课时作业76 概率统计与其他知识的综合问题-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

班级： 姓名： 课时作业76 概率统计与其他知识的综合问题 (总分：60分) 基础巩固 2.(13分)(2024·安微合肥三模)在2024年高考前 夕，合肥一六八中学东校区为了舒展年级学子身 1.(13分)(2024·山东菏泽模拟)已知A,B两个盒子 心，缓解学子压力，在一周内（周一到周五）举行了 中各有一个黑球，一个白球.每次从两个盒子中各 别开生面“舞动青春，梦想飞扬”的竞技活动，每天 随机取出一个小球交换后放回.记n次交换后，B 活动共计有两场，第一场获胜得3分，第二场获胜 盒子中有一黑一白两个小球的概率为P,A盒子 得2分，无论哪一场失败均得1分，某同学周一到 中黑球的个数为X 得分 周五每天都参加了两场的竞技活动，已知该同学 (1)求Pm: 第一场和第二场竞技获胜的概率分别为p(0< (2)求X。的数学期望E(Xn). 力<1》，子，且各场比赛互不影响。 得分 ①)若D分，记该同学一天中参加此克技活动的 得分为，求：的分布列和数学期望； (2)设该同学在一周5天的竞技活动中，恰有3天 每天得分不低于4分的概率为f(p),试求当p取 何值时，(p)取得最大值. (横线下方不可作答)431☐第十章计数原理、概率 3.(17分)(2024·广东汕头三模)假设甲同学每次投 素养提升 篮命中的概率均为 1 得分 4.(17分)(2024·山东济南二摸)11分制乒乓球比 (1)若甲同学投篮4次，求恰好投中2次的概率. 赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球 (2)甲同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即 交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结 停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数X的概率分 束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时 布列及数学期望。 2 (3)为提高投篮命中率，甲同学决定参加投篮训 甲得分的概率为3，乙发球时甲得分的概率为2， 练，训练计划如下：先投n(n∈N*,n≤33)个球， 各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成 若这n个球都投进，则训练结束，否则额外再投 10:10平后，甲先发球. 得分☐ (100一3n)个.试问n为何值时，该同学投篮次数 (1)求再打2球该局比赛结束的概率； 的期望值最大 (2)两人又打了X个球该局比赛结束，求X的数学 期望E(X); (3)若将规则改为“打成10：10平后，每球交换发 球权，先连得2分者获胜”，求该局比赛甲获胜的 概率. 红对勾·讲与练 432] 高三数学15.ADD(X)=p1-p)=n[-(D 2）+]aeNo<b<1w. 六当力= 时，D(X)取得最大值， 2 故A正确，B错误；P(X=k)= C×p×(1-p)”-(k=0,1,2,…, n),..P(A)=CXpX (1-p)"+ C×p×(1-p)"-2+C×p×(1 p)"十…，1-P(A)=C,Xp1X (1-p)-1+C%×p3X(1-p)-3+ CXp5×(1-p)-5十…P(A)= [(1-p)十p]”+[(1-p)-p]” 2 1+1,2D》,当之<p<1时， 1 2 -1<1-2p<0,{(1-2p)"}为正 负交替的摆动数列，.P(A)不会随 着n的增大而减小，故C错误；当0 p<时0<1-2p<1, 为正项且单调递减 2 的数列，∴，P(A)随着n的增大而减 小，故D正确.故选AD. 课时作业75 概率统计的综合问题 1.解：(1)1500×(0.00375十0.00100+ 0.00025)×80=600, 故可估计阅读速度达到620字/分及 以上的人数为600. (2)从中随机抽取一人，其阅读速度达 到540字/分及以上的概率为 (0.00500+0.00375+0.00100+ 0.00025)×80=0.8, X的可能取值为0,1,2,3， P(X=0)=C9×0.23=0.008, P(X=1)=C×0.8×0.22=0.096, P(X=2)=C×0.82×0.2=0.384, P(X=3)=C×0.83=0.512, 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 期望为E(X)=3X0.8=2.4. (3)E(X)=E(Y),理由如下：这10名学 生中，阅读速度达到540字/分及以上的 人数为8，则Y的可能取值为1,2,3， P(Y=1)= cc 8 1 C 120 151 cc 56 7 P(Y=2)= 120 151 CC? 56 7 P(Y=3)= 120 151 则E(Y)=1× 7 15 +2> 2.4,故E(X)=E(Y). 2.解：(1)由题设列联表，有 x:=200×(70×50-50×30y2 120×80×100×100 25 ≈8.33>6.635， 3 故有99%的把握认为学生对“三项体 育活动中要有篮球”这种观点的态度 与性别有关 (2)①事件A,B独立，理由如下： P(A)=子，P(B)= C·C Cg·C 3 C. P(AB)= C.CFg则PAB) P(A)·P(B),故事件A,B独立. ②训练后X~V(195,13),P(X 182)=P(X>4-6)= 合+Pa=aX<+o≈ 2 1+0.6827=0.84135, 2 故预估经过训练后该校学生每分钟跳 182个以上的人数为0.84135× 1000≈841. 3.解：(1)依题意， ,-),-y b= i=1 x,- i=l ∑x,y- 85.2-5×3×4.7 ∑x-5z 55-5×32 ,=1 1.47, a=y-bx=0.29,所以y=1.47x+ 0.29.当x=10时，y=14.99, 故第10天入校参观的人数约为14.99 千人. (2)记“两名参观者从不同门进校”为 事件A,“两名参观者都从1号门离校” 为事件B,即求P(A|B). P(B)=2 1 1 2二4 1 1 1 P(AB)-2X3X2X3 ×2 ,所以P(A1B)= 1 P(AB)4 P(B)9· 故他们从不同门进校的概率为专 4.解：(1)(i)由t≈2.5，y≈38.9， ∑t,-i)(y,-y)≈81.0， i=1 -639- ∑(t-t)(y-) 81.0 有b= 3.8 =1 21.3,且a=y-bt≈38.9-21.3× 2.5≈-14.4， 所以模型②中y关于x的经验回归方 程为y=21.3√元-14.4. (i)由表格中的数据，有182.4> 79.2,即7182.4 79.2 i=1 =1 模型①的R2小于模型②，说明回归模 型②刻画的拟合效果更好. 当x=16时，模型②的年收益增量的 预测值为y=21.3×√16-14.4 21.3×4-14.4=70.8(万元)， 这个结果比模型①的预测精度更高、 更可靠 (2)由已知单个“南澳牡蛎”的质量 专~N(32,16),则4=32,0=4， 由正态分布的对称性可知， p发<20)=21-P20<< 44)]=[1-P(以-36<ξ<4 30)]≈2×1-0.970=0.013. 设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其 中质量小于20g的牡蛎为X只， 故X~B(10,0.0013), 所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1 (1-0.0013)10≈1-0.9871= 0.0129, 所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质 量小于20g的牡蛎的可能性仅为 1.29%. 课时作业76概率统计 与其他知识的综合问题 1.解：(1)依题意，第一次交换共有4种情 况，其中有2种情况交换后，B盒子中 仍为一黑一白两个小球， 另外2种情况交换后，B盒子中有两个 黑球或两个白球，再次交换后，B盒子 中必为一黑一白两个小球， 则，=1，=P1=P十 1 (1-Pn)=1- P.. 因此数列卫.-号}是以P一号 2 一为首项，一为公比的等比数列 1 即P一3 所以P,= 2 3+ 参考答案“☑ (2)依题意，X,的可能取值为0,1,2， PX.=0)=子PP(X.=1) 3P1+1-p = 1-p P(X=2)=1P,1, 所以E(X)=0×P1+1× (1-2P.)+2×P.4=1. 2.解：(1)由题可知，的可能取值为2,3， 4,5. 因为p=子，所以P(=2》 3十 2 2 4 3 9 1 P(=4)= 1 P( 5)= 1 2 3 3 9 故：的分布列为 5 2 3 4 5 2 4 1 2 P 9 9 9 9 的数学期望E()=2X号+3 4x日+5×号=9 (2)设“一天得分不低于4分”为事件 A,则P(A)=p×号+pX=p, 3 则f(p)=Cp3(1-p)2=10p3(1 p),0<p<1, 则f'(p)=30p(1-p)2-20p3(1 p)=10p2(1-p)(3-5p), 3 当0<p<5时，f(D)>0:当 p<1时，f'(p)<0, 所以f(p)在(0，)上单调递增，在 (号，1)上单调递减，故当p= 3 时， f(p)取得最大值. 3.解：(1)依题意，甲同学投篮4次，恰好 投中2次的概率为 c(2).-2）= (2)投篮次数X的可能取值为2,3,4， 1 P(X=2)= 1 4 1 1 1 P(X=3)= 2 8 1 1 5 P(X=4)=1 4 8 8 所以X的分布列为 X 2 3 4 1 5 P 4 8 2对勾·讲与练·高三数学 所以EX)=2×+3×号+4× - (3)设甲同学投篮次数为Y,则Y的可 能取值为n,n十100-3n=100-2, n∈N",n33, 于是P(Y=n)= 2,P(Y=100 1 2n)=1- 2 数学期望E(Y)=n· 2 ,+(100 2m(-2）=,10 2 -2m十100. 令f(n)= 3n-100 2” -2n+100,n∈ Nn≤33，则f(n+1)=3n-97 2+1 2n+98,f(n+1)-f(n)= 103-3n-2+2 2m+1 因为g(x)=103-3x-2+2,x∈R 显然为单调递减函数， 则数列{103一3n一2m+2}是递减的， 当n≤4时，103-3n-2+2>0,f(n十 1)>f(n),当n≥5时，103-3n 2+2<0,f(n+1)<f(n), 即有f(1)<f(2)<f(3)<f(4)< f(5)>f(6)>f(7)>…,因此f(5) 最大， 所以当n=5时，甲同学投篮次数的期 望值最大， 4.解：(1)10：10平后，设事件A,=“第i 个球甲得分”，则A,=“第i个球乙得 分”，设M=“再打2球该局比赛结 束”，则M=A1A2十A1A2, 所以P(M)=P(A1A,十A1A2)= PA)PA:)+PA)PA)=子× (2)X的可能取值为所有正偶数2,4， 6,…,2k,…(k∈N“), 考虑第(2k一1)个球与第2k个球(k= 1,2,3,…),如果这两球均由甲得分或 均由乙得分，则比赛结束；如果这两球 甲，乙各得1分，则比赛相当于重新开 始.由(1)得这两球甲、乙各得1分的概 率为1-PM)= 所以P(X=2)=P(MD=2: 1 P(X=4)= 1 2 P(X=6)= (分)×2=日… -640- 所以E(X)=2×号+4×是+6× 1 1 十…， 1 1 1 记S:=2×2+4×2京+6X 2k×2 则2=2×+4X交+6X 1 2+…+(2k-2)×+2k×2, 以上两式相减得2S,=1十2×十 1 1 1 1 2 1 1- 一kX2 2 2 所以S4=4-2十 2-1, 当k趋近于十∞时，S。趋近于4，所以 E(X)=4. (3)设再打n个球比赛结束且甲获胜 的概率为p,(n≥2)， 当n为奇数时，pn=石力，P=p中 -()] 力十…十pn= 1-日 -(后)]· 当n为偶数时p=3力，P%=p, -(传)] p1十…十pn三 1-3 0-(传)] 所以该局比赛甲获胜的概率为 P香十P例= [-(合)] -(g)] 当n趋近于十∞时，P奇十P偶趋近于 2,119 15十2=30 所以该局比赛甲获胜的概率为品