第23讲 椭圆题型总结 讲义-2026届高三艺术生数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆核心考点，涵盖方程求解、离心率计算、焦点三角形等高考高频内容，按考向解读、知识再现、题型分类构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统突破椭圆难点。 资料以数学思维培养为核心，如离心率计算结合定义与焦点三角形，引导学生用逻辑推理分析问题，设置题型专项、高考真题、巩固训练分层练习，助力学生在有限时间内提升运算能力与解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第23讲 椭圆题型总结 一、 考向解读 考点 五年考情(2021-2025) 命题趋势 1.离心率计算为高频考 2024·新课标Ⅱ卷：轨迹方程求解； 点，常结合定义、焦点三 2023·新课标I卷：离心率计算；2023· 角形、斜率等知识。2.焦 全国甲卷：焦，点三角形中线段长度、向量垂 考点：椭 点三角形相关计算（线段 直时线段乘积计算；2022·全国甲卷：离心 圆方程及 长度、乘积、面积)是重 率与斜率乘积关系、椭圆方程求解（结合向 其性质 点，注重与正余弦定理、 量数量积)；2021·新高考全国I卷：焦点距 向量结合。3.椭圆方程求 离乘积最大值；2021·全国乙卷：离心率范 解及轨迹问题注重坐标法 围（上顶，点到，点距离最值方 应用。 二知识再现 1.椭圆的定义 平面内与两个定，点F,F的距离之和等于常数2a（2a>FE|)的，点的轨迹叫做椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,定义用集合语 言表示为：{P‖PE,|+|PF=2a(2a>EF,=2c>0) 注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；当2a<2c时，点的轨迹不存在， 2.椭圆的方程与性质 焦点的位置 焦，点在x轴上 焦点在y轴上 V y极 图形 4 B D B2 标准方程 +若-e>a>0 x a+京=1(a>b>0) 到两定点E、F,的距离之和等于常数2a,即MF,+MF=2a 定义 (2a>FF2) 第1页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a A-a,0)、A2a,0j A0,-a、A20,a 项点 B,(0,-b、B20,b B1-b,0)、B2b,0 轴长 长轴长=2a,短轴长=2b 长轴长=2a,短轴长=2b 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 焦点 F-c,0、F(c,0 F,0,-c、F0,c) 焦距 FF=2c(c2=a2-b2) 离心率 (0<e<) 【常用结论】 1,过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长 为236 a 2.焦点三角形面积公式：S=b2tan号 P(XoYo) 0 题型一椭圆的定义应用 一、单选题 1.,点P在椭圆E:4x2+y2=16上，F、F2是E的两个焦点，若PF=3,则PF=() A.5 B.6 C.7 D.8 第2页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 2.已知F,5是精圆C:+二=1的两个焦点，P是C上一点（瑞点除外，则△PFE,的 916 周长为() A.14 B.16 C.8+2√7 D.6+2V7 3.已知，点P为描圆+二=1上的一点，F,E为该椭圆的两个焦点，若PF,3PF,则 42 PE=() A,号月 B.② C.1 D.3 2 1花户为描圆号+ =1上的一点，F、F分别为椭圆的左、右焦点，且∠FPF=60°，则 4 PFPF等于() A.3 B.16 C.4v3 D.85 3 3 第3页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 5.已知艄圆C:+二=1，F,5分别是精圆C的焦点，过点R的直线交精圆C于A,B 95 两点，若AB=4,则AF+BF引=（) A.2 B.4 C.6 D.8 6.已知F是椭圆E:父+上 =1的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为-1,4，则 95 PQ+PF的最大值为() A.√17 B.5 C.10 D.11 题型二椭圆的标准方程 7.已知椭圆2+上=1(m>0)的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m=（) m 1 A.2 B.1 C·4 D.4 8.已知精圆￡+上-1的一个焦点为们，0)，则实数m的值为() 3m m 第4页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 A. B.2 C. D. 2 2 4 9.已知椭圆C的焦点为F(0,-2),F(0,2).过点F的直线与C交于A,B两，点.若△ABF 的周长为12，则椭圆C的标准方程为(） 号+号1 B. 91 D.x 36321 10.若椭圆C的中心为坐标原点、焦点在y轴上；顺次连接C的两个焦，点、一个短轴顶，点构成 等边三角形，顺次连接C的四个项，点构成四边形的面积为4√3，则C的方程为（) A.+=1B.上+父=1c.+=1D.+=1 43 62 84 86 :巴知椭圆C本女+大的焦点在y轴上，则实教k的取位范圆为)一 A.（-3,1 B.(1,5 C.（-3,5 D.(1,3) 第5页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 12.(018金国m卷高考爽题）已，B2是脑园c:影+号-=1(>b>0)的左，右 焦点，A是C的左项点，点P在过A且斜率为的直线上，△PFF2为等腰三角形， 6 ∠FF2P=120°，则C的离心率为 A号 B.含 C.青 D. 题型三椭圆的性质 13.已知圆，+上=1的一个焦点坐标为0,2引，则k的值为() k+29 A.1 B.3 C.7 D.9 14.已知横回C号+后口6>0的长龄长、短轴长、赛定成爷比筑列，剥C的高心求 等于（) A.5-1 B.5-1 c.5+1 D.5+1 4 2 4 2 第6页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 15.有关椭圆x2+4y2=16叙述错误的是（) A.长轴长等于4 B.短轴长等于4 C.离心率为 2 D.x的取值范围是[-4,4] 16.点，少与精圆+上-1的位置关系为(） 32 A.在椭圆上 B.在椭圆内 C.在椭圆外 D.不能确定 17.巴知椭圆C:+少1的离心率为 ,则C的长轴长为() mm+6 2 A.8√2 B.4√2 C.22 D.4 18.在天文学上，航天器绕地球运行的椭圆轨道上距离地心最远的一点，称为远地，点：距离 地心最近的一点，称为近地点.远地，点与地球表面的最短距离称为远地点高度；近地，点与地 球表面的最短距离称为近地，点高度.已知某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆， 第7页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 地球（视为一个球体）的半径为R.若该航天器的远地，点高度为5R,所在椭圆轨道的离心 率为写则该航天器的近地点高度为（） A.R B.2R C.3R D.4R 19.“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短 木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或 者一个人的影响程度，某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情 况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示圆柱形木桶，其中一块木 板有缺口，缺口最低处与桶口的距离为2，若按图②的方式盛水，木桶倾斜到与水平面成 60时，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，并形成一个椭圆水面，且MN为 椭圆的长轴，则该椭圆的离心率为() 60 图① 图② 1 A. B.3 3 C·2 D.3 20.已如新国C号+茶=ab>0的金右狼点分到为R.5,高心车为 2 ,过点F的直 线1交椭圆于A、B两，点，若△AFB的周长为8，则C的方程为() A.+上=1 164 B.+51C.+-1 1612 D. 43 4+y2=1 第8页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 二、多选题 21.已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，短轴长为 4,则椭圆C的标准方程可能为（) A.+1 C.+y2 D. 49 941 5*91 2.已知R,乃是精圆C:云+二=1的左、右焦点，点P在精圆C上，则下列结论正确的有 5025 () A.精园C的离心率为V2 B.|PEI+|PE=5√2 C.5V2-5sPE5W2+5 D.∠PF的最大值为) 23.已知M是精园C:+二=1上一点，万，5是其左右焦点，则下列选项中正确的是() 84 A.椭圆的焦距为2 2 B.椭圆的离心率e= C.椭圆的短轴长为4 D.△MFF的面积的最大值是4 第9页共25页 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 24.已知方程、r+y =1表示椭圆，下列说法正确的是（） 12-mm-4 A.m的取值范围为4,12) B.若该椭圆的焦，点在y轴上，则m∈(8,12 C.若m=6,则该椭圆的焦距为4 D,若m=10,则该椭圆经过，点1，V2) 25.若，m,9n成等比数列，则圆雏曲线二+上=1的离心率可以是（） mn A. B.3 C.25 D.2 3 2 3 26.加斯帕尔·蒙日（图1)是1819世纪法国著名的几何学家，他在研究圆雏曲线时发现：椭 圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为 “蒙日圆”（图2》.已知长方形R的四边均与精园C:二+上=1相切，则下列说法正确的是 -+ 63 () 图 图2 第10页共25页艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第23讲 椭圆题型总结 一、考向解读 考点 五年考情 (2021-2025) 命题趋势 考点: 椭圆方程及其性质 2024・新课标 Ⅱ 卷：轨迹方程求解；2023・新课标 Ⅰ 卷：离心率计算；2023・全国甲卷：焦点三角形中线段长度、向量垂直时线段乘积计算；2022・全国甲卷：离心率与斜率乘积关系、椭圆方程求解 (结合向量数量积);2021・新高考全国 Ⅰ 卷：焦点距离乘积最大值；2021・全国乙卷：离心率范围 (上顶点到点距离最值); 1. 离心率计算为高频考点，常结合定义、焦点三角形、斜率等知识。2. 焦点三角形相关计算 (线段长度、乘积、面积) 是重点，注重与正余弦定理、向量结合。3. 椭圆方程求解及轨迹问题注重坐标法应用。 二 知识再现 1.椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在． 2.椭圆的方程与性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 【常用结论】 1.过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． 2.焦点三角形面积公式： 题型一 椭圆的定义应用 一、单选题 1．点在椭圆上，是的两个焦点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】首先得出椭圆得标准方程，计算出，再由由椭圆定义可知：，代入即可求得. 【详解】椭圆，即，其中 由椭圆定义可知：。得， 故选：A. 2．已知，是椭圆的两个焦点，P是C上一点（端点除外），则的周长为（    ） A．14 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义和标准方程求得正确答案. 【详解】由题可知，，的周长为． 故选：C 3．已知点P为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义进行求解. 【详解】因为点P为椭圆上的一点，所以，因为，所以. 故选：C. 4．设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理求得. 【详解】椭圆，则，， 两边平方得①， 在中，由余弦定理得, 即②，由①②得.故选：B 5．已知椭圆，分别是椭圆C的焦点，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可求，，结合条件可求. 【详解】设椭圆的长半轴为，则， 由椭圆定义可得，， 又，所以. 故选：D. 6．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用椭圆定义转化及当且仅当三点共线时取得最值可得结果. 【详解】由椭圆的方程知，，，则、 由椭圆的定义知，， 所以， 又∵ ∴，当且仅当F2在线段PQ上时等号成立，即：的最大值为11.故选：D. 题型二 椭圆的标准方程 7．已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程，结合椭圆的几何性质，列式求解. 【详解】由条件可知，，，且，解得：. 故选：D 8．已知椭圆的一个焦点为，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据方程是椭圆方程，得，然后由关系得出值． 【详解】由题意，，， 故选：A． 9．已知椭圆C的焦点为，．过点的直线与C交于A，B两点．若的周长为12，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程. 【详解】依题意，解得，由于椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 10．若椭圆的中心为坐标原点､焦点在轴上；顺次连接的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接的四个顶点构成四边形的面积为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，，解之即可得a和b的值，从而求得椭圆的方程； 【详解】设椭圆的标准方程为， 由题可知，，解得，，故椭圆的标准方程为． 故选：A. 11．已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的焦点位置可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则，解得. 故选：A. 12．（2018·全国II卷·高考真题）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率. 【详解】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c, 由斜率为得，， 由正弦定理得, 所以， 故选：D. 题型三 椭圆的性质 13．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据焦点坐标确定，然后计算． 【详解】由题意，，∴，， 故选：B． 14．已知椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的几何性质即等比数列概念即可得出的关系式，解方程即可得离心率. 【详解】由题意可得，长轴长、短轴长、焦距成等比数列， 所以，即，得，解得或（舍） 故选：B 15．有关椭圆叙述错误的是（       ） A．长轴长等于4 B．短轴长等于4 C．离心率为 D．的取值范围是 【答案】A 【分析】根据题意求出，进而根据椭圆的性质求得答案. 【详解】椭圆方程化为：，则，则长轴长为8，短轴长为4，离心率，x的取值范围是.即A错误，B,C,D正确. 故选：A. 16．点与椭圆的位置关系为（    ） A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定 【答案】B 【解析】将点的坐标代入椭圆方程，根据不等关系可判断出点与椭圆的位置关系. 【详解】，可知点在椭圆内． 【分析】故选：B. 17．已知椭圆C：+=1的离心率为，则C的长轴长为（    ） A．8 B．4 C．2 D．4 【答案】B 【分析】直接利用椭圆的标准方程性质和离心率的定义即可求解. 【详解】依题意，因为椭圆C的离心率为，所以=，得m=2，故长轴长为2=4． 故选：B. 18．在天文学上，航天器绕地球运行的椭圆轨道上距离地心最远的一点，称为远地点：距离地心最近的一点，称为近地点．远地点与地球表面的最短距离称为远地点高度；近地点与地球表面的最短距离称为近地点高度．已知某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地球（视为一个球体）的半径为R．若该航天器的远地点高度为5R，所在椭圆轨道的离心率为，则该航天器的近地点高度为（    ） A．R B．2R C．3R D．4R 【答案】C 【分析】根据题意，列方程组求出椭圆的长半轴长和半焦距，再计算该航天器的近地点高度即可. 【详解】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c， 则由题意，可知 ，解得 ,所以该航天器的近地点高度为 . 故选：C. 19．“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度．某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水．根据该同学的说法，若有一个如图①所示圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口的距离为，若按图②的方式盛水，木桶倾斜到与水平面成时，水面刚好与左边缺口最低处和右侧桶口齐平，并形成一个椭圆水面，且为椭圆的长轴，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由面面平行的性质得水平面与水桶上底面所成角，进而求得椭圆的长轴长、短轴长，进而求得离心率. 【详解】图②中，因为木桶倾斜到与水平面成，所以水桶的下底面与水平面成， 又因为水桶的下底面与水桶的上底面平行，图②方式盛水后的水面与地面平行， 所以水桶的上底面与盛水后的水面成， 又因为缺口最低处与桶口距离为2，水桶的母线垂直于水桶的上底面， 所以，， 所以，， 所以. 故选：C. 20．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过点的直线交椭圆于A、B两点，若的周长为8，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义知的周长为，结合已知条件求出，再由离心率求出，进而求出，从而得出答案. 【详解】由椭圆定义可得，， 又， 所以的周长， 所以，故， 又，所以， 所以 所以椭圆C的方程为. 故选：D. 二、多选题 21．已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用椭圆长轴，短轴的长结合焦点位置可求椭圆标准方程. 【详解】由题意有，，故椭圆的标准方程可能为或. 故选：AC. 22．已知是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则下列结论正确的有(    ) A．椭圆的离心率为 B． C． D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的标准方程求出a、b、c，根据椭圆的几何性质即可逐项求解判断． 【详解】易得，，， 则，椭圆的离心率为，故A正确，B错误； ∵，∴，C正确； 当点P位于短轴的端点时，取得最大值，此时，，故，即的最大值为，D正确． 故选：ACD． 23．已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（    ） A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率 C．椭圆的短轴长为4 D．的面积的最大值是4 【答案】BCD 【分析】由题意可得，即可判断A，B，C；当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，面积最大，求出面积的最大值即可判断. 【详解】解：因椭圆方程为， 所以， 所以椭圆的焦距为，离心率，短轴长为， 故A错误，B,C正确； 对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，为2, 此时的面积取最大为,故正确. 故选：BCD. 24．已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（    ） A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则 C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若，则该椭圆经过点 【答案】BC 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可. 【详解】A：因为方程表示椭圆， 所以，解得，且，故A错误； B：因为椭圆的焦点在y轴上， 所以，解得，故B正确； C：若，则椭圆方程为， 所以，从而，故C正确； D：若，则椭圆方程为， 点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. 故选：BC. 25．若n，m，成等比数列，则圆锥曲线的离心率可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】ACD 【分析】根据等比数列列方程，对的符号进行分类讨论，结合圆锥曲线的知识求得离心率. 【详解】由于成等比数列，所以， 当时，，， 曲线表示焦点在轴上的椭圆， 所以，A选项正确. 当时，，， 曲线即，表示焦点在轴上的双曲线， 所以，D选项正确. 当时，，， 所以即，表示焦点在轴上的双曲线， 所以，C选项正确. 当时，方程不成立. 故选：ACD 26．加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为 C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18 【答案】ACD 【分析】根据椭圆方程,求出离心率即可得选项A正误;根据蒙日圆的定义可判断,该圆过点,根据圆心坐标,即可求得半径的值,进而求得圆的方程;设出长方形的长和宽,根据长方形是蒙日圆的内接四边形,可得对角线为直径,求得长和宽的等量关系,再利用基本不等式即可判断选项D正误. 【详解】解:由题知椭圆方程为:, 所以, 故选项A正确; 因为长方形R的四边均与椭圆相切,所以点,即在蒙日圆上, 故半径为,可得椭圆C的蒙日圆方程为; 故选项B错误,选项C正确;设长方形R的边长为m,n,则有, 所以长方形R的面积等于,当且仅当时取等, 故选项D正确. 故选:ACD 27．已知是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结交C于点B，则（    ） A．C的方程为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】ABD 【分析】根据点A的坐标和离心率求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的性质逐项分析. 【详解】对A，将点A的坐标代入双曲线方程，并由 得下列方程组： ，解得，∴双曲线，A正确； 对B，，，， ，∴，B正确； 对C， ， ，，周长，C错误； 对D，令 ，则 ，  ，在 中， ，∴，设 的周长为l，内切圆半径为r，则 ， 由三角形面积公式知： ，   ，D正确； 故选：ABD． 28．已知分别为椭圆和双曲线的公共左，右焦点，（在第一象限）为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点，若，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．双曲线的离心率为 C．椭圆的离心率为 D． 【答案】BCD 【分析】设，则，由双曲线定义得，，再由余弦定理得，然后由椭圆定义得，利用余弦定理求得，再求三角形周长，求出椭圆、双曲线的离心率，从而判断各选项． 【详解】设，则，，， 中由余弦定理，得 ，化简得， ，D正确； 又，所以，又， 的周长为，A错误； 中，，由余弦定理得，所以， 因此双曲线的离心率为，B正确；椭圆的离心率为，C正确， 故选：BCD． 三、填空题 29．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则______________. 【答案】10 【分析】根据椭圆的定义可得，结合题意即可求解. 【详解】因为，，， 两式相加得.又，所以. 故答案为：10. 30．经过和两点的椭圆的标准方程为______． 【答案】 【分析】设椭圆的方程为，将两点坐标代入椭圆方程，列出方程组，解之即可. 【详解】设椭圆的方程为， 则，解得， 所以该椭圆的标准方程为. 故答案为：. 31．中心在坐标原点，焦点在x轴上且焦距是8，离心率等于的椭圆的标准方程为__________. 【答案】＋＝1 【分析】先求出c，再根据离心率求出a,最后利用的关系求出b2，即可求出椭圆的标准方程. 【详解】由焦点在x轴上且焦距是8，可得， 由离心率等于可得，解得，所以， 所以，椭圆的标准方程为＋＝1.故答案为：＋＝1. 32．以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为___________. 【答案】3 【分析】利用焦点坐标即椭圆中的关系求出椭圆的标准方程，然后分析椭圆上的动点在何处时最大. 【详解】因为为椭圆的焦点， 所以，，所以由，所以椭圆的标准方程为：，如图所示： 因为为椭圆的左焦点，为椭圆上的动点，故当处于右顶点时最大， 且最大值为， 故答案为：3. 33．设，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，则的面积为_____________． 【答案】1 【分析】在中，由 ，得到，再由椭圆的定义得到求解. 【详解】解： 在中，因为 ， 所以， 由椭圆的定义得：，两式求得，所以， 故答案为：1 34．已知椭圆的上、下顶点分别为，左顶点为，若，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】由得关系,变形后可求得离心率. 【详解】根据题意，所以离心率. 故答案为：． 35．已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则______. 【答案】8 【分析】根据为等腰直角三角形得到，代入计算得到答案. 【详解】椭圆，故，为等腰直角三角形，故， 故，即，. 故答案为： 36．已知点是椭圆上的一点，且位于第一象限内，以点及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为______. 【答案】 【分析】求出椭圆的焦距，利用给定的面积求出点P的纵坐标即可作答. 【详解】椭圆的焦点，，设点， 依题意，，又，于是， 所以点的坐标为. 故答案为： 37．设椭圆C：的左､右焦点分别为，，P是C上的点，，，则C的离心率为___________. 【答案】## 【分析】根据等腰直角三角形性质及勾股定理，得出、、，根据椭圆的定义以及离心率公式求解即可. 【详解】在中，设， 因为，所以，，所以 故 .故答案为：. 38．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线，交椭圆于点，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【分析】利用椭圆的标准方程和离心率计算公式求解即可. 【详解】由题意可得，， 因为轴，且，所以，则①， 又②，①②联立得， 所以，解得或（舍去），故答案为： 高考真题再现 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 2．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】解：因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B. 6．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 7．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 8．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 二、多选题 9．（2026·福建福州·统考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（    ） A．的离心率为 B．的周长为 C． D． 【答案】CD 【分析】由椭圆方程可确定，根据离心率，焦点三角形周长为可确定AB错误； 当为椭圆短轴端点时最大，由此可确定，知C正确； 根据可知D正确. 【详解】对于A，由椭圆方程知：，，离心率，A错误； 对于B，由椭圆定义知：，， 的周长为，B错误； 对于C，当为椭圆短轴端点时，， ，，即， ，C正确； 对于D，，，，D正确. 故选：CD. 10．（2020·山东·高考真题）已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD. 三、填空题 11．（2026·四川绵阳·）已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为___． 【答案】9 【分析】根据椭圆定义，整理代换可得，结合图形可得，运算求值． 【详解】根据题意可得： 则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点∴，即 ∵，即点A在椭圆内，， 当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立. 故答案为：9． 12．（2026·上海虹口·）已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________. 【答案】 【详解】因为是等边三角形，故，故关于轴对称，故轴.故，，故，又，故，故，即，所以， 故答案为： 课后巩固训练 一、单选题 1．已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意将点代入椭圆方程，结合离心率公式即可得解. 【详解】依题意可得，解得，故的方程是. 故选：A. 【点睛】本题考查了通过椭圆经过的点及离心率确定椭圆方程，考查了运算求解能力，属于基础题. 2． 设P为椭圆上一点，分别是C的左，右焦点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据椭圆定义，列方程组即可解得的长度. 【详解】椭圆的长半轴长为3， 由椭圆的定义可知，由，可得． 故选：C 3．“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出“方程表示椭圆”的充要条件，即可判断. 【详解】“方程表示椭圆”的充要条件为，即且. 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 4．已知椭圆C：的离心率为，以C的上､下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】根据题意，列出的方程组，解得，则问题得解. 【详解】根据题意，由椭圆的离心率为可得， 又，即，又，故可得，则椭圆的长轴长. 故选：. 5．已知是椭圆的一个焦点，，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于，的一点，若面积的最大值为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，，再结合，即得椭圆方程. 【详解】依题意得，，，解得，. 故选：A． 6．阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于a、b的方程组，求解方程组即可得答案． 【详解】解：由题意，设椭圆C的方程为， 因为椭圆的离心率为，面积为， 所以，解得，所以椭圆C的方程为， 故选：A. 7．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，若的垂直平分线过的下顶点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干条件得到，进而列出方程，求出，进而求出离心率. 【详解】由题可知，因为的垂直平分线过的下顶点，所以，则，解得：，所以的离心率. 故选：A 8．椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程可得，再结合三角形周长，得，进而可得离心率. 【详解】因为，所以. 因为的周长为，所以，所以，所以椭圆的离心率为， 故选：B. 9．设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（    ） A．14 B．13 C．12 D．10 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义可得的周长为；然后分析出当最小时，最大，从而求出的最小值即可. 【详解】由椭圆的定义，知，， 所以的周长为， 所以当最小时，最大. 又当时，最小，此时，所以的最大值为. 故选：A. 10．已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的对称性、椭圆的定义，结合直角三角形的判定方法、平行四边形的性质、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】设椭圆的上焦点为，显然，因为过原点的直线交于点， 所以有，因此四边形是平行四边形， 又因为，所以有， 因此三角形是以为斜边的直角三角形， 因为，所以， 因为是平行四边形， 所以，由椭圆的定义可知：， 故选：A 11．已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】设正三角形的边长为， 设椭圆的标准方程为：，设左、右焦点分别为， 设，则有， 由椭圆的定义可知：， ，解得：，， 在中，由余弦定理可知：， 故选：B 12．已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意及椭圆的定义，可求得、的长，根据三角函数定义，求得根据余弦定理，可求得，根据两角的关系，列出方程，代入离心率公式，即可得答案. 【详解】由题意得， 所以，则， 由椭圆的定义可得，所以， 因为，所以，解得，， 在中，， 在中，， 因为，所以，即， 所以所以. 故选：C 二、多选题 13．若椭圆的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有（    ） A． B． C． D．2 【答案】BCD 【分析】讨论两顶点的位置，由椭圆的性质结合勾股定理求解. 【详解】由题意可知，， 若这两个顶点为长轴的两个端点时，； 若这两个顶点为短轴的两个端点时，； 若一个顶点短轴的端点，另一个为长轴的端点时，； 故选：BCD 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在轴上方，若的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则（    ） A．点在第一象限 B．的面积为 C．的斜率为 D．直线和圆相切 【答案】BCD 【分析】对于A，设椭圆的上顶点为，，即可解决；对于B，求得为等腰三角形即可解决；对于C，由，即可解决；对于D，过作于，求得即可解决； 【详解】由题知，椭圆，焦点在轴上，， 所以，，所以， 所以，故B正确；因为的中点为， 所以，过作于，，故D正确； 因为，所以为中点，，故C正确； 设椭圆的上顶点为，，所以点在第二象限，故A错误； 故选：BCD 15．设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【分析】结合椭圆和双曲线的定义和离心率的求法，即可求得结果． 【详解】若曲线是椭圆则其离心率为； 若曲线是双曲线则其离心率为； 故选：AC 16．已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ） A．椭圆的离心率的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使得 D．的最小值为2 【答案】ABC 【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A； 根据离心率求出，则，即可判断B； 设上顶点，得到，即可判断C； 根据利用基本不等式判断D. 【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，解得， 所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A正确； 当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，，由于， 所以存在点使得，故C正确； ， 当且仅当时，等号成立，又，所以，故D不正确．故选：ABC 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的值可能为（    ） A．7 B．10 C．17 D．19 【答案】ABC 【分析】右焦点为，求出的范围，利用椭圆定义，从而可得出的取值范围，可判断各选项． 【详解】由题意可得，则，故．因为点P在椭圆E上，所以，所以，故，由于，所以，故的可能取值为7，10，17．故选：ABC． 【点睛】本题考查椭圆的定义，在涉及到椭圆上点到一个的焦点的距离时，可利用椭圆定义转化为到另一焦点的距离，从而得出相应范围． 18．球冠是指球面被平面所截得的一部分曲面，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．小明撑伞站在太阳下，撑开的伞面可以近似看作一个球冠．已知该球冠的底半径为，高为．假设地面是平面，太阳光线是平行光束，下列说法正确的是（    ） A．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是圆 B．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是椭圆 C．若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角，则伞在地面的影子为椭圆，且该椭圆离心率为 D．若太阳光线与地面所成角为，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的最大值为 【答案】ACD 【分析】先由已知条件求出圆面的半径，结合已知条件分别画出太阳光线与伞还原的球状，根据所成的不同角度，逐一判断伞在地面的影子形状，作出判断即可． 【详解】图一，在中，由于，解得； 选项A，太阳光线与地面所成角为时，如图二将伞还原成完整的球状，光线将打在半球上，球冠被完整照射，于是投影形成完整的圆，正确； 选项B，太阳光线与地面所成角为时，如图三球冠只有部分被照射，故不能形成椭圆，错误； 选项C，太阳光线与地面所成角，且伞柄沿着光线方向时，球冠被完整照射，如图四，而由于与地面成一定角度，投影被拉长，故形成影子为椭圆，短轴长度不变，长轴被拉长为原来的倍，则，离心率为，正确； 选项D，太阳光线与地面所成角为时，如图五，当垂直于光线，可最大程度拉长影长，而且球冠被完整照射，故投影成椭圆，此时长轴长为，正确； 故选：ACD 三、填空题 19．已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为___________. 【答案】＋＝1 【分析】根据题意求得a=3，两焦点恰好将长轴三等分，求得c=1，从而写出椭圆方程. 【详解】椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c＝·2a＝2，得c＝1，∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为＋＝1. 故答案为： 20．已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若，则点P到焦点的距离为_________________． 【答案】## 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】据题意，设， 则，得，解得， 所以，即．故答案为： 21．已知椭圆：和双曲线：，若的一条渐近线被圆截得的弦长为，则椭圆的离心率e为______． 【答案】 【详解】 的渐近线方程为 ，不妨设为 ， 圆 的圆心 ，到渐近线的距离= ， 对于 ： ；故答案为： . 22．已知椭圆的左､右焦点分别为，，AB是椭圆过点的弦，点A关于原点O的对称点为，，且，则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【详解】连接，，，设，因为，所以四边形为平行四边形而，故四边形为矩形，故.又，由椭圆的定义可得，，，即， 解得，∴是短轴的端点，且，，.故答案为：. 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $