6.4 由递推公式求通项-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

第六章 数列 6.4由递推公式求通项 考试要求 会根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列（等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列） 求数列通项公式。 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1a+1=pa十f(n)型 规律总结 命题角度1aw+1=pam十q(p≠0,1，q≠0) 形式 构造方法 【例1】数列{an}满足am=4a,-1十3(n≥2)且 am+1=pam十q 引入参数c,构造新的等比数 a1=0,则数列{an}的通项公式是 (p≠0,1,9≠0) 列{am一c} 听课记录 an=pan +gn+c 引入参数x,y,构造新的等比 (p≠0,1，g≠0) 数列{am十xn十y} 两边同除以q+,构造新的数 a+=pam十q” (≠0,1,9≠0,1) 列 【对点训练1】(1)若数列{am}满足a+1=3a。 137 命题角度2a+1=am十qn十c(力≠0,1,9≠0) 8,且a1=6,则数列{am}的通项公式为a 【例2】 在数列{an}中，a1=3,且a+1=3am十 (2)各项均为正数的数列{am}满足a1=4, 4n一6(n∈N*),则数列{am}的通项公式为 am+1=2an十2+1，则am= 相邻两项的差为特殊数列(a+1= 听课记录 考点2 am十qaw1型，其中a1=a,a2=b) 【例4】已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且 am+1=2am十3am-1(n≥2，n∈N*),则数列 {an}的通项公式为am= 听课记录 命题角度3aw+=pam十q”(p≠0,1,9≠0,1) 【例3】数列{an}满足a1=2,aw+1=3aw十2+1，则 数列{am}的通项公式为aw= 听课记录 4规律总结 可以化为a+1一x1an=x2(am一x1am-1),其中 x1,x2是方程x2一px一q=0的两个根，若1是方 程的根，则直接构造数列{am一a-1},若1不是方程 的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列 {an}. 2的勾·讲与练·高三数学 【对点训练2】若x=1是函数f(x)=aw+1x4 amx3-a+2x十1(n∈N*)的极值点，数列 {an}满足a1=1,a2=3,则数列{an}的通项公 式为am= 规律总结 考点3 倒数为特殊数列a1=0。型 ra+s 两边同时取倒数转化为1=三·】十二的形 anti p an 【例5】 已知数列{am}满足a1=1,a+= 式，化归为b1=仙.十B型，求出1的表达式，再求a。 0 2am+1 n∈N*),则数列{am}的通项公式为 【对点训练3】已知数列{an}满足a1=1,aw+1 听课记录 4a.+n∈N),则a. 温馨提示』 学习至此，请完成课时作业41 6.5 数列求和 考试要求 1.探索并掌握等差、等比数列前项和公式及其推导用到的“倒序相加法”“错位相减法”和其他一些重要的 138 求和方法. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差、等比关系，并解决相应的问题.掌握非等差数列、非等比数列求 和的几种常见方法 必备知识回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 (2)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个 1.特殊数列的求和公式 等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. (1)等差数列前n项和公式：S,= n(a1+am） 2 (3)裂项相消法 na+n(n-1)d 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的 2 一些项可以相互抵消，从而求得其和 (4)倒序相加法 (2)等比数列前n项和公式：S,= 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等 na1(q=1), “距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么 a11-g）_a1-a9(g≠1). 求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 1-q 1-q 回教材拓展 2.数列求和的几种常用方法 常见的裂项公式 (1)分组求和法 11 1 (1) 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为 n(n+1)nn+1 11 几个等差、等比数列，再求解.×-)门 2 1- 4 3 ()-- 例2解：(1)证明：由a+1十an=3n十1， 得an1=-an十3n十1， 所以aH一号a十1)十是 3 故a-3+1 2+41 三一1≠0，由递推公 3 1 式可得a,-之”十4≠0， 3 a12”十1)+41 所以 31 所以，-子}是首项为 -,公比为-1的等比数列。 放a,-+子-(-）-1w1 - 31+-1)” 即a,=之n-4 4 (2)存在. 由1)可得a,=二1)一1土3 4 4十2n, 所以an=二1D”13 4 4十2m, 4 假设am十a,=am+n成立， 则二1)“+(-1)”_13】 4 -2+2m十 2)=（一1)"”一1士（m十n), 4 化简得(-1)m十(-1)”=1+ (-1)m"(%). 可知当m为正偶数，即m=2k,k∈ N“时，(*)式对任意的正整数n总 成立. 因此，存在正整数，当m=2k,k∈ N”时，对任意的正整数n,am十an= am总成立. 对点训练2解：(1)证明：因为a十 2am=3n-5,n∈N", 所以an+1-(n+1)+2+2an=3n 5-(n+1)+2, 所以a+1-(n十1)+2=-2an+2n-4, 即am+1-(n+1)十2=-2(am-n十 2),所以b+1=-2bn， 又6=a-1+2=2≠0，则会=-2 所以{b}是以2为首项，一2为公比的 等比数列. (2)由(1)可知，bn=b1·(-2)”-1= 2×(-2)”1, 由于am=bn十n-2,所以am=2X (-2)1+n-2, 所以Sm=a1十a2十a3十…十am= 2×(-2)°+(-1)+2×(-2)1+0 2X(-2)2+1+…+2X(-2)"-1+n 2=2×(-2)°十2×(-2)1十2× (-2)2+…+2×(-2)"-1+[(-1) 0+1+…+(n-2)]=2X[(-2)°+ (-2)1十(-2)2十…+(-2)”1]十 [(-1)+0+1+…+(n-2)]= 2x器+”a- 2 2_2×(-2)”+n(n-3） 3 3 2 例3(1)C记数列{an}的公比为q,由 题知a19·a1q2·a193=g=27,则 a1a3as…a17=a8=(a1g)°=g2= (g)12=2712=3,所以 log(a1a3a5…a17)=log36=36.故 选C. (2)C因为{an}为等比数列，则公比 q≠0，所以a号=a2a6,又a2十a1十 a6=8,所以1+1+1=1+1 1=a?十ai+a4=ag十a+a!= a1a2a6a a ai ag十a1十at= 8=2,解得a4= a ±2又a2十a1十a6=a2(1十g十 q)=8>0,而1十g2十q>0恒成立， 所以a2>0,则a1=a2g>0,故a1= 2.故选C. 例4(1)A设等比数列{an}的公比为 q,因为S8十S24=140,且S21=13S8, 所以Sg=10,S21=130,故q≠士1，所 S1-g=g)+g+1= 以=1-g 13,即(g)2十g-12=0,解得g=3 或g8=一4（舍去），由等比数列性质可 知，Sg,S16一S8,S1一S16成等比数 列，公比为q=3,所以S16一10= 10×g=30,解得S16=40.故选A. (2)B设等比数列{an}的公比为q, 则a1十a3十…十a2+1=a1十 a29+…十a249=85,即q(a2十…十 a26)=85-1=84,因为a2十a1十…十 ak=42,所以g=2,则a1十a2十 a3十·十a张十a2张+1=85十42= 127=1×1-2,即128=24， 1-2 解得k=3.故选B. -483- 对点训练3(1)A根据题意，设等比数 列{an的公比为q,若a1a2a3=27,则 有a8=27,解得a2=3,又由a5=81, 则g2=a5=81 a=3=27,解得g=3,故 a2=1,则S；=192→ 1-q 1-35 1-3=121,故选A (2)BD若a1=-b1且{an},{bn公 比相等，则a1十b1=0,显然不满足等 比数列，A错误；若{an}的公比为q, 而S:=a1(1十q十g2),S6-S=a1十 a；十a6=a1(g十g1十q),Sg-S6= a:十a8十a,=a1(g十g十g8),所 以S,S。-S,S。-S6是公比为q的 等比数列，B正确；同B分析，Sm= a1(1+g十…+g1),Sm-S,= a1(g”+g1+…十g2-1),Sn-S2n= a1(g”十ga1十…十gm1),若n为偶 数，9=一1时，显然各项均为0，不为 等比数列，C错误；当an>0(n∈N*), 则Sn=Sn1十am>Sn1且n≥2，易 知〈S,为递增数列，充分性成立，当 {Sn}为递增数列，则Sm>S,1→ S,1十am>Sn1且n≥2，显然{an} 为一1,2,2,2，…满足，但am>0不恒 成立，必要性不成立，所以“a。> 0(n∈N)”是“{Sn}为递增数列”的 充分不必要条件，D正确.故选BD. 6.4 由递推公式求通项 … 关键能力提升… 例1am=4"1-1 解析：设an十入=4(a十入)，则am= 4am-1十3入，又因为am=4am-1十3(n≥ 2),所以3入=3，则入=1，所以am十 1=4(am1十1)，因为a1十1=1≠0， 所以0，十1≠0，所以0。十1 a,1十了=4为常 数，所以数列{a,十1}是首项为1，公比 为4的等比数列，所以an十1=1X 4-1=4"1,所以a,=4”1-1. 例2an=3”-2(n-1) 解析：因为am+1=3am十4n-6(n∈ N"),设am+1十x(n十1)十y=3(a,十 xn十y),其中x,y∈R,整理可得 am+1=3am十2xn+2y-x,所以， 2x=4, 2y-x=-6, 了解得三。所以· am+1+2(n+1)-2=3(am十2n-2), 且a1十2×1一2=a1=3,所以数列 {am十2n-2?是首项为3，公比为3的 等比数列，所以，a,十2n一2=3X 31=3”,解得am=3”-2(n-1). 参考答案“☑。 例32(3”-2") 解析：数列{an}中，由an1=3an十 2,器=会+1器十 2+ 2n+1 2=(+2，因为a1=2,2十 2=3,所以教列侵十2是省项为3… 公比为受的等比数列，因此经十2 2n 3×(侵) 一1 ,即an=2(3”-2),所以数 列{an}的通项公式为an=2(3”一2"). 对点训练1(1)2×3-1十4 解析：由a+1=3am一8，则am1一4= 3(am一4)，a1一4=2，所以数列{an 4}是以2为首项，3为公比的等比数 列，所以an一4=2X31,所以an= 2X3"1十4. (2)(n+1)·2 解析：将an+1=2an十2+1两边同除以 2,得2票=2十1因为a1=4,所 2n 以之三2，则品是首项为2，公差为 2" 1的等差数列，所以8=2+(n-1)X 1=n十1，则a,=(n十1)·2”. 例43”-(1) 4 解析：方法一 因为an=2an十 3am-1(n≥2，n∈N),设bn=am+1十 an,所 b,-1an十an-1 3(am十am-1) =3,又因为b1=a2十 am十am-1 a1=3,所以{bn}是首项为3，公比为3 的等比数列.所以bn=am中l十an=3X =从学十方号=号不 1 1,故 cH一4 1 4又周为 1 4 公比为弓的等比戴到，故 首项为】 .-×()”-学 从而a,= 3”-(-1)” 4 红对勾·讲与练·高三数学 方法二因为方程x2=2x十3的两 根为-1,3，可设an=c1·(-1)"-1十 c2·3”-1,由a1=1,a2=2,解得c1= 子：=子所以a.=3”- 1 4 对点训练23-1 解析：f'(x)=4am+1x3一3amx2 a+2∴f'(1)=4an+1-3an-a+2= 0,即a+2-an1=3(am+1-an),a1 1,a2=3,∴a2-a1=2,数列{a+1 an}是首项为2，公比为3的等比数 列，a+1一an=2X31,则an=an an-1十am1一an-2十…十a2-a1十a1= 2X3m2+…+2X3°+1=2X(3-2+ 3”-8+…+31+3°)十1=2X 1-3"1 1-3+1=3”1-1+1=31 1 例5am=2”-1 an 解析：对anH=2”a,十1 两边取倒数 得1 2"a.+1 1 十2”，即 an+l an a 1-1 =2,当n≥2时· 1 antl an 1=2,1-1=22…, an-l an-1 an-2 1-1=2,1-1=2,将以上各 a3 a2 ax al 式累加得1-1=21+24+…十 an al 22+2= 2(1-2-1) 1-2 =2”-2,又a1= 1,所以上=2-1，所以a=2 1 当n=1时，a1=1也满足an= 1 1 2-所以a,=2 对点训练34n-3 1 解析：数列{an}中，a1=1,a1= 4a,干1：显然a,≠0，取倒数得1 antl 4a,+1=4十。 ,即11 1 ·=4,则 an an+l an 数列{已是首项为1，公差为4的等差 数列，因光1=1十4(m-1)=4m-3, 1 所以am=4n一3 6.5 数列求和 必备知识回顾… 基础检测 1.(1)√(2)/(3)×(4)/ -484- 12, 1一2 1 1-士2=2n-2。 2+1 2” 2一n一2，故选B 2" 32”-1- 2 解析：教列{口十安的前”项和为 (1+2)+(2+2）-(3+2）+ (a+2）=1+2+3+…十)中 -) 2 n(1+m)+1-2 2 21 4. 解折：因为a,=a-D=2(日 2 n）,所以S,=a十a:中a,十… )=- 所以5=2×-品)=引 关键能力提升… 例1解：(1)由题意知b1-b2=8,b- b1=4,a1+b1=4, 因为a2n-1=b2m-1十12m,a2n=mb2m, a1=b1+12m, a2 mb2, 所以a3=b十12m, as mbi, a1+b1=2a1-12m, 设等差数列{an}的公差为d,则 a3-a1=b3-b1=4=2d, a1-a2=m(b1-b2)=8m=2d, a1十b1=2a1-12m=4,