专题01丰富的图形世界期末冲刺必备讲义(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学讲义以“丰富的图形世界”为主题，通过分类归纳与对比分析构建知识体系。知识梳理涵盖常见立体图形特征、展开与折叠规律、截面形状判断、三视图画法及易错点警示，并以表格形式呈现几何体截面形状、三视图等关系，帮助学生建立空间观念。 讲义以“基础巩固—能力提升—综合应用”为主线设计题型，如“三视图还原几何体”“展开图计算表面积”等，引导学生从不同方向观察物体、推理几何体构成，培养空间观念和推理意识。通过“易错点警示”精准定位重难点，既夯实基础，也为教师分层教学提供支持。

专题01丰富的图形世界期末冲刺必备讲义 1.识别常见的立体图形（柱体、锥体、球体等），掌握它们的基本特征，能准确分类。 2.理解立体图形与平面图形的关系，熟练进行立体图形的展开与折叠，能判断平面展开图对应的立体图形。 3.掌握截一个几何体的操作规律，能判断不同截面的形状。 4.学会从不同方向观察物体，画出简单几何体的三视图（主视图、左视图、俯视图），并能根据三视图还原立体图形。 期末必备 知识点梳理 1.常见立体图形 2.立体图形的展开与折叠 3.截一个几何体 4.从三个方向看物体的形状 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.常见几何体的认识 2立体图形的分类方法 3.几何体中的点.棱.面的特征 4.点.线.面.体四者之间的联系与转化 5.平面图形旋转形成的立体图形 6.几何体的三视图 7.几何体展开图的识别与特征 8.利用展开图计算几何体的表面积 9.利用展开图计算几何体的体积 10.正方体几种展开图的识别 11.正方体相邻面的文字对应关系 12.几何体的截面形状与截法 期末备考 压轴通关 压轴题(17题) . 【知识点01.常见的立体图形】 1.分类及特征 类别 具体图形 核心特征 柱体 棱柱（正方体、长方体、三棱柱等） 有两个互相平行且全等的底面，侧面是平行四边形；正方体：6 个面都是正方形，12 条棱长度相等；长方体：6 个面都是长方形（特殊情况有 2 个相对面是正方形） 圆柱 底面是两个大小相等的圆，侧面是曲面；沿高展开侧面是长方形 锥体 棱锥（三棱锥、四棱锥等） 有一个底面是多边形，侧面是有公共顶点的三角形 圆锥 底面是一个圆，侧面是曲面；侧面展开图是扇形 球体 球 由单一曲面围成，任意截面都是圆 易错区分 柱体≠圆柱：圆柱是柱体的一种，柱体还包括棱柱； 锥体≠圆锥：圆锥是锥体的一种，锥体还包括棱锥。 【知识点02.立体图形的展开与折叠】 1常见立体图形的展开图 立体图形 展开图组成 关键要点 正方体 6 个正方形（无 “凹”“田” 字形结构） 11 种基本形式，分为 1-4-1 型（6 种）、2-3-1 型（3 种）、2-2-2 型（1 种）、3-3 型（1 种） 长方体 6 个长方形（相对的面全等） 展开图中相对的面不相邻 圆柱 2 个圆 + 1 个长方形 长方形的长 = 底面圆的周长，宽 = 圆柱的高 圆锥 1 个圆 + 1 个扇形 扇形的弧长 = 底面圆的周长 2.折叠规律 判断一个平面图形能否折叠成立体图形，需满足： (1)面的数量与立体图形的面数一致； (2)各面的形状、大小匹配，位置关系符合立体图形结构。 【知识点03.截一个几何体】 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面，截面形状由几何体的形状和平面的截法决定。 几何体 可能的截面形状 特殊截法示例 正方体 三角形、四边形（正方形、长方形、梯形）、五边形、六边形 横截→正方形；斜截→长方形 / 梯形；沿顶点截→三角形 圆柱 圆（横截）、长方形（竖截）、椭圆（斜截） 垂直于底面截→长方形 圆锥 圆（横截）、三角形（竖截过顶点）、椭圆（斜截） 过顶点竖截→等腰三角形 球 圆 任意角度截→圆 注意：正方体的截面最多是六边形，不可能出现七边形及以上的图形。 【知识点04.从三个方向看物体的形状】 1.三视图的定义 主视图：从正面观察物体得到的平面图形； 左视图：从左面观察物体得到的平面图形； 俯视图：从上面观察物体得到的平面图形。 2.三视图的绘制原则 *长对正：主视图与俯视图的长相等，且左右对齐； *高平齐：主视图与左视图的高相等，且上下对齐； *宽相等：左视图与俯视图的宽相等。 3.常见几何体的三视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 正方形 正方形 正方形 长方体 长方形 长方形 长方形 圆柱 长方形 长方形 圆 圆锥 三角形 三角形 圆（带圆心） 球 圆 圆 圆 4.由三视图还原立体图形 步骤： (1)由俯视图确定立体图形的底面形状和底层小立方块的数量； (2)由主视图确定各列的高度； (3)由左视图确定各行的高度； (4)综合三者确定立体图形的形状和小立方块的总数。 【知识点05.易错点警示】 1.正方体展开图误区：含有 “凹”“田” 字形的平面图形不能折叠成正方体。 2.截面形状误区：用平面截正方体，截面最多是六边形；截圆锥时，只有过顶点竖截才能得到三角形。 3.三视图绘制误区：漏画被遮挡的轮廓线（需用虚线表示）；忽略 “长对正、高平齐、宽相等” 的原则。 4.立体图形分类误区：将 “棱柱” 归为 “圆柱”，二者本质不同（棱柱底面是多边形，圆柱底面是圆）。 【题型1.常见几何体的认识】 【典例】下列几何体中属于棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体．根据棱柱的定义进行逐个分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，属于棱柱的有，，， ∴属于棱柱的有3个 故选：B 【跟踪专练1】若一个棱柱有个面，底面为边长的正方形，每条侧棱长，则该棱柱的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查棱柱的体积，熟练掌握棱柱的体积公式是解题的关键； 根据棱柱的体积公式计算求解即可； 【详解】解：底面为边长的正方形， 底面积为：， 棱柱的体积为：； 故答案为： 【跟踪专练2】下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识． 根据常见实物与几何体的关系解答即可． 【详解】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体． 故选：B 【题型2.