精品解析：江西省某校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

吉安八中2025—2026学年上学期第二次月考 九年级数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）（共18分） 1. 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 五一期间某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“洗洁精”区域的次数 88 100 136 345 546 701 落在“洗洁精”区域的频率 假如你去转动该转盘一次，你估计获得洗洁精的概率约是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数的图象在各自的象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，点P是延长线上一点且，交于点E，交于点H，交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根是______． 8. 我们可以把较短边与较长边的比值是黄金分割比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感，现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那相邻一条较短边的边长等于______厘米．（结果保留根号） 9. 若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是_____． 10. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是_______． 11. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______________________．（用“”表示） 12. 如图，正方形的边长为5，点是边上的中点，连接，在线段上有一点，若点到正方形一边的距离为2，则的长为 ______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列各题 （1）． （2）若且，求的值； 14. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树高． 15. 《哪吒2》自年1月日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． A—哪吒 B—太乙真人 C—申公豹 D—敖丙 （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”（A与D组合或B与C组合），求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率． 16. 如下图，已知四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）如图（1），点P为上任意一点，作直线将菱形分为面积相等的两部分； （2）如图（2），点E、F为边中点，以为边作一个矩形． 17. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若是上述方程的两个实数根，且满足，请求出k的值及相应的实数根． 19. 如图，一次函数（k、b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象在第二象限交于点，与y轴负半轴交于点B，且 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求三角形的面积； （3）根据图象直接写出当时，不等式的解集． 20. 如图，在菱形中，对角线相交于点于点，且，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的面积为，求矩形的周长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点．，，连接，．若， （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 22. 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”，例如：点，因为，，所以A是“等值点”． （1）在点，，中，是“等值点”的有：_____； （2）若点E为双曲线，上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求证：点F为“等值点”； （3）若一次函数的图象在第一象限内有两个“等值点”，求b的取值范围． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． （2）迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． （3）拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安八中2025—2026学年上学期第二次月考 九年级数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）（共18分） 1. 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】我们从方程的限定词入手，“一元”的意思是等式中只含有一种未知数（不限定该未知数出现的次数）；“二次”的意思是未知数的最高次数是二． 【详解】解：A、是二元一次方程，故A错误； B、是一元一次方程，故B错误； C、属于一元二次方程，故C正确； D、是分式方程，故D错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 2. 五一期间某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“洗洁精”区域的次数 88 100 136 345 546 701 落在“洗洁精”区域的频率 假如你去转动该转盘一次，你估计获得洗洁精的概率约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性原理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．理解用频率估计概率是解题的关键，根据利用频率估计概率即可求解． 【详解】解：由表格可知：获得洗洁精的概率约是； 故选：B． 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，熟识三视图的特点是解题的关键； 观察给出的图形可知，从正面看上面是一个矩形，下面可以看到三个长方形， 【详解】从正面看，该几何体的主视图是上面一个矩形，下面三个长方形， 故选：A． 4. 已知反比例函数的图象在各自的象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数大于时，函数图象在第一、三象限，且在各自象限内随的增大而减小，得出，然后求解即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数在各自象限内随的增大而减小， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解. 【详解】设点的横坐标为， 则、间的横坐标的差为，、间的横坐标的差为， 放大到原来的倍得到， ， 解得：. 故选：A. 【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键. 6. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，点P是延长线上一点且，交于点E，交于点H，交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．四边形是正方形，证明四边形是平行四边形可判断①；作交于Q，证明和，利用相似三角形的性质得到，进而证明得到，利用平行线的判定可判断②；证明得到＝＝，结合可判断③；利用勾股定理求得，得到＝＝可判断④，进而可得答案． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 故①正确， 作交于Q， ∴，， ∴ ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则，又， ∴， ∴， ∴， 故②正确， 由得， ∴＝＝， ∵， ∴， ∴③不正确， 在中，，， ∴， ∵， ∴＝＝， ∴， 故④不正确， 综上，正确的有2个． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】设另一个根为α，根据根与系数的关系得到，，求出a值即可得到另一个根． 【详解】解：设另一个根为α， ∵关于x的一元二次方程有一个根是1， ∴，， ∴， 解得：a=1， 经检验：a=1是原方程的解， ∴α= 故答案为：． 【点睛】此题考查了根与系数的关系．注意常用以下关系：x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根时，x1+x2=，x1x2=． 8. 我们可以把较短边与较长边的比值是黄金分割比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感，现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那相邻一条较短边的边长等于______厘米．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．据此列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设相邻一条较短边的边长等于厘米， ∴， 解得， 故答案为：． 9. 若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 10. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】过点作于，交于， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 11. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______________________．（用“”表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质． 由可知反比例函数的图象位于第二、四象限，在第二象限函数值大于，在第四象限，随着自变量的增大，函数值增大，函数值小于，由此可得，，的大小关系． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵点，，在反比例函数的图象上，， ∴点，在第四象限，点在第二象限， ∴，， ∴，，的大小关系是， 故答案为：． 12. 如图，正方形的边长为5，点是边上的中点，连接，在线段上有一点，若点到正方形一边的距离为2，则的长为 ______． 【答案】，或 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得，再分三种情况求的长，一是于点，且，此时；二是于点，且，此时；三是于点，且，此时，根据相似三角形的对应边成比例分别求出相应的的长即可． 【详解】解：四边形是正方形，且它的边长为5， ，，， ， ， 如图1，作于点，使， ，， ， ， ； 如图2，作于点，使， ，， ， ， ； 如图3，作于点，使， ，， ， ， ， ， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列各题 （1）． （2）若且，求的值； 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，比例性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用因式分解法解方程即可； （2）用设参数法求代数式的值，设 ，则，代入所求式子化简即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：设 ， 则， 代入所求式子： ． 14. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】树高 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴，即树高． 15. 《哪吒2》自年1月日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． A—哪吒 B—太乙真人 C—申公豹 D—敖丙 （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”（A与D组合或B与C组合），求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用概率公式直接求解； （2）先画出树状图，再求概率． 【小问1详解】 解：∵某款盲盒里有哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片四张， ∴从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片恰好一套的结果有4种， ∴抽到的两张卡片恰好一套的概率为． 16. 如下图，已知四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）如图（1），点P为上任意一点，作直线将菱形分为面积相等的两部分； （2）如图（2），点E、F为边中点，以为边作一个矩形． 【答案】（1） 如图中，连接交于点，连接延长交于，直线即为所求． 理由：是菱形， ， ， ， ， ， ， 即直线将菱形分为面积相等的两部分． （2） 如图中，连接交于点，连接，延长交于，连接，延长交于，连接，矩形即为所求作． 理由：是菱形， ， ， ， ， ∵点E、F为边中点， 点H、G为边中点， ， ， 是矩形． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接延长交于，直线即为所求． （2）连接交于点，连接，延长交于，连接，延长交于，连接即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了个人 （2）经过三轮传染后共有个人会患流感 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，熟练掌握传播问题解法是解决问题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，则开始是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中求得每轮传染中平均一个人传染人数，直接计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则开始时是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人， ， 则， 即， 或， 解得或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人； 【小问2详解】 解：经过第二轮传染后共计81人，则第三轮传染人， 经过三轮传染后，会患流感人数为人， 答：经过三轮传染后共有个人会患流感． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若是上述方程的两个实数根，且满足，请求出k的值及相应的实数根． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）当时，或，当时，或 【解析】 【分析】（1）计算其判别式，判断其为正数，即可证得结论； （2）由根与系数的关系可求得和的值，代入已知等式可得到关于k的方程，可求得k的值，再代入方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是上述方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴，即，解得或， 当时，方程为，解得或， 当时，方程为，解得或． 【点睛】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，利用根与系数的关系表示出两根积与两根和是解题的关键． 19. 如图，一次函数（k、b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象在第二象限交于点，与y轴负半轴交于点B，且 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求三角形的面积； （3）根据图象直接写出当时，不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，三角形面积，函数与不等式的关系，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式． （1）将坐标代入即可求得反比例函数解析式，利用求出点坐标，将两点代入即可求出一次函数解析式； （2）利用三角形面积公式求得即可； （3）根据图象数形结合即可求得． 【小问1详解】 解：把点代入为常数，得： ， 反比例函数的解析式， ， ， ， 点的坐标为， 把，代入得： ， 解得， 一次函数的解析式； 【小问2详解】 解：∵，， ； 【小问3详解】 解：当时，不等式的解集为． 20. 如图，在菱形中，对角线相交于点于点，且，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的面积为，求矩形的周长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，即， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、等边三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，熟练运用相关知识点是解题的关键． （1）根据菱形的性质以及旋转的性质可得，可得到四边形是平行四边形，即可求证； （2）证明是等边三角形，可设，则，，再由菱形的面积为，可得x的值，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在中，， ， 是等边三角形， ， 设，则， ， 解得：（负值已舍去）， ， ∴矩形的周长为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点．，，连接，．若， （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：由作法得， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 而， ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． （1）先判定为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，则根据等角的补角相等得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据等边三角形的性质得到，由于，则根据相似三角形的性质得到，即，从而可求出的长，解得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为等边三角形， ， ， ， 即， 解得． 22. 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”，例如：点，因为，，所以A是“等值点”． （1）在点，，中，是“等值点”的有：_____； （2）若点E为双曲线，上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求证：点F为“等值点”； （3）若一次函数的图象在第一象限内有两个“等值点”，求b的取值范围． 【答案】（1）D； （2） 证明：∵点E为双曲线()上任意一点， ∴可设点， 将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F， 则点F的坐标是， ∵，， ∴， ∴点F为“等值点”． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据“等值点”的定义分别进行判断即可； （2）由点E为双曲线，上任意一点可设点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，则点F的坐标是，根据“等值点”的定义进行计算后即可证明； （3）设一次函数的图象在第一象限内“等值点”坐标为，由“等值点”的定义得到，由在第一象限内有两个“等值点”得到，，即可得到b的取值范围． 【小问1详解】 解：点，因为，， ∴， ∴不是“等值点”； 点，因为，， ∴， ∴不是“等值点”； 点，因为，， ∴， ∴是“等值点”, 故答案为： 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 设一次函数的图象在第一象限内“等值点”坐标为， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵在第一象限内有两个“等值点”， ∴，， ∴． 【点睛】此题是新定义题，考查了一次函数和反比例函数的性质，分式的混合运算，一元二次方程根的判别式和根与系数关系，读懂题意，准确计算是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． （2）迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． （3）拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】（1）①5；②4 （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）或 【解析】 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【小问1详解】 解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $