10.8 概率统计的综合间题-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

第十章 计数原理、概率 10.8 概率统计的综合问题 考试要求 会综合利用概率统计知识，解决频率分布直方图、回归模型、独立性检验与分布列的综合问题 关键能力 提升 互动探究·考点精讲 考点1频率分布直方图与分布列的综合 【例1】为提高学生的环保意识，某大学举办了 次环保知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机 抽取了100人，统计发现他们的竞赛分数均分 布在[450,950]内，根据调查的结果绘制了竞 赛分数的频率分布直方图，如图所示.分数不 低于850分的学生被称为“特优选手”. 频率 组距 0.0025 规律总结 0.0015 0.0010 高考中常将频率分布直方图与分布列等交汇在 261 起进行考查，解题时要正确理解频率分布直方图， 0 450550650750850950分数 能利用频率分布直方图正确计算出各组数据.概率问 (1)求a的值，并估计该校学生竞赛分数的第 题以计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解 70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组 实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来 区间的中点值作代表)： (2)现采用比例分配的分层随机抽样的方式从 【对点训练1】某甜品店为了解某款甜品的销售 分数在[750,850)，[850,950]内的两组学生中 情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记 共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记 录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图 被抽取的4名学生中“特优选手”的人数为随 所示.假设每天的销售量相互独立，用频率估 机变量X,求X的分布列及数学期望 计概率。 频率 听课记录 T组距 0.04--- 0.03 0.02 0.01 04050607080日销售量/个 (1)估计某一天此款甜品销售量不超过60个 的概率。 (2)用X表示在未来3天里，此款甜品日销售 量超过60个的天数，求随机变量X的分布列 和数学期望 (3)该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30 天的销售记录，发现这其中有20天的销售量都 红圈内·讲与练·高三数学 超过70个，根据抽查结果，能否认为改变工艺 2(x,-t)(y,-y) 后，此款甜品的销售情况发生了变化？请说明 理由. ∑xy,-nry = 二；经验回归方 程y=bx+a中，b= 24-0.- ∑xy,-ny ,a=y-bx ∑x-n 心听课记录 考点2回归模型与分布列的综合 【例2】(2025·山东淄博二模)汽车尾气排放超 标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素. 262 我国近几年着重强调可持续发展，加大新能源 项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅 速发展.某汽车制造企业对某地区新能源汽车 的销售情况进行调查，得到下面的统计表： 年份t 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 销量y/万辆 10 12 17 20 26 (1)计算销量y关于年份代码x的样本相关系 数r,并判断是否可以认为y与x有较强的线 性相关关系（若|r≥0.75，则认为有较强的 规律总结1 线性相关关系).若是，求出y关于x的经验回 高考中常将回归模型与分布列等交汇在一起进 归方程；若不是，请说明理由. 行考查，求经验回归方程时要充分利用已知数据，合 (2)为了解购车车主的购车种类（分为新能源 理利用公式减少运算.求解概率问题时要注意概率 汽车与传统燃油汽车)的情况，该企业调查了 模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键. 该地区4位购买新能源汽车车主和4位购买传 【对点训练2】(2024·山东日照二模)某公司为 统燃油汽车车主，现从这8位购车车主中随机 考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测 抽取3位，用X表示抽取的3位购车车主中购 试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级 买新能源汽车的人数，求随机变量X的分布列 (1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门 与均值. 有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选 附：对于一组数据(x1y1),(x2y2),,（xn, 取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门 ym),变量x,y的样本相关系数r= 的人数为随机变量X,求X的最有可能的取值 第十章计数原理、概率 讲 (2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩 考点3独立性检验与分布列的综合 x(满分100分，成绩为整数)与绩效等级优秀 【例3】(2024·山东青岛三模)为了研究高三年 率y,如下表所示： 级学生的性别和身高是否低于170cm的关联 32 41 54 68 74 80 92 性，随机调查了某中学部分高三年级的学生， y 0.280.340.440.58 0.660.74 0.94 整理得到如下列联表： 根据数据绘制散点图，初步判断，选用y=入c“ 身高 性别 作为回归方程.令之=lny,经计算得之≈ 合计 低于170cm 不低于170cm ,-7 女生 14 5 19 -0.642, =1 ≈0.02. 男生 8 10 18 x-7 1 合计 22 16 37 (ⅰ)已知某部门测试的平均成绩为60分，估 计其绩效等级优秀率； (1)依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否 认为该中学高三年级学生的性别与身高有 (ⅱ)根据统计分析，大致认为各部门测试平均 关联？ 成绩x~N(u,o2),其中近似为样本平均数 x,o2近似为样本方差s2,经计算s≈20，求某 (2)从身高不低于170cm的15名学生中随机 抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数 个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率. 参考公式与数据：①ln0.15≈-1.9，e2≈ 为X,求X的分布列及期望E(X) (3)若低于170cm的8名男生身高数据的平均 3.32,ln5.2≈1.65. 数为x=166.5cm,方差为s号=9，不低于170cm ②经验回归方程y=bx十a中，b= 的10名男生身高数据的平均数为y=180cm, 263 ∑xy,- 方差为s号=18.请估计该中学男生身高数据的 =1 ,a=y-bx. 平均数和方差 xi-nr 附：X2= n (ad-bc)2 ③若随机变量X~N(,o2),则P(一o< (a+b)(c+d)(a+c)(b+d):n X<4+o)≈0.6826，P(-2o<X<u十 a+b+c+d. 2o)≈0.9544，P(-3o<X<+3o)≈ 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 0.9974. 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 号听课记录 2的勾·讲与练·高三数学 中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及 数学期望E(X), 参考公式：X= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 其中n=a十b+c+d, 4规律总结 a 0.1 0.05 0.01 高考中常将独立性检验与分布列等交汇在一起 2.706 3.841 6.635 进行考查，解决独立性检验问题，要注意过好“三 关”：假设关、公式关、对比关.解决概率问题要准确 地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事 件类型。 【对点训练3】(2024·山东临沂二模)“赶大集” 出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻 人对“赶大集”的态度（态度分为非常喜欢和感 觉一般)，随机调查了200位年轻人，得到的统 计数据如下面的不完整的2×2列联表所示. 对“赶大集”的态度 性别 合计 非常喜欢 感觉一般 男性 3t 100 264 女性 合计 60 (1)求t的值，试根据小概率值α=0.01的独立 性检验，判断能否认为年轻人对“赶大集”的态 度与性别有关 (2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8 人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女 温馨提示0 性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选 学习至此，请完成课时作业75 3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人 10.9 概率统计与其他知识的综合问题 考试要求 会综合利用概率统计知识解决概率统计与数列、函数、导数等知识的综合问题， 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1概率统计与数列的综合问题 (1)若取出的小球不再放回. ①求最后抽取的小球是黄球的概率； 【例1】 一个不透明的袋子中装有大小、质地相同 ②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率； 的40个小球，其中10个红球，10个黄球，20个 绿球，依次随机抽取小球，每次只取1个小球 ③设随机变量X为最后一个红球被取出时所 解答下列问题： 需的取球次数，求E(X).P(X>)>P(Ym)=1-P(Y> m),故C正确；当k1=2时，P(以 2o1≤X≤H+2o1)≈0.9545，当 kg=1时，P(4一62≤Y≤H十o2)≈ 0.6827,故D错误.故选AC. (2)BC依题意，XN(1.8,0.12), Y-N(2.1,0.12).对于XV(1.8, 0.12),由于2=1.8十2×0.1=4十 26,则P(X>2)=P(X>十2o)< P(X>4十o)≈1-0.8413= 0.1587,A错误：P(X>2)P(X> 1.8)=0.5,B正确；对于YVN(2.1, 0.12),由于2=2.1-0.1=4-6，则 P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,C正 确；P(Y>2)=P(Y>h-o)= P(Y<+o)≈0.8413>0.8，D错 误.故选BC 对点训练3(1)ACD 由题中图象可知， 甲的图象关于直线x=75对称，乙的 图象关于直线x=85对称，所以甲同 学的平均成绩为75分，乙同学的平均 成绩为85分，故A正确，B错误：因为 甲的图象比乙的图象更“高瘦”，所以 甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方 差小，甲同学的成绩比乙同学的成绩 更集中于平均值附近，故C正确；若 01=5,则甲同学成绩高于80分的概 率约为1-0.6826 =0.1587,故D正 2 确.故选ACD】 (2BCD 由E(X) =80.D(X)= 400,得4=80,62=400，故A错误：由 =80,o2=400,得XN(80,202), 则4一6=80-20=60,4十0=80十 20=100,4-26=80-2×20=40, 4+2o=80十2×20=120，故有 P(60X100)=m,P(40X 120)=n,则P(100≤X≤120) n-m 2 ,则P(60≤X≤120) n- 2+m= 2 m十”，即从该市高一全 2 体学生中随机抽取一名学生，该生测 试成绩及格但不优秀的概率为”十卫 2 故B正确；P(X≥120)=1 ”,则从 2 该市高一全体学生中（数量很大）依次 抽取两名学生，这两名学生恰好有一 名测试成绩优秀的概率为P=2X ”×1-）=12”故C 2 克：P(X≥60)=是+受，又P(X≥ 120)=1一卫，故从该市高一全体学生 2 对勾·讲与练·高三数学 中随机抽取一名学生，该生测试成绩 及格的概率为2十受，该生测试成续 1-n 优秀的概率为一2 ，则在已知该生测 试成绩及格的条件下，该生测试成绩 1一” 2 1一n,故D 优芳的就年1m1十 正确，故选BCD. 10.8概率统计的综合问题 关键能力提升 例1解：(1)由频率分布直方图知 (0.0015×2+a+0.0025+ 0.0010)×100=1→a=0.0035. 设第70百分位数为，前两组所占频 率为(0.0015十0.0035)×100=0.5， 前三组所占频率为(0.0015十0.0035十 0.0025)×100=0.75,则m位于第三 组数据中， 所以708=0 m-650 m=730,即第70百分位数的估计值为 730. 平均数x=(500×0.0015+600× 0.0035+700×0.0025+800×0.0015+ 900×0.0010)×100=670, 即该校学生竞赛成绩的平均数的估计 值为670. (2)由(1)知分数在[750,850)，[850， 950]内的两组学生分别有 100×0.0015×100=15(人)，100× 0.0010×100=10(人)， 所以各自抽取的人数分别为10× 15 10 15+10=6,10×15十10=4， 显然“特优选手”有4人， 故X可取0,1,2,3,4，则P(X=0) C=4P(X=1D= C 1 CC4=8 21 P(X=2)SC=多P(X=3)月 C1。 4 C CC=药，P(x=A)C =210 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 8 3 1 210 1 3+3× E(x)=0X+1X2十2X7 4 8 35+4×20=分 对点训练1解：(1)设事件A为“某一天 此款甜品销售量不超过60个”， -532- 所以P(A)=(0.01十0.03)×10= 0.4. (2)根据题意得X~B(3,0.6),则 P(X=0)=0.43=0.064, P(X=1)=C×0.6×0.4=0.288, P(X=2)=C×0.62×0.4=0.432, P(X=3)=0.63=0.216, 所以X的分布列为 0 1 2 3 P0.064 0.2880.4320.216 所以E(X)=0×0.064+1×0.288十 2×0.432+3×0.216=1.8. (3)可以认为改变制作工艺后，此款甜 品的销售情况发生了变化.理由如下： 改变制作工艺前，设事件C表示“日销 售量超过70个”，用Y表示30天内日销 售量超过70个的天数， 由频率分布直方图可得P(C)=0.2, 则YB(30,0.2), 所以E(Y)=30×0.2=6<20, 所以可以认为改变制作工艺后，此款 甜品的销售情况发生了变化. 别2解：1)由题意得五-日×(1十2 3十4+5)=3， 1 y=. -×(10+12+17+20+26)= 5 17, 2y=295, x =55. 2y=1609, ∑xy,-5ry 5 2-5y 295-5×3×17 √55-5X37×√1609-5×17 √> ≈0.976>0.75， 因此，销量y与年份代码x有较强的线 性相关关系。 2xy-5xy b== x:-5a = 295-5×3×17 55-45 =4,a=y-b证= 17-4×3=5, 故y关于x的经验回归方程为y= 4x+5. (2)由题意可得，X的可能取值为0,1， 2,3, 则P(X=0)= CC 1 C ,14 3 P(X=1)= cc c 3 P(X=2) C P(X=3)= 14 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 3—7 7 所以E(X)=0X 品+1× 十2X 号+3×1= 3 2 对点训练2解：(1)依题意，随机变量X 服从超几何分布，且X的可能取值为 C9·C 0,1,2,3,则P(X=0)= P(X-D-CC 18 35 P(X=2)= C·C 12 C 35 P(X=3)= Cg·C 1 C 35 由此可得P(X=1)= 1 35 最大，即 X=1的可能性最大，故X最有可能的 取值为1. (2)(i)依题意，y=入e"两边取对数， 得lny=cx十lnλ， 即x=cx十lnλ，其中x= 32+41+54+68+74+80+92 7 63, 由提供的参考数据，可知c≈0.02， 又-0.642=0.02×63+1nλ，故 lnλ≈-1.9， 所以λ≈el." 由提供的参考数据，可得λ≈0.15，故 y=0.15Xe0.02u 当x=60时，y=0.15Xe02x0 0.498,即估计其绩效等级优秀率为 0.498. (ⅱ)由（ⅰ）及提供的参考数据可知， h≈x=63,0≈s≈20， 又y≥0.78，即0.15×e.2x≥0.78，可得 ln5.2 0.02x≥ln5.2,即x≥ ≈83. 0.02 又A十o=83,且P(一o<X<4十 6)≈0.6826， 由正态分布的性质，得P(x≥83)= 2-Pg-<x<r中o]≈× 1 (1-0.6826)=0.1587, 记“绩效等级优秀率不低于0.78”为事 件A,则P(A)=P(x≥83)=0.1587， 所以绩效等级优秀率不低于0.78的概 率等于0.1587. 例3解：(1)零假设：该中学高三年级学 生的性别与身高无关联 根据列联表中的数据，经计算得X 37×(14×10-5×8)9 ≈3.278 19×18×22X15 2.706=x0.1, 由此可知根据小概率值&=0.1的独 立性检验，零假设不成立，可以认为性 别与身高有关联」 (2)由题意，可得随机变量X的可能取 值为0,1,2,3， 则P(X=0)= C P(X 1)=cC- 品P(X-) CiClo P(X=3)= 20 2 Cis C 所以随机变量X的分布列为 1 2 24 45 20 2 P 91 91 91 91 所以期望为E(X)=0× 24 45 91 +1× 91 20 2 2×+3×1=1. (3)由题意知，18名男生身高数据的平 均数x=9 4×166.5十。X180=☐ 174(cm), 18名男生身高数据的方差s2 [空x,-+云-+ 8(x-)2+ y-+10 ]=号×+-门+ 5 [s号+(y-z)2]=59, 所以估计该中学男生身高数据的平均 数为174cm,方差为59. 对点训练3解：(1)由题意可知3t (60-t)=100,解得t=20, 零假设：年轻人对“赶大集”的态度与 性别无关，2×2列联表如下： 对“赶大集”的态度 性别 合计 非常喜欢感觉一般 男性 60 40 100 女性 80 20 100 合计 140 60 200 -533- x2=200×(60×20-40×80)2 100×100×140×60 200×20002 140×60X100X100≈9.524>6.635. 根据小概率值α=0.01的独立性检 验，零假设不成立，可以认为年轻人对 “赶大集”的态度与性别有关，此推断 犯错误的概率不大于0.01. (2)设进一步交流的男性中非常喜欢 “赶大集”的人数为，女性中非常喜 欢“赶大集”的人数为n, 则X=m十n,且X的所有可能取值为 1,2,3,4. P(X=1)=P(m=0,n=1)= -品= 1 CC P(X=2)=P(m=1,n=1)+ P(m=0,n=2)= CCiCc CC C8C号13 CC=30 P(X=3)=P(m=2,n=1)十 CCCC P(m=1,n=2)= CC CCC CC P(X=4)=P(m=2,n=2) CCC 3 1 cc=0=0 所以X的分布列为 3 4 13 2 15 30 5 10 ,2+2× 所以E(X)=1×30 13 +3× 30 +4×06 338 30 10.9 概率统计与其他知识的 综合问题 关键能力提升 例1解：(1)①最后抽取的小球颜色是黄 色，则第40次取球恰好为黄球，设事件 A为第40次取球恰好为黄球， 则P(A)=8=子 101 ②设事件B为最后抽取的小球是黄 球，事件C为最后抽取的小球是绿球， 事件D为红球比其余两种颜色小球更 早取完 P(D)=P(BD)+P(CD)= P(B)P(D B)+P(C)P(D C)= 10、,20,20、,105 40×30+40×20=12 ③X的可能取值为10,11,12，…，40. P(X =)=CE(X)= 参考答案·☑。