立体图形的分类方法】 【典例】观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：② ；⑥ ； （2）在以上几何体中，是柱体的有 （填序号）；含曲面的有 （填序号）． 【答案】 圆锥 五棱柱 ①③④⑤⑥⑧ ①②⑦ 【分析】本题考查了常见的几何体，立体图形的分类，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据所给的图形确定图形的名称； （2）先说出各个图形的名称，再归类即可． 【详解】（1）解：②圆锥，⑥五棱柱， 故答案为：圆锥，五棱柱； （2）①是圆柱，②是圆锥，③是长方体，④是正方体，⑤是四棱柱，⑥是五棱柱，⑦是球，⑧是三棱柱， 所以在以上几何体中，是柱体的有①③④⑤⑥⑧；含曲面的有①②⑦． 故答案为：①③④⑤⑥⑧，①②⑦． 【跟踪专练1】下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，正确理解立体图形的定义是解题关键； 根据立体图形的定义即可求解； 【详解】解：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形； 可以看到第二个图形和第四个图形是立体图形； 故选：B 【跟踪专练2】在如图所示的立体图形中，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ． （填序号） 【答案】 ①②③⑦ ⑤⑥ ④ 【分析】本题考查了柱体，锥体，球体，熟练掌握柱体，锥体，球体的特点是解题的关键． 柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案． 【详解】解：在如图所示的立体图形中，柱体有①②③⑦，锥体有⑤⑥，球体有④， 故答案为：①②③⑦；⑤⑥；④． 【题型3.几何体中的点.棱.面的特征】 【典例】若一个棱柱有10个顶点，则它的侧面的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【分析】本题考查的是棱柱的特点，根据棱柱的性质，顶点数等于底面边数的两倍，侧面个数等于底面边数即可解答. 【详解】解：∵ 棱柱的顶点数底面边数， 给定顶点数为10， ∴ 底面边数， ∴ 底面边数， 又∵ 侧面个数底面边数， ∴ 侧面个数为5. 故选：A 【跟踪专练1】如果一个棱柱总共有条棱，那么这个棱柱有 个顶点． 【答案】 【分析】本题主要考查棱柱的定义及面、棱、顶点的个数之间的关系，根据点、面、棱的关系进行求解即可，熟练掌握棱柱的基本性质是解题关键． 【详解】解：∵棱柱有个面，有条棱，有个顶点， ∴当棱柱总共有条棱， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形，由不带红色的小正方体的个数等于7 ，说明这个长方体是的长方体，那么三面涂色的顶点处，两面带红色的小正方体都在这个长方体的棱上，正确理解立体图形的特点是解题的关键． 【详解】解：因为7是质数， 所以不带红色的小正方体只能是排成一排， 所以这个长方体由即个小正方体组成， 把它看成3层，第一层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 第二层两面带红色的小正方体个数为：4个， 第三层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 所以两面带红色的小正方体个数为：（个）， 故选D． 【题型4.点.线.面.体四者之间的联系与转化】 【典例】在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种现象可以用数学原理“点动成线”解释．那么打开如图“折扇”时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为 ． 【答案】线动成面 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的动态关系，熟练掌握“线动成面”的原理是解题的关键．根据“点动成线”的类比，分析扇骨（线）移动形成扇面（面）的数学原理． 【详解】解：打开折扇时，扇骨是线，扇面是面，线的移动形成面，对应的数学原理是“线动成面”． 故答案为：线动成面． 【跟踪专练1】在《西游记》中，齐天大圣转动金箍棒，在转速特别快时，形状近似一个圆盘，能说明这个现象的数学原理是（    ） A．点动成线 B．点动成面 C．线动成面 D．面动成体 【答案】C 【分析】本题考查了根据线动成面进行解答即可．金箍棒可视为线段，快速旋转时形成圆盘状平面，体现了线动成面的原理． 【详解】解：∵金箍棒是棒状，近似一条线段，当它绕一端点快速旋转时，线段扫过的区域形成一个圆面， ∴这说明了线动成面的数学原理． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱 ⊥面．    【答案】 【分析】根据直线与平面垂直的定义进行判断即可． 【详解】解：∵面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸， ∴棱面， 故答案为：． 【点睛】本题考查认识立体图形，理解直线垂直平面的定义是正确判断的前提． 【题型5.平面图形旋转形成的立体图形】 【典例】如图，将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握立体图形的特征是解此题的关键． 根据面动成体并结合图形即可得解． 【详解】 解：将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为 （结果保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，熟练掌握圆锥的体积公式及旋转后圆锥的底面半径、高与直角三角形边长的对应关系是解题的关键．判断旋转后得到的立体图形是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，再代入圆锥体积公式计算． 【详解】解：以直角边为轴旋转一周，得到的是圆锥， 圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的体积为 ， 故答案为：． 【跟踪专练2】绕虚线旋转一周可得到如图所示的图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的形成(面动成体)：平面图形绕轴旋转一周形成立体图形，理解不同平面图形旋转对应的立体图形(如矩形旋转成圆柱、直角三角形旋转成圆锥)是解题的关键．根据立体图形的形成规律逐一分析即可． 