课时作业19 导数中的函数构造问题-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

10.[0,1) 解析：由题意，f'(x)=一x一3十 4=-x2十3x-4 x∈(0，十∞)， x 当'(x)=0时，有x2十3.x一4=0， 得x=一4（舍去）或x=1.:f(x) 在(t,t十2)上不单调，且(t,t十2)二 十∞)下1<1十2，可得 (0, t∈[0,1). 11.解：(1)，f(x)=(-2x十a)e+ (-x2十ax)e .f'(0)=1→a=1. (2)f'(x)≥0→(-2x+a)e*十 (-x2+ax)e≥0→ -x2+a.x-2x十a≥0→x2-ax十 2x-a≤0→a(x+1)≥x2十2x, 则函数f(x)在(-1,1)上单调递增， 等价于a(x+1)≥x2十2x在(-1， 1)上恒成立， 即a≥ (x十1)2-1 x+1 x十1 +1- 在(-1,1)上恒成立， y=x十1-7在(-1,1上单调 3 递增，故y=x十1一十 3 a≥ 故a的取值范围是[，十∞）小 12.解：(1)f'(x)=x2+ax+a-1. .f(2)=3a+3, 由已知f(2)=-6,.3a十3=-6， 得a=3心f(2)三-) ∴.曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的 切线方程为y十3=-6(x一2)， 化简得18.x十3y-5=0. (2)f(x)= ++ 1)x+1的定义域为R, f'(x)=(x十a-1)(x十1)，令 f'(x)=0得x=1-a或x=-1. ①当1-a<-1,即a>2时， 令f'(x)>0得x>-1或x<1 a,令f'(x)<0得1-a<x<-1, 故f(x)在(1一a,一1)上单调递减， 在(-∞，1-a),(-1,十∞)上单调 递增； ②当1-a=-1,即a=2时， '(x)=(x十1)2≥0恒成立， 故f(x)在R上单调递增； ③当1-a>-1,即a<2时， 令f'(x)>0得x>1-a或x<-1, 树勾·讲与练·高三数学 令f'(x)<0得-1<x<1-a, 故f(x)在(-1,1-a)上单调递减， 在(-∞，-1)，(1-a,十∞)上单调 递增. 综上，当a>2时，f(x)在(1-a, 一1)上单调递减，在(-∞，1-a), (一1，十∞)上单调递增： 当a=2时，f(x)在R上单调递增； 当a<2时，f(x)在(-1,1-a)上单 调递减，在（一∞，一1），(1一a,十o∞) 上单调递增。 3.A sin 3x sin(2x+x)=sin 2x cos z +cos 2x sin x 2sin x cos x. cos x(1-2sin2x)sin x 2sin x (1-sin'x)sin x-2sin'x= 3sinx-4sinx,所以sin30°=3sin10°一 4sin10°=2，即sin10°是方程 4工3=3z千号=0的一个实教根.令】 f(x）=4x3-3x+2,则f'(x)= 12x2一3=3(2x+1)(2x-1),显然 0<sin10°<sin30°=2，当0< x<2时，f'(x)<0,所以f(x)= 4x-3x十在(0,2）上单调递 减.又f(6)=4×(日)>0， (得)=4×（号）”-3×吉 名=一品<0，所以m10 (合，号）即n=5.截选A 4.ACD对于A,令f(x)=sinh= g则r)->0 2 故双曲正弦函数是增函数，故A正 确；对于B,令g(x)=cosh z= 期g)=2南A 知，g'(x)为增函数，又g'(0)= c⊙-e=0,故当x∈(-∞，0)时， 2 g(x)<0,当x∈(0，十o∞)时， g'(x)>0,故g(x)在(-o∞，0)上单 调递减，在(0，十∞)上单调递增，故B 错误；对于C,tanh x=sinh工 cosh x e-e 2 e-er e'十e e+。=211=1- 2 e十易知y=e十1在R上单调 2 -558- 递培，故mhx=1一。2是增画 数，故C正确；对于D,由C知tanh x= e十则ianh(r+y) e2-1 e2r+2y-1 e2r+2y+1 tanhz十tanh y= 1--tanh x tanh y e2-1+e2-1 e2r+1Te2+1 1+e1.e7 e2w+1'e2+1 (e2r-1)(e2y+1)+(e29-1)(e2r+1) (e2+1)(e2+1)+(e2x-1)(e2-1) 2e2r+g-2e2+2y-1 2e2r+2y十2e2+2y十1 故tanh(x十 tanhz十tanh义，故D正确.故 y)=1+tanh ztanh y 选ACD. 课时作业19导数中的 函数构造问题 1.B令g(x)=f,则g fx)e-fx)e=fx)-fa）< 0,所以g(x)在R上单调递减.