上海市普陀区2025-2026学年高三上学期教学能力诊断数学试题

**基本信息** 普陀区高三数学期末诊断卷通过分层试题与真实情境，考查集合、函数、几何等核心知识，凸显数学眼光、思维与语言的综合应用，适配高三复习诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|含集合运算、向量坐标、函数求值（如第3题）、不等式最值（第4题）、圆锥侧面积（第5题）|基础题（1-6题）与能力题（7-12题，如第11题函数零点与极值）梯度分布| |选择题|4题18分|三角函数性质（第13题）、函数单调性（第14题）、数列新定义（第16题）|结合逻辑推理考查概念辨析| |解答题|5题78分|立体几何证明与距离（17题）、概率统计（19题篮球数据）、椭圆综合（20题）、新定义“一线切”导数应用（21题）|19题真实体育情境培养数据意识，21题新定义问题发展创新思维|

普陀区2025学年度第一学期教学能力诊断卷 高三数学试卷 考生注意： 1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集，集合，则________． 2. 已知向量，若，则实数________． 3. 已知函数的表达式为则的值为________． 4. 已知正实数、满足，则的最小值为______． 5. 已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为______． 6. 的二项展开式中，项的系数为______． 7. 已知函数的大致图像如图所示，则_______． 8. 已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是_______． 9. 已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是_______． 10. 某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为，若这组数据的中位数和平均数相等，那么_____. 11. 已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是__________． 12. 已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是__________． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 14. 下列函数中，在区间上是严格减函数的为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（ ） A. ①与②都是真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①为假命题，②为真命题； D. ①与②都是假命题． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，平面，Q是PB的中点，． （1）证明：平面； （2）求点D到平面PAC的距离． 18. 已知 （1）若，求函数的值域； （2）若存在，使得，求实数的取值范围． 19. 申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落.高一小A、高二小B分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）.以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率. 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小A 100次 80% 100次 40% 小B 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校MVP（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） （1）小C认为，目测小A的二分球命中率和三分球命中率均高于小B，此次必定能评为校MVP，试通过计算判断小C的想法是否准确？ （2）小D是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小a、小b轮流投篮对战游戏.游戏规则如下：①游戏中小a的命中率始终为0.4，小b的命中率始终为0.3.②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮.③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第k次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜.若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“k”的值，请解答以下两个问题． （ⅰ）若小a第一次投篮，请证明小a获胜概率大； （ⅱ）若小b第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点． （1）求该椭圆的离心率； （2）点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若的面积为3，求点Q的坐标； （3）A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点，且，求的取值范围． 21. 定义：若曲线和曲线有公共点P，且曲线在点P处的切线与曲线在点P处的切线重合，则称与在点P处“一线切”. （1）已知圆 与曲线在点 处“一线切”，求实数a的值； （2）设，，若曲线与曲线在点P处“一线切”，求实数a的值； （3）定义在上的函数的图象为连续曲线，函数的导函数为，对任意的，都有成立.是否存在点使得曲线和曲线在点处“一线切”？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 普陀区2025学年度第一学期教学能力诊断卷 高三数学试卷 考生注意： 1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】2 【4题答案】 【答案】2 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】28 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】或 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为，所以，， 因为分别是中点，得出，， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面； （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）. 【19题答案】 【答案】（1）想法错误； （2） （ⅰ）证明：若“第一次投篮人物”为小，， 小获胜的概率为，小的获胜的概率为， 则， 可得“小第一次投篮，小获胜概率大”； （ⅱ）若“第一次投篮人物”为小，， 小获胜的概率为，小的获胜的概率为， 则， 其中，， 随着的增大而增大， ， 当也就是时， 当也就是时， 综上：若小第一次投篮，时，小获胜概率大， 时，小获胜概率大． 【20题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3）不存在点满足条件，理由：假设存在满足题意， 则有，对函数求导得：， 于是，即， 平方得， 即有，因此， 整理得，而恒有成立， 则有，从而，显然， 于是，即与恒成立矛盾， 所以假设不成立，即不存在点满足条件 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $