第8章 微专题八 圆锥曲线中的对称问题-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

微专题八圆锥曲线中的 对称问题 关键能力提升 例1解：(1)设F(-c,0),F2(c,0)(c> 0),则PF1=(-c-√2，-1)，PF2= (c-√2，-1).因为PF·PF= -c2十2十1=1，所以c=2.又 PwB.)在能圆上，成后+分-1义 a2=b2十2，解得a2=4,b2=2, 放所求指周方程为号十苦-山 (2)设A(x1y1),B(x2y2), =k虹十m,得(2k+1)z2十 联立z+2y=4, 4kmx+2m2-4=0, 由△>0，得m<4k2+2(*),且x1十 一4km,因此y十= 2m x=2k2+1 2k2+1 所以n(2”）》 又N(0,-m),所以|VD12= 2km （2k+1) m 2+1十m）, 整理得ND2=m1十3k2+ (2k2+1)2 因为NF=m, 所以ND=4+3D NF (2k2+1)2 8k2+3 1+ (2k2+1)2 令t=8k+3,t≥3， 故2k2+1=+1, 4 所以ND? 16t NFT=1+a中) 16 1+ 令y=十，所以y=1 t2, 当t≥3时，y>0,从而y=t+ 在 [3,十∞)上单调递增， 因此4计≥号当且仅当：=3时等 号成立，此时k=0,所以ND。 /VFP≤ 1+3=4, 由(*)得-√2<m<√2且m≠0，故 NF 1 ND≥2 NF 设∠EDF=20,则sin8=ND≥ 红对勾·讲与练·高三数学 名所以0的最小值为 6, 从而∠EDF的最小值为号，此时直线 1的斜率为0. 综上所述，当k=0,m∈(-√2,0)U (0w2)时，∠EDF取得最小值行 对点训练1解：(1)由题意可得直线MF 的方程为y= 2c-(x-c),即x c-0 y-c=0. 原点O到直线MF的距离为二 21 解得c=1。 因为点(，号 在E上，所以2a= 号++ =2√2，即a=√2， 又b2=a2-c2=1,所以E的方程为 2+y2-1 (2)证明：当直线AB的斜率为0时，可 得H(0√2-1)，G(0,-√2-1)， 所以H,G关于点(0，-1)对称. 当直线AB的斜率不为0或不存在时， 设过点F的直线方程为x=my十1，点 A,B的坐标分别为(x1y1),(x2y) 将直线方程与椭圆方程联立，得 x=my十1， 号+y=1.消去x,得m中 2)y2+2my-1=0, 一1 则y1十y2= m+2'y1y,= -2m m2+2 直线MA的方程为y-1=y一( x12(x 2),令x=0,得yH= (m-2)y1+1 y1-1 同理可得ye= (m-2)y2+1 my2-1 所以VH十yG 2 [(m-2)y1+1小my2-1)+[(m-2)y2+1(my1-1) 2(my1-1)(my2-1) =m(m-2)yy:+（yi十y）-1 m'y1y2-m(y1+y2)+1 -mm-2)-2m-（m+2=-1. -m2+2m2+m2+2 所以HG的中点为(0，-1)，即H,G关 于点(0，一1)对称. 例2解：(1)由c-b=√5-1，c2-b2= 2 2,可得c+b=。