精品解析：江苏省江阴市第二中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期12月阶段性检测试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式求得余弦值. 【详解】由诱导公式知， 故选：D 2. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则，解得. 故选：B 3. 设，则“”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的基本关系及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】判断充分性： 若，由得，，所以. 因此“”能推出“”，充分性成立； 判断必要性： 若，由得，，所以. 因此“”不能推出“”，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，结合正弦函数的单调区间分析求解. 【详解】因为， 且的单调递增区间为，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：C． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用诱导公式即可求解. 【详解】， 故选：A 6. 三个数，， 之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由中间值结合指数函数、对数函数单调性进行判断. 【详解】因为函数在单调递增，所以， 而由指数函数性质可知：，，所以， 因为函数在上单调递减，所以， 函数在上单调递增，所以，所以， 综上，. 故选：A. 7. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件利用完全平方公式以及同角三角函数关系式平方和为1求出的值，再结合，解得即可得出的值. 【详解】， ， ， ， 从而， ，可得， ，则且， ，与联解， 可得， 因此. 故选：B. 8. 已知奇函数在上单调递增，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得出，，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得的取值范围. 【详解】由已知可得，， 由可得， 因为奇函数在上单调递增，则， 所以，，解得. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定是“，使得” B. 集合，，若，则实数的取值集合为 C. 的最小值为2 D. 若正数，满足，则的最小值为3 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据全称命题的否定的性质，结合交集的运算性质、对数函数的性质、基本不等式的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为命题“，都有”的否定是“，使得” 所以本选项说法不正确； B：当时，，显然符合，因此本选项说法不正确； C：当时，，所以本选项说法不正确； D：因为，是正数， 所以由， 所以有， 即，当且仅当时，取等号， 即当时，的最小值为3，因此本选项说法正确， 故选：ABC 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 的图象关于点对称 D. 直线是图象一条对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数性质：最小正周期用公式；单调性代入正弦的单调区间不等式，解出范围，比对目标区间；对称性：对称中心（验证）；对称轴（验证）逐个分析即可. 【详解】选项A：正弦函数的最小正周期为， 本题中，故最小正周期，并非， 故A错误. 选项B：令，解得， 当时，递减区间为，而，故在上单调递减，故B正确. 选项C：，故是对称中心，故C正确. 选项D：，并非最值，故不是对称轴，故D错误. 故选：. 11. 下列关于函数的叙述正确的是（ ）． A. 的定义域为，值域为 B. 的图象关于轴对称 C. 当时，有最小值2，但没有最大值 D. 函数有2个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】 直接利用函数的图象和性质的应用，函数的单调性，函数的对称性，函数的值域判断、、、的结论． 【详解】解：根据函数的关系式， 画出函数的图象，如图所示： 对于：根据函数的图象，的定义域为，值域为，故错误； 对于：函数的图象关于轴对称，故正确； 对于：如图所示：当，时，有最小值2，但没有最大值，故正确； 对于：令，设，则函数和函数的图象有两个交点，即函数有两个零点，故正确． 故选：． 【点睛】本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，函数的单调性，函数的对称性，函数的值域，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，”是假命题，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得不等式解集不是，故，可求k的取值范围. 【详解】由题意可知，，解得，故k的取值范围为． 故答案为：. 13. 计算：_______________ 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】原式. 故答案为：. 14. 若函数，当时，有最小值，则实数a的取值范围是________， 【答案】 【解析】 【分析】作出在的图象，通过分析的位置可确定何时有最小值，从而确定的范围. 【详解】由指数函数和二次函数图象可得在上的图象如下图所示， 显然当时，，此时有最小值； 当时，，没有最小值， 实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知． （1）若角的终边过点，求； （2）若，分别求和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得. （2）根据齐次式的知识求得正确答案. 【小问1详解】 ， 若角的终边过点，则， 所以. 【小问2详解】 若， 所以； . 16. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）当时，求函数的最大值，以及取得最大值时的值． 【答案】（1）；（2）时，取得最大值为1． 