精品解析：山东省实验中学2025-2026学年高一上学期12月学情检测数学试题

山东省实验中学高一年级上学期学情检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将白己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据补集的概念求解. 【详解】由已知或，所以. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知充分性满足，由，取特值找到反例说明必要性不满足，从而得到结论. 【详解】当时，成立，故充分性满足，当时，如，则，故必要性不满足， 因此“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 函数定义域为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据代数式有意义可求函数的定义域. 【详解】由题意得，函数，满足，解得， 所以函数的定义域为， 故选:B． 4. 函数的大致图象为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除选项C和D，再利用函数的特殊点排除选项B即可. 【详解】，解得 函数定义域为关于原点对称. 函数在定义域上为偶函数，排除C和D. 当时，，排除B. 故选A. 【点睛】本题考查函数图象的判断，常利用函数的奇偶性、单调性以及特殊值进行判断. 5. 人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题，英国人口学家马尔萨斯发现“人口的自然增长率在一定时间内是一个常数，人口的变化率和当前人口数量成正比”，并给出了马尔萨斯人口模型，其中为年的人口数，为年的人口数，为常数．已知某地区2000年的人口数为100万，，用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数（单位：万）约为（参考数据：） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，将代入结合即可得解. 【详解】由题意取，而，所以， 所以，又因为，所以， 所以用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数（单位：万）约为万人. 故选：B. 6. 若，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，从而求出，即可得解. 【详解】因为，则， 所以，则. 故选：C. 7. 设，，，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的性质和对数函数的性质进行比较即可. 【详解】， 因为在上递增，且， 所以，所以，即， 因为在上递增，且， 所以，所以，即， 所以. 故选：D 8. 已知函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)和y＝F(x)在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y＝f(x)的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y＝|2x－t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（ ） A. (0，2] B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性可得F(x)＝|2－x－t|，从而可得函数f(x)＝|2x－t|和函数F(x)＝|2－x－t|在[1，2]上单调性相同，进而可得(2x－t)(2－x－t)≤0在[1，2]上恒成立，分离参数即可求解. 【详解】因为函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称， 所以F(x)＝f(－x)＝|2－x－t|， 因为区间[1，2]为函数f(x)＝|2x－t|的“不动区间”， 所以函数f(x)＝|2x－t|和函数F(x)＝|2－x－t|在[1，2]上单调性相同， 因为y＝2x－t和函数y＝2－x－t的单调性相反， 所以(2x－t)(2－x－t)≤0在[1，2]上恒成立， 即1－t(2x＋2－x)＋t2≤0在[1，2]上恒成立， 即2－x≤t≤2x在[1，2]上恒成立， 即≤t≤2， 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 1rad的角比的角大 B. 与角终边相同的最小正角是 C. 已知某扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是6π D. 已知角α的终边经过点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】运用弧度制概念、终边相同角，弧度制下的弧长面积公式和三角函数定义逐个计算判定. 【详解】对于A，，A正确； 对于B， 与角终边相同的最小正角是，B错误； 对于C， ，C错误； 对于D， ，D正确. 故选：AD. 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项求解即得. 【详解】对于A，由，得， 当且仅当即时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由B得，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号， 所以有最小值，D错误. 故选：BC 11. 已知函数，函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 不存在实数，使得 C. 若恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数恰好有5个零点，则函数5个零点之积的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数以及对数函数的性质即可求解A，根据即可求解B，根据二次函数的性质即可求解C，根据函数图象，结合对数的运算即可求解D. 【详解】对于A，由于,，故函数的值域为，A正确， 对于B，当时，有，故B错误， 对于C， 由于，要使恒成立，则或，解得，故C正确 对于D， 令，则或， 作出的图象如下：要使有5个零点，如图，则， 由于，同理可得， 故，故D正确， 故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减确定正确答案. 【详解】由，解得或， 所以的定义域为， 函数在上单调递减， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，在上单调递增. 故答案为： 13. 已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 【答案】 【解析】 【分析】利用分解因式求出方程的两个根，再结合题意，列出不等关系求解即可. 【详解】方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. 14. 已知，函数，满足，则______，若存在，使得，则的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先根据分段函数求值，求，再分区间，和，代入分段函数，转化为求函数的值域问题. 【详解】，得， 所以， 若，，得， 此时， 若，，此时，不成立， 若，，得， 此时， 设，，在区间上单调递增，，所以的范围是 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：共77分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的解析式； （2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，即可解得的值，即可得出函数的解析式； （2）根据二次函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为幂函数在上单调递增， 由题意得，解得，故. 【小问2详解】 因为，函数的图象对称轴为， 因为在上不是单调函数，所以，解得. 故实数的取值范围为. 16. （1）化简：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算性质，准确计算，即可求解；. （2）由对数运算公式和对数的换底公式，准确计算，即可求解； （3）由，求得，结合，即可求解. 【详解】解：（1）由指数幂的运算性质，可得. （2）由对数的运算性质，可得. （3）因为，可得， 所以，且， 则，所以，所以. 17. 已知函数（且为定义在R上的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）函数R上单调递增；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由为奇函数，求得，利用奇函数的定义验证即可； （2）利用单调性的定义即可得证； （3）由得，利用单调性即可求解. 【小问1详解】 由函数为奇函数，有，解得， 当时，， ， 符合函数为奇函数，可知符合题意； 【小问2详解】 函数在R上单调递增， 取任意的，且， 有， 由，有，有， 所以函数在R上单调递增； 【小问3详解】 由 从而，可得， 令，可知的定义域为， 因为，在定义域上单调递增， 可知在定义域上单调递增，且， 对于不等式即为，解得，所以不等式的解集是． 18. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】（1）选模型②，理由见解析，解析式为 （2）（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【解析】 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【小问1详解】 由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； 【小问2详解】 （i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 19. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． （1）类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； （2）判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）奇函数， （3）． 【解析】 【分析】（1）利用、的表示式分别化简计算即可得 ； （2）根据的表达式，利用奇偶性的定义判断为奇函数，再将其解析式化成，利用函数的单调性即可求其值域； （3）将题设不等式恒成立等价转化成在上恒成立，继而只需求在上的最大值，通过整理换元，利用函数的单调性即可求得其最大值，即得参数范围. 【小问1详解】 由题意，； . 【小问2详解】 因，， 则对于，，是奇函数； 又， 因在上单调递增且为正，故在上单调递减， 则在是增函数， 由，得故得， 即的值域为. 【小问3详解】 由题意可知在上恒成立， 整理得在上恒成立 令， 则， 令，由，可得，，即得， 则，， 因函数在上递增，在上递减，故， 依题意，，即m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学高一年级上学期学情检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将白己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域为 A. B. C. D. 4. 函数的大致图象为 A. B. C. D. 5. 人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题，英国人口学家马尔萨斯发现“人口的自然增长率在一定时间内是一个常数，人口的变化率和当前人口数量成正比”，并给出了马尔萨斯人口模型，其中为年的人口数，为年的人口数，为常数．已知某地区2000年的人口数为100万，，用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数（单位：万）约为（参考数据：） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)和y＝F(x)在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y＝f(x)的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y＝|2x－t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（ ） A. (0，2] B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确是（ ） A. 1rad的角比的角大 B. 与角终边相同的最小正角是 C. 已知某扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是6π D. 已知角α终边经过点，则 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C 有最大值 D. 有最大值 11. 已知函数，函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 不存在实数，使得 C. 若恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数单调递增区间为__________. 13. 已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 14. 已知，函数，满足，则______，若存在，使得，则的取值范围是______. 四、解答题：共77分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的解析式； （2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 16. （1）化简：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 17. 已知函数（且为定义在R上的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式． 18. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 19. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． （1）类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； （2）判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $