第8章 微专题十 圆锥曲线中的证明、探索性问题-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

第八章平面解析几何 进 求证：|FP一|FP|cos2a为定值，并求出此 ②证明点到直线的距离为定值：利用点到直线 定值 的距离公式得出距离解析式，再利用条件化简，即可 证明； ③证明线段长度、斜率、图形面积（或以上量的 和、差、积、商)等为定值：写出各量的目标函数解析 式，再消去参数即可。 (2)常用策略 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量 无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去 变量，从而得到定值. 【对点训练3】(2024·山东济南三模)如图所示， 抛物线y2=2x(p>0)的准线过点(-2,3). (1)求抛物线的标准方程； (2)若角a为锐角，以角α为倾斜角的直线经 过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A,B两 温馨提示) 学习至此，请完成课时作业63 点，作线段AB的垂直平分线1交x轴于点P, 215 微专题 圆锥曲线中的证明、探索性问题 考试要求 掌握圆锥曲线中的证明、探索性问题的一般解法，进一步提升数学运算素养. 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1证明问题 【例1】 (2024·会国甲卷)设椭圆C:a 6 1a>≥6>0)的右焦点为下，点M,》在C 上，且MF⊥x轴 (1)求C的方程； (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点，N 为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点 Q,求证：AQ⊥y轴. 心听课记录 2闪·讲与练·高三数学 规律总结 考点2探索性问题 圆锥曲线中常见的证明问题 (1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切， 【例2】 (2024·天津卷)已知椭圆三大2 b2 =1 直线间的平行、垂直，直线过定点等， (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相 (a>b>0),椭圆的离心率e= 2,左顶点为 等等 A,下顶点为B,O为坐标原点，C是线段OB的 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般 中点，其中S△ABC 3√3 采用直接法，通过相关的代数运算证明. 2 【对点训练1】(2024·北京顺义区三模)已知椭 (1)求椭圆的方程， 圆C:+1a≥b≥0)的左顶点为A(-2 (2)过点(0，- )的动直线与精圆有两个交 点P,Q,在y轴上是否存在点T使得TP· 0)上、下顶点分别为B,B离心率为 2 TQ≤0？若存在，求出点T纵坐标的取值范 (1)求椭圆C的方程； 围；若不存在，请说明理由。 (2)设点P是椭圆C上一点，不与顶点重合，M 听课记录 满足四边形PB,MB2是平行四边形，过点P作 垂直于y轴的直线交直线AB,于点Q,再过点 Q作垂直于x轴的直线交直线PB,于点N,求 证：A,M,N三点共线. 216 规律总结 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若 探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成 立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求 出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉 及对参数的讨论. 第八章平面解析几何 进 【对点训练2】(2024·陕西西安一模)在平面直 等分角的方法：己知角a(0<a<π)的顶点为 角坐标系xOy中，已知抛物线S:x2=2y A,在a的两边上截取|AB=AC|,连接 (p>0),其焦点为F,过点F的直线l交抛物 BC,在线段BC上取一点O,使得|BO|= 线S于A,5两点.1A5-日=60（如图 2|CO|,记BO的中点为D,以O为中心，C, D为顶点作离心率为2的双曲线M,以A为圆 (1)求抛物线S的方程. 心，AB为半径作圆，与双曲线M左支交于点 (2)在抛物线S上是否存在关于直线1对称的 E(射线AE在∠BAC内部)，则∠BAE= 相异两点？若存在，求出该两点所在直线的方 程；若不存在，请说明理由. 3∠BAC.