【解析】 【分析】（1）结合二次方程与二次不等式的关系及二次不等式的求法即可求解， （2）化简，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）由题意得， 因为方程有两个不等实根，， 又二次函数的图象开口向下， 所以不等式的解集为 （2）， ，， ， 当且仅当，即时取等号． 综上，时，函数的最大值为1． 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解及利用基本不等式求解最值，属于基础试题． 17. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用给定条件结合对数函数的性质求解值域即可. （2）利用换元法转化为二次函数在给定区间上的最值问题，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 当时，， 因为，所以，故， 故，故函数的值域为. 【小问2详解】 因为的最小值为， 所以的最小值为， 令，所以的最小值为， 由二次函数性质，得的对称轴为， 当时，在上单调递增， 所以，解得 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得(负根舍去)； 当时，在上单调递减， 所以，解得(不在范围内，舍去)， 综上，实数的值为或. 18. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择： A．；B．；C．． （1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： ①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 【答案】（1）模型C，理由： 模型A．，因为，所以匀速增长， 模型B．，因为，先慢后快增长， 模型C．，因为，先快后慢增长， 所以模型C最符合题意. （2）①210万元； ②不会. 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象性质即可选择模型； （2）①令解对数不等式求解，②即，结合函数图象的增长速度解释. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元， 所以，即， 又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元， 所以，即， 由解得，所以， ①如果总奖金不少于9万元，即， 即，即，解得， 所以至少应完成销售利润210万元. ②设，即， 因为与有交点， 且增长速度比慢， 所以当时，恒在的下方， 所以无解， 所以总奖金不会超过销售利润的五分之一. 19. 设函数(，且)是定义域为R的奇函数. （1）求的值； （2）若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围； （3）若函数的图象过点，是否存在实数，使函数在上的最大值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，实数. 【解析】 【分析】（1）根据为上的奇函数，可得，代入求解得的值，再检验得到的值是否符合题意；（2）先根据，求出的取值范围，，然后利用定义法判断的单调性，再根据对一切恒成立，得到关于的不等式，利用恒成立思路求解；（3）根据函数过点，求出，再令，根据是单调递增函数，得的范围，然后得到，再利用二次函数的最值求解的值. 【详解】（1）是定义域为上的奇函数， ，且，所以， ，经检验知符合题意. （2）由（1）得， ，所以，又， 由，得， 为奇函数，， 为上的增函数， 对一切恒成立，即对一切恒成立， 故，解得. （3）函数的图象过点， ，假设存在实数符合题意， 由，得， 设，则， ，，记， ∴则函数在有最大值为， （i）若对称轴， ，不合题意. （ii）若对称轴， ， 综上所述：故存在实数，使函数在上的最大值为. 【点睛】对于函数中求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题；对于函数中的恒成立问题，转化为，转化为计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期12月阶段性检测试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 设，则“”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 三个数，， 之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数在上单调递增，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定是“，使得” B. 集合，，若，则实数的取值集合为 C. 的最小值为2 D. 若正数，满足，则的最小值为3 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 的图象关于点对称 D. 直线是图象一条对称轴 11. 下列关于函数的叙述正确的是（ ）． A. 的定义域为，值域为 B. 的图象关于轴对称 C. 当时，有最小值2，但没有最大值 D. 函数有2个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，”是假命题，则实数k的取值范围为______． 13. 计算：_______________ 14. 若函数，当时，有最小值，则实数a的取值范围是________， 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知． （1）若角的终边过点，求； （2）若，分别求和的值． 16. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）当时，求函数的最大值，以及取得最大值时的值． 17. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若函数的最小值为，求实数的值. 18. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择： A．；B．；C．． （1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： ①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 19. 设函数(，且)是定义域为R的奇函数. （1）求的值； （2）若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围； （3）若函数的图象过点，是否存在实数，使函数在上的最大值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $