精品解析：河南信阳市2026-2027学年普通高中高三第一次教学质量检测数学试题

2026—2027学年普通高中高三第一次教学质量检测数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的性质，代入已知的、即可快速算出结果. 【详解】已知，，，代入得： . 2. 集合，，若，则实数可能的值的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由于，故或或，且， 即或或，共4个. 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】，，故A错误； ，，故C错误； ，，故D错误； ，，例如，故B正确. 4. 等比数列中，，，则的公比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以. 5. ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】展开原式后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由， 已知则， 当且仅当，即时取“”， 故的最小值为16. 6. 已知，，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可． 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，故， 所以， 又因为，且在上单调递增， 所以，即，故． 7. 已知函数的定义域为D，命题p：对任意，存在，，使得且，命题q：的值域为R，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】函数的值域为R，值域包含所有大于a的实数，显然存在满足的​； 因为值域也包含所有小于-a的实数，满足的同样存在， 因此q可以推出p，p是q的必要条件 若，值域为，比数集R少了一个元素0， 存在,，使得且，此时满足命题p，但不满足命题q，即，充分性不成立， 所以p是q的必要不充分条件. 8. 函数的解析式为，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，分和两种情况求最小值，解即可；当时分离参数进行求解. 【详解】当时，， 若即，则，即，因为恒成立， 所以即，又，故无解； 若即，则，即，因为恒成立， 所以即，又，故； 当时，恒成立，即恒成立， 故， 当时，，故. 综上，实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由基本不等式以及不等式的性质即可求解. 【详解】对于A选项，， 当时，则成立，故A正确； 对于B选项，取，，得，故B正确； 对于C选项，由基本不等式可得，，故错误，故C错误； 对于D选项，由基本不等式可得， ，当且仅当时，等号成立， 因此仅在时，取等号，故D成立. 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 数列单调递增是数列单调递增的充分不必要条件 B. 数列和数列有可能都是单调递减数列 C. 数列和数列有可能都是等差数列 D. 数列和数列不可能都是等比数列 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A：，数列单调递增，，不单调递增，充分性不成立，故A错误； 对于B：，，单调递减，，，单调递减，因此与可以同时单调递减，故B正确； 对于C：，是公差为的等差数列，，是公差为的等差数列，因此与可以同时为等差数列，故C正确； 对于D：设是等比数列，首项，公比， 若，则，，不是等比数列； 若，， 若为等比数列，则不能含有常数项，只能，推出，此时各项为，不是等比数列，因此与不可能都是等比数列，故D正确. 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 对任意，则在上存在单调递减区间 B. 存在，使的值域包含的整数的个数有限 C. 若关于的方程有三个实数根，且最大的一个根为，则 D. 存在，使关于的方程有三个实数根 【答案】AD 【解析】 【分析】先分析函数图象的对称性，利用导数，分情况讨论函数的单调性，可判断AB的真假；结合函数图象的对称性，可判断C的真假；设，分析方程的零点个数，判断D的真假. 【详解】因为， 即对任意恒成立，所以函数的图象关于直线对称. 若，当时，， 此时. 由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，，可得函数在上单调递增. 结合函数的对称性，可得在和上单调递减，在和上单调递增. 若，则，在上单调递增，上单调递减. 若，当时，，可得函数在上单调递增. 当时，，. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 结合函数图象的对称性，可得函数在上单调递减. 对A，当时，函数在上单调递减.故A正确； 对B，当时，在上单调递增，且当时，，所以的值域包含的整数的个数无限.故B错误； 对C，因为关于的方程有三个实数根，所以，且方程必有一根，且， 因为是最大的一个根，所以，且. 所以随的变化而变化，不是常数，故C错误； 对D，取，则在和上单调递减，在和上单调递增. 如图， 所以要想关于的方程有3个实数根，需要在上有1个根，在上有两个根. 设， 则，，所以在内有且只有1个零点； ，所以在内有且只有1个零点； ，所以在内有且只有1个零点. 所以方程有三个实数根.故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列满足，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别将，代入递推式即可得结果. 【详解】已知，， 时，，， 时，，. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，，且当时，，则时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质结合题设先求得，进而求出时函数的解析式． 【详解】由于是偶函数，故， 又，故，解得， 因此当时，， 故当时，，则． 14. 函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，由在与上均至少存在一个实根，由零点存在定理即可求解. 【详解】因为函数的图象经过四个象限，， 当时，，当时，， 令，其开口向上， 所以在与上均存在一个实根， 所以，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，全集，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，根据集合补集的定义，结合数轴进行求解即可； （2）根据空集的定义，结合数轴进行求解即可. 【小问1详解】 时，，或 或， 或 【小问2详解】 若，则有以下两种情况： ①时，即，得； ②时，或，即或， 解得； 即时． 故时，的取值范围为． 16. 函数，． （1）若，求证：对任意正数，，，； （2）讨论函数的极值． 【答案】（1）时，，， 欲证， 只需证明， 由基本不等式得 ， 当且仅当时取等号. 又， 所以，不等式得证． （2）若，无极值； 若，的极大值为，无极小值． 【解析】 【分析】（1）求导，再利用基本不等式即可证明. （2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值情况. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ①若，则在上恒成立，所以在上单调递增，无极值； ②若，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，无极小值． 17. 函数，． （1）时，讨论函数的零点的个数； （2）若时，，求实数的取值范围； （3）求证：对任意正整数， 【答案】（1）2个 （2） （3）当时，左边，右边，左边右边； 由（2）知时，即，对恒成立. 设，，在上单调递增， 恒成立，即对于恒成立. 时，， ， 时，. 综上，对任意正整数，. 【解析】 【分析】（1）先分析的单调性，再取特殊值根据零点存在定理确定零点所在区间及总个数； （2）先由端点值得到的范围，再证明此范围能使对恒成立； （3）先说明时不等式成立，当时，待证不等式等价于 ，不等式右边可看成这项之和，联想到，不等式左边也能分解成项之和. 若能证明左边的每一项都不小于右边的对应项即，便能证明原式成立，该式的证明需结合（2）中对恒成立和常用放缩. 【小问1详解】 时，，. 令，得；令，得. 在上单调递减，在上单调递增，至多2个零点. 又，，， 在和内各有一个零点，共2个零点. 【小问2详解】 时，，，得. 当时，， 在此基础上，当时，，， 在上单调递增，恒成立. 实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 18. 已知数列的通项公式为，的前项和为． （1）判断是否存在使为整数，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （2）若数列共有项，其奇数项的和记为，记，数列的前项和记为，比较和的大小； （3）求满足的最小整数． 【答案】（1）由题意可得，数列的奇数项构成首项为， 公差为的等差数列；偶数项构成首项为，公比为的等比数列 设，则前项和为. 设，则前项和为. (1)当为偶数时，设. 若为整数，则必为整数. 因为，所以是整数，且，故不为整数，从而不为整数. 当为奇数时，设. 若为整数，则必为整数. 当时，，，不为整数； 当时，，故不为整数，从而不为整数. 综上所述，不存在使为整数. （2） （3）45 【解析】 【分析】（1）根据数列的特征判断即可得出结果； （2）利用等差数列的通项公式和求和公式计算化简可得答案； （3）利用等差数列和等比数列的求和公式计算化简即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知， ， ，即 【小问3详解】 数列的前项中偶数项的和为， 数列的前项中奇数项的和为，要么为整数，要么小数部分为或， 偶数项的和恒小于，的前项和的整数部分完全由奇数项决定， 在判断首次超过时只需考虑奇数项的和， 当时，，可解得：， 即前项的和首次大于（通过求出及再比对也正确） 即满足的最小整数为45． 19. 已知，函数，． （1）若，求的解集； （2）求证：对于任意实数，与的图像在第一象限均有公共点； （3）若，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线． ①的图像与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围； ②、与轴的交点分别为，，若为等腰直角三角形，以，为邻边作正方形，求在该正方形内部（含边界）可以容纳的最大半圆的面积． 【答案】（1） （2）证明：时， ∴欲证明对于任意实数，与的图像在第一象限均有公共点 只需证明关于的方程在有解 即证关于的方程在有解 设， 显然的图像连续，时 时，，故的值域为， 所以对于任意实数，关于的方程在有解，命题得证 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先根据函数值求出的值，然后化简不等式，求出解集即可. （2）欲证明对于任意实数，与的图像在第一象限均有公共点，只需证明关于的方程在有解即可. （3）①先求出直线的方程，然后列出等式，得到新函数，对函数进行求导，判断单调性和最值，进而求出结果；②先求出的值，然后分两种情况：（ⅰ）若半圆的直径的端点在正方形相对的两边上以及（ⅱ）若半圆的直径的端点在正方形相邻的两边上，分别进行求解. 【小问1详解】 由题意，，，所以， 所以，故， 所以且， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①由题意，，，故为， 斜率为，故为， 由题意在内无解， 故在内无解． 不妨设，， 所以， 所以在单调递减，在单调递增， 故，，， 故， 即； 同理． 综上，． ②由①知，若为等腰直角三角形，必有或，， 若要求该正方形内部可以容纳的最大半圆，则半圆的直径的端点必在正方形的边上． （ⅰ）若半圆的直径的端点在正方形相对的两边上，易得半径的最大值为； （ⅱ）若半圆的直径的端点在正方形相邻的两边上，不妨设端点分别为，，其中点在上，点在上，设与所成角为，半圆的半径为， 可得，且，， 即，且 设，， 可得在上单调递增，在上单调递减，， 的最大值为，此时半圆的面积为． 综上所述，该正方形内部可以容纳的最大半圆的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年普通高中高三第一次教学质量检测数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 2. 集合，，若，则实数可能的值的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 等比数列中，，，则的公比为（ ） A. B. C. D. 5. ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为D，命题p：对任意，存在，，使得且，命题q：的值域为R，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 函数的解析式为，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 数列单调递增是数列单调递增的充分不必要条件 B. 数列和数列有可能都是单调递减数列 C. 数列和数列有可能都是等差数列 D. 数列和数列不可能都是等比数列 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 对任意，则在上存在单调递减区间 B. 存在，使的值域包含的整数的个数有限 C. 若关于的方程有三个实数根，且最大的一个根为，则 D. 存在，使关于的方程有三个实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列满足，若，则__________． 13. 已知函数是定义在上的偶函数，，且当时，，则时，__________． 14. 函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，全集，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 函数，． （1）若，求证：对任意正数，，，； （2）讨论函数的极值． 17. 函数，． （1）时，讨论函数的零点的个数； （2）若时，，求实数的取值范围； （3）求证：对任意正整数， 18. 已知数列的通项公式为，的前项和为． （1）判断是否存在使为整数，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （2）若数列共有项，其奇数项的和记为，记，数列的前项和记为，比较和的大小； （3）求满足的最小整数． 19. 已知，函数，． （1）若，求的解集； （2）求证：对于任意实数，与的图像在第一象限均有公共点； （3）若，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线． ①的图像与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围； ②、与轴的交点分别为，，若为等腰直角三角形，以，为邻边作正方形，求在该正方形内部（含边界）可以容纳的最大半圆的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $