福建省福州第三中学2026-2027学年高三上学期第三次质量检测数学试卷

绝密★启用前 福州三中2026-2027学年高三第三次质量检测 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知（x，），则 A．2 B．4 C．12 D．16 2．已知向量，满足，，且，则 A． B． C． D． 3．已知集合，，若，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 4．已知双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为 A． B． C． D． 5．已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为 A． B． C． D． 6．若数列满足，，则 A． B． C． D． 7．若，则的值为 A． B． C． D． 8．是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的，均有，则实数b的最大值是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列关于函数的说法正确的有 A．最小正周期为 B．在上单调递增 C．值域为 D．若为的一条对称轴，则 10．等比数列的公比，，，记前n项和为，则 A． B． C． D． 11．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，曲线交C于点，，若，则 A． B．面积的最小值为1 C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．，分别是关于x的方程和的根，则__________． 13．在三棱锥中，，点P在平面内的射影为棱的中点，三棱锥的体积为1，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 14．已知数列的前n项和，设，，其中k是大于1的正整数，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为． （1）求； （2）若，，求的周长． 16．（本小题15分） 如图所示，在三棱台中，已知平面，，，，M，N分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点C到平面的距离． 17．（本小题15分） 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若存在，使得函数成立，求证：． 参考数据：，． 18．（本小题17分） 已知和为椭圆上的两点． （1）求C的离心率； （2）若过点A的直线l交C于另一点B，且的外接圆圆心在y轴上，求l的方程． 19．（本小题17分） 对于正整数n，如果个整数，，…，满足，且，则称数组为n的一个“正整数分拆”．记，，…，均为偶数的“正整数分拆”的个数为；，，…，均为奇数的“正整数分拆”的个数为． （1）写出整数4的所有“正整数分拆”； （2）对于给定的整数，设是n的一个“正整数分拆”，且，求k的最大值； （3）对所有的正整数n，证明：；并求出使得等号成立的n的值． （注：对于n的两个“正整数分拆”与，当且仅当且，，…，时，称这两个“正整数分拆”是相同的．） 学科网（北京）股份有限公司 $