二6=5+1，解得 -516- c=√5，b=1,a2=4,故椭圆E的标准 方程为号+2-1 (2)由题意可知当k=0时，直线l: 3 y=2 此时E上不会存在M,V两点关于直 线1：y= 3 ·对称，不合题意， 1 故设直线MN的方程为y=一方2十 1 t,联立 整理得1+)-兰十-4=0， 需满足4=16（结-+）>0 设M(x1y1),N(x2y2),则x1+ 8kt 4十21x2= 4k2(t2-1) x2= 4+k2 1 故1十：=一友（x,十x)+2 4+6十2：=2k 8t 4十2， =(-名+)（+） 京-名(x1十x)+产= 1 k2t2-4 4十k2, 故MN的中点坐标为( 2 脚( 由于M,N两点关于直线l:y=kx十 受对修， 故将该点坐标代入y=虹十2 得 k't 4kt 3 化简得t=一4十 2k2· 由OM.O成=0可得(x1,y)·(x2, y2)=0,即x1x2十y1y2=0, 所以1》+6二4=0，化简 4十k9 得5kt2-4k2-4=0, 将t=4代入5”2二4k2二4三 0中，可得11k1-24k2-80=0,解得 -4或发：-一骨会去， 当2=4时，t=-4十6 2%2一1，满足 4=16(华-+1)>0，故6=±2 所以1的方程为y=2x十号或y 3 -2x十 2 对点训练2解：(1)设点P的坐标为(x, ,则4的斜率为亡2山的斜率 为 x一2 由业 3 ”2=一，化简可得 22 4 3 =1(x≠士2)， 所以点P的轨迹方程为之 + 1(x≠士2). (2)证明：“点B关于直线FM的对称 点在直线PF上”等价于“FM平 分∠PFB”,如图 M 设直线AP的方程为y=k(x十 2)(k≠0)，则Q(2,4k),M(2,2k),设 点P(xo,yo), y=k(x十2)， 由 z? 得(3十4k2)x2十 3=1, 16k2x+16k2-12=0,△=144>0， 得x。=一8k+6 12k 3+4k9 且y= 3+4k2 ①当PF⊥x轴时，x。=1,此时 k=±2，所以P(1,±)，Q(2. ±2)，M(2,士1)， 此时，点M在∠PFB的平分线所在的 直线y=x一1或y=一x十1上，则 FM平分∠PFB. ②当长士 时，直线PF的斜率为 m=气=1，所以直线PF Ak 的方程为4kx十(4k2一1)y一4k=0, 所以点M到直线PF的距离 8k+2k(4k2-1)-4k d /16k2+(4k2-1)2 4k+2k(4k2-1) √(4k+1) 12k(4k2十1) =|2k|=|BM|, 4k2十1 又|BM|即点M到∠PFB的边BF的 距离，所以FM平分∠PFB. 综上，点B关于直线FM的对称点在直 线PF上. 微专题九圆锥曲线中的 定点、定直线、定值问题 关键能力提升 例1解：(1)由题意可设椭圆E的方程为 +义=1(a>≥b≥0)，c=a62 因为以E的一个顶点和两个焦点为顶 点的三角形是等边三角形，且其周长 为6V2,所以2a十2c=62,且C= 3所以a=22,6=2,所以62 6,所以椭圆E的方程为g十后=1. (2)证明：设直线l的方程为x=ty十 2(t≠0)， 令x=16,得y=兰即P16) 3x2+4y2=24·得(3r2+40y+ 由z=y+2, 12ty-12=0. 设A(x1,y1),C(x2,y2), 12t 则y1十y2=一3t2十4 y1y2= 12 3t2+4 设AC的中点为N(x,ya),则y3= y1+y2=-6t 2 3t2+41 所以x=y,十2=3十4 8 因为四边形ABCD为菱形，所以N为 BD的中点，AC⊥BD, 所以直线BD的斜率为一t, 所以直线BD的方程为 6t 8 y+3+4=-t(+4 令x=0,得y=3+4厂3十4 8t 6t ”两以B产） 设点D的坐标为(x1y), 16 则x1=2x:=34y=2 2t 14t 30+4=3+4 即n(n): 所以直线PD的方程为 1414t 14_7302+4x-16), y- t 16、16 3t2+4 -517- 即y=品红- 所以直线PD过定点(4,0). 例2解：(1)由题意可得抛物线y2=4x 的焦点F(1,0), 点F关于直线y=x的对称点为(0， 1),故b=1,c=1,因此a=√2， 所以横圆方程为号+，=L (2)假设存在定点M,使以AB为直径 的圆恒过这个点. 当k=0,即AB⊥y轴时，以AB为直 径的圆的方程为：+（十）广 16 5 9,令x=0,解得y=1或y=-3, 即M的坐标为01》或0，-号） 当k≠0时，直线1：y=虹-3，代入 号+y=1,有2+1D-言x 9-0 设A(x1y1),B(x2y2),则x1十x2= 4k 16 302k2+1D21xg=一9(2k+1) 当M(0,1)时，MA=(x1y1-1), MB=(x2y2-1), M.Mi=x1x:+(红1-等）· (-专）=1+)az:-专+ 4 x)+9=1+)·g2+D -16 9 4一十16=0，满足题意： 32k+D9 当M0,-号）时，=（中 ）.M=(2+号），M· M-=x1x:+(红1+专)(k:十 含）=1+k2)x1x: 3k(x1十 2)+16 9 =(1+k)·9(2k2+1) -16 4k 3k·3(26°+1D+9 +15≠0，不满足题 意.综上，在y轴上存在定点M(0,1), 使以AB为直径的圆恒过这个定点. 对点训练1解：(1)由已知得e=C= a √5，c2=a2+b2,所以b=2a. 又点Pe,)在C上放导-治=1 参考答案‘☑。红圈勾·讲与练·高三数学 微专题 圆锥曲线中的对称问题 考试要求 掌握解决两种对称问题的一般方法，会求解与对称有关的综合问题 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1关于点对称 规律总结、 “中心对称”利用的几何特征是“中点”，即设 【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: (xo,yo)为已知曲线f(x,y)=0上任一点，其关于 &:十=1(a≥b0)过点P(21)F1 x十xo 2 分别为椭圆C的左、右焦点，且PFPF=1. 点(a,b)的对称点为(x,y),则 从而解 y+yo (1)求椭圆C的方程； 2 (2)动直线1：y=k.x十m(m≠0)交椭圆C于 得2=2a-x, 而f(x。yo)=0,即可得到f(2a A,B两点，交y轴于点M,点N是M关于O的 y0=2b-y, 对称点，⊙N的半径为|NO|,设D为AB的 x,2b-y）=0. 中点，DE,DF与⊙N分别相切于点E,F, 210 求∠EDF的最小值， 【对点训练1】 已知F(c,0)是椭圆E. 听课记录 1(a>b>0)的右焦点，M(2c,c),原点O到直 袋Mr的系离为号点受 在E上 (1)求E的方程； (2)过点F作直线与E交于A,B两点，直线 MA,MB与y轴分别交于H,G两点，求证：H, G关于点(0，一1)对称. 第八章 平面解析几何 考点2关于直线对称 规律总结▲ “轴对称”利用的几何特征是“垂直和平分”，即 【例2】 已知椭圆E:号+若=1a>>0)的 设(x,yo)为已知曲线f(x,y)=0上任一点，其关 于直线Ax十By十C=0(A2十B2≠0)的对称点为 右焦点为(c,0),且满足c一b=√5一1， c2-b2=2. 1(B≠0)， x一x0 (1)求椭圆E的标准方程； (x,y),则 当然 ++By+y+C=0. A (2)若E上存在M,N两点关于直线l:y 2 2 kx十2对称，且满足O成.O示=0(0为坐标原 有时利用“点差法”也很奏效 【对点训练2】在平面直角坐标系中，分别过点 点)，求1的方程. A(-2,0),B(2,0)的直线11，l2的斜率之积 听课记录 为、3 (1)求11与l的交点P的轨迹方程； (2)已知直线AP与直线x=2交于点Q,线段 QB的中点为M,若点F的坐标为(1,0)，求证： 点B关于直线FM的对称点在直线PF上. 211 温馨提示0 学习至此，请完成课时作业62