课时作业54 两条直线的位置关系-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

班级： 姓名： 课时作业54 两条直线的位置关系 (总分：100分) !基础巩固、 8.(6分)（多选）已知两条直线11，l2的方程分别为 3x十4y+12=0与ax+8y一11=0，下列结论正 1.(5分)过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0 确的是 () 的直线方程为 ( A.若l1∥l2,则a=6 A.2x+y+5=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 B.若11∥12，则两条平行直线之间的距离为4 D.x-2y+4=0 2.(5分)已知直线11：(m+1)x+3y-1=0,l2:5x+ C.若111，则a=32 3 (m一1)y-m+1=0,则“m=4”是“11∥12”的 () D.若a≠6，则直线11，l2一定相交 A.必要不充分条件 9.(5分)不论m取何值，直线1：(2m十1)x+(m B.充分不必要条件 1)y十3=0恒过一定点，该定点坐标为 C.充要条件 得分 D.既不充分也不必要条件 10.(5分)已知A(-2,-3),B(2,-1),C(0,2),则 3.(5分)已知点A(一2,1)，B(3,2),C(7,一5)，则点 △ABC的面积为 得分■ B到直线AC的距离为 ) 11.(16分)已知两条直线l1:a.x-by+4=0,l2:(a一 A.3 2 B②6 1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b 2 的值 得分 C.√13 D.√26 (1)直线11过点（一4，一1），并且直线11与直线12 4.(5分)已知两条平行直线11：3x+4y+5=0,l2: 垂直； 6x+by十c=0间的距离为3，则b+c等于 (2)直线11与直线12平行，并且坐标原点到11，l2 ( 的距离相等 A.-12 B.48 C.36或48 D.-12或48 5.(5分)直线y=4x一5关于点P(2,1)对称的直线 方程是 () A.y=4x+5 B.y=4x-5 C.y=4x-9 D.y=4x+9 6.(5分)一入射光线经过点M(2,6),被直线1：x y+3=0反射，反射光线经过点N(一3,4)，则反射 光线所在直线方程为 ( ) A.2x-y+13=0 B.6.x-y+22=0 C.x-3y+15=0 D.x-6y+27=0 7.(6分)（多选）已知直线1：y=ax一a十1，下列说法 正确的是 ( A.直线1过定点(-1,1) B.当a=1时，l关于x轴的对称直线为x+y=0 C.直线l一定经过第四象限 D.点P(3,一1)到直线1距离的最大值为2√2 (横线下方不可作答) 379 第八章 平面解析几何 12.(17分)已知两条平行直线11：x一2y+m= 0(m>0)与12：2x+ny-6=0之间的距离 素养提升 是2√5 得分 13.(5分)已知直线l1:(sina)x-(cosa)y+1=0, (1)求直线11关于直线2对称的直线方程； 12:(sin a)x+(cos a)y+1=0,13:(cos a)x- (2)求直线11关于直线13：3x一y-4=0对称的 (sin a)y+1=0,l:(cos a)x+(sin a)y+1=0. 直线方程 则下列说法中正确的有 () ①存在实数a,使11∥l2 ②存在实数a,使12∥13； ③对任意实数a,都有l1⊥l4; ④存在点到四条直线距离相等。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.(5分)已知两条直线11：（入+2）x+(1一入)y+ 2λ-5=0,12：(k+1)x+(1-2k)y+k-5=0, 且11∥12，当两条平行线间的距离最大时，入+ k= () A.3 B.4 C.5 D.6 15.(5分)动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对 唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代 汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深 刻、想象力最丰富、艺术性最强的一部分.唐代诗 人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日 登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个 有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望 烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再 回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角 坐标系中，设将军的出发点是A(2,4),军营所在 位置为B(6,2),河岸线所在直线的方程为x+ y一3=0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军 营(“将军饮马”)的总路程最短，则 () A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程 是6x-y-8=0 B将军在河边依马的电点的坐标为侣) C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 x-6y+6=0 D.“将军饮马”走过的总路程为5 红对勾·讲与练 380] 高三数学实数解，故直线1：m2x-2m2y十1= 0(m≠0)不过定点，故A错误：因为 m≠0，所以直线方程可转化为y= 乞1十2故直线斜牵为子领斜角 为定值，故B正确；直线！的方程为 y=2x十2，因为m≠0，则 1 0,故当x>0时，必有y>0恒成立， 即直线1一定不经过第四象限，故C正 确：直线1的方程为y=2x十2m· 1 1 可得直线斜率为正，纵截距也为正，故 直线！一定经过第一、二、三象限，故D 正确.故选BCD. 9.-9 解析：因为A(3,1),B(一2，k),C(8, 11)三，点在同一条直线上，所以直线 AB的斜率和直线AC的斜率相等，即 -日骨解得6=一8 -2-3 10.√3x-y+√3=0 解析：由直线1的领斜角为号，可得直 线1的针年为及=1an号=万，又直 线l在x轴上的截距为一1，所以直线 l的方程为y=√3(x十1)，即√3x y十5=0. 11.解：(1)直线1：(a十1)x十y+2-a= 0(a∈R)在y轴上的截距为a-2, 由1在两坐标轴上的截距相等知，a十 1≠0，则直线！在x轴上的截距为 、2二2，于是a三=a-2,解得a=2 a十1 或a=0, 所以直线的方程为3x十y=0或 x十y十2=0. (2)直线l:(x-1)a十x十y十2=0， -1=0。得任二1即 由x+y+2=0, y=-3, 直线1过定点P(1,-3), 显然点P在第四象限，要使直线！不 经过第二象限，而直线（的斜率存在， 因此直线l的斜率不小于0，即一(a十 1)≥0，解得a-1, 所以实数a的取值范围是（一∞， -1]. 12.解：(1)证明：将直线l1的方程化为 m(x-2y-3)+2x+y+4=0, 令2-2y-3=0, 2x十y十4=0， 解得仁=一'故直线1恒过定点 y=-2, M(-1,-2). 2对勾·讲与练·高三数学 (2)由题意可知，直线12的斜率存在 且不为零，设直线12的方程为y十 2=k(x十1)，令x=0,可得y=k- 2.令y=0.可得x=÷-1,由直线 2与x轴负半轴、y轴负半轴相交可 得k<0,所以，三角形面积为S= 22-0-) (--)≥ 1 合4+2-(=4 当且仅当k=一2时，等号成立，此时 直线12的方程为2x十y十4=0. 13.A由直线l:(k+ y 1)x-(2k-2)y+ A 2k-6=0,变形 P 可得(x-2y十 2)k十x十2y- 6=0,由 O/(B) x-2y+2=0, {x+2y-6=0, 解得【二之：可得直线1恒过定成 P(2,2),则直线PA的斜率kA= 1-2=一1，直线PB的斜率 5-2 2-0=1,又直线1的斜率为 东昌=是十6十≠合如国，若 k十1 1 1 直线1与线段AB有公共，点，则直线l 斜率的取值范国为[-1，)U (分1]故选A 14D已知直线后十芳=1经过第一、 二、三象限，则直线在x轴上的截距 a<0,在y轴上的裁距b>0,由直线 的斜率小于1，可知0<-么<1，结 合a<0可得a<0<b<-a,由绝 对值的性质可知|a>b,故A错 误；由幂函数的单调性可知√一a> √万，故B错误；由不等式的性质，可知 b-a>0,b十a<0,则(b-a)(b十 a)<0,故C错误： 日<0>0则 合<分故D正确，故选D a 15.A由f(x)>0得mx>2x-1, 所以满足f(x)>0的整数解恰有3 个，等价于函数y=2x-1|的图象 在直线y=x下方的部分有3个横 坐标为整数的，点，如图，当直线y= mx的斜率m满足koA<m≤ko时 -610- 满足题意，其中A(3,5),B(4,7),所 以a=号m=子，所以号< 5 m≤子故选A B y=2x-11 A y=mx 课时作业54两条直线的 位置关系 1.D设垂直于直线2x十y-5=0的直 线方程为x一2y十m=0,又直线过点 A(2,3),所以2-2×3十m=0,解得 m=4,故所求直线的方程为x-2y十 4=0.故选D. 2.B当l1∥l2时，(m十1)×(m-1)= 3×5,即m2=16,解得m=士4.当 m=4时，l1:5x+3y-1=0,l2:5x十 3y-3=0,此时l1∥l2:当m=-4 时，l1:-3x+3y-1=0,即l1:x 1 y+3=0,l2:5x-5y+5=0,即12： x-y十1=0，此时l1∥l2.故“m= 士4”是“11∥1，”的充要条件，即 “m=4”是“l1∥l,”的充分不必要条 件.故选B. 3.C根据题意，直线AC的斜率为 c1一》三二号，所以直线 -2-7 C的方程为y-1=-2(x十2)，即 2x十3y十1=0，点B到直线AC的距 离为d=2X3+3×2+1=5. V22+3 故选C 4.D将l1的方程3x十4y十5=0变形 为6x十8y十10=0，因为两条直线平 行，所以6=8.由10-c =3,解得 √/62+82 c=一20或c=40,所以b十c=一12 或b十c=48.故选D. 5.C设直线y=4x-5上的点P(xo, yo)关于点(2,1)的对称点的坐标为 (xy),所以十2=20十y=1, 2 2 所以x。=4-x,y。=2-y,将其代入 y=4x-5中，得到2-y=4(4-x)- 5,化简得y=4x-9.故选C. 6.D设点M(2,6)关于直线l:x-y十 3=0的对称点为M'(x,y), y-6=-1, x-2 所以 z+2-y+6+3=0, 2 2 x 解得 =3所以M'(3,5),所以反射 =5, 光线经过，点M'(3,5)与，点N(一3,4)， 所以反射光线所在直线的方程为x 6y十27=0.故选D. 7.BD直线l:y=ax-a十1=a(x 1)+1,所以直线1过定点Q(1,1),故A 错误；当a=1时，直线l的方程为y= x,l关于x轴的对称直线为y=一x, 即x十y=0,故B正确；当a=1时， 直线l的方程为y=x,直线l不经过 第四象限，故C错误；如图所示， 过P作PH⊥l于H,由图可知 PQ≥PH,则点P(3,一1)到直 线l距离的最大值为PQ|= √(3-1)+(-1-1)=2√2，故D 正确.故选BD. 8.AD直线l1,l2的方程分别为3x十 4y十12=0与ax十8y-11=0,它们 不重合，若l1∥l2,则4a=3×8,解得 a=6,经检验符合，故A正确；若l1∥ l2,由A可知，l2:6x十8y-11=0,直 线l1的方程可化为6x十8y十24=0， 故两条平行直线之间的距离为 11+24 1 7 √J36+64 ，故B不正确：若1上 l2,则3a十4X8=0,解得a= 32 3 故C不正确；由A知，当l1∥l2时，a= 6,所以若a≠6，则直线l1,l2一定相 交，故D正确.故选AD 9.(-1,2) 解析：由(2m+1)x十(m-1)y十3= 0台x-y十3十(2x十y)m=0,令 x-y十3=0，.x=-1, 即该直 2x+y=0 y=2, 线过定点（一1,2） 10.8 解析：由A(一2，一3)，B(2,-1)可得 直线AB的方程为y十3 x+2 -1+3=2+2 x-2y-4=0,AB|= √(-2-2)+(-3+1)2=2√5， 点C(0,2)到直线AB的距离为 -2×2-4 8 √/12+(-2)2 后，所以△ABC的 面积为号×25× =8. 11.解：(1)因为直线11过点(-4，-1)， 所以一4a+b+4=0, 又因为l1⊥l2,所以a(a一1)-b= 0,所以厂4a十b+4=0, a(a-1)-b=0, .a=4, 解得。”或6=12 b=0 (2)因为l1∥12且l2的斜率为1-a, 所以11的斜率也存在，则公=1一a, 即b二1一a a 故l1和12的方程可分别表示为11： （a-10z+y+4a-1)=0,l:a a -=0. 1)x十y十1-a 因为原点到1与2的距离相等， 所以4 a-1 a a =-a ,解得a= 2或a= 3 2 因此=2或口= b=-2 b=2. 12.解：(1)因为直线l1:x-2y十m= 0(m>0)与l2:2x十ny-6=0平行， 所以n=一2×2=一4. 又两条平行直线l1:x-2y十m= 0(m>0)与l2:2x-4y-6=0之间 的距离是2√5， 所以2m+6 =2√5，解得m=7或 √4+16 m=-13(舍去)， 即直线11：x-2y十7=0，l2:x 2y-3=0. 设直线l1关于直线，对称的直线方 程为x-2y十c=0, √5 √5 解得c=-13或c=7(舍去)， 故所求直线方程为x一2y一13=0. (2)设直线11关于直线1：对称的直线 为l1, 由亿-2)+7二0解得2=3， 3x-y-4=0, y=5, 所以直线11经过点(3,5)， 在l1上取一点A(一7,0)，它关于l3 对称的点设为A'(a,b), b 1 则有a+7 =一3 8-台-4=0 2 解得=8， b=-5, 所以直线l1经过点(8，-5)， 所以直线4，的斜率为+5 93-8=-2,所 以直线l1的方程为y-5=-2(x 3),即2x十y-11=0. 13.C当a=0时，l1:y=1,l2:y= -1,故l1∥l2,①正确；由sina· -611- (-sina)一cosa=-1≠0，故l2∥ l3不成立，②错误；由sina·cosa十 (-cosa)·sina=0恒成立，即l1L 11,③正确；由各直线方程知坐标原 点(0,0)到各直线距离均为 1 =1，④正确.所以共 √sin'a+cos'a 有3个正确说法，故选C. 14.Cl1:λ(x-y十2)+2x十y-5= 0,由任y+2=0、解得任=1· 2x+y-5=0, y=3, 故1过定点A(1,3).l2:k(x-2y十 x-2y+1=0, 1)十x+y-5=0,由 x+y-5=0, 解得仁二3”故1，过定点B(3,2,故 y=2, l1,l2间距离的最大值为|AB=5. 了此时，一—，=一1=2，解得入= 一kAB 6+)=2,解得k=1,故入十 4,一1-2k k=5.故选C 5.B如图所示， 4 1A(2,4) /B(6,2) 末 B,(a,b)+八3=0 由题意可知点A,B在直线x十y 3=0的同侧，设点B关于直线x十 y一3=0的对称点为B1(a,b),A,C, B1三点共线满足题意，点C为使得总 路程最短的“最佳饮水，点”，则 fa+6+b+2-3=0, 2 2 解得 b-2×(-1)=-1, a-6 a=1,即B,1,-3),直线AB的 b=一3， 补岸为二2=7：所以将子从出 发点到河边的路线所在直线的方程 是y十3=7(x-1),即7x-y-10= 0,故A错误：联立 7x-y-10=0, x+y-3=0, 13 x= 8 解得 即将军在河边饮马的 ys 11 8, 地点的坐标 (侣岩》故B正： 由B分新可知点C(侵，)，直线CB 2 8 的斜率为。 ,所以直线CB 1 6- 8 参考答案“☑。 的方程为y-2=子（红-6），中x 7y十8=0，故C错误；AC+ CB=AC+CB=AB= √+7产=5√2，即“将军饮马”走过 的总路程为5√2，故D错误.故选B. 课时作业55圆的方程 1.B若方程x2十y2十ax十2ay十2a2十 a-1=0表示圆，则a2十(2a)2 4(2a2+a-1)=-3a°-4a十4> 0→(3a-2)(a十2)<0，解得-2< a<÷又ae←2-10o1 3， 所以a=-1或a=0,即方程x2十 y2十ax+2ay十2a2十a-1=0表示 的圆的个数为2.故选B. 2.A因为点(-1，-1)在圆(x十a)2+ (y-a)2=4的内部，所以(-1十a)2+ (一1一a)2<4,化简得a2<1,解得 -1<a<1.故选A. 3.C由题可知PA=4|PO2,所 以(x-3)+y2=4(x2十y2),化简得 (x十1)2+y2=4.故选C. 4.A由O(0,0),A(2,0)在圆M上，故 圆心在直线x=1上，由A(2,0), B(2,一2)在圆M上，故圆心在直线 y=-1上，即圆心M(1,-1),半径 r=1十1=√2，故圆M的方程为 (x-1)2十(y+1)=2.故选A. 5.A设圆心到直线的距离为d,C到直 线的距离为d1,又圆心坐标为（一1， 0),则4=一1二2=3，又半径为 5 √5 V5,则当d1最大时，d1=d+√5= 后+厅，北时△ABC面积也最大， 3 8.故选A 6.C设圆的方程为x2十y2十Dx十 Ey十F=0,由题意得 (22+2D+F=0, 32+(2-5)+3D+(2-5)E+F=0, 1+(2+5)+D+(2+3)E+F=0, D=-4, 解得{E=-4,所以x2十y2-4x F=4, 4y十4=0，又因为点D(4,a)在圆上， 所以42+a2-4X4-4a+4=0,解 得a=2.故选C. 7.BCD由题意，方程x2十y2-4x十 8y十2a=0可化为(x-2)2十(y十 4)2=20-2a,当a=10时，20-2a= 0,方程不表示圆，所以A错误；当a< 10时，20一2a>0,方程表示圆心为 2对勾·讲与练·高三数学 (2,一4)的圆，所以B正确；当a=0 时，方程表示的圆的半径为2√5，所以 C正确：当a=8时，可得20-2a=4, 方程表示的圆的半径为2，又圆心坐标 为(2，一4)，所以圆心到y轴的距离等 于半径，所以圆与y轴相切，所以D正 确.故选BCD. 8.AC如图，圆C:(x-2)2十y2=1的 圆心为C(2,0),半径为r=1, P. 0 设k=”(m≠0)，则km-n=0,因 为点P在圆上，所以26 ≤1，解 V1十k2 得-≤k≤，故”的取值范图是 3 3 m 了，3]，故A正魔D错误；图为 「31 m十n的几何意义为点P到原点距 离的平方，又点P到原点的距离的取 值范围为[1,3]，所以m2十n的取值 范围为[1,9]，故m2+n2的最大值为 9,故B错误，C正确.故选AC. 9.x2十(y-2)2=4 解析：因为点A(-2,2)在圆上，所以 (-2-2)十(2-a)”=16,解得a= 2.设点M(xy),B(xoyo),则由 A成=A应.可得(x+2-2》 (x。十2，。-2)，解得x。=2x+2, 1 y。=2y-2,又因为点B(x。yo)满足 圆的方程，代入可得(2x十2-2)2十 (2y-2-2)2=16,化简得x2十(y 2)2=4. 10.y=1 解析：依题意 22+2F=0, 解得 42+22+4E+2F=0, 二二片以周的方框方：一 y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y- 1)2=5,故圆心坐标为(2,1)，即 △ABC的外心坐标为(2,1)，△ABC 的重心坐标为（号，，又点2，… (专)均在直线y=1上，所以 △ABC的欧拉线方程为y=1. 11.解：(1)由 。用 =2则圆心为(2,0)，半径为5， y=0, -612- 所以圆C的标准方程为(x一2)2十 y2=5. (2)设P(xoy),Q(x,y). 由PM=2QM,可得(8-xo,-yo)= 2(8-x,-y), 则。=2红-8·又点P在圆c上， lyo=2y, 所以(x。-2)2十y6=5, 即(2x-10)2+4y2=5, 化简得(x一5)十y=4 所以点Q的轨迹方程为(x一5)2+ y=4 5 12.解：(1)圆C的方程即(x一1)2+(y+ 2)2=5十m,所以m>-5, 再根据点A(m,一2)在圆C的内部， 可得(m-1)2+(-2+2)2<5十m, 解得-1<m<4. (2)当=4时，圆C的方程即(x一 1)2+(y+2)2=5+4=9,而(x 4)+(y一2)2表示圆C上的点P(x, y)到点H(4,2)的距离的平方， 由于|HC=√(4-1)2+(2+2)= 5,故(x-4)2+(y-2)2的最小值为 (5-3)2=4. BD授=≠3，度形 得k。-3)-y。-1=0,则0十日 x0-3 的几何意义为直线k(x一3)一y一 1=0(x≠3)的斜率，圆C:x2+y2 2x-2y十1=0即(x-1)2+(y 1)2=1,所以圆C的圆心为(1,1)，半 径为1.因为P(xoyo)是圆C:x2+ y2-2x-2y十1=0上任意一点，所 以圆C与直线k(x一3)一y一1= 0(x≠3)有公共点，即圆心C(1,1) 到直线k(x-3)-y-1=0(x≠3) 的距离不大于圆C的半径，所以 11-3)k-1-1≤1，解得 √k2+1 二4-≤k≤y2.即+1 3 x0-3 的最大值为二4故选D, 3 14.D由题意得|AB=6,设BC|= 1CD=x,则力=6+6+x十工 2 6十x,则四边形ABCD的面积S= √xX6=6x=125,所以x= 2√3.在△ABD中，由余弦定理得 |BD12=62+62-2X62×c0sA= 72-72cosA,在△BCD中，BD2= (2W5)2+(2W5)2-2X(25)2cosC= 24一24cosC,又四边形ABCD内接于 圆E,所以C=π一A,所以72一