， 正确的有2个， 故选：B． 9．钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也能作减法．例如：现在是10时，4小时后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．若用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时．）现给出以下说法： ①，； ②在有理数运算中，相加为0的两个数互为相反数．若在上述钟表运算中沿用此概念，则有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中仍然成立； ③现规定在钟表运算中也有，对于钟表上任意数字，若，则； ④表盘上的每个数字总可由若干个7作得到（注：7可被认为是由一个7作得到），其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，掌握钟表上的运算方法是解题的关键． 根据钟表的定义及钟表上的加减法运算的方法进行计算即可判定①； 根据钟表运算中相反数的定义进行计算即可判定②； 根据钟表运算的定义，举出反例即可验证运③； 用钟表中加减运算方法进行验证即可判定④． 【详解】解：①根据题意可知， ，，故①不正确； ②在钟表中，设，分别表示钟表中的数字，由相加得0的两个数互为相反数，可得， 即， ，即的相反数为， 当时，，，此时 当时，，，此时 ∴，即有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中仍然成立，故②正确， ③如：当，，时，， ，则， 当时， 不一定成立，故③不正确． 通④过多次操作可生成所有钟表数字：，，，，，，，，，，，，故最终覆盖0到11，故④正确。 综上，符合题意的有②④共2个． 故选：B． 10．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有如：，，，下列说法中正确的有 ． ①； ②； ③； ④若，且，则或； ⑤方程的解为 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，绝对值和有理数的加减计算，根据新定义即可判断①②③；当时，，则；当时，，则，据此可判断④；由方程及可解得，这意味小数部分为的数均为方程的解，解不唯一，故原说法错误． 本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：根据整数部分和小数部分的定义逐项分析判断如下： ①有理数的整数部分是不超过的最大整数，即，正确，符合题意； ②有理数的整数部分是不超过的最大整数，即，错误，不符合题意； ③有理数的小数部分为，正确，符合题意； ④当且时，若x为正数，如，则，符合；若x为负数，如，则，，符合，正确，符合题意； ⑤∵， ∴， 即， ∴， ∴方程的解为所有小数部分为的数，解不唯一，原说法错误； 故答案为：①③④． 11．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如下图所示． (1)试判断a，b，c的符号，并比较它们的绝对值的大小． (2)若，，，试计算与的值． 【答案】(1)，，， (2)， 【分析】本题考查有理数与数轴，绝对值，代数式求值，判断出a，b，c的符号是解题的关键． （1）直接根据数轴上的点位置即可判断； （2）根据a，b，c的符号及绝对值，得出a，b，c的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，，． （2）解：，，，，，， ，，， ，． 12．某校六年级共有110人参加语文、英语、数学三个活动小组，每人至少参加一组．已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人．那么三组都参加的有多少人？ 【答案】8人 【分析】本题考查了容斥原理，根据题意，可算得只参加一组的人数，从而得到至少参加两组的人数，接着算得总活动人数，推出总活动人数比总人数多的人数，再根据参加两组的人被多计数一次，参加三组的人被多计数两次，即可求得三组都参加的人数． 【详解】解：只参加一组的人数为：（人）， 则至少参加两组的人数为：（人）， 总活动人数为：（人）， 总活动人数比总人数多：（人）， 则三组都参加的人数有：（人）， 答：三组都参加的有8人． 13．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础： 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示的点之间的距离；也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是__________； (2)根据绝对值的几何意义，当时，_____； (3)当时，此时整数所有可取的值之和为_____． (4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____． 【答案】(1)，数轴上表示的点与表示的点之间的距离 (2)或 (3) (4)16；7 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键． （1）由题意直接求解即可得到答案； （2）由绝对值的几何意义得到方程求解即可得到答案； （3）分，，，和这几种情况，去绝对值，可推出取得最小值时x的取值范围，进而可得答案； （4）同（3）可得，当时，有最小值，最小值为，进而可推出当时，和能同时取得最小值，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意可知，数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示的点与表示的点之间的距离； （2）解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离是， ∴或； 故答案为：或； （3）解：当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 综上所述，的最小值是；此时满足的条件是； ∴当时，， ∴此时整数所有可取的值之和为； （4）解：同（3）可知，当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当，即时，有最小值，最小值为0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：16；7． 14．阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 小明写出了一些按照（加乘）运算法则进行运算的式子： ；；；；； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行（加乘）运算时，同号得________，异号得________，并把绝对值________；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于________________； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若，直接写出的值． 【答案】(1)正 负 相加 这个数的绝对值 (2) (3)3或1 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算法则． （1）根据题目中的例子可以总结出（加乘）运算的运算法则； （2）根据（1）中的结论可以解答本题； （3）根据（1）中的结论和分类讨论的方法可以解答本题． 【详解】（1）解：两数进行（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值； （2） ； （3）， ， 当时，， 得， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为3或1． 15．操作发现．    操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4．将上述过程记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示．将上述过程记作： ；如：； (1)利用图3、图4，直接填空： ； ； (2)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 【答案】(1) (2)①是，；②的值为2或4 【分析】（1）按照题中操作一与操作二分别画图即可完成； （2）①由题意得点B表示的数为或；设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e；当点B表示的数为时，点B在点A的右侧；由题意表示出点D及点E表示的数，再计算出即可；当点B表示的数为时，点B在点A的左侧；同理可计算出，从而可作出判断； ②由①得，点B表示的数为，由题意得：，由此即可求得a的值． 【详解】（1）解：由图3知，；由图4知，；    故答案为：； （2）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4； 理由如下：∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或； 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e； 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧； ∵， ∴A为的中点， ∴， 即； ∵， ∴的中点是同一点， 而的中点表示的数为， ∴， ∴； ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧； 同理得：； ∵， ∴的中点是同一点， 而的中点表示的数为， ∴， ∴； ∴ ； 即点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②∵点C表示的数是， ∴由①得， ∴； ∵点B表示的数为， ∴由题意得：， 即， ∴或， 解得：或． 故的值为2或4． 【点睛】本题是新概念问题，有一定的综合性，考查了数轴的点表示数，数轴上两点间的距离，绝对值的计算，有理数加减运算等知识，理解新概念是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $