6.5 数列求和-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

例32(3”-2") 解析：数列{an}中，由an1=3an十 2,器=会+1器十 2+ 2n+1 2=(+2，因为a1=2,2十 2=3,所以教列侵十2是省项为3… 公比为受的等比数列，因此经十2 2n 3×(侵) 一1 ,即an=2(3”-2),所以数 列{an}的通项公式为an=2(3”一2"). 对点训练1(1)2×3-1十4 解析：由a+1=3am一8，则am1一4= 3(am一4)，a1一4=2，所以数列{an 4}是以2为首项，3为公比的等比数 列，所以an一4=2X31,所以an= 2X3"1十4. (2)(n+1)·2 解析：将an+1=2an十2+1两边同除以 2,得2票=2十1因为a1=4,所 2n 以之三2，则品是首项为2，公差为 2" 1的等差数列，所以8=2+(n-1)X 1=n十1，则a,=(n十1)·2”. 例43”-(1) 4 解析：方法一 因为an=2an十 3am-1(n≥2，n∈N),设bn=am+1十 an,所 b,-1an十an-1 3(am十am-1) =3,又因为b1=a2十 am十am-1 a1=3,所以{bn}是首项为3，公比为3 的等比数列.所以bn=am中l十an=3X =从学十方号=号不 1 1,故 cH一4 1 4又周为 1 4 公比为弓的等比戴到，故 首项为】 .-×()”-学 从而a,= 3”-(-1)” 4 红对勾·讲与练·高三数学 方法二因为方程x2=2x十3的两 根为-1,3，可设an=c1·(-1)"-1十 c2·3”-1,由a1=1,a2=2,解得c1= 子：=子所以a.=3”- 1 4 对点训练23-1 解析：f'(x)=4am+1x3一3amx2 a+2∴f'(1)=4an+1-3an-a+2= 0,即a+2-an1=3(am+1-an),a1 1,a2=3,∴a2-a1=2,数列{a+1 an}是首项为2，公比为3的等比数 列，a+1一an=2X31,则an=an an-1十am1一an-2十…十a2-a1十a1= 2X3m2+…+2X3°+1=2X(3-2+ 3”-8+…+31+3°)十1=2X 1-3"1 1-3+1=3”1-1+1=31 1 例5am=2”-1 an 解析：对anH=2”a,十1 两边取倒数 得1 2"a.+1 1 十2”，即 an+l an a 1-1 =2,当n≥2时· 1 antl an 1=2,1-1=22…, an-l an-1 an-2 1-1=2,1-1=2,将以上各 a3 a2 ax al 式累加得1-1=21+24+…十 an al 22+2= 2(1-2-1) 1-2 =2”-2,又a1= 1,所以上=2-1，所以a=2 1 当n=1时，a1=1也满足an= 1 1 2-所以a,=2 对点训练34n-3 1 解析：数列{an}中，a1=1,a1= 4a,干1：显然a,≠0，取倒数得1 antl 4a,+1=4十。 ,即11 1 ·=4,则 an an+l an 数列{已是首项为1，公差为4的等差 数列，因光1=1十4(m-1)=4m-3, 1 所以am=4n一3 6.5 数列求和 必备知识回顾… 基础检测 1.(1)√(2)/(3)×(4)/ -484- 12, 1一2 1 1-士2=2n-2。 2+1 2” 2一n一2，故选B 2" 32”-1- 2 解析：教列{口十安的前”项和为 (1+2)+(2+2）-(3+2）+ (a+2）=1+2+3+…十)中 -) 2 n(1+m)+1-2 2 21 4. 解折：因为a,=a-D=2(日 2 n）,所以S,=a十a:中a,十… )=- 所以5=2×-品)=引 关键能力提升… 例1解：(1)由题意知b1-b2=8,b- b1=4,a1+b1=4, 因为a2n-1=b2m-1十12m,a2n=mb2m, a1=b1+12m, a2 mb2, 所以a3=b十12m, as mbi, a1+b1=2a1-12m, 设等差数列{an}的公差为d,则 a3-a1=b3-b1=4=2d, a1-a2=m(b1-b2)=8m=2d, a1十b1=2a1-12m=4, d=2, 1 解得m=之 b1=-1, a1=5, 所以am=5十(n-1)×2=2n十3， 所以m的值为弓，a}的通项公式为 am=2n十3. (2)由(1)知，am=2n+3,b2m-1= a2m-1-6,b2n=2a2m, 所以Sn=(b1十bx十b:十…十 b2m-1)十(b2十b1十b6十…十bn)= (a1十a3+a5十…+a2m-1-6n)+ 2(a2十a1十a6十…十a2n)= n(a1十am-6n十2X 2 na:十an）=n(5+4n十1D-6m+ 2 2 n(7+4n+3)=6n2+7n. 所以{bn}的前2n项和S=6n2十7n. 对点训练1解：(1)证明：数列{an}中， 4S,=5am-2,当n≥2时，4S,1= 5a,1一2，两式相减得am=5am-1, 而a1=S=1合部得a1=2 所以{an〉是首项为2，公比为5的等比 数列，通项公式为an=2×5一1. (2)由(1)知，bn=(-1)”· 2X52m+1 bg2=(-10g,2 2 (-1)”·(2n+1), 所以T1=(b1+b2)+(b3+ b1)十…十(b9十b106)=(-3十5)十 (-7十9)+…+(-199+201)=2+ 2+2+·+2=2×50=100. 例2解：(1)当n=1时，4S1=4a1= 3a1十4，解得a1=4. 当n≥2时，4Sn1=3a1十4，所以 4S,-4S1=4a 3a -3a am=-3am-1, 而a1=4≠0，故a,≠0，故2=-3， 所以数列{an}是以4为首项，一3为公 比的等比数列，所以an=4·(-3) (2)由(1)知bn=(-1)·n·4· (-3)-1=4n·3-1, 所以Tn=b1十b2+b3十…十b,=4X 3°+8×31+12×32+…十4n·3"1, 故3T,=4×31+8×32+12× 33十…十4n·3", 两式相减得，一2T,=4十4×31十4× 32+…+4X3"1-4n·3”=4十4X 31=3)-4n·3”=4+2×3× 1-3 (3m1-1)-4n·3"=(2-4n)·3" 2,所以T,=(2n-1)·3”十1. 对点训练2解：(1)证明：S。= 20n=n十251-s” n 即(n十2)S,=n(S+1-Sn), 即nS1=(2m+2)S,则m5 ”n(n+1) 2m+2)S,即S4=2S, n(n十1) 1- 即61=26又6=于=e1=2 故数列{b,}是以2为首项，2为公比的 等比数列. (2)由1)易得b.=2,即S=2”, 则Sn=n·2”, 则Tm=1×2+2×22十…十n·2”, 有2Tm=1×22十2×23十…十 n·21, 则T。-2T,=-Tn=2十2 23+…+2”-n·21=2(1-20) 1-2 n…2+1=2+1-2-n…2H=(1-n)· 2+1-2, 故T。=(n-1)·2+1+2. 例3解：(1)设数列{an}的公差为d,依 题意，2,2十d,2+3d成等比数列，所以 (2+d)2=2(2+3d), 解得d=0或d=2.当d=0时，an= 2;当d=2时，am=2+(n-1)×2= 2n. 所以数列{a}的通项公式为a,=2或 an =2n. (2)因为等差数列{am}的公差不为零， 所以am=2n(n∈N"),则bn= An (a,-1)a,+1)=(2n-1)(2n+) 4n-1+1=1+2m-1D2n+T 4n2-1 1+(） 1 所以T.=n+3×(片-号)+2× (仔-）+安×（号-）+… (nn） 即T.=”+(-)=”中 n 2n+1' 对点训练3解：(1)由a3=2,{a}的公 差d=l,得a1=0,.am=a1十(n 1)×d=n-1, :点(an,bn)在函数f(x)=3的图 象上(n∈N),.bn=3”=3-1. (2)证明：bn=3”=31,数列 {bn}为等比数列，首项为1，公比为3， 则8=22 -485- 3-1 ..Cn= 4S,S1= (3”-1)(3+-1) .Tn=c1十c2十c3十…十cm= 6 1 ）=品8-可< 1 1 江.<品 例4解：(1)f(x)十f(1-x)=1十 n+1+n产=2 x (2由题知，当n≥2时a,=f(什）十 (层)+（保）++)， 又a=f(,）+f(2)+… ∫（分），两式相加得 2a.=[(分）+f,)]+ [()+(,]+…+ (,2)+()]=2m- 所以an=n-1, 又a1=1不符合an=n-1, 1,n=1, 所以a,= n-1,n≥2. 对点训练4解：因为f(x)=3十 3 所以f(x)十f(-x)= 3* 3 3+13+7 3(3+1)+3(3+1D=1. (3+1)(3x+1) 因为数列{an冫是正项等比数列， 所以a1ag=a2a8=…=a18a51= aw=1, 即lna1十lnay=lna2十lnas=…= lnaw十lna1=2lnao=0. 所以f(lna1)十f(lnam)=f(lna2)十 f(lnag)=…=f(lna)十f(lna)= 2f(In as)=1, 设S=f(lna1)+f(lna2)+ f(lnag)+…十f(lnas)①， 又Sg=f(lnag)+f(lna8)十 f(lnam)+…+f(lna)②， ①+②，得2Sw=99,所以S=9. 2 参考答案‘☑2的勾·讲与练·高三数学 【对点训练2】若x=1是函数f(x)=aw+1x4 amx3-a+2x十1(n∈N*)的极值点，数列 {an}满足a1=1,a2=3,则数列{an}的通项公 式为am= 规律总结 考点3 倒数为特殊数列a1=0。型 ra+s 两边同时取倒数转化为1=三·】十二的形 anti p an 【例5】 已知数列{am}满足a1=1,a+= 式，化归为b1=仙.十B型，求出1的表达式，再求a。 0 2am+1 n∈N*),则数列{am}的通项公式为 【对点训练3】已知数列{an}满足a1=1,aw+1 听课记录 4a.+n∈N),则a. 温馨提示』 学习至此，请完成课时作业41 6.5 数列求和 考试要求 1.探索并掌握等差、等比数列前项和公式及其推导用到的“倒序相加法”“错位相减法”和其他一些重要的 138 求和方法. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差、等比关系，并解决相应的问题.掌握非等差数列、非等比数列求 和的几种常见方法 必备知识回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 (2)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个 1.特殊数列的求和公式 等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. (1)等差数列前n项和公式：S,= n(a1+am） 2 (3)裂项相消法 na+n(n-1)d 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的 2 一些项可以相互抵消，从而求得其和 (4)倒序相加法 (2)等比数列前n项和公式：S,= 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等 na1(q=1), “距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么 a11-g）_a1-a9(g≠1). 求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 1-q 1-q 回教材拓展 2.数列求和的几种常用方法 常见的裂项公式 (1)分组求和法 11 1 (1) 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为 n(n+1)nn+1 11 几个等差、等比数列，再求解. 第六章数列 进 2 上式等号两边同时乘以α即可根据错位相减法 n(n+1D(n+2)= (3) 求和. 1「1 1 2n(n+1)(n+1)(n+2) (4)若数列a1,a2一a1,…,am一aw1是首项为1， 1 公比为3的等比数列，则数列{a,}的通项公式 (4) √a+√b a-bVa-J) 是a,=3”-1 2· () (5) =√n十I-√n. √m+n+1 2.(人教A版选择性必修第二册P40T3改编)Sn= (6) 2 1 1 1 +。十8十…+” () (2”-1)(21-1)2”-12"1-1 基础检测。 A 2”-n-1 B201-n-2 2” 2 1.判断（正确的画“/”，错误的画“X”) C.2”-n+1 D.21-n+2 (1)若数列{a)为等比数列，且公比不等于1， 2" 2 则其前n项和S.=a1一a 3.(人教A版选择性必修第二册P40T3改编)数列 1一9 的前n项和为 2当≥2时-，， ”+是 2 4.已知am= m十，数列{a,}的前n项和为S。, (3)求Sn=a+2a2+3a3+…+na”时，只要把 则S21= 关键能力提升 互动探究·考，点精讲 139 考点1分组求和法与并项求和法 【例1】(2024·山东聊城二模)已知数列{am}, {bn}满足a2w1=b2w-1十12m,a2m=mb2a,m为 常数，若{an}为等差数列，且b4一b2=2(b? b1)=2(a1+b1)=8. (1)求m的值及{am}的通项公式； (2)求{bn}的前2n项和S2w. 听课记录 4规律总结 1.分组求和法常见题型 (1)若数列{cm}的通项公式为cm=am士bn,其 中{an},{bn}为等差数列或等比数列，可采用分组求 和法求数列{cn}的前n项和. (2)若数列{cn}的通项公式为cm= ann为奇数， bnn为偶数， 其中数列{an},{bn}为等比数列或等差数列，可采用 分组求和法求数列{cm}的前n项和. 红通内·讲与练·高三数学 2.并项求和法常见题型 (1)数列{am}的通项公式为an=(一1)”f(n), 求数列{an}的前n项和. (2)数列{am}是周期数列或a十a+1(k∈N·) 为定值，求数列{an}的前n项和， 【对点训练1】已知数列{am}的前n项和为Sn, 且4Sn=5aw-2. (1)求证：{an}是等比数列，并求其通项公式： (2》设.=（一1）1og,2,求数列.}的前 规律总结 100项和T10: 1.如果数列{am}是等差数列，{bn》是等比数列， 求数列{am·bn}的前n项和时，常采用错位相减法. 2.错位相减法求和时的注意点 (1)在写出“Sm”与“gSn”的表达式时应特别注 意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出 “Sm一gSn”的表达式. (2)应用等比数列求和公式时必须注意公比q 是否等于1，如果q=1,应用公式Sm=a1. 140 【对点训练2】(2024·浙江绍兴三模)已知数列 {an}的前n项和为Sn,且a1=2,S,= n十201设b.=S n n (1)求证：数列{bn}为等比数列； (2)求数列{Sn}的前n项和Tw 考点2错位相减法求和 【例2】(2024·全国甲卷理)记S为数列{am}的 前n项和，已知4Sm=3am十4. (1)求{a,n}的通项公式； (2)设bn=(-1)”1naw,求数列{bn}的前n项 和Tw 听课记录 第六章数列 进 考点3裂项相消法求和 【对点训练3】(2024·福建龙岩三模)若数列 【例3】(2024·湖南岳阳三模)已知等差数列 {an}是公差为1的等差数列，且a3=2,点(aw, {am}满足a1=2,且a1,a2,a4成等比数列. bn)在函数f(x)=3r的图象上(n∈N*),记 (1)求数列{am}的通项公式： 数列{bn}的前n项和为Sn· (2)若等差数列{a,}的公差不为零且数列{bn)》 (1)求数列{am,{b,}的通项公式； 4n2 满足6，=a,-a.十D求数列6，}的前 。一，记数列{c,}的前n项和为 (2)设c=4SnS+1 n项和Tm: 工求证：工，<官 听课记录 141 考点4倒序相加法 【例4】 设函数f(x)=1+1n1二2，a1=1,4, f(）+()+f()+…+fn）m∈ N*,n≥2). (1)计算f(x)+f(1-x)的值： (2)求数列{an}的通项公式。 规律总结 听课记录 裂项相消法的原则及规律 (1)裂项原则 一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被 消去项的规律为止 (2)消项规律 消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第九 项，后面就剩倒数第几项. 红通内·讲与练·高三数学 【对点训练4】已知函数f(x)=3 3”+7x∈R). 正项等比数列{an}满足a5o=1,求f(lna1)十 f(lna2)+…+f(In a9s). 4规律总结、 如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离” 的两项的和相等或等于同一个常数，求这个数列的 前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和 温馨提示) 142 公式即是用此法推导的. 学习至此，请完成课时作业42 6.6数列的综合交汇问题 考试要求 1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题. 2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题. 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1数列与不等式、函数的综合问题 (3)设数列{an}的前n项和为Sn,若不等式 (-1)”·tSn-14≤S?对任意的n∈N*恒成 【例1】(2024·广东韶关二模)记R上的可导函 立，求t的取值范围. 数f(x)的导函数为f'(x),满足xm+=xm一 听课记录 CnN)的数列x称为函数f(z 的“牛顿数列”.已知数列{xn}为函数f(x) x2一x的牛顿数列，且数列{an}满足a1=2, an =In xw1心m>1. (1)求a2; (2)求证：数列{an}是等比数列，并求am;