在上述作法中，以0为原点，直线 BC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 若B(-2,0),点A在x轴的上方 (1)求双曲线M的方程 (2)过点A且与x轴垂直的直线交x轴于点 B G,点E到直线AG的距离为d,连接BE. 求证：OBEL为定值： d ②∠BAE=3∠BAC. 心听课记录 217 创新点@ 解析几何中的创新问题 解析几何的创新题型的表现形式有两种：①定 义新的解析几何的概念或性质，如曲线、距离、曲率 等，在此新定义下研究定点、定值、最值、范围等问 题；②与其他数学知识交汇命题，如与数列、导数、立 体几何等，借助这些数学知识解决解析几何问题. 【典例】三等分角是古希腊 几何尺规作图的三大问题 之一，如今数学上已经证 明三等分任意角是尺规作 图不可能问题，如果不局 温馨提示0 限于尺规，三等分任意角 学习至此，请完成课时作业64 是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三将此式代入y2=8x,得k2x2一4(k2十 2)x+4k2=0, 4(k2+2) 故xA十xB= k2 设直线l与AB的交点为E(xE,yE), 则x6= xA十xB_ 2(k2十2) 2 2 E= 6xE-2》= 故直线1的方程为y一冬 （) 令y=0,得点P的横坐标为xp= 2k2十4 k2 4 故1FPI=xp-2=4k+1D k2 4 sin a 4 .「FP|-|FP|cos2a= -(1 sin a cos 2a ) 4×2sin2a =8, sin a ∴.FP-FP|cos2a为定值8. 微专题十 圆锥曲线中的 证明、探索性问题 关键能力提升 例1解：(1)设F(c,0),由题设有c=1 且g=，故-1=3 a 2 0 故a=2,故b=√5，故椭圆方程为 (2)证明：直线AB的斜率必定存在，设 直线AB的方程为y=k(x一4)， A(x1y1),B(x2y2), 3.x2+4y2=12, 由《 y=k(x 可得(3+4k2)x2 -4) 32k2x+64k2-12=0, 故△=1024k1-4(3+4k2)(64k2 1201>0:解得-号 ∠k 21 32k2 又x1十x2= 3十4k2 64k2-12 x1x2= 3十4k2 而N(号，0)，故直线BN的方程为 y=”-） 2 3 2 故yQ= -3y2 5 2x2-5 x2一 2 3y2 所以y1一yQ=1十2x2-5 y1×(2.x2-5)十3y2 2x2-5 k(x1-4)X(2x2-5)十3k(x2-4) 2x2-5 2x1x2-5(x1+x2)+8 2x2-5 2 64k-12-5× 32k2 3+4k2 k X- +46+8 2.x2-5 128k2-24-160k2+24+32k2 3+4k2 k× 2x2-5 =0, 故y1=ya,即AQ⊥y轴. 对点训练1解：()因为椭圆C: y2 方京=1(a>b>0)的左顶点为A(-2, 0),所以a=2, 又后-复所以c=5,所以8 Q2-c2=1,所以椭圆C的方程为子 y2=1. (2)证明：由(1)知B1(0,1),B2(0,一1)， 设直线PB2的方程为y=kx-1,k≠ 0,k≠士2 1 y=x-1, 联立x 十y2=1, 可得(4k2+1)x2-8kx=0, 解得=0，或 1 8k k2+1 y=-1 y 4k2-1 4+1 所以P(一》 4k2-1） 如图，因为四边形PB1MB2是平行四 边形，由椭圆的对称性可知点P与点 M关于原点对称， 所以M(e华) 直线AB,的方程为y=之x十1，把 y 4k2-1代入可得工=4十了' -4 4k2+1 -44k2-1 所以Q(:+4+i)小 一4 把x=十代入y=红一1可得 地普) 所以过A,N的直线的斜率为kAN= -(2k+1)2 4k2+1 -(2k+1)22k+1 4 2一软十1 24的-=2-4， -519- 过A,M的直线的斜率为 1-4k2 4k2+1 1-4k2 kAM= 8k 2- 2(1-2k)2 4k2+1 2k+1 2-4k =kAN 所以A,M,N三点共线」 B, 例2解：(1)因为椭圆的离心率为e= 方故a=26=5c其中C为半您 距，所以A(-2c,0),B(0,-3c), c(0,-9）,故SAr= 1 2 ×2cX 誓-9 2 故c=√5，所以a=25,b=3,故椭圆 的方程为品苦 =1. (2)假设存在满足条件的点T,设T(0, ,若过点(0，一)的动直线的斜率 存在，则可设该直线的方程为y= 设P(x1,y1),Q(x2y2）, /3x2+4y2=36, 由 3 y =kx-2 可得(3+4k2)x2-12kx-27=0, 故△=144k2+108(3十4k2)=324+ 576k2>0,且x1十x2= 12k 3十4k21 27 x1x2= 3+4k2 而T币=(x1y1-t),T=(x2y, t),故T币.T=x1x2十(y1-t)(y2 )=:+(a-名-)(a 名-)=1+)：-（停+小 1+x:)+(停+)=1+)× (7)-(侵+小× (+) -22--w2-11+3(号+）'+8+0 3+4 参考答案“☑。 [3+2P-1a-5+3(g+）°-a 3+4k 因为T币.T≤0， 1(3+2t)2-12t-45≤0， 所以 (层+ -27≤0， 解得一3≤1≤号 若过点(0，- 名)的动直线的斜率不 存在，则P(0,3),Q(0,-3)或P(0, -3),Q(0,3), 此时需一3≤t≤3. 3 综上，可得-3≤t≤之 故在y轴上存在点T,使得T户.T≤ 0,点T纵坐标的取值范围为[一3，】 37 对点训练2解：(1)抛物线S:x2=2py 的焦点F0,会），直线1的方程为y √5 设A(x1y1),B(x2y2), 3x十2消去y得。 x2=2py, 25px-3p”=0(显然4>0)，则x1十 *:=23 b, y1十y2= (1十x)十p=3 5 3 |AB|=|AF+|BF|=y1+y:+ 8 力=3D 于足受=9解得=2 所以抛物线S的方程为x2=4y. (2)由1)知直线1：y=5 3x+1, 假设在抛物线S上存在关于直线！对 称的相异两点，设这两点坐标为 M(). 于是直线MN的斜率kw= 44 1 x3一x1 4 -(x十x1)=一√5，解得 x3十x1=-45. 线段MN的中点(-2√，yo)在直线l 上，则y。=一1，而（一2√3，y。)应在线 段AB上，必有y。>0,与y。=-1矛 盾，所以在抛物线S上不存在关于直 线1对称的相异两点。 红对勾·讲与练·高三数学 【创新点】解析几何中的创新问题 解)设双曲线M的方座老 =1(a>0,b>0), y' 由BO=2C0及B(-2,0),可得 C(1,0),所以a=1, 因为双曲线M的离心率为2，所以 。2+b=1十6=4，解得b2=3,所 1 以双曲线M的方程为x-兰=1， (2)证明：①如图，因为AB= AC,B(-2,0),C(1,0), 所以直线AG的方程为x=一之 设E(xoyo)(z。<1),则x8-9 1,y8=3.x8-3, 1 所以d= 2 -x0 -x0- 又|BE|=√(x。十2)十y √x0十2)十3x6-3= √(2x。十1)=-2x。-1, 所以BE=2,为定值。 d ②因为|AB=AE1, 所以sin2∠BAE= 交BE AE厂， Sin∠EAG=AE' d 因为BE=2,所以s血号∠BAE d sin∠EAG, 又∠BAE,∠EAG都是锐角， 所以∠BAE=∠EAG. 所以∠BAC=2∠BAG= 2(∠BAE+∠EAG)=3∠BAE, 所以∠BAE=号∠BAC. 3 第九章统计与成对 数据的统计分析 9.1随机抽样、统计图 必备知识回顾 教材回扣 1.总体个体样本样本容量 2.抽签法随机数法 -520- 3.分层随机抽样层 4.(1)条形图 扇形图 折线图 频率 分布直方图 (2)①极差 ②组距 组数 ③数据 基础检测 1.(1)× (2)/(3)X (4)/ 2.C由题意可得被抽取的200名学生 的成绩是样本.故选C. 3.165.2 解析：平均身高为0】 ×170.6+ 貂 160.6=165.2(cm). 4.67 解析：由频率分布直方图可知，锻炼时 间在[10,30)内的人数为100×10× (0.010十0.023)=33，所以锻炼时间 在[30,50]内的人数为100-33=67. 关键能力提升 例1(1)A 从第5行第6列开始从左往 右依次读取三个数字，第一个数是 253,第二个数是313，第三个数是457， 下一个数是860，不符合要求，下一个 数是736，不符合要求，下一个数是 253,重复，第四个数是007，第五个数 是328，第六个数是623，故A正确.故 选A. (2)B 设中年人抽取x人，青少年抽 取y人，由比例分配的分层随机抽样可 知 200x80 480 36480 =义，解得x=15y= 36 6,故中年人比青少年多9人，故选B. 对点训练1(1)C①乔木、灌木、草本植 物，分类明显，可以采用分层随机抽 样；②并未有明显分层特点，且样本容 量较小，可以采用简单随机抽样.故 选C (2)A 由题意得样本容量为n=30: 2 150.故选A. 2+3+5 例2(1)ACD 由题图知，每一组中的成 绩占比都是以各自班级的总人数为基 数的，所以每一组中的甲班、乙班人数 不能从所占的百分比来判断，故A错 误；由题图可知甲班成绩主要集中在 [80,90),乙班成绩主要集中在[60， 70),故B正确，C错误；由题图可知甲 班成绩的极差和乙班成绩的极差的大 小无法确定，故D错误，故选ACD (2)ABC设调整前的各产业利润的 总和为a,则调整后的各产业利润的总 和为2a.对于A,调整前传媒的利润为 0.1a,杂志的利润为0.05a,调整后传 媒的利润为0.24a,杂志的利润为 0.16a,则调整后传媒的利润增量为 0.14a,杂志的利润增量为0.11a,故A 不正确：对于B,调整前房地产的利润 为0.45a,调整后房地产的利润为