专题03 有关数轴的探索（8大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题03 有关数轴的探索（6大基本题型） 题型1：数轴三要素与点的表示 题型2：相反数与绝对值的几何意义 题型3：数轴上的点与距离计算 题型4：动点问题（相遇、追及、最值） 题型5：代数与几何结合题 题型6：新定义题型 一、数轴的基础知识 1． 定义：规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴 2． 数轴的画法 （1）在直线上任取一点表示0，这个点叫作原点 （2）通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向 （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…… 【易错点】（1）数轴是一条直线，可以无限向两端延伸，不能画成射线和线段 （2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可 （3）原点位置的选取和单位长度的大小都是根据实际而定的 3． 数轴上的点与有理数之间的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。也可以说，每个有理数都对应数轴上的一个点 【易错点】（1）数轴上的点表示的数不一定是有理数 （2）表示数的点一定要画在数轴上，在相应的位置加上实心圆点 4． 绝对值的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离 二、有理数的大小比较 1． 利用数轴比较大小：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大 2． 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小； 【易错点】两个负数比大小，一定要先比较它们的绝对值，并且明确两个负数的大小关系与它们绝对值的大小关系正好相反，异号两数比较大小，正数总大于负数 3． 作差法：两数分别为，若，则；若，则；若，则 4． 作除法：相同符号两数分别为： （1）当时，若，则；若，则；若，则 （2）若时，若，则；若，则；若，则 【题型1】数轴三要素与点的表示 题型特征：判断数轴正确性、确定点位置或数的性质。 解题思路： 1. 三要素验证：检查原点、正方向、单位长度是否标注完整。 2. 坐标定位：原点右侧为正数，左侧为负数，原点为0。 3. 正数＞0＞负数，绝对值大的负数更小。 【典例1】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义． 明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项． 【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴； 选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴； 选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴； 选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义． 故选D 【变式1】下列四个说法中，正确的是（    ） A．数轴是一条规定了原点、正方向的直线 B．整数和分数统称为有理数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．两数相加，同号得正，异号得负 【答案】B 【分析】根据数轴、有理数、相反数以及有理数运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A．数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，故该说法错误，不符合题意； B．整数和分数统称为有理数，说法正确，符合题意； C．只有符号不同的两个数互为相反数，故该说法错误，不符合题意； D．两数相乘，同号得正，异号得负，故该说法错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数轴、有理数、相反数以及有理数运算法则等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式2】如图．数轴上点表示的数是．点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点，记为点， (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，再把它们按照从大到小的顺序排列，并用“”连接． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题考查有理数大小比较，数轴， （1）根据点表示的数是．点表示的数是判断原点的位置即可； （2）根据数轴上数的特点把各数表示在数轴上，并根据数轴上右边的数总比左边的数大得出比较结果； 熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：原点位置如图， ； （2）把各数表示在数轴上，如下： ∴． 【变式3】某饭店的外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向东走了到达小红家，继续向东走了到达小明家，然后又向西走了到达小刚家，最后回到饭店． (1)请以饭店为原点，以向东的方向为正方向，一个单位长度表示，画出数轴，并在数轴上用点O，A，B，C分别表示出饭店、小红家、小明家、小刚家的位置． (2)小刚家距小红家有多远？ (3)每天早晨小明和小刚两个人分别从自己家出发，向东前往学校．若小明的步行速度为，花费半小时到达学校；小刚骑自行车的速度为，那么小刚需要花费多长时间才能到达学校？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)小时 【分析】本题考查有理数的混合运算、数轴、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意可以画出相应的数轴； （2）根据题意和（1）中的数轴，可以得到小刚家距小红家多远； （3）根据题意，先求出小明与学校间的距离，从而求出在数轴上表示的数，然后求出小刚到学校的距离，再根据速度求出时间即可． 【详解】（1）解：数轴如图所示， （2）解：由（1）可知，点A表示的数为3，点C表示的数为， ∴， 即小刚家距小红家； （3）解：由题意可得， 小明家与学校间的距离为：， ∴在数轴上学校表示的数为， 小刚到学校的距离为， 小刚到学校的时间为：（小时）． 【题型2】相反数与绝对值的几何意义 题型特征：求相反数、绝对值或化简含绝对值的表达式。 解题思路： 1. 几何意义转化： (1) 相反数：关于原点对称的点，如a的相反数为-a。 (2) 绝对值：点到原点的距离，非负。 2. 代数化简：根据数轴上点的位置判断符号，如a<0时，|a|=-a。 【典例2】有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、绝对值以及有理数的运算法则，掌握有理数的运算法则是判断式子正负的关键． 根据数轴可得，，然后利用有理数运算法则逐个判断即可． 【详解】由数轴得：，， ∴，，， 故选A． 【变式1】有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是______（把你认为正确的序号都填上）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查了数轴的性质、绝对值的化简，解题的关键是根据数轴确定、的符号与绝对值大小，准确化简绝对值．易错点提醒：化简绝对值时易混淆式子结构（如误将 拆分为），导致符号处理错误． 根据数轴得且，依次分析每个式子；化简绝对值时，结合数（或式子）的符号（负数的绝对值为其相反数）计算． 【详解】解：由数轴知：，且（故，）． ①，正确； ②，故“”错误； ③、，则，故“”错误； ④，，故，正确； ⑤∵， ∴，则； ∵， ∴，则； ∵， ∴； 代入得：，与式子右边相等，正确； 故答案为：①④⑤． 【变式2】有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)填空：_0，_0（填“”或“”）． (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数大小比较等知识点，能根据数轴得出和是解此题的关键． （1）根据数轴得出再根据有理数的加减法则得出即可； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵从数轴可知：， ， 故答案为：，； （2）解：，，， ． 【变式3】已知表示有理数a，b，c的点数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空： ①________0；②________； (2)若，，，计算的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【分析】本题考查数轴的性质、有理数的运算及绝对值的化简，解题的关键是根据数轴确定、、的符号与绝对值，再结合运算法则分析． （1）根据数轴上、、的位置，判新的符号及与的大小； （2）结合绝对值与数轴位置，确定、、的具体值，再计算和； （3）根据、、的符号，化简绝对值并计算． 【详解】（1）解：由数轴可知：， （1）①因为，异号两数相乘得负，所以， ②因为，两边同乘，不等号方向改变，所以， 故答案为：，； （2）解：由数轴图可知，，，， ，，， ，，， ， ， ； （3）解：依题意得，，， ， ， ， ， ， ． 【题型3】：数轴上的点与距离计算 题型特征：求距离、中点或对称点坐标。 解题思路：距离公式： 1. 两点A（a）、B（b）的距离为 2. 中点公式：中点坐标为 3. 对称点：关于原点对称：坐标取反；关于某点对称：利用中点公式。 【典例3】在数轴上，点A，B分别表示实数，将点A向左平移2个单位长度得到点C．若点C，A关于原点对称，，则B所表示的数为_______． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了两点之间的距离，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键．先由点A向左平移2个单位长度得到点C，若点C，A关于原点对称得出点A表示的数为，点C表示的数为，，再根据得出，进而即可得解． 【详解】解：∵将点A向左平移2个单位长度得到点C，若点C，A关于原点对称， ∴点A表示的数为，点C表示的数为，， 设点B表示的数为b， ∵， ∴， ∴或， 故答案为：5或 ． 【变式1】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点表示的数为6，点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向A匀速运动，当点Q到达终点A后，P，Q两点都停止运动，设运动时间为秒（）． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离_，线段的中点表示的数为_， (2)填空：当时，则点P表示的数为_，点Q表示的数为_，此时线段的中点表示的数为_； (3)当点Q到达终点A时，运动时间t为多少？此时线段的中点表示的数是多少？ 【答案】(1)10，1 (2)，2，0 (3)，3.5 【分析】本题考查数轴与有理数，熟练掌握两点间的距离公式和线段的中点计算公式，是解题的关键： （1）根据题干给定的2个公式进行计算即可； （2）根据点的移动规则，求出点表示的数，进而求出线段PQ的中点表示的数即可； （3）根据时间等于路程除以速度，求出，进而求出此时点表示的数，再根据线段中点公式进行计算即可． 【详解】（1）解：；线段的中点表示的数为； 故答案为：10，1； （2）由题意，点表示的数为；点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为； 故答案为：，2，0； （3）由（1）知：， ∴， 此时点表示的数为，线段的中点表示的数是． 【变式2】数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：         【类比探究】（1）的几何意义是数轴上表示数与数_____两点之间的距离． 【解决问题】（2）请你借助数轴探究：当表示数的点在整条数轴上移动时，直接写出能使成立的的值_____． 【拓展延伸】（3）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中点与点之间的距离为2个单位长度，点与点之间的距离为1个单位长度，且点到原点的距离为20，设点、、所表示的数、、的和是，求的值． 【答案】（1） ；（2）或4；（3）59或 【分析】本题主要考查了实数和数轴，绝对值的几何意义，两点之间的距离，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （2）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （3）根据点之间的距离求出表示的数，再利用两点之间的距离表示出表示的数，最后利用有理数的加法法则进行求解即可． 【详解】解：（1）的几何意义是数轴上表示数与数两点之间的距离， 故答案为：；      （2）根据题意得，表示数与数两点之间的距离和数与数3两点之间的距离之和为7， 和3两点之间的距离为， ∴或，且到的距离为或到3的距离为， ∴或， 故答案为：或4； （3）因为点到原点的距离为20，所以或， 因为数轴上从左到右有点、、，其中点与点之间的距离为2个单位长度，点与点之间的距离为1个单位长度， 所以，， 当时，，， 此时； 当时，，， 此时； 综上，的值为59或． 【变式3】【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A、B两点间的距离AB可表示为： ①（即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上A、B两点的中点M表示的数为． 【简单应用】如图1，点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为2，P是数轴上一动点． （1）则A、B两点间的距离________，A、B两点的中点M表示的数为________． （2）若A、P两点间的距离，则点P表示的数为________________；此时A、P两点的中点表示的数为________________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒． （3）用含的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________； （4）按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距4个单位长度． 【答案】（1）5，；（2）或0；或；（3），；（4）、两点经过秒或秒会相距4个单位长度 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置．正确进行计算是解题关键． （1）根据题目给定的距离公式即可求得； （2）利用点与点的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案； （3）点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒3个单位向左匀速运动即可写出点和点在秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案； （4）根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由题意可得：， 点在数轴上所对应的数为． 故答案为：5，； （2）设点P表示的数为， ∵若、两点间的距离，点在数轴上所对应的数为， 当点在点左边时，则点的数为：， 此时A、P两点的中点表示的数为， 当点在点右边时，则点的数为：， 此时A、P两点的中点表示的数为， 点表示的数为或0，A、P两点的中点表示的数为或； 故答案为：或0；或； （3）点运动秒后所在位置的点表示的数为：， 点运动秒后所在位置的点表示的数为：， 故答案为：，； （4）设它们按上述方式运动，、两点经过秒会相距4个单位长度， 当点在点左侧时：， 解得； 当点在点右侧时：， 解得； 答：、两点经过秒或秒会相距4个单位长度． 【题型4】动点问题（相遇、追及、最值） 题型特征：点按速度移动，求相遇、追及或极值问题。 解题思路： 1. 表示动点位置：初始位置±速度×时间 2. 相遇问题：相向而行时，总路程＝速度和×时间 3. 极值问题：利用几何意义（如折线段最短）分析 【典例4】已知数轴上A、B两点对应数分别为、4，P为数轴上一动点，对应数为x，若P点到A、B距离和为9，则x的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点距离公式及绝对值方程的应用，根据点P的位置分三种情况讨论：，分别化简绝对值方程并求解． 【详解】解：点P到点A的距离为，到点B的距离为， 由题意得， 当时，方程化为， 解得； 当时，方程化为，无解； 当时，方程化为， 解得； 故答案为：或． 【变式1】如图，点O为原点，点A，B是数轴上两个动点．点A从开始以每秒1个单位的速度向右运动，每过3秒，速度都会变为当前速度的2倍；同时，点B从6开始以固定每秒2个单位的速度向右运动．设运动时间为t秒，当_______时，A，B两点重合． 【答案】10.5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 分析点A的运动过程，可得出两点重合的时间在9~12之间，利用路程=速度×时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：当时，； 当时，点A，B的运动速度相等，此时； 当，； 当时， 解得：， 当时，A，B两点重合， 故答案为：10.5． 【变式2】如图，在数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点E为原点，点G表示的数为8． (1)点A表示的数为___________，点F表示的数为___________； (2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时另一动点Q从点E出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴也向右运动，点Q到达点G后立即以原来的速度返回，向左运动，到达点E后，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒． ①当时，求点Q表示的数； ②当点Q到达点F时，求点P表示的数． 【答案】(1)，4 (2)①6 ②或 【分析】本题考查了数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键． （1）根据数轴上的数，确定每个格的长度，然后求出点所对应的数即可； （2）①根据动点的速度和轨迹，求出点所表示的数即可； ②分两种情况进行分析，根据点运动的时间，确定点P表示的数． 【详解】（1）解：通过数轴可得，点所表示的数是8， ∴每个格的长度为4， ∴点A表示的数为，点F表示的数为4， 故答案为：，4； （2）解：①点到达点G时用的时间为（秒）， 当时，点Q表示的数为； ②当点Q第一次到达点F时，所用时间为（秒）， 此时，点P表示的数为； 当点Q第二次到达点F时，所用时间为（秒）， 此时，点P表示的数为； 综上，点P表示的数为或． 【变式3】如图，在数轴上点对应的数是，点对应的数是，两动点、同时从原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向点运动；点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后停留秒，再从点沿数轴向右到达点后停止运动．设点的运动时间为秒． (1)在点从点向点运动的过程中，点表示的数为___________（用含的代数式表示）； (2)当时，求点与点之间的距离； (3)在运动过程中，当点与点重合时，求的值； (4)在点停止运动之前，当点与点之间的距离为时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)的值为或或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，列代数式，一元一次方程的实际应用，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）由题意可得点表示的数为，当时，点表示的数为，点表示的数为，然后通过数轴上两点间的距离公式即可求解； （）由（）（）得，点表示的数为，点表示的数为，则当点与点重合时，，然后求出的值即可； （）分为当从向运动时，，当在点停留时，，当没有追到前，，当追到后，几种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵点到达点需要秒，再停留秒，然后往点运动， ∴点从向运动的过程中，点表示的数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴点与点之间的距离为； （3）解：由（）（）得，点表示的数为，点表示的数为， ∴当点与点重合时，， 解得：； （4）解：由题意得点到达点需要（秒）； 当从向运动时，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，不符合题意； 当在点停留时，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，符合题意； 当没有追到前，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，符合题意； 当追到后，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，符合题意； 综上可得：的值为或或． 【题型5】代数与几何结合题 题型特征：结合方程、数轴图形或复杂代数式。 解题思路： 1. 方程思想：将几何条件转化为方程，如距离和/差问题 2. 取值范围：利用数轴判断取值范围 3. 复杂表达式化简：分区间讨论绝对值符号内的正负性 【典例5】已知有理数在数轴上的对应点位置如图所示（，且）． (1)判断下列式子的符号：___，___，___； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查由数轴上点的位置确定式子符号、化简绝对值等知识，由数轴上点的位置确定式子符号、熟记绝对值代数意义是解决问题的关键． （1）由有理数在数轴上的对应点位置，数形结合即可确定相关式子的符号； （2）由（1）中得到的结论，由绝对值代数意义去绝对值后，合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ，，且， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， 则 ． 【变式1】阅读材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示两个有理数4与2在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示两个有理数4与在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 解答问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是_；数轴上表示x与2的两点之间的距离是_ ； (2)若，求m的值； (3)若，写出整数n的值； (4)若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 【答案】(1)10，； (2)或 (3)整数n的值为或3 (4)或 【分析】本题考查绝对值，数轴，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据绝对值的定义进行计算即可； （3）根据n的取值范围分别根据绝对值的定义进行计算即可； （4）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是，数轴上表示x与2的两点之间的距离是， 故答案为：10，； （2）解：∵， ∴或， 解得或； （3）解：当时，即，解得， 当时，即，，无解， 当时，即，解得， 答：整数n的值为或3； （4）解：代数式的最小值是4， 则，即， 解得：或， 所以或． 【变式2】阅读下面的材料： 在数轴上点表示的数为点表示的数为，则点到点的距离记为．线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．请用这个知识解答下面的问题． 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用1个单位长度表示． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为_______； (2)若将点向右移动，则移动后的点表示的数为_____（用含的代数式表示）； (3)若数轴上有一点，且，求点表示的数； (4)若点以每秒的速度沿数轴向左运动，同时、两点分别以每秒、的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1)；；4 (2) (3)或3 (4)的值不会随着的变化而变化，见解析 【分析】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离以及整式的加减运算，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． （1）根据题意分别表示出距离求出坐标画出图形； （2）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； （3）设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果； （4）表示出和，再相减即可得出结论． 【详解】（1）解：A：，即，A表示， B：，即，B表示， C：，即，C表示4， 故答案为：；；4； （2）解：将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； 故答案为： ； （3）解：设D表示的数为d， ， ， 解得：或， 点D表示的数为或3； 故答案为：或3； （4）解：的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意得：平移后，cm ， ， ， 的值恒为3，不会随着t的变化而变化． 【变式3】阅读下面的材料，完成有关问题． 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；对于，表示5，-3在数轴上对应的两点之间的距离；，表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． 已知数轴上两点对应的数分别为-2、4，点为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点、点的距离相等，求点P对应的数为_____． (2)若点P在点、之间，且到点的距离是到点B的距离的2倍，求的值； (3)数轴上是否存在点，使点到点的距离是到点的距离的3倍？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查数轴上的距离与绝对值的几何意义，解题的关键是结合绝对值的几何意义，根据点的位置合理去掉绝对值符号． （1）利用中点公式求中点对应数； （2）根据点的位置去绝对值，列方程求解； （3）分点在右侧、与之间、左侧三种位置讨论，去绝对值列方程并验证合理性． 【详解】（1）点P到点、点的距离相等 是中点 ， 故答案为：1 （2）在、之间，到的距离是到点的距离的2倍， 且 解得： （3）①当在右侧 解得： ②当在、之间， 解得： ③当在左侧 解得：与矛盾 故舍去， 综上，存在点，值为或 【题型6】新定义题型 题型特征：自定义概念（如“关键点”“亮点”），需结合数轴性质转化条件。 解题思路： 1. 理解新定义：将题目描述转化为数学关系 2. 分类讨论：根据定义可能存在的不同位置情况分别分析 【典例6】小强同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义一种新运算“☆”，运算规定：对于任意有理数a、b，都有，如． (1)计算的值， (2)计算的值， (3)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简． 【答案】(1)12 (2)12 (3) 【分析】此题考查了新定义运算规则和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质以及理解新定义运算规则． （1）根据新定义运算规则求解即可； （2）根据新定义运算规则求解即可； （3）根据数轴，判断出、的符号，根据新定义运算规则求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：． （2）解：由题意可得： ． （3）解：由a，b在数轴上的位置可知，，且， ∴， ∴． 【变式1】定义：关于的两个一次二项式，其中任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项，则称这两个式子互为“对称二项式”．例如，式子与互为“对称二项式”． (1)判断式子与___________（填“是”或“不是”）互为“对称二项式” (2)已知式子的“对称二项式”是，且数、在数轴上所对应的点为、． ①若，求的值． ②若数轴上有一点到、两点的距离的和，则点在数轴上表示的数是___________． 【答案】(1)不是 (2)①；②或 【分析】（1）直接根据定义判断即可； （2）①根据“对称二项式”的含义即可求出的值，然后代入求出的值，然后得出，最后求出x的值即可； ②设点在数轴上的数是，根据，列出绝对值方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：的一次项系数是，的常数是， 式子与不是互为“对称二项式”； （2）解：①式子的“对称二项式”是， ， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②设点在数轴上的数是， ， ， 当时，，解得：； 当时，，方程无解； 当时，，解得：； 点在数轴上的数是或． 【点睛】本题是一道新定义题，涉及到绝对值方程的解法、数轴上两点之间的距离，理解“对称二项式”的含义是解题的关键． 【变式2】数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 我们规定：点，在数轴上分别表示数，，则，两点的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）已知数轴上的点表示，点与点之间的距离是，则数轴上点所表示的数是______； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用新定义求式子的最小值，并求此时的值；（简单说理） 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区分别是兴园小区，梦园小区，竹园小区，名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少？（不用说理） 【答案】 （1），，；（2）或；（3）最小值为，；（4）应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到的距离和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得. 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 和的两点的距离可表示为， 故答案为，，； （2）到表示的点的距离为6的点所表示的数分别为和， 所以数轴上点所表示的数为或， 故答案为或； （3）根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米． 【变式3】定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如，如图1，点表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 【问题探究】 如图2，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2． （1）①若点表示的数是，则点_____的美好点（填“是”或“不是”）； ②直接写出的美好点表示的数是_____； （2）点从点开始出发，以2个单位每秒的速度向右运动，点从点开始出发，以3个单位每秒的速度向左运动，设运动时间为秒． ①用含的代数式表示：点表示的数是_____，点表示的数是_____； ②若点是的美好点，求的值． 【拓展应用】 （3）如图2，数轴上点，表示的数分别是，，且，不与，重合，若点到点的距离是到点的距离的倍，且，那么点到点的距离是到点的距离的______倍（用含的式子表示）． 【答案】（1）①是；②或；（2）①，②t的值为或；（3）． 【分析】本题考查数轴上的距离与绝对值运算，关键是理解“美好点”定义，列绝对值方程分析求解． （1）①算距离比，根据美好点的定义判断即可； ②列绝对值方程求解即可； （2）①根据题意列代数式即可； ②列距离等式求t即可； （3）用代换距离求倍数即可． 【详解】解：（1）①点E表示的数是， 计算点E到M的距离：； 到N的距离：， ∵， ∴点E是的美好点； 故答案为：是； ②设的美好点表示的数为x，根据定义，点x到N的距离是到M距离的2倍， 即 分情况讨论： 当时， ，解得（舍去，不符合）； 当时， ，解得； 当时， ，解得； ∴的美好点表示的数是或； 故答案为：或； （2）①点P从M出发，以2个单位/秒向右运动，t秒后表示的数为：， 点Q从N出发，以3个单位/秒向左运动，t秒后表示的数为：， 故答案为：； ②点M是的美好点，即点M到P的距离是到Q距离的2倍， 即： 化简得：， 即． 分情况讨论： 当时，解得， 当时，解得， ∴t的值为或； （3）点G到M的距离是k倍到N的距离，即， ∴， 已知，则． 点F到M的距离：； 点F到N的距离：， 因此，点F到M的距离是到N距离的倍， 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题03 有关数轴的探索（6大基本题型） 题型1：数轴三要素与点的表示 题型2：相反数与绝对值的几何意义 题型3：数轴上的点与距离计算 题型4：动点问题（相遇、追及、最值） 题型5：代数与几何结合题 题型6：新定义题型 一、数轴的基础知识 1． 定义：规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴 2． 数轴的画法 （1）在直线上任取一点表示0，这个点叫作原点 （2）通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向 （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…… 【易错点】（1）数轴是一条直线，可以无限向两端延伸，不能画成射线和线段 （2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可 （3）原点位置的选取和单位长度的大小都是根据实际而定的 3． 数轴上的点与有理数之间的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。也可以说，每个有理数都对应数轴上的一个点 【易错点】（1）数轴上的点表示的数不一定是有理数 （2）表示数的点一定要画在数轴上，在相应的位置加上实心圆点 4． 绝对值的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离 二、有理数的大小比较 1． 利用数轴比较大小：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大 2． 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小； 【易错点】两个负数比大小，一定要先比较它们的绝对值，并且明确两个负数的大小关系与它们绝对值的大小关系正好相反，异号两数比较大小，正数总大于负数 3． 作差法：两数分别为，若，则；若，则；若，则 4． 作除法：相同符号两数分别为： （1）当时，若，则；若，则；若，则 （2）若时，若，则；若，则；若，则 【题型1】数轴三要素与点的表示 题型特征：判断数轴正确性、确定点位置或数的性质。 解题思路： 1. 三要素验证：检查原点、正方向、单位长度是否标注完整。 2. 坐标定位：原点右侧为正数，左侧为负数，原点为0。 3. 正数＞0＞负数，绝对值大的负数更小。 【典例1】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列四个说法中，正确的是（    ） A．数轴是一条规定了原点、正方向的直线 B．整数和分数统称为有理数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．两数相加，同号得正，异号得负 【变式2】如图．数轴上点表示的数是．点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点，记为点， (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，再把它们按照从大到小的顺序排列，并用“”连接． 【变式3】某饭店的外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向东走了到达小红家，继续向东走了到达小明家，然后又向西走了到达小刚家，最后回到饭店． (1)请以饭店为原点，以向东的方向为正方向，一个单位长度表示，画出数轴，并在数轴上用点O，A，B，C分别表示出饭店、小红家、小明家、小刚家的位置． (2)小刚家距小红家有多远？ (3)每天早晨小明和小刚两个人分别从自己家出发，向东前往学校．若小明的步行速度为，花费半小时到达学校；小刚骑自行车的速度为，那么小刚需要花费多长时间才能到达学校？ 【题型2】相反数与绝对值的几何意义 题型特征：求相反数、绝对值或化简含绝对值的表达式。 解题思路： 1. 几何意义转化： (1) 相反数：关于原点对称的点，如a的相反数为-a。 (2) 绝对值：点到原点的距离，非负。 2. 代数化简：根据数轴上点的位置判断符号，如a<0时，|a|=-a。 【典例2】有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是______（把你认为正确的序号都填上）． ①；②；③；④；⑤． 【变式2】有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)填空：_0，_0（填“”或“”）． (2)化简：． 【变式3】已知表示有理数a，b，c的点数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空： ①________0；②________； (2)若，，，计算的值； (3)化简：． 【题型3】：数轴上的点与距离计算 题型特征：求距离、中点或对称点坐标。 解题思路：距离公式： 1. 两点A（a）、B（b）的距离为 2. 中点公式：中点坐标为 3. 对称点：关于原点对称：坐标取反；关于某点对称：利用中点公式。 【典例3】在数轴上，点A，B分别表示实数，将点A向左平移2个单位长度得到点C．若点C，A关于原点对称，，则B所表示的数为_______． 【变式1】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点表示的数为6，点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向A匀速运动，当点Q到达终点A后，P，Q两点都停止运动，设运动时间为秒（）． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离_，线段的中点表示的数为_， (2)填空：当时，则点P表示的数为_，点Q表示的数为_，此时线段的中点表示的数为_； (3)当点Q到达终点A时，运动时间t为多少？此时线段的中点表示的数是多少？ 【变式2】数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：         【类比探究】（1）的几何意义是数轴上表示数与数_____两点之间的距离． 【解决问题】（2）请你借助数轴探究：当表示数的点在整条数轴上移动时，直接写出能使成立的的值_____． 【拓展延伸】（3）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中点与点之间的距离为2个单位长度，点与点之间的距离为1个单位长度，且点到原点的距离为20，设点、、所表示的数、、的和是，求的值． 【变式3】【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A、B两点间的距离AB可表示为： ①（即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上A、B两点的中点M表示的数为． 【简单应用】如图1，点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为2，P是数轴上一动点． （1）则A、B两点间的距离________，A、B两点的中点M表示的数为________． （2）若A、P两点间的距离，则点P表示的数为________________；此时A、P两点的中点表示的数为________________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒． （3）用含的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________； （4）按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距4个单位长度． 【题型4】动点问题（相遇、追及、最值） 题型特征：点按速度移动，求相遇、追及或极值问题。 解题思路： 1. 表示动点位置：初始位置±速度×时间 2. 相遇问题：相向而行时，总路程＝速度和×时间 3. 极值问题：利用几何意义（如折线段最短）分析 【典例4】已知数轴上A、B两点对应数分别为、4，P为数轴上一动点，对应数为x，若P点到A、B距离和为9，则x的值为__________． 【变式1】如图，点O为原点，点A，B是数轴上两个动点．点A从开始以每秒1个单位的速度向右运动，每过3秒，速度都会变为当前速度的2倍；同时，点B从6开始以固定每秒2个单位的速度向右运动．设运动时间为t秒，当_______时，A，B两点重合． 【变式2】如图，在数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点E为原点，点G表示的数为8． (1)点A表示的数为___________，点F表示的数为___________； (2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时另一动点Q从点E出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴也向右运动，点Q到达点G后立即以原来的速度返回，向左运动，到达点E后，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒． ①当时，求点Q表示的数； ②当点Q到达点F时，求点P表示的数． 【变式3】如图，在数轴上点对应的数是，点对应的数是，两动点、同时从原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向点运动；点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后停留秒，再从点沿数轴向右到达点后停止运动．设点的运动时间为秒． (1)在点从点向点运动的过程中，点表示的数为___________（用含的代数式表示）； (2)当时，求点与点之间的距离； (3)在运动过程中，当点与点重合时，求的值； (4)在点停止运动之前，当点与点之间的距离为时，直接写出的值． 【题型5】代数与几何结合题 题型特征：结合方程、数轴图形或复杂代数式。 解题思路： 1. 方程思想：将几何条件转化为方程，如距离和/差问题 2. 取值范围：利用数轴判断取值范围 3. 复杂表达式化简：分区间讨论绝对值符号内的正负性 【典例5】已知有理数在数轴上的对应点位置如图所示（，且）． (1)判断下列式子的符号：___，___，___； (2)化简：． 【变式1】阅读材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示两个有理数4与2在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示两个有理数4与在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 解答问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是_；数轴上表示x与2的两点之间的距离是_ ； (2)若，求m的值； (3)若，写出整数n的值； (4)若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 【变式2】阅读下面的材料： 在数轴上点表示的数为点表示的数为，则点到点的距离记为．线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．请用这个知识解答下面的问题． 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用1个单位长度表示． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为_______； (2)若将点向右移动，则移动后的点表示的数为_____（用含的代数式表示）； (3)若数轴上有一点，且，求点表示的数； (4)若点以每秒的速度沿数轴向左运动，同时、两点分别以每秒、的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而改变？请说明理由． 【变式3】阅读下面的材料，完成有关问题． 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；对于，表示5，-3在数轴上对应的两点之间的距离；，表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． 已知数轴上两点对应的数分别为-2、4，点为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点、点的距离相等，求点P对应的数为_____． (2)若点P在点、之间，且到点的距离是到点B的距离的2倍，求的值； (3)数轴上是否存在点，使点到点的距离是到点的距离的3倍？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【题型6】新定义题型 题型特征：自定义概念（如“关键点”“亮点”），需结合数轴性质转化条件。 解题思路： 1. 理解新定义：将题目描述转化为数学关系 2. 分类讨论：根据定义可能存在的不同位置情况分别分析 【典例6】小强同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义一种新运算“☆”，运算规定：对于任意有理数a、b，都有，如． (1)计算的值， (2)计算的值， (3)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简． 【变式1】定义：关于的两个一次二项式，其中任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项，则称这两个式子互为“对称二项式”．例如，式子与互为“对称二项式”． (1)判断式子与___________（填“是”或“不是”）互为“对称二项式” (2)已知式子的“对称二项式”是，且数、在数轴上所对应的点为、． ①若，求的值． ②若数轴上有一点到、两点的距离的和，则点在数轴上表示的数是___________． 【变式2】数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 我们规定：点，在数轴上分别表示数，，则，两点的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）已知数轴上的点表示，点与点之间的距离是，则数轴上点所表示的数是______； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用新定义求式子的最小值，并求此时的值；（简单说理） 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区分别是兴园小区，梦园小区，竹园小区，名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少？（不用说理） 【变式3】定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如，如图1，点表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 【问题探究】 如图2，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2． （1）①若点表示的数是，则点_____的美好点（填“是”或“不是”）； ②直接写出的美好点表示的数是_____； （2）点从点开始出发，以2个单位每秒的速度向右运动，点从点开始出发，以3个单位每秒的速度向左运动，设运动时间为秒． ①用含的代数式表示：点表示的数是_____，点表示的数是_____； ②若点是的美好点，求的值． 【拓展应用】 （3）如图2，数轴上点，表示的数分别是，，且，不与，重合，若点到点的距离是到点的距离的倍，且，那么点到点的距离是到点的距离的______倍（用含的式子表示）． / 学科网（北京）股份有限公司 $