5.3 平面向量的数量积-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

2因内·讲与练·高三数学 (2)已知O为坐标原点，P,户=一2PP,若 ∠规律总结 P1(1,2),P2(2,-1),则与OP共线的单位向 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 量为 ( (1)若a=(x1y1),b=(x2,y2),其中b≠0，则 A.(3,-4)》 a∥b的充要条件是x1y2=x2y1 B.(3,-4)或(-3,4) (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设 所求向量为入a(入∈R). c.(g-)或() 【对点训练3】(1)（多选）下列各组向量中，可以 (信-》 作为基底的是 () A.e1=(0,0),e2=(1,-2) 听课记录 B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(1,1),e2=(1,-1) (2)(2024·河南开封三模)已知向量a=(2, 1),a+b=(1,m),若a∥b,则m=() 1 A.-3 B.3 C.-2 温馨提示① 学习至此，请完成课时作业34 114 5.3 平面向量的数量积 考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义，会计算平面向量的数量积 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个平面向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 3.平面向量数量积的几何意义 如图，设a,b是两个非零向量， A 1.向量的夹角 它们的夹角是0，e是与b方向 已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一 相同的单位向量，AB=a, b 点，作OA=a,OB=b,则 =0(0≤0≤ CD=b,过AB的起点A和终点 B D π)叫做向量a与b的夹角， B,分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1, 2.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，我们 B1,得到AB1,我们称上述变换为向量a向向 把数量|a川b|cos0叫做向量a与b的数量积， 量b ,A1B1叫做向量a在向量b上的 记作a·b. 记作|a|cos0e. 第五章 平面向量、复数 4.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a. 基础检测 (2)(λa)·b=入(a·b)=a·(入b). 1.判断（正确的画“√”，错误的画“×”） (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 5.平面向量数量积的有关结论 ①两个向最的夹角的范围是0，，（) 已知非零向量a=(x1y1),b=(x2,y2),a与b (2)若a,b共线，则a·b=|a|b.( 的夹角为0. (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、 项目 几何表示 坐标表示 减、数乘运算的结果是向量 () a·b= (4)若a·b=a·c,则b=c. () 数量积 a·b= ab cos 2.(人教A版必修第二册P60T8改编)已知向量 模 a a= cos 0= m=2x,D与向量m=(分-2)垂直，则x 夹角 cos () a⊥b的 a·b=0 充要条件 A c D.- a·b1与 3.(人教A版必修第二册P24T19改编)设向量a, 1a·b≤ x1x2+y1y2≤ ab a11b1 b满足1a=|b1=1且13a-2b1=√7，则a, 的关系 √a+y)(x+y) b的夹角为 ( 间教材拓展 1.平面向量数量积运算的常用公式 A C. 2π D.3 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2. 4.(人教A版必修第二册P24T21)已知△ABC的 115 (2)(a±b)2=a2±2a·b+b2. 外接圆圆心为O,且2A0=AB+AC,|OA1= 2.有关向量夹角的两个结论 AB|,则向量BA在向量BC上的投影向量为 (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0; () 若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0; A. B.C 若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或元. 4 品向手0龙的多6上的投影有事为治合 c.- D.-BC 4 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1平面向量数量积的基本运算 AM =2MB.CN =NM.AN.CB=( 【例1】(1)(2024·山西太原一模)在△ABC中， A.-9 7 B.2 C.9 D.18 BC=6,AB=4,∠CBA-2设点D为AC的 心听课记录 中点，E在BC上，且AEBD=0,则BC.AE ( A.16 B.12 C.8 D.-4 (2)(2024·河北衡水模拟)如 图，在△ABC中，∠BAC= M∠N 60°，|AB|=6,1AC1=3,B∠ 2勾·讲与练·高三数学 4规律总结 命题角度2向量的夹角 计算平面向量数量积的主要方法 【例3】(2024·四川眉山三模)已知向量a,b,c满 (1)利用定义：a·b=a|川b|cos(a,b). 足|a|=|b=1,|c=√3，且a十b十c=0, (2)利用坐标运算：若a=(1y1),b=(x2, 则cosa-c,b-c)= () y2),则a·b=x1x2十y1y2. (3)利用基底法求数量积。 13 A.14 B.33 14 (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义 【对点训练1】(1)(2024·湖南长沙二模)已知向 C.- 3√ 14 量a,b,c中，a是单位向量，b|=3,a与b的 听课记录 夹角为行c=b一a,则c…a- 1 A.2 b.2 c D.-1 (2)(2024·山东滨州二模)己知向量a,b,c在 正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小 正方形的边长为1，则c·(b一a)=() 命题角度3向量的垂直 116 【例4】(2024·新课标I卷)已知向量a=(0,1), b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=() A.-2 B.-1 A.4 B.1 C.1 D.2 C.-1 D.-4 感听课记录 考点2平面向量数量积的应用 命题角度1 向量的模 【例2】(2024·河北保定二模)已知圆O:x2+ y2=1,过点A(2,0)的直线1与圆O交于B,C 两点，且AB=BC,则|BC|= ( A.2 B.2 C.√2 听课记录 命题角度4向量的投影 【例5】(2024·浙江绍兴三模)若非零向量a,b满 足|a=|b=a+b|,则a十2b在b方向上 的投影向量为 () A.2b B. C.b D.20 第五章 平面向量、复数 讲 听课记录 创新点四 平面向量的新定义问题 1.平面向量背景下的新定义问题，通常基于平面向 量的方向和大小，引入新的运算规则或概念 2.解题时，首先要准确理解新定义的本质，明确其涉 及的向量运算和性质，其次，将新定义应用到具体 的题目情境中，通过向量的加法、减法、数乘、数量 规律总结 1.求平面向量的模的方法 积等运算，推导出所需的结论 3.这类问题往往信息量大，背景新颖，需要考生耐心 (1)公式法：利用|a=√a·a及(a±b)2= 分析，细致推理.同时，注意平面向量的模、夹角等 a12±2a·b+|b. 几何特征在新定义问题中的应用，以及如何利用 (2)几何法：利用向量的几何意义. 这些特征简化解题过程. 2.求平面向量的夹角的方法 【典例】（多选）(2024·山东潍坊三模)定义平面 ①定义法：cos(a,b)=a川6. 向量的一种运算“⊙”如下：对任意的两个向量 (2)坐标法. a=(x,),b=(x2,y2),aob=(xiy2- 3.两个向量垂直的充要条件 x2y1x1x2十y1y2),下面说法一定正确的是 a⊥b台a·b=0台a-b1=a+b|(其中a≠ ( ) 0,b≠0) A.对任意的入∈R,有（入a)Ob=入(a⊙b) 【对点训练2】(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量 B.存在唯一确定的向量e使得对于任意向量 117 a,b满足a=1,|a+2b=2,且(b-2a)⊥ a,都有aOe=eOa=a成立 b,则b= C.若a与b垂直，则(a⊙b)⊙c与a⊙(b⊙c)共线 A号 D.若a与b共线，则(a⊙b)Oc与a⊙(b⊙c)的模 相等 c誓 D.1 心听课记录 (2)(2024·福建泉州一模)已知向量a,b满足 (a-b)·b=0,则 ( A.(a+b)⊥(a-b) B.|a-2b=|a1 C.(a-2b,a〉=(a,b> D.b在a方向上的投影向量为a (3)(多选)(2024·山东聊城二模)已知向量 a=(-1,2),b=(1,入)，若b在a上的投影向量 为a,则 ( 温馨提示0 A.入=3 B.a∥b 学习至此，请完成课时作业35 C.a⊥(b-a) D.a与b的夹角为45以e1,e2不共线，可以作为基底，D正 确.故选BD. (2)D由a=(2,1),a+b=(1,m) 可得b=(a十b)-a=(-1,m-1), 由a∥b可得-1=2(1-1)，解得 m=子故选D 5.3平面向量的数量积 …必备知识回顾 教材回扣 1.∠AOB 3.投影投影向量 5.x1x2+y1y2 √a·a/xi十y1 a·b x1xg十y1y2 ab√x+yWx2+ x1x2十y1y2=0 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2.c:m=(2x1)与n=（2,-2） /11Y 多直m=2(合） 1 x一2 =0,即z=号故选C 3.A设a与b的夹角为日，由题意得 (3a-2b)2=7,所以91a12+ 4b2-12a·b=7.又a=|b= 1所以a6=合所以a川b m0=安中ms0=分又0∈[0 小，所以a,b的失角为行数选A 4.A由2Aò=AB+ A AC知O为BC的中 点，如图，因为O为B △ABC的外接圆圆 心，所以OA=OB=OC. 因为OA|=AB1,所以AB=OB= OA=OC,所以△AOB为正三角 形，∠ABO=60°，∠BAC=90°，所以 B耐在砣上的授影向量为号ò 成.故选A 关键能力提升 例1(1)A因为在△ABC中，BC=6, AB=4,∠CBA= y 三，以B为原点，建 64C 立如图所示的平面直 角坐标系，则A(4, 0),B(0,0),C(0,6), B D(2,3),设E(0,b) 则AE=(-4,b),BD=(2,3),BC= (0,6).由题意可知A立.BD=0,即 (-4,b)·(2,3)=0,即-8十3b=0, 所以6=号所以E,号)所以 A范-（-4，）)所以武.A症=16 故选A (2CAN=号aC+24成i 号花+号.成-d.a不， 成-（分花+号）筋心) 号A+君A店A心-号A衣=12+ 日×6X8x号是=8故选C 对点训练1(1)Ba·b=1×3× cos号=号所以ea=0-)… 0=ba-a=号-1=合故选B (2)A建立如图所示的平面直角坐 标系，可知a=(-1,-2),b=（-2, 1),c=(2,2),则b一a=(-1,3),所 以c·(b-a)=-2十6=4.故选A. b 例2D如图，圆O 与x轴交于D,E 两点，在△OAC 中，BD∥OC, 20c BD= 0s/ODB-BD 1 4c0s∠COA= -o∠0DB=-},A花1=O元 OA I= √O元1？+d2-20i1osLC0A ,所以成=成选n 例3A由题意得a十b=-c,则(a十 b)2=c2,有12+2a·b+12=(W5)2, 解得a:b=名，又由a十c=-b则 (a+c)2=b2,有1+2a·c+(W3)2= 1,解得a·c=一2，同理可得b· 3 c=- 2,所以(a-c)(b-c)=a b-a…c=b…c+c2三2.a-c -475- Wa2-2a·c+c=√7，|b-c|= √b-2b·c+c2=√7，所以cos(a c,b-c)=a-=c):h-c2= a-c·b-c 13 2 13.故选A 万X万= 例4D因为b⊥(b-4a),所以b·(b 4a)=0,所以b2-4a·b=0,即4十 x2-4x=0,故x=2.故选D. 例5B根据题意，a=b=a十b 可得|a12=b12=a十b2,所以 2 a2cos(a,b)+a2=0,cos(a, 0)=-合所以ab=一号aP= 1 1 一2b,则a十2b在b方向上的投 1 影向量为a+2b）·bb= 1b2 ab+2b上6= (2+2)b 一b=三6，故选B 对点训练2(1)B因为(b-2a)⊥b,所 以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b,又 因为a|=1,a十2b=2,所以1十 4a·b+4b2=1+6b°=4，从而b= 号故选取 (2)B(a-b)·b=0,即a·b=b2= |b12,因为(a十b)·(a-b)=a2 b2=a2一a·b=a·(a-b)不一定为 零，所以a十b与a一b不一定垂直，故 A错误；由a·b=b2可得a2=a2-4a· b十4b,所以a=a-2b,故B正 确；由数量积的定义可得，a·b= ab·cs(a,b),所以cos(a,b〉= a·bb a b a (a-2b)·a cosa-2b,a〉=a-2b·a a12-2b12 ,c0s(a,b〉与c0sa- 2b,a》不一定相等，故C错误；b在a方 向上的投影向量为bcos(a,b). a a=1b a·a,故D错误.故选B. (3)ACD因为b在a上的投影向量为 a,那a6a=a·所以“21· a'a 即1十2入=1，解得入=3，故A正 (5) 确；a=(一1,2)，b=(1,3),所以 (-1)×3-2×1≠0，故B错误；a· 参考答案“☑。 (b-a)=(-1,2)·(2,1)=-2十2= 0,所以a⊥(b-a),故C正确；c0s(a a·b b〉= -1+62 ,所 以a与b的夹角为45°，故D正确.故选 ACD. 【创新点】 平面向量的新定义问题 典例AD 设向量a=(x1,y1),b (x2,y2),对任意的A∈R,有 (λa)Θb=(Ax1,λy1)⊙(x2,y2)= (λx1y2-λx2y1,λx1x2+入y1y2)= λ(x1y2 一x2y1,x1x2十y1y2） 入(a日b),故A正确；假设存在唯一确定 的向量e=(x0,yo)使得对于任意向 量a,都有a日e=eOa=a成立，即 (riyo-xoy1,xixo+yiyo)= (xoy-z1yo,ox1+yoy)=(x1, y1)恒成立，即方程组 xIyo-xoyI =xoyi-xiyo =x1 x1x0十y1y0=y1, 对任意x1,y1恒成立，而此方程组无 解，故B不正确；若a与b垂直，则 x1x2十y1y2=0,设c=(x3,y3),则 (aOb)⊙c=(x1y2-x2y1,0)Θ(x3 y3)=(x1y2y3-x2y1y3'x1y2x3 z2yx;),aB(bec)=(z1y1)8(z2y;- x3y2,2x3+y2y3)=(x1x,x3+ x1y2y3一y1x2y3十y1x3y2x1x2y3 x1y2x3十yM1x2x3十y1y2y）=(x1y2y3 y1x2y3,-x1y2x3十y1x2x3)≠ u(x1y2y3-yix2y3x1y2x3-yix2x3) 其中以∈R,故C不正确：若a与b共 线，则x1y2一x2y1=0,设c=(x4y), (aBb)Bc=(0,12+y1y2)0(x3,y3)= (-x1x2x3一y1y2x3x1x2yg十y1y2y), aO(b8c)=(x1x2x3十x1y2ya一y1xey y1ygx3x1x2y3一x1y2x3十y1x2x3 y1y2y3)=(x1x2x3十y1y2x3,x1x2y3十 y1y2ya),所以(a⊙b)⊙c与a⊙(b⊙c)的 模相等，故D正确.故选AD. 5.4 平面向量的综合问题 关键能力提升 例1(1)C 方法一设A京=AAB. :AD⊥CF,ADC京=0，又D是 BC边的中点，A市=号(A 5AB). 号(A花+Ai)·(A家-AC)=0, (A元+AB)·(aAB-AC)=0, ∴（入-1）AB,A元+AAB-AC 0①，，AC=BC=1,∠ACB=90° ∴.AB=√12+1严=√2，且∠BAC 45°，AC=1,AB=2,ABAC= 2对勾·讲与练·高三数学 1X2x 2 =1,代入①得（入-1）十 2以-1=0：解得1=号市 号破BF=子AB-号 故选C 方法二因为 A ∠ACB=90°，AC= BC=1,所以 △ABC为等腰直 角三角形，又因为 AD为中线，所以C CD=BD=号，AD=VAC-D √F-()-因为E⊥AD, 所以∠CED=90°，所以AD·CE= 1 AC.CD,即CE=AC.CD_1X AD 5 2 ,所以DE=VCD-CE √5 F作FH⊥CB交CB于点H,所 以∠FHB=90°，因为tan∠FCB= DE FH CE 卡一，设FH三HB=x,则 5 CH=1一x,所以 10 5 5 x- ，所以F=怎故选C 1 3 (2)ACD由题意可得PA,Pi-P方， P元=Pi.(PA-P元)=Pi.CA=0, 所以PB⊥AC,同理可得PA⊥BC, PC⊥AB,故P为△ABC的垂心，故 A正确；如图，设A定= A，A AB AC -,则A它=A庐=1， 以AE,AF为邻边作平行四边形 AEQF,则平行四边形AEQF为菱形， 则A古=A正+A京= AB AC ABACI AA元 所以A市=λ（丽 AC -476- λAQ,又因为AQ平分∠BAC,故直线 AP必过△ABC的内心，故B错误；因 为OA|=O|=O元1，所以0到 △ABC的三个顶点距离相等，所以O 为△ABC的外心，故C正确；记AB, BC,CA的中点分别为R,S,T,由题意 NA+NB=2N求=-N元，则NC= 2NR,同理可得NA=2VS,VB= 2NT,则N是△ABC的重心，故D正 确.故选ACD. 对点训练1(1)C 如图，由题意结合 中位线定理可得 HG∥AC, HG-TAC, EF∥AC,EF= 号ACHG∥EF. HG=EF,即四边形EFGH为平行四 边形.BC=BA+AD+DC,AB2十 CD:=AD:+BC:=AD+(BA+ AD+DC)=AD:+BA:+AD:+ DC+2BA·AD+2BA·DC+2AD· DC,.AD'BA.AD+BA .DCAD· DC=0,.AD·(AD+DC)+BA· (AD+DC)=0...(AD-+BA).AC= 0,即BD·AC=0,即BD⊥AC, .BD⊥AC,又HG∥AC,BD⊥ HG,同理由中位线定理可得HE∥ BD,,HE⊥HG,故四边形EFGH为 矩形.故选C. (2)B如图所示， 设M为AC中点， 连接BM,则(BA十 BC)·AC=2BM. A元=0，所以B日 BM⊥AC,即△ABC为等腰三角形， AB AC =, ABIACI AB AC 2 所以 =3,即 AB AC =2+2c0sA方，AC)=3,所以 AC e0sA店AC)=子可得A=60.蹄 上可知△ABC为等边三角形.故选B. 例2C在△ABC中，E为重心，所以 正=子×之花)=子+ AC),因为AM=xA店，AN=yAC (x>0,y>0),所以AB=1AM, 花=所以花=言·城