因为 f(0)=1,所以g(0)=1,不等式 f(x)>c可变形为）>1，即 e g(x)>g(0),可得x<0.故选B. 2.B令g(x)=f(x)-2x-4,则 g'(x)=f'(x)-2>0,g(x)为R 上的增函数.又g(-1)=f(-1)一 2×(-1)-4=0,∴.f(x)>2x+4 等价于g(x)>g(-1)=0,解得 x>一1.故选B. 3.C因为当x>0时，x2f'(x)十1> 0,可得了)十>0，令) f)-子，可得g)=f)+ 二0，所以g(x)在(0，十∞)上单调 递增，因为f(1)=1,可得g(1)= f)-1=0.对于A,由g(号)< g(1), 即f(得)-3<0，可得 f(兮)<3，所以A不正确：对于B,由 (只)<，即r(只) -π<0，可 得f(元）<元，所以B不正确对于C, 由g(loge)>g(1),即f(loge)-ln2≥ 0,可得f(log2e)>ln2,所以C正确： 对于D,由g(ln3)>g(1),即f(ln3) n3>0.可得fn3)>loge,所以D 不正确.故选C 4.C令gx)=工，对于任意的实 e f(-r=→f-x) 数x都有x) e fx）,即g(-x)=g(x)→g(x)为 偶函数.a=g(1),b=g(In2),c= g(-ln3)=g(ln3),当x>0时， f'(x)>f(x),则g(x)= f(x)-fx）>0,故当x>0时， e g(x)为增函数.又0<ln2<1< ln3,∴.g(ln3)>g(1)>g(ln2),即 c>a>b.故选C. 5.B令g(x)=f2(x>0, x 则g'(x)= xf'(x)-fx),因为 2 f(x)-xf(x)>0,所以g'(x)= xf'(x)=fx）<0,所以g(x)在 (0,+∞)上单调递减.因为02< e<3,所以g(2)>g(e)>g(3),所以 t9>1把>t片以a>6> 2 e 故选B. 6.D令f(x)=x-sinx,z∈(0,1)， 则f'(x)=1一c0sx>0,所以f(x) 在(0,1)上单调递增，所以f(x)> f(0)=0,即x>sinx在(0,1)上恒成 立，则c>b在（行，1）上恒成立.又当 xe(后，1)时a=2>2°=1c x<1,所以a>c>b.故选D. 7c因为￥=a(日<a<)在R 上单调递减，且上<a<b<1,所以 。产>a>8>a:周为y=b(日< b<1)在R上单调递减，且上<a< e b<1,所以bF>b>b>b.令 f)=xlnx(日<x<）则 f(x)=1nx+1,因为1<x<1,所 以f)>0.所以fx)在（日1）上 单调递增.因为】<a<b<1,所以 f(a)<f(b),所以alna<blnb,所 以lna"<lnb5,所以a<b5,所以 ah<a"<b<b“,故选C. 8.B设g(x)=ln(x十1)-x(x>0), 则g'(x)=1 1千> 0时，g'(x)0,即g(x)在(0，十∞) 上单调递减，故g(x)<g(0)=0,故 1n(x十1)<x,所以ln1.03<0.03,所 以1十ln1.03<1十0.03，即a<c.因 为e0>1,所以103 e0.03 <1.03,即b< c.构造函数f(x)=1十ln(1十x) e 0时，f'(x)>0,f(x)单调递增，所以 f(0.03)>f(0)=0,即a>b.故 选B. 9.AB令F(x)= fx),则F'(x)= x+11 (x十1)f'(x)一fx）,由题意知(x十 (x+1)2 1)f'(x)<f(x),所以F'(x)<0,即 F(x)在(0，十∞)上单调递减，所以 f(2023)> f(2024)f(2024) 2024 2025 2025 f(2025) ,故A正确，C错误.又x=2 2026 是f(x)的唯一零，点，所以F(2)=0, 又F(x)在(0，十∞)上单调递减，所以 F1)=9>0,F3)=f3》<0. 2 即f(1)>0,f(3)<0,故B正确，D错 误.故选AB. 10.ABC设g(x)=f(x)sinx,则 g'(x)=f'(x)sin z+f (x)cosx> 0,所以画数Rx)在(0，]上单丽 递增，且g(-x)=f(-x)sin(-x)= f(x)sinx=g(x),所以函数g(x) 是偏品数，则g()=(行)< (受)小中f(吾)s(-晋)< f()sim,即-f(受)< 2(）故A正确（行）>） 即f(g)sin号>f(g)sin晋，所 以51()>f()小，故B正障： ()=(g)<(任)即 ()sm子>f()m(←)： 即f()>-f(晋)，故c正 璃：g人)=g()<(受)即 f(牙)sm()<f(受)m: 即-巨f()<2f(),故D错 误.故选ABC 11.BCD设g(x)=f（(x>0),则 gx)='）-2>0,所以 -559- g(x)在(0，十∞)上单调递增，由 g1)>g(号)得f>2f(分)· 故A错误；由g(1)<g(2)得f(1)< 2f(2),故B正确；设h(x) fx)-22(x>0),则h'(x)= [f(x)-2·x2-[fx)-2x]·2x x xf'(x)-[2fx)-2x]<0,所以 x h(x)在(0，十∞)上单调递减，由 )<(位)得rI)<4(合) 2,故C正确；由h(1)>h(2)得 )>2)十1，故D正确.故 选BCD. 2.(-∞，-2)U(2,+∞) 解析：因为当x>0时，xf(x)十 f(x)>0,所以[xf(x)]'>0,令 F(x)=zf(x),F'(x)>0,F (z) 在(0，十∞)上单调递增.因为f(x) 是奇函数，所以f(x)=一f(-x), 所以F(一x)=(一x)f(一x)= -x[一f(x)]=xf(x)=F(x),所 以F(x)是偶函数，图象关于y轴对 称.因为f(2)=3,所以F(2)= 2f(2)=6,所以F(-2)=6,大致图 象如图. y y=Fx)=x) 1=6 -202 所以使xf(x)>6成立的x的取值 范围是(-∞，-2)U(2,十∞). 13.a<c<b 解析：lha=nE=之n2,lh6= nc,lnc=n元.令f(x)= π 工(x>0),则f'(x)= 1-In x x 由f'(x)>0,得0<x<e,由 f'(x)0,得x>e,.f(x)在(0，e) 上单调递增，在(e,十∞)上单调递 减，lnb=启ne是了x)的最大 值，而Ina-Inc三2n2n元月 「in4inr≤0，心a<c,则a了 π c<b. 参考答案‘☑。 时xf'(x)>0,排除B,D;在点(-2， 0)附近的右侧，(x)>0,此时 xf'(x)<0,排除A,所以函数y= xf'(x)的图象可能是C.故选C. 2.Cf'(x)=3(x-1)2-1,令f'(x) 0,解得=1士不坊花1=1十 3x-1 3,则x1十x2=2,故A, B错误，f(x)十f(x)= -()-1 1- =一2，故 C正确，D错误.故选C. 3.C因为f'(x)=2xlnx十x= x(2lnx十1)，且x∈(0，+oo),所以 ∈(0，)时f(x)<0fx)单调 递减，x∈ （四)时fx>0 f(x)单调递增，所以f(x)在x= 处取得极小值 1 4.C对于A,f(x)=xe→f'(x)= e十xe=(x十1)e,因此A不正确； 对于B,由上可知f(x)=(x十1)e, 当x>-1时，f(x)>0,函数f(x) 单调递增，因此B不正确：对于C,由上 可知f'(x)=(x+1)e",当x>-1 时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增， 当x<一1时，f'(x)<0,函数f(x) 单调递减，所以当x=一1时，函数 fx)取得小值，最小值为-。，因 此C正确；对于D,由上可知f'(x)= (x+1)e,因为f'(0)=1,f(0)=0, 所以f(x)的图象在x=0处的切线 方程为y=x,因此D不正确.故选C 5.C函数f(x)=e十2x,可得f(x)= ae十2，若a≥0，则f'(x)>0,此时 f(x)单调递增，无极值点，故a<0. 令f'(x)=aer十2=0，解得x= n()当x>n()时 a ra)>.言<()时， r')<0.故x=()是 f(x)=em十2x的极值，点.函数 f(x)=e十2x有大于零的极值 点2n(2)>0mlh(2）< a 0→0<-二<1，解得a<-2.故选C. a -560- 6.B显然a≠0，若a<0,则x<0,不 合题意，故a>0,则定义域为(0， +fr)=a品- 令f(x)=0,解得x=1,当0<x< 1时，f'(x)<0,此时f(x)单调递减， 当x>1时，f'(x)>0,此时f(x)单 调递增，故当x=1时，f(x）m= f(1)=lna十1=2，解得a=e,则 f)=e)+2,则f(） 3x的定义域为R,且f(x)=x3 x2-3x+3=(x-1)(x2-3)=(x 1)(x十)(x-√5)，所以当x<-√5 或1<x<时，f(x)<0,当-√< x<1或x>时，f'(x)>0,所以 f(x)在(-o∞，一√5)，(1W5)上单调 递减，在（一√3,1），(3，+∞)上单调 递增，所以∫(x)在x=一√处取得 极小值，在x=1处取得极大值，在 x=√3处取得极小值.故选ABD. 8.AD由f(x)=2x3-3ax2十1，得 f'(x)=6x(x-a).对于A,当a>1 时，f(x)在(0，a)上单调递减，在 (-∞，0)和(a,十o∞)上单调递增， f(x)的极大值f(0)=1>0,f(x)的 极小值f(a)=1-a3<0,所以f(x) 有三个零，点，故A正确.对于B,当a< 0时，f(x)在(a,0)上单调递减，在 (-∞，a)和(0，十∞)上单调递增， x=0是极小值点，故B错误.对于C, 任何三次函数的图象都不存在对称 轴，故C错误.对于D,方法一，当a=2 时，f(x)=2x-6x2+1=2(x 1)3-6(x一1)-3，图象关于点(1， 一3)中心对称，故D正确.方法二，考 虑到三次函数的图象特征，如果存在 对称中心，两个极值点一定关于点(1， f(1)对称，所以a+0=2,且f(a)+1= 2f(1),解得a=2,故D正确.故选AD. 解析：设圆的直径为d,则x2十y2= d,即y2=d-x2.由题意可得W= 1x(d2=x)三6（x9+x), 0<x<d,则w三（3x+d) 令w'>0,解得0<z<5d,令w< 31班级： 姓名： 课时作业19 导数中的函数构造问题 (总分：100分) /基础巩固一 A.c<a<b B.c<6<a C.b<a<c D.b<c<a 1.(5分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为 7.5分)若上<a<b<1,则 f'(x),f(0)=1,且对任意的x满足'(x)< f(x),则不等式f(x)>e的解集是 ( A.b°<b<a°<a B.ba<a<b<a A.(-o∞，1) B.(,0) C.a"<a"<b<b C.(0,+∞) D.(1,+o∞) D.a<b<a"<ba 2.(5分)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任 意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为 8.6分设a=1+1n1.08.6-0c=1.03,则 ( () A.(-1,1) B.(-1,+∞) A.a<b<c B.b<a<c C.(-∞，-1) D.(-∞，十∞) C.c<b<a D.c<a<b 3.(5分)已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导 9.(6分)（多选）已知函数f(x)及其导函数f'(x) 函数为f'(x),若f(1)=1,且x2f'(x)+1>0,则 的定义域均是(0，+∞)，x=2是f(x)的唯一零 下列式子中一定成立的是 ( 点，且(x+1)f'(x)<f(x),则 () A传)>3 B()>x A.2025f(2023)>2024f(2024) B.f(1)>0 C.f(logz e)>In 2 D.f(In 3)<logse C.2026f(2024)<2025f(2025) 4.(5分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为 D.f(3)>0 f(x),对于任意的实数x都有fx) f(-x) =e2,且 10.(6分)（多选）奇函数f(x)满足对于任意x∈ x>0时，f(x)>f(x).若a=f (Q,,有了x)snx+fr>0,其中 2,b e f'(x)为f(x)的导函数，则下列不等式成立的是 1n2》.c=3n）,则a,6,c的大小关系是 2 ( A.-f(）<2f(》 A.a>c>b B.a>bc BE()>f() C.c>a>b D.c>b>a 5.(5分)已知f'(x)是定义在R上的函数f(x)的导 c.f(任)>-f) 函数，且f(x)-xf'(x)>0,则a三f(2)b马 D.- f()>2f(5) 是fee=号f3)的大小关系为 11.(6分)（多选）已知函数f(x)的导函数为f'(x), 对任意的正数x,都满足f(x)<xf'(x)< A.b<a<c B.c<b<a 2f(x)一2x,则下列结论正确的是 () C.a<b<c D.c<a<b (后la=2b=-sin=x,则 Af)<2f() 6.(5分)若x∈ a,b,c的大小关系为 ( B.f(1)< 2f2 红对勾·讲与练 304 高三数学 班级： 姓名： Cf)<4r(2分)-2 素养提升♪ 1 D.f1)>4f(2)+1 15.(5分)(2024·湖南永州三模)已知函数f(x)= e一et十sinx一x十2，其中e是自然对数的底 12.(5分)已知奇函数f(x)及其导函数f'(x)的定 数.若f(1og1t)+f(3)>4,则实数t的取值范 义域均为R,f(2)=3,当x>0时，xf'(x)十 围是 () f(x)>0,则使不等式xf(x)>6成立的x的取 值范围是 得分 A,8】 (g+】 13.(5分)(2024·广东东莞三模)若a=√2，b=e, C.(0,8) D.(8,+∞) c=π，则a,b,c的大小关系为 16.(5分)已知a,b,c∈(0,1)，且a2-21lna十1=e, b2-2lnb+2=e,c2-2lnc十3=e3,其中e是自 得分 14.(22分)已知函数f(x)及其导函数f(x)的定 然对数的底数，则a,b,c的大小关系是 得分 义域均为(7，)且f(x)为偶函数，若x≥0 时，f'(x)≥f(x)amx,且f(）=2,求不等式 f(x)<1的解集. 得分 cos x (横线下方不可作答)305]第三章一元函数的导数及其应用 ■