【详解】解：A：梯形绕虚线旋转，得到的是圆台，此选项不符合题意； B：三角形绕虚线旋转，得到的是两个圆锥重叠体，此选项不符合题意； C：图形绕虚线旋转，无法形成规则的圆锥+圆柱组合，此选项不符合题意； D：图形包含“直角三角形(旋转成圆锥)+矩形(旋转成圆柱)”的结构，绕虚线旋转后可得到题目中的组合体，此选项符合题意． 故选：D． 【题型6.几何体的三视图】 【典例】一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块最少有 个． 【答案】7 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从上面看确定最底层有5个小立方块，正面看确定最少个数，进行求解即可． 【详解】解：从上面看到的图形得知，最底层有5个小立方块， ∴正面看到的图形得知，共有2层， ∴第二层最少有2个， ∴搭成这个几何体的小立方块最少有个． 故答案为：7． 【跟踪专练1】如图所示，以为轴，将三角形旋转一周后可得一个几何体，从正面看该几何体，所看到的形状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了面动成体，从三个方向看几何体的知识． 先得到旋转后得到的几何体，找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：绕斜边旋转一周，所得到的几何体是两个圆锥的组合体，从正面看该几何体，所看到的形状图是由两个有公共底边的等腰三角形组成的四边形． 故选：A． 【跟踪专练2】一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最多需要m个，最少需要n个，则 ． 【答案】4 【分析】根据题意可以得到该几何体从正面和上面看至少有多少个小正方体，综合考虑即可解答本题． 本题考查了由不同方向看，判断几何体的构成，体现了对空间想象力的考查． 【详解】解：（个）， （个）， ∴， 故答案为：4． 【题型7.几何体展开图的识别与特征】 【典例】用一张长方形纸（见图）可以卷成下面（    ）图形 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体展开图，通过分析长方形纸卷曲后的形状特征，确定其卷成的几何体类型． 【详解】解：依据圆柱体的意义可知用一张长方形的纸，可以卷成圆柱形． 故选∶B． 【跟踪专练1】如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是 ．    【答案】25 【分析】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长． 则底面正方形的面积是 故答案为： 【跟踪专练2】下列选项中，左边的平面图形能够折叠成右边封闭的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的展开图是解题的关键．根据几何体的展开图逐项判断即可． 【详解】解：A、左侧图形不能折叠成正方体，故本选项不符合题意； B、左侧图形中的圆形无法折叠成圆锥的底面，因此不能折成圆锥，故本选项不符合题意； C、左侧图形能折叠成圆柱，故本选项符合题意； D、因为三棱柱需要6个面，而左边的图只有5个面，因此不能折叠成三棱柱，故本选项不符合题意． 故选：C． 【题型8.利用展开图计算几何体的表面积】 【典例】一个直三棱柱，它的底面边长都相等，侧棱长，侧面积是，那么它的底面边长是 ． 【答案】 【分析】此题考查了棱柱的侧面积，熟练掌握棱柱的侧面积的计算方法是关键． 直三棱柱的侧面是三个全等的矩形，每个矩形的面积等于底面边长乘以侧棱长．根据侧面总面积，可列出方程求解底面边长． 【详解】解：设底面边长为．每个侧面矩形的面积为， 侧面积为 ∴, 则， 即底面边长为． 故答案为： 【跟踪专练1】如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方体和长方体的体积和表面展开图的面积， 如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，得到，根据这两个长方体的体积之比为列式得到，，然后分别表示出两个长方体的表面展开图的面积求解即可． 【详解】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 【跟踪专练2】用四个完全相同的小长方体拼成一个大长方体，其中每个小长方体的长，宽，高分别是6，4，2．那么这个大长方体的表面积最小为 ，此时的拼法有 种． 【答案】 208 2 【分析】本题主要考查了长方体表面积的计算以及图形的拼接问题． （1）要使拼成的大长方体表面积最小，需要把小长方体最大的面拼在一起，这样拼接后大长方体的表面积就减少得最多； （2）先分析小长方体不同面的面积，确定拼接方法，再计算大长方体的表面积，最后确定拼法的种类． 【详解】解：小长方体的长，宽，高分别是6，4，2，根据长方形面积公式，可得小长方体三个不同面的面积为： 长为6，宽为4的面的面积：； 长为6，宽为2的面的面积：； 长为4，宽为2的面的面积：； 要使拼成的大长方体的表面积最小，需要把小长方体最大的面拼在一起，即把长为、宽为的面拼在一起； 根据分析，四个小长方体拼在一起，拼接时每两个小长方体拼接一次，就会减少2个面的面积，四个小长方体两两拼接，一共拼接3次，总共减少（个）面的面积， 一个小长方体的表面积为：， 四个小长方体的表面积之和为：， 减少的6个长为6、宽为4的面的面积为：， 大长方体的表面积最小为：； 根据分析，把四个小长方体拼成一个大长方体，需要把长为、宽为的面拼在一起，此时的拼法有2种：可以拼成一个尺寸为的长方体或一个尺寸为的长方体； 故答案是：；． 【题型9.利用展开图计算几何体的体积】 【典例】如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（    ） A．40 B．64 C．56 D．84 【答案】B 【分析】本题考查了长方体的展开图，由图形可得，长方体的高是2，宽是，长是，再由长方体的容积公式计算即可得解，正确得出长方体的长、宽、高是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，长方体的高是2，宽是，长是， 故长方体的容积为：， 故选：B． 【跟踪专练1】某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米），则此长方体包装盒的体积为 立方毫米．（用含x、y的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查棱柱的展开与折叠，将展开图折叠，可得长、宽、高为y毫米、x毫米、65毫米的长方体，根据体积计算方法可求出长方体的体积． 【详解】解：将展开图折叠，可得长、宽、高为y毫米、x毫米、65毫米的长方体， 于是，体积为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 【答案】A 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积从变为． 故长方体的纸盒容积变小了． 即长方体纸盒的容积减少了． 故选：A． 【题型10.正方体几种展开图的识别】 【典例】如图，阴影部分是由5个相同的小正方形组成的，在图中有编号的位置选择一个正方形，使它与阴影部分组成的新图形经过折叠可以得到一个正方体，则选择的编号可以是 ．    【答案】① 【分析】本题主要考查了正方体的侧面展开图的复原，掌握把不同的侧面展开图成功复原成正方体的方法是解题的关键． 结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：如图所示，    选择A，B，C，D处的任一正方形，都可以使新拼接成的图形折叠后成为一个封闭正方体， ∴在①添加一个正方形，使组成的新图形能够折叠成一个正方体盒子． 故答案为：①． 【跟踪专练1】下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，根据口诀“一线不过四，田凹应弃之”判断是解题的关键． 根据口诀观察图形即可得解； 【详解】观察四个选项发现，选项中有“田”出现，故不是正方体的展开图，其他选项正确； 故选． 【跟踪专练2】如图，在由标有不同数字的个同样大小的小正方形组成的图形中，剪去个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形所对应的数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方体的展开与折叠，结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．牢记正方体的种展开图的模型是解题的关键． 【详解】解：由正方体的平面展开图得，要剪去的正方形对应的数字是． 故答案为：． 【题型11.正方体相邻面的文字对应关系】 【典例】下图是一个正方体的展开图，折叠后与“数”字相对的是（ ） A．学 B．思 C．乐 D．趣 【答案】D 【分析】本题主要考查正方体相对面，掌握正方体展开图的特点，确定相对面是关键． 根据“同行（或列）隔一面”或“”型首尾端为相对面的方法求解即可． 【详解】解：折叠后与“数”字相对的是“趣”， 故选：D． 【跟踪专练1】一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，根据与相邻的面的数字有判断出的对面数字是，与相邻的面的数字有判断出的对面数字是，从而确定出的对面数字是，再根据图可得结果，根据相邻面上的数字确定出相对面上的数字是解题的关键． 【详解】解：由图可知，∵与相邻的面的数字有， ∴的对面数字是， ∵与相邻的面的数字有， ∴的对面数字是， ∴的对面数字是， 由图可知：的对面数字是， ∴的值为， 故答案为：． 【跟踪专练2】当前的时代精神可以概括为“创新、驱动、发展”，它不仅体现了创新是推动经济发展和社会进步的关键动力．如图是正方体的一种、分别写着“创新驱动发展”这六个字，那么在原正方体上，与汉字“新”相对的面（    ） A．驱 B．动 C．发 D．展 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 根据找正方体相对的面的方法，逐项分析判断解答即可． 【详解】解：由题意可知，与“新”相对的面是“发”，与“创”相对的面是“动”，与“驱”相对的面是“展”． 故选：C． 【题型12.几何体的截面形状与截法】 【典例】用一个平面去截一个圆锥，截面的形状可能是圆，也可能是 ．（写出一个正确图形即可） 【答案】三角形（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．根据圆锥的形状特点分情况讨论即可求解． 【详解】解：如果用平面去截圆锥，平面过圆锥顶点时得到的截面图形是一个三角形； 如果不过顶点，且平面与底面平行，那么得到的截面就是一个圆； 如果截面与底面不平行，且与圆锥所有的母线都相交，截面就是椭圆， 故截面形状常见的是三角形或圆或椭圆， 故答案为： 三角形（答案不唯一）． 【跟踪专练1】用一个平面去截下列四个几何体，可以得到三角形截面的几何体有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查认识立体图形和截几何体，掌握立体图形的特征和截面的形状是正确判断的关键． 根据各个几何体截面的形状逐个判断即可． 【详解】解：用一个平面去截圆锥、三棱柱、长方体可以得到三角形截面， 故选：B． 【跟踪专练2】用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有 个． 【答案】 【分析】本题考查几何体的截面，根据圆柱、长方体、圆锥、四棱柱的形状判断即可，可用排除法，关键要理解面与面相交得到线，注意：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 本题考查了几何体的截面，熟练掌握几何体的截面形状是解题的关键． 【详解】解：圆锥不可能得到长方形截面， ∴能得到长方形截面的几何体有：圆柱、长方体、四棱柱，一共有3个， 故答案为：3． 1．下列标注的图形名称与图形不相符的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立体图形的认识，熟练掌握常见几何体的形状是解题的关键．根据四棱锥、圆柱、四棱柱、圆锥的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．是四棱锥，故A不符合题意； B．是圆柱，故B不符合题意； C．是四棱柱，故C不符合题意； D．是圆锥，故D符合题意． 故选：D． 2．将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查基本几何图形，分三种情况，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 故答案为：3或4或5． 3．将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 4．现有一个长方形，长和宽分别为和，绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的几何体体积为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了圆柱的体积，理解圆柱的形成过程是解题的关键． 绕长方形的一条边旋转一周，形成的几何体是圆柱体，体积取决于旋转轴是长方形的长还是宽，分别计算两种情况的体积即可． 【详解】解：①当绕长方形的长旋转时，圆柱体的底面半径为，高为， 则圆柱体的体积为 = ， ②当绕长方形的宽旋转时，圆柱体的底面半径为，高为宽， 则圆柱体的体积为 = ． 故答案为：或． 5．从正面、左面、上面看一个几何体得到的三种形状都是同一张图，如图所示．那么在从上面看该几何体得到的形状图的小正方形中写上该位置的小立方块的个数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的知识点是：由三视图确定几何体中小立方块的个数，核心是理解三视图之间的对应关系：主视图和左视图反映层数(高度)，俯视图反映底层分布，结合三者可以确定每个位置的小立方块数量 【详解】解：从上面看的形状里，左上角的位置(第一行第一列)有个小立方块(因为正面和左面看这个位置有两层)， 左下角(第二行第一列)有个， 右下角(第二行第二列)有个， 所以对应选项里，小正方形中该位置的小立方块个数正确的是选项． 故选：B． 6．一个平面上的网格图形可以按网格线折成一个立体图形，如图所示的立体图形是折自下列哪个平面网格图形的？（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面图形与立体图形，根据立体图形确定平面图形即可，良好的空间想象能力是解题的关键． 【详解】解：如图所示的立体图形是折自 ． 故选：C． 7．某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（） A．20 B．30 C．32 D．60 【答案】A 【分析】本题考查正多面体与多边形，掌握知识点是解题的关键． 利用欧拉公式，其中，每个面为正五边形，先计算总边数，再求解顶点数． 【详解】解：∵每个面是正五边形，有5条边，总面数， ∴总边数（每条边被两个面共享）． 代入欧拉公式：， ∴， ∴， ∴． 故选A． 8．将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂红色，然后分割成棱长为1的小正方体，若各个面未染色的小正方体个，则只有两个面染色的小正方体有 个． 【答案】 【分析】本题考查正方体涂色分割问题，掌握相关知识是解决问题的关键．设原正方体棱长为（为整数），则未染色小正方体个数为，根据未染色小正方体数量列方程，求得原正方体棱长，再根据只有两个面染色的小正方体位于正方体的棱上且非顶点处，计算只有两个面染色的小正方体数量． 【详解】解：设原正方体棱长为（为整数），则未染色小正方体个数为， 由， 得， ， 只有两个面染色的小正方体位于正方体的棱上且非顶点处， 大正方体每条棱上只有两个面染色的小正方体有个， ∵正方体有条棱， 故总数为． 故答案为． 9．将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，熟练掌握正方体展开图的11种类型，是解题的关键． 根据正方体展开图的11种特征分析； 此展开图属于“141”结构，上、下面的“1”分成了两部分，上面两部分合成正方体的上面，下面两部分合成正方体的下面，带有红心的面与中间从左到右第二个正方形相对； 再看上面等腰三角的两边，当等腰三角形的顶点与我们相对时，红心居左面，即可以得出答案． 【详解】解：据分析可知，将平面展开图对应正方体的各个点进行标记出来，如图： 因此，可知标志在正方形上，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面④． 故答案为：④． 10．用5个正方形拼接成如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，第6个正方形可放在 （填写序号）的位置； 【答案】③ 【分析】根据正方体的表面展开图分析即可求解． 【详解】解：如图所示： 根据正方体的种展开图，可以判断第个正方形可放在③的位置， 故答案为：③． 【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用口诀：一线不过四，田凹应弃之，相间、端是对面，间二、拐角邻面知． 11．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是 ．    【答案】51 【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4、5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值． 【详解】解：根据题意得：露在外面的数字之和最大是：， 故答案为：51． 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和空间想象能力． 12．数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？ (2)这个棱柱一共有 条棱， 个顶点； (3)这个棱柱的侧面积之和是多少？ (4)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】(1)共有9个面；侧面是长方形 (2)21，14 (3)这个棱柱的侧面积之和是 (4)直n棱柱共有个顶点，共有条棱 【分析】本题考查棱柱的组成，理解棱柱各部分的数量是解题的关键． （1）直接观察七棱柱即可解答； （2）观察七棱柱即可解答； （3）将根据长方形的面积公式求出每个侧面的面积，再乘以侧面的数量7个即可解答； （4）由七棱柱的规律，总结即可解答． 【详解】（1）这个直七棱柱有7个侧面，2个底面，共有9个面；侧面是长方形； （2）七棱柱一共有21条棱，一共有14个顶点． 故答案为：21，14； （3）， 故这个棱柱的侧面积之和是； （4）直n棱柱共有个顶点，共有条棱． 13．周末，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查了正方体展开图，知道正方体展开图的形状是关键； （1）根据正方体展开图即可求解； （2）根据（1）中4种正方体展开图任选一个完成即可． 【详解】（1）解：根据正方体展开图特点知，中间三连方，两侧各一、二个，有三种；两排各三个，有一种，共4种． 故答案为：4； （2）解：如图所示，答案不唯一． 14．用10个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． (1)画出这个几何体从正面和左面看到的形状图； (2)将原几何体拿走一个小立方块后，使得从正面、左面和上面看到的三种形状图与原几何体的三种形状图保持一致，应该拿走哪一个？（请把拿走的小立方块用“○”标记） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查从不同方向看几何体所得到的形状图，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）画出它从正面和左面看到的形状图； （2）拿走从左往右数第三列的上面那个方块符合题意． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：拿走从左往右数第三列的上面那一个即可． 15．【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】（1）②（2）①②1000（3）见解析， 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【详解】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：②； （2）①解：由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）解：由题意知：边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，如图， 所以该长方体表面展开图的最大外围周长为． 16．“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要______平方厘米的纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在一个更大的长方体的外包装盒内（体积是原来纸箱的2倍），已知单个玩具的长方体纸箱长为5分米，宽为3分米，高为4分米（如图所示）．现有三种形式的纸箱（图所示），请分别计算这三种形式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图3-2是该长方体的一种表面展开图，这种表面展开图的外围周长是______厘米．若要设计一个使外围周长最大的表面展开图，则此时的外围周长是______厘米．（直接写出答案） 【答案】(1)109 (2)178（平方厘米），194（平方厘米），173（平方厘米）， 按图所示的方式摆放所需的纸板面积更少 (3)50；62 【分析】本题考查了长方体的展开图，解题的关键是要发挥空间想象能力，计算出每个面的面积． （1）计算长方体的表面积再加底面面积，即可求出制作长方体纸箱的面积； （2）根据图示计算即可； （3）根据图示即可算出图的外围周长，要使展开图的外围周长最长，则需要使沿长为5的边剪开，使长为5的边尽可能多的作外围即可． 【详解】（1）解：， 故制作长方体纸箱需要109平方厘米纸板， 故答案为：109； （2）解：按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， ∵， ∴按图所示的方式摆放所需的纸板面积更少； （3）解：表面展开图的外围周长：（厘米）， 如图所示，此时外围周长最大， 最大周长为：（厘米）， 故答案为：50，62． 17．图1中的正方形是由七巧板拼合而成（七块板之间不重叠、无缝隙），其中编号分别为①②③④⑤的图形是等腰直角三角形，编号分别为⑥⑦的图形是平行四边形（⑥号图形是正方形）． 某校数学兴趣小组对图1进行变换，从而得到一款新型七巧板． 变换方法如下：将图1中正方形的两条边的长度沿水平方向扩大至原来的倍，另外两条边长度保持不变，可得到一个新矩形（如图2）． 请利用图2设计新型七巧板（画出图1中的七块板在图2中的对应图形），并直接判断新型七巧板中的七块板的具体形状． 【答案】见解析 【分析】此题考查七巧板拼图，正方形的性质，矩形的性质，掌握七巧板的结构特点是解决问题的关键． 【详解】解：如图，拼成一个长方形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01丰富的图形世界期末冲刺必备讲义 1.识别常见的立体图形（柱体、锥体、球体等），掌握它们的基本特征，能准确分类。 2.理解立体图形与平面图形的关系，熟练进行立体图形的展开与折叠，能判断平面展开图对应的立体图形。 3.掌握截一个几何体的操作规律，能判断不同截面的形状。 4.学会从不同方向观察物体，画出简单几何体的三视图（主视图、左视图、俯视图），并能根据三视图还原立体图形。 期末必备 知识点梳理 1.常见立体图形 2.立体图形的展开与折叠 3.截一个几何体 4.从三个方向看物体的形状 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.常见几何体的认识 2立体图形的分类方法 3.几何体中的点.棱.面的特征 4.点.线.面.体四者之间的联系与转化 5.平面图形旋转形成的立体图形 6.几何体的三视图 7.几何体展开图的识别与特征 8.利用展开图计算几何体的表面积 9.利用展开图计算几何体的体积 10.正方体几种展开图的识别 11.正方体相邻面的文字对应关系 12.几何体的截面形状与截法 期末备考 压轴通关 压轴题(17题) 【知识点01.常见的立体图形】 1.分类及特征 类别 具体图形 核心特征 柱体 棱柱（正方体、长方体、三棱柱等） 有两个互相平行且全等的底面，侧面是平行四边形；正方体：6 个面都是正方形，12 条棱长度相等；长方体：6 个面都是长方形（特殊情况有 2 个相对面是正方形） 圆柱 底面是两个大小相等的圆，侧面是曲面；沿高展开侧面是长方形 锥体 棱锥（三棱锥、四棱锥等） 有一个底面是多边形，侧面是有公共顶点的三角形 圆锥 底面是一个圆，侧面是曲面；侧面展开图是扇形 球体 球 由单一曲面围成，任意截面都是圆 易错区分 柱体≠圆柱：圆柱是柱体的一种，柱体还包括棱柱； 锥体≠圆锥：圆锥是锥体的一种，锥体还包括棱锥。 【知识点02.立体图形的展开与折叠】 1常见立体图形的展开图 立体图形 展开图组成 关键要点 正方体 6 个正方形（无 “凹”“田” 字形结构） 11 种基本形式，分为 1-4-1 型（6 种）、2-3-1 型（3 种）、2-2-2 型（1 种）、3-3 型（1 种） 长方体 6 个长方形（相对的面全等） 展开图中相对的面不相邻 圆柱 2 个圆 + 1 个长方形 长方形的长 = 底面圆的周长，宽 = 圆柱的高 圆锥 1 个圆 + 1 个扇形 扇形的弧长 = 底面圆的周长 2.折叠规律 判断一个平面图形能否折叠成立体图形，需满足： (1)面的数量与立体图形的面数一致； (2)各面的形状、大小匹配，位置关系符合立体图形结构。 【知识点03.截一个几何体】 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面，截面形状由几何体的形状和平面的截法决定。 几何体 可能的截面形状 特殊截法示例 正方体 三角形、四边形（正方形、长方形、梯形）、五边形、六边形 横截→正方形；斜截→长方形 / 梯形；沿顶点截→三角形 圆柱 圆（横截）、长方形（竖截）、椭圆（斜截） 垂直于底面截→长方形 圆锥 圆（横截）、三角形（竖截过顶点）、椭圆（斜截） 过顶点竖截→等腰三角形 球 圆 任意角度截→圆 注意：正方体的截面最多是六边形，不可能出现七边形及以上的图形。 【知识点04.从三个方向看物体的形状】 1.三视图的定义 主视图：从正面观察物体得到的平面图形； 左视图：从左面观察物体得到的平面图形； 俯视图：从上面观察物体得到的平面图形。 2.三视图的绘制原则 *长对正：主视图与俯视图的长相等，且左右对齐； *高平齐：主视图与左视图的高相等，且上下对齐； *宽相等：左视图与俯视图的宽相等。 3.常见几何体的三视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 正方形 正方形 正方形 长方体 长方形 长方形 长方形 圆柱 长方形 长方形 圆 圆锥 三角形 三角形 圆（带圆心） 球 圆 圆 圆 4.由三视图还原立体图形 步骤： (1)由俯视图确定立体图形的底面形状和底层小立方块的数量； (2)由主视图确定各列的高度； (3)由左视图确定各行的高度； (4)综合三者确定立体图形的形状和小立方块的总数。 【知识点05.易错点警示】 1.正方体展开图误区：含有 “凹”“田” 字形的平面图形不能折叠成正方体。 2.截面形状误区：用平面截正方体，截面最多是六边形；截圆锥时，只有过顶点竖截才能得到三角形。 3.三视图绘制误区：漏画被遮挡的轮廓线（需用虚线表示）；忽略 “长对正、高平齐、宽相等” 的原则。 4.立体图形分类误区：将 “棱柱” 归为 “圆柱”，二者本质不同（棱柱底面是多边形，圆柱底面是圆）。 【题型1.常见几何体的认识】 【典例】下列几何体中属于棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练1】若一个棱柱有个面，底面为边长的正方形，每条侧棱长，则该棱柱的体积是 ． 【跟踪专练2】下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 【题型2.立体图形的分类方法】 【典例】观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：② ；⑥ ； （2）在以上几何体中，是柱体的有 （填序号）；含曲面的有 （填序号）． 【跟踪专练1】下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】在如图所示的立体图形中，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ． （填序号） 【题型3.几何体中的点.棱.面的特征】 【典例】若一个棱柱有10个顶点，则它的侧面的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【跟踪专练1】如果一个棱柱总共有条棱，那么这个棱柱有 个顶点． 【跟踪专练2】一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 【题型4.点.线.面.体四者之间的联系与转化】 【典例】在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种现象可以用数学原理“点动成线”解释．那么打开如图“折扇”时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为 ． 【跟踪专练1】在《西游记》中，齐天大圣转动金箍棒，在转速特别快时，形状近似一个圆盘，能说明这个现象的数学原理是（    ） A．点动成线 B．点动成面 C．线动成面 D．面动成体 【跟踪专练2】如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱 ⊥面．    【题型5.平面图形旋转形成的立体图形】 【典例】如图，将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为 （结果保留一位小数）． 【跟踪专练2】绕虚线旋转一周可得到如图所示的图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型6.几何体的三视图】 【典例】一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块最少有 个． 【跟踪专练1】如图所示，以为轴，将三角形旋转一周后可得一个几何体，从正面看该几何体，所看到的形状图是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最多需要m个，最少需要n个，则 ． 【题型7.几何体展开图的识别与特征】 【典例】用一张长方形纸（见图）可以卷成下面（    ）图形 A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是 ．    【跟踪专练2】下列选项中，左边的平面图形能够折叠成右边封闭的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型8.利用展开图计算几何体的表面积】 【典例】一个直三棱柱，它的底面边长都相等，侧棱长，侧面积是，那么它的底面边长是 ． 【跟踪专练1】如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】用四个完全相同的小长方体拼成一个大长方体，其中每个小长方体的长，宽，高分别是6，4，2．那么这个大长方体的表面积最小为 ，此时的拼法有 种． 【题型9.利用展开图计算几何体的体积】 【典例】如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（    ） A．40 B．64 C．56 D．84 【跟踪专练1】某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米），则此长方体包装盒的体积为 立方毫米．（用含x、y的式子表示） 【跟踪专练2】如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 【题型10.正方体几种展开图的识别】 【典例】如图，阴影部分是由5个相同的小正方形组成的，在图中有编号的位置选择一个正方形，使它与阴影部分组成的新图形经过折叠可以得到一个正方体，则选择的编号可以是 ．    【跟踪专练1】下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在由标有不同数字的个同样大小的小正方形组成的图形中，剪去个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形所对应的数字是 ． 【题型11.正方体相邻面的文字对应关系】 【典例】下图是一个正方体的展开图，折叠后与“数”字相对的是（ ） A．学 B．思 C．乐 D．趣 【跟踪专练1】一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是 ． 【跟踪专练2】当前的时代精神可以概括为“创新、驱动、发展”，它不仅体现了创新是推动经济发展和社会进步的关键动力．如图是正方体的一种、分别写着“创新驱动发展”这六个字，那么在原正方体上，与汉字“新”相对的面（    ） A．驱 B．动 C．发 D．展 【题型12.几何体的截面形状与截法】 【典例】用一个平面去截一个圆锥，截面的形状可能是圆，也可能是 ．（写出一个正确图形即可） 【跟踪专练1】用一个平面去截下列四个几何体，可以得到三角形截面的几何体有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【跟踪专练2】用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有 个． 1．下列标注的图形名称与图形不相符的是（   ） A． B． C． D． 2．将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是 ． 3．将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．现有一个长方形，长和宽分别为和，绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的几何体体积为 ． 5．从正面、左面、上面看一个几何体得到的三种形状都是同一张图，如图所示．那么在从上面看该几何体得到的形状图的小正方形中写上该位置的小立方块的个数，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．一个平面上的网格图形可以按网格线折成一个立体图形，如图所示的立体图形是折自下列哪个平面网格图形的？（    ） A． B． B． C． D． 7．某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（） A．20 B．30 C．32 D．60 8．将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂红色，然后分割成棱长为1的小正方体，若各个面未染色的小正方体个，则只有两个面染色的小正方体有 个． 9．将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面 ．（填序号） 10．用5个正方形拼接成如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，第6个正方形可放在 （填写序号）的位置； 11．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是 ．    12．数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？ (2)这个棱柱一共有 条棱， 个顶点； (3)这个棱柱的侧面积之和是多少？ (4)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 13．周末，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 14．用10个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． (1)画出这个几何体从正面和左面看到的形状图； (2)将原几何体拿走一个小立方块后，使得从正面、左面和上面看到的三种形状图与原几何体的三种形状图保持一致，应该拿走哪一个？（请把拿走的小立方块用“○”标记） 15．【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 16．“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要______平方厘米的纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在一个更大的长方体的外包装盒内（体积是原来纸箱的2倍），已知单个玩具的长方体纸箱长为5分米，宽为3分米，高为4分米（如图所示）．现有三种形式的纸箱（图所示），请分别计算这三种形式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图3-2是该长方体的一种表面展开图，这种表面展开图的外围周长是______厘米．若要设计一个使外围周长最大的表面展开图，则此时的外围周长是______厘米．（直接写出答案） 17．图1中的正方形是由七巧板拼合而成（七块板之间不重叠、无缝隙），其中编号分别为①②③④⑤的图形是等腰直角三角形，编号分别为⑥⑦的图形是平行四边形（⑥号图形是正方形）． 某校数学兴趣小组对图1进行变换，从而得到一款新型七巧板． 变换方法如下：将图1中正方形的两条边的长度沿水平方向扩大至原来的倍，另外两条边长度保持不变，可得到一个新矩形（如图2）． 请利用图2设计新型七巧板（画出图1中的七块板在图2中的对应图形），并直接判断新型七巧板中的七块板的具体形状． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $