第8章 微专题七 圆锥曲线中的最值与范围问题-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

2通内·讲与练·高三数学 微专题 圆锥曲线中的最值与范围问题 考试要求 掌握求解圆锥曲线中的最值与范围问题的方法，会求解圆锥曲线中最值与范围问题 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1不等式法求最值、范围 规律总结· 利用不等式法求解最值、范围问题的策略 【例1】 4:过宁丹东三模)已知椭圆 (1)利用圆锥曲线的几何性质或几何量之间的 关系构造不等式。 3 =1的左、右顶点分别为A,B,过A的直线 (2)利用直线与圆锥曲线的位置关系、判别式构 与E交于点P,点Q在E上，AP⊥AQ. 造不等式 (3)利用已知或其他隐含条件中的不等关系构 (1)设直线AP,PB的斜率分别为k,k1,求证： 造不等式， k·k1为定值； (4)常与一元二次不等式、基本不等式相关。 (2)求△APQ面积的最大值. 听课记录 对点训练已知椭圆C:多大少 6=1(a>b> 208 0)上的点到焦点距离最短为2一√6，到焦点 距离最长为2+√6. (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(一1,0)作直线1与椭圆C交于A, B两点，且椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2, △F,AF2,△F,BF2的面积分别为S1,S2, 求|S,一S2|的最大值. 第八章 平面解析几何 考点2函数法求最值、范围 (3)注意挖掘变量所满足的条件，从而确定变量 【例2】(2023·全国甲卷)已知直线x-2y十1=0 范围. 与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两 (4)用函数的方法，如函数的单调性、导数等分 点，|AB|=4√15 析求解最值或范围. (1)求p; 【对点训练2】(2024·浙江台州一模)已知椭圆 (2)设F为C的焦点，M,N为C上两点，且 FM.FN=O,求△MFN面积的最小值， . a+y=1a>1)的上、下顶点分别为A, 听课记录 B,点Q在线段AB上运动（不含端点），点 P(一1,0)，直线PQ与椭圆交于C,D两点（点 C在点P左侧)，PD中点M的轨迹交y轴于 E,F两点，且1EF1=5 2 (1)求椭圆下的方程； (2)记直线AC,AD的斜率分别为k1,k2,求 k1一k2的最小值 209 4规律总结、 利用函数法求解最值、范围问题的策略 (1)引入单变量，将所求解问题用含该变量的代 数式表示，构造函数 (2)引入双变量，利用题设或其他条件建立两个 温馨提示) 变量之间的关系，通过消元的方法转化为单变量问 学习至此，请完成课时作业61 题，构造函数综上，直线l的方程为3x一2y-6=0 或x-2y=0. 方法五当l的斜率不存在时，1：x= 3,B(8,-名），PB=3,点A到直 线PB的距离d=3, 此时S=×3X3= 9 ≠9不 满足条件. 当l的斜率存在时，设PB:y 2 k(x-3),令P(x1y1),B(x2y2）, y=k(x-3)十21 3 消去y可得 12 =1, (4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2 36k-27=0, △=(24k2-12k)2-4(4k2+3)(36k2 366-27)>0,且k≠kAP,即k≠-号 24k2-12k 4k2+3 IPB= 36k2-36k-27 x1x2= 4k2+3 √k+1√(x1+x2)-4x1x2 4++ 4k2十3 点A到直线PB的距离d= 3k十 2 1 ,S△ABP= √k2+1 45V+√3k+9k+ 4 4k2+3 3k十 1 =9, W√k2+1 解得=」 -或k 3,均满足题意 :y=2或y=x-3,即x 2y=0或3.x-2y-6=0. 方法六当1的斜率不存在时，l:x= 3,B(3,-),PB=3,点A到直 线PB的距离d=3, 此时5=X3X3=号≠9不 9 满足条件. 当l的斜率存在时，设l:y=(x 3 3)+ 设l与y轴的交点为Q,令x=0, 则Q(0,-3k+2)· 2对勾·讲与练·高三数学 y=红-3k+立'则有(3十 3 联立 3x2+4y2=36, 4k2)x2- 8k(3k- 号）+36 36k-27=0, 其中△= 64k2(3k- ) -4(3+ 4k2)(36k2-36k-27)>0, 且k≠k,即友≠-2： 1 则3xB= 36k2-36k-27 ,xB= 3+4k2 12k-12k-9. 3十4k2 则S△ABP= 1 AQ ZP-zB= 1 3 12k+18 3k+ 2 3十4k2 9,解得 =或=，经代入判别式验证 1 3 均满足题意 1 则直线1的方程为y=之x或y 之x-3,即x-2y=0或3x-2y 3 6=0. 对点训练3解：(1)圆x2十y2-x 2y+m=0过(1,0)，m=0, 又：圆x2+y2-x-2y=0过(0，b), .b=2, a=3’a2=9, a2-c2=4, “横周G的方起为方号-苦= (2)设A(x0,y0)(y。>0), 则B(-x。,-yo), 由题知x。卡1且x。≠士3， 则PAy=-1D, MBy=y。x-3, x0+3 yo 由 y=+3x-3), 31 =2-2 解得 又SAPBN=SAPw-S△PM= 2 1 5 1PMx2=2%= 31 -514- 4 .x0=士2， 直线PA的斜率AP=。 x01s 25 9 微专题七圆锥曲线中的 最值与范围问题 …关键能力提升… 例1解：(1)证明：由题意可知A(-2, 0),B(2,0),设点P(x0yo), k=yo 20-2 因为+ =1, 得话=一3(z8-4) 4 所以k·k1= ，y ”即：=一子 (2)不妨设Q(x1y1),yo>0,y1<0, 则直线AP:x=力-2>0. 将名-2代入号+号 1 3 =1中， 得（侵+4）小y-号=0 所以y。= 12k 4k2+3 所以AP=√十1 6十3}+1二12十1 12k 4k2+3 因为AP上AQ,用-冬特换，得 -12k y1=3次2+4 AQ--R1y1k1 3k2+4 所以△APQ的面积S=号 AP· 72k(k2+1) AQ「= (3k2+4)(4k2+3) (e- 所以S= 、1 卫+25 12k+ 令 m(m≥2)， 72m 72 则S= 12mF12m+' 又因为函数y=12m十1在[2，十0) 上单调递增， 所以当m=2时，y有最小值 12m+ 1≥ 49 72 所以S= 72 14 1 (当且 49 12m+ m 2 仅当m=2,即k=1时等号成立)， 144 所以△APQ面积的最大值为 49 对点训练1解：(1)由题意知 a-c=25-√6， a= 25 解得 则 a+c=23+6, c=6, b2=a2-c2=6, 2 所以椭圆C的方程为2 (2)由(1)知，F1(-√6,0)，F2(√6,0)， 当直线l的斜率不存在时，S1=S2, 则S1-S2=0: 当直线1的斜率存在时，如图，设直线( 的方程为y=k(x十1)(k≠0)， y=k(x+1), 联立 x? 得(1+2k2)x2十 12 6 =1, 4k2x+2k2-12=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+ 4k9 2k2-12 x2= 1十2k2x1x2= 1+2k2 所以5=是×26Xy=5y， S,= 3×26x=61g 由于y1y2异号，所以S1一S2= √6y1+y2|=V6|k(x1+1)+ k(x2+1)=√6|k(x1十x2)+2k= +=0 2√6. 1—≤26· +26 1 1 三=5， 22 当且仅当=2,即=号 时等号成立， 所以S,一S2「的最大值为3. 综上所述，|S1一S,的最大值为√ M 例2解：(1)设A(x1y1),B(x2y2),把 x=2y-1代入y2=2px,得y2 4py+2p=0, :直线与抛物线有两个交点A,B, 4=16p2-8p>0,得p>2 1 由根与系数的关系，可得y1十y?= 4p,y1y2=2p, ..AB -y2 √I+4×√(y1十y2)-4y1y2 √5×√16-8p=4√15， 解得力=2成力=一号会去， 故力=2. (2)由(1)知，抛物线的焦点为F(1, O).由题意知直线MW的斜率不可能 为0，.设直线MN的方程为x= my+t,M(z3,y3),N(xy), 联立 杠=m十t·消去工得y2 y2=4x, 4my-4t=0,∴.△=16m2+16t>0, 即m2十t>0, 由根与系数的关系得y十y,=4m, y3y1=-4t, FM.F=0,(xa-1,y3)·(x1 1,y1)=0, 即(x3-1)(x1-1)十y3y1=(my3十 t-1)(my1十t-1)+y3y1=(m2+ 1)yay1十(t-1)(ya十y1)+(t- 1)2=(m2+1)(-4t)十m(t-1)· 4m十(t-1)2=0, 即-4m2t-4t+4m2t-4m2+t2 2t+1=0,即4m2=t2-6t+1. 设点F到直线MV的距离为d, 则d= t-1 √/1+m 又|MN=√1十m|ya-y1= √1+m·√y十y4)-4yy= √1+m7.√16m'+16t= 4√个+m·√m2+t, SawN=子MN1d=名X 1 4√1+m2.√m2+t. |t-11 √1+m 2√m2+t·t-1=√4m2+4t· |t-1=W/t2-2t+1·t-1= (t-1)2. 4m2=t2-6t+1≥0，解得t≤3 2√2或t≥3+2√2， -515- .当且仅当t=3-2V瓦时，S△MN取 得最小值12-8√2，即△MFV面积的 最小值为12-8√2. 对点训练2解：(1)设PD中点M(xo, yo),则D(2x。十1,2yo), 因为点Q在线段AB上，所以点 D(2x。十1,2y。)只能在右半椭圆上运 动，所以0<2十1≤a,即-2< 由点D在椭烟r号+y-1上，得 (2x。十1)2 十4y=1, 令=0得1=曲 ，1 2=誓解得。2=4，故箱周r的 方程为片十y=1 (2)设CD:y=k(x十1)，|k<1, C(x1y1),D(x2y2). y=k(x十1)， 电+1，特快十1+ 8k2x十4(k2-1)=0,则x1十x2= 462于721x2=4062-1D -8k2 4k2十1 又6，=-1=+6-1=k十 二1，k=k+-1, T? (k-1).2?-x1 64k 16(k-1) √(4k+1) 4k2+1 (k一1)· 4(k-1) 4k2+1 √3k+1 k+1” 令t=k十1∈(0,2)，得k1-k2= W3t-6t+4 t √4()-6(9)+3= 》+≥. 当且仅当1=专，即=子时取等号， 所以，一：的最小值为 参考答案‘☑。