第2讲 逻辑用语题型总结 讲义-2026届高三艺术生数学一轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦逻辑用语专题，覆盖充分条件与必要条件（含函数、数列等综合考查）、全称与存在量词命题否定等核心考点，按考向解读、知识再现、题型分类、真题训练的逻辑架构组织内容。通过考点梳理（定义法、集合法等判定方法）、方法指导（如“范围小推范围大”技巧）、真题训练（近五年高考题）等环节，帮助学生突破逻辑推理难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于采用“方法-题型-真题”三阶突破策略，如在充分条件判断中引导学生用集合法分析集合关系，结合函数单调性实例进行等价转化，培养数学思维与逻辑推理能力。设置基础单选、高考真题、课后练习分层训练，配合即时方法总结，确保学生在有限时间内高效掌握考点，既提升学生逻辑表达与问题解决能力，也为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第2讲：逻辑用语题型总结 1、 考向解读 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点：充分条件与必要条件 2025・天津、北京卷：充分必要条件的判断与函数、向量结合；2024・上海、北京、全国甲卷、天津卷：与向量、不等式、函数结合的条件判断；2023・北京、全国甲卷、天津卷、新课标 Ⅰ 卷：与数列、不等式、函数结合的条件推理；2022・天津、浙江、北京卷：与三角函数、数列、函数单调性结合的条件判断；2021・天津、北京、浙江、全国甲卷：与函数最值、向量、等比数列结合的条件考查； 1. 充分必要条件常与函数、数列、向量、不等式等知识交叉考查，注重逻辑推理和知识综合应用。2. 命题趋势倾向于结合具体数学情境，考查条件的推导与等价转化能力。 二 知识再现 1.充要条件判定方法 （1）定义法：若，则是充分条件；若，则是必要条件；若，且，则是充要条件。 （2）集合法：若满足条件的集合为A，满足条件的集合为B，若AB，则是的充分不必要条件；若BA，则是必要不充分条件；若A=B则，是 充要条件。 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 全称量词命题：对，使成立，其否定为：，使成立； 存在量词命题：，使成立，其否定为：，使成立。 【常用结论】 对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法。小技巧：“范围小的”“范围大的”，反之则不成立。 一、单选题 题型一 充分必要条件的判断 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】解方程，然后根据充分性和必要性的定义求解即可. 【详解】或， 故“”是“”的充分不必要条件，故选：A. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式得的范围，依据小范围推出大范围的原则判定充分必要条件. 【详解】由，解得或， 故由能够推出；由不能够推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故选：A． 3．“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断结果. 【详解】且能够推出，反之不能推出且， 所以“且”是“”的充分不必要条件.故选:. 4．已知、都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】时，一定有，充分性成立， 当时，满足，但不成立，则必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件.故选：A． 5．已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由是奇函数求出的取值集合，再根据逻辑条件判断即可. 【详解】是奇函数等价于， 即，故， 所以.则“”是“是奇函数”的充分不必要条件.故选：A. 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二倍角的余弦公式以及充分、必要条件的定义即可得出结论. 【详解】由可得，即充分性成立； 当时，可得；所以必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 7．对于数列，“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的性质做判断. 【详解】充分性:若成立，则，所以必为递减数列． 必要性:若为递减数列，但可能不成立．如：，，，，，…．必要性不成立 所以“”是“为递减数列”的充分不必要条件．综上可知，故选:A． 8．已知数列的前项和，则是为等差数列的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据与的关系及等差数列的定义，利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 取时，，此式也满足， 故数列的通项公式为, 所以，所以数列是等差数列. 所以是为等差数列的充分条件，因为为等差数列， 所以，令，则， 所以是为等差数列的必要条件，综上，是为等差数列的充要条件.故选: A. 9．“直线与直线相互平行”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先通过直线平行的判断公式求出，再根据充分性和必要性的概念得答案. 【详解】因为直线与直线相互平行， 则，解得，又当时，两直线均不重合，故， 所以“直线与直线相互平行”是“”的必要不充分条件.故选：C. 10．“”是“直线与圆：相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线和圆相交时圆心到直线的距离和半径的关系判断“”和“直线与圆：相交”的逻辑推理关系，即可判断答案. 【详解】设圆：的圆心到直线的距离为d， 则 ， 当直线与圆：相交时，，解得， 当时，一定成立， 当时，推不出，因为可能是， 故“”是“直线与圆：相交”的必要不充分条件，故选：B 11．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】由双曲线方程的特征计算得m的范围，再由集合的包含关系可得结果. 【详解】∵表示双曲线，∴. ∴是表示双曲线的充要条件.故选：C. 12．已知，为不重合的两个平面，直线，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，利用长方体模型，判断“”与“”的关系可得结论. 【详解】记平面为，平面为，直线为，直线为， 则直线，，，但， 所以“”不是“”的充分条件， 记平面为，平面为，直线为，直线为， 则直线，，，但， 所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D. 13．已知平面平面，且平面平面，则“”是“平面”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理解决即可. 【详解】由题知，平面平面，且平面平面， 当时， 由面面垂直性质定理得平面，说明充分性成立； 当平面时， 因为平面平面，且平面平面， 所以平面，所以，说明必要性成立，所以“”是“平面”的充分必要条件.故选：C 题型二 全称量词命题、存在量词命题的否定 14．已知命题，，则命题的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”. 【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.故命题的否定为：，.故选：B. 15．已知命题：，，则该命题的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由特称命题的否定可直接得到结果. 【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为，.故选：C. 16．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由特称命题的否定的定义即可得出结果. 【详解】因为，所以其否定为.故选：B. 17．命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知命题“”的否定是“”.故选：A. 18．已知命题p：，，，则（    ） A．p是假命题，p否定是，， B．p是假命题，p否定是，， C．p是真命题，p否定是，， D．p是真命题，p否定是，， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】由于是整数，是偶数，所以是假命题. 原命题是存在量词命题，其否定是全称量词，注意到要否定结论， 所以的否定是“，，”.故选：A 19．p：，为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设命题为真，结合不等式恒成立求参数a的范围，再由充分、必要性的定义确定充分不必要条件. 【详解】由题设命题为真，即在上恒成立， 所以，故A为充分不必要条件，B为充要条件，CD必要不充分条件.故选：A 题型三 含参数的相关问题 20．“不等式在R上恒成立”的必要不充分条件是（    ） A．m>0 B．m< C．m<1 D．m> 【答案】A 【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分条件，必要条件的概念求出选项. 【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以等价于二次方程的判别式，即.易知D选项是充要条件，不成立； A选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确； B选项中，不可推导出，B不成立； C选项中，不可推导，C不成立.故选：A. 21．“函数在区间上不单调”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性以及充分且必要条件的概念可得答案. 【详解】由函数在区间上不单调，可得，即； 由，得，得函数在区间上不单调， 所以“函数在区间上不单调”是“”的充分且必要条件.故选：C 22．“”是“函数是上的单调增函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据单调性得到恒成立，计算得到，根据范围的大小关系得到答案. 【详解】函数是上的单调增函数，故恒成立. 即恒成立，，故. 故“”是“函数是上的单调增函数”的必要不充分条件.故选：B 23．已知向量，是两个单位向量，则“”为锐角是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质即可判断． 【详解】向量，是两个单位向量， 由为锐角可得， ，反过来，由两边平方可得， ，，，不一定为锐角， 故“为锐角”是“”的充分不必要条件，故选：A． 24．已知直线，，则“”是“直线与相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果. 【详解】由题意可得直线与相交， 则 当时，满足，即“”是“直线与相交”的充分条件； 当直线与相交时，不一定有，比如也满足，所以“”是“直线与相交”的充分不必要条件.故选:A. 25．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题的真假，转化为可求解. 【详解】命题“”是真命题，则， 又因为，所以，即实数的取值范围是.故选：A. 26．已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得出题设假命题的否命题“，”，则等价于，，求最小值即可. 【详解】因为命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题，所以，． 易知函数在上单调递增，所以当时，取最小值，所以．所以实数a的取值范围为．故选：D． 27．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案. 【详解】解：因为命题“，”为真命题， 所以，命题“，”为真命题， 所以，时，， 因为，， 所以，当时，，当且仅当时取得等号. 所以，时，，即实数的取值范围是故选：C 28．命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是假命题可得命题的否定为真命题，写出命题的否定，再利用分离参数的方法求解即可． 【详解】因为命题，使得成立， 所以命题的否定为：，成立，而是假命题，故命题的否定为真命题． 所以在上恒成立，因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即.故选：A. 高考真题再现 1．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 5．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 7．（2022·天津·高考真题） “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数；即可选出答案. 【详解】当为整数时，必为整数； 当为整数时，不一定为整数， 例如当时，. 所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 9．（2017·全国·高考真题）设甲：四边形ABCD为矩形；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】若四边形ABCD为矩形，则它一定是平行四边形， 反之，若四边形ABCD为平行四边形，则它不一定是矩形. 故甲是乙的充分非必要条件． 故选：A. 10．（2017·天津·高考真题）设x∈R，则是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合集合的包含关系可解． 【详解】设p：若，则， q：若，则； 则q表示的集合是p表示的集合真子集， 即是必要不充分条件， 故选：B． 11．（2018·北京·高考真题）设，均为单位向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用定义法，分充分性和必要性分别讨论. 【详解】充分性：因为，所以，即，展开得： . 因为，均为单位向量，所以，所以，即. 所以充分性满足. 必要性：因为，且，均为单位向量， 所以. 同理可求：，所以. 故必要性满足. 故选：C 12．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】 如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时， ∴不是的充分条件， 当时，，∴,∴成立， ∴是的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件    故选：B. 13．（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 14．（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 15．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线， 当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交. 当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面. 综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题. 16．（2019·天津·高考真题）设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】等价于，故推不出； 由能推出． 故“”是“”的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 17．（2019·浙江·高考真题）若，则“”是 “”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 18．（2019·天津·高考真题）设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 推不出； 由能推出， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选B． 【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 课后练习 一、单选题 1．已知 ，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】分别解不等式和，求得它们的解集，看二者的关系，根据其逻辑推理关系，可得答案. 【详解】解不等式，即 得 ； 解不等式，即 或 ， 解得 ， 由于推不出， 也推不出， 故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D 2．设，则使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合充分不必要条件的定义，对A，；对B，；对C，；对D，，需要讨论a、b的符号 ，即可进一步判断 【详解】对A，，故A不成立； 对B，，故B成立； 对C，，不一定推出，故C不成立； 对D，，若，故D不成立.故选：B 3．已知x，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为，所以，则“”两边同除以即可得到“”，反过来同乘以即可，故“”是“”的充要条件．故选：C. 4．已知向量，“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的平方即模长的平方，结合充要条件的概念即可得结果. 【详解】，故“”是“”的充要条件，故选：C. 5．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论. 【详解】若方程表示圆，则，解得：； ∵，，，甲是乙的必要不充分条件.故选：B. 6．已知条件直线与直线平行，条件，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件分析判断 【详解】当直线与直线平行时， ，解得，当时，直线与直线重合， 所以是的既不充分也不必要条件，故选：D 7．若椭圆C的方程为，则“”是“椭圆C的离心率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由椭圆的性质得推出关系后判断 【详解】椭圆C的离心率为，即， 若椭圆焦点在轴上，则，得， 若椭圆焦点在轴上，则，得， 故“”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件，故选：A 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先化简指数不等式和对数不等式，再去判断二者之间的逻辑关系即可 【详解】为R上单调递减函数，由，可得 为上单调递增函数，由，可得 则由“”可以得到“”； 由“” 不能得到“” 则“”是“”的必要不充分条件。故选：B 9．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答. 【详解】在中，，则，必有， 而，满足，此时是直角三角形，不是等腰三角形， 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B 10．若和分别为空间中的直线和平面，则“”是“垂直内无数条直线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合线面垂直的意义判断作答. 【详解】若，则垂直内所有直线，因此，命题“若，则垂直内无数条直线”正确， 垂直内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线可以在平面内，即不能推出， 所以“”是“垂直内无数条直线”的充分不必要条件.故选：A 11．已知命题：，总有，则命题的否定为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定性质进行判断即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，使得，故选：B 12．已知命题p：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得答案. 【详解】：，.故选：D 13．设命题，使得，则为（   ） A．使得 B．都有 C．使得 D．都有 【答案】B 【分析】根据命题的否定理解判定． 【详解】∵命题，使得，则：都有故选：B． 14．下列结论错误的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．若，则方程一定有实根是假命题 C．在中，若“”则“” D．命题：“，”，则：“，” 【答案】D 【分析】对于A, ，故A正确﹔对于B，∵时，的符号不能确定，故 B正确；对于C，利用正弦定理可以判断 C正确；对于D，利用存在量词命题的否定可以判断 D错误. 【详解】解：对于A,∵，∴，∴  A正确﹔ 对于B，∵时，，不能确定方程是否有根，∴ B正确； 对于C，在中，∵，∴ C正确； 对于D，：，，∴ D错误.故选：D. 15．若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】参变分离后，令新函数，转化为求函数的最小值，利用二次函数性质求解. 【详解】由题意，，， 令，则，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以.所以实数可取的最小整数值是.故选：A 16．若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，“，使得”是真命题，进而根据二次不等式恒成立求解即可. 【详解】解：因为“，使得”是假命题， 所以“，使得”是真命题， 所以，解得. 所以实数的取值范围是.故选：B 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第2讲：逻辑用语题型总结 1、 考向解读 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点：充分条件与必要条件 2025・天津、北京卷：充分必要条件的判断与函数、向量结合；2024・上海、北京、全国甲卷、天津卷：与向量、不等式、函数结合的条件判断；2023・北京、全国甲卷、天津卷、新课标 Ⅰ 卷：与数列、不等式、函数结合的条件推理；2022・天津、浙江、北京卷：与三角函数、数列、函数单调性结合的条件判断；2021・天津、北京、浙江、全国甲卷：与函数最值、向量、等比数列结合的条件考查； 1. 充分必要条件常与函数、数列、向量、不等式等知识交叉考查，注重逻辑推理和知识综合应用。2. 命题趋势倾向于结合具体数学情境，考查条件的推导与等价转化能力。 二 知识再现 1.充要条件判定方法 （1）定义法：若，则是充分条件；若，则是必要条件；若，且，则是充要条件。 （2）集合法：若满足条件的集合为A，满足条件的集合为B，若AB，则是的充分不必要条件；若BA，则是必要不充分条件；若A=B则，是 充要条件。 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 全称量词命题：对，使成立，其否定为：，使成立； 存在量词命题：，使成立，其否定为：，使成立。 【常用结论】 对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法。小技巧：“范围小的”“范围大的”，反之则不成立。 一、单选题 题型一 充分必要条件的判断 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知、都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．对于数列，“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知数列的前项和，则是为等差数列的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不充分也不必要 9．“直线与直线相互平行”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10．“”是“直线与圆：相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 12．已知，为不重合的两个平面，直线，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知平面平面，且平面平面，则“”是“平面”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 全称量词命题、存在量词命题的否定 14．已知命题，，则命题的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 15．已知命题：，，则该命题的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 16．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 17．命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 18．已知命题p：，，，则（    ） A．p是假命题，p否定是，， B．p是假命题，p否定是，， C．p是真命题，p否定是，， D．p是真命题，p否定是，， 19．p：，为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型三 含参数的相关问题 20．“不等式在R上恒成立”的必要不充分条件是（    ） A．m>0 B．m< C．m<1 D．m> 21．“函数在区间上不单调”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 22．“”是“函数是上的单调增函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．即不充分也不必要条件 23．已知向量，是两个单位向量，则“”为锐角是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 24．已知直线，，则“”是“直线与相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 25．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 高考真题再现 1．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 5．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7．（2022·天津·高考真题） “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2017·全国·高考真题）设甲：四边形ABCD为矩形；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 10．（2017·天津·高考真题）设x∈R，则是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2018·北京·高考真题）设，均为单位向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 13．（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 14．（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（2019·天津·高考真题）设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（2019·浙江·高考真题）若，则“”是 “”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（2019·天津·高考真题）设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 课后练习 一、单选题 1．已知 ，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，则使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．已知x，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知向量，“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知条件直线与直线平行，条件，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．若椭圆C的方程为，则“”是“椭圆C的离心率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．若和分别为空间中的直线和平面，则“”是“垂直内无数条直线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知命题：，总有，则命题的否定为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 12．已知命题p：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 13．设命题，使得，则为（   ） A．使得 B．都有 C．使得 D．都有 14．下列结论错误的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．若，则方程一定有实根是假命题 C．在中，若“”则“” D．命题：“，”，则：“，” 15．若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 16．若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $