5.1 平面向量的概念及线性运算-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

第五章 平面向量、复数 5.1平面向量的概念及线性运算 考试要求 1.了解平面向量的实际背景 2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含义 3.理解平面向量的几何表示. 4.掌握平面向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 5.掌握平面向量数乘的运算及其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 6.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 续表 108 教材回扣。 名称 定义 说明 1.向量的有关概念 两向量可以相等 相等 长度相等且方向 名称 定义 说明 也可以不相等，但 向量 的向量叫做相等向量 不能比较大小 既有 又有 平面向量是自由 向量 与向量a 相 的量叫做向量 向量 相反 等，方向 的0的相反向量仍 具有方向的线段叫做 有向线段包含三 向量 向量，叫做a的相反向 是0 有向 有向线段，向量可以用 个要素：起点、方 量，记作一a 线段 有向线段表示，也可以 向、长度 2.向量的线性运算 用字母a,b,c,…表示 向量AB的 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律（性质） 向量 称为向量AB的长度 向量的模是数量 交换律：a 的模 b=b十a,并 (或称模)，记作 规定：a十0 长度为 的向量 零向量的方向是 0+a=a; 零向量 atb 叫做零向量，记作0 任意的 结合律：a十 a是非零向量， 0 a A 求两个 (b+c)=(a+ 单位 长度等于 的 三角形法则 加法 向量和 b)+c; 则士 是单位 D-- 向量 向量叫做单位向量 a a+b≤|aH 的运算 b/a+b 向量 b|,当且仅 方向 A a 当a,b中有一 平行向 平行四边形法则 个是零向量或 的 向量叫做平 规定：零向量与任 量（共线 a,b是方向相 行向量，平行向量也叫 意向量平行 向量) 同的非零向量 做共线向量 时等号成立 第五章 平面向量、复数 续表 4.如图，△ABC中，BD=m, 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律（性质） CD=n,则AD= nAB m +n 求两个 b=a十 m一A,特别地，D为BC的中点 B m 减法 向量差 m+n )9 (-b) 的运算 b 几何意义 时m=.A市=+ 入a是一个向量，其 设入，H∈R, 长度：λa= 基础检测○ 则入(ua) 求实数入 1.判断（正确的画“√”，错误的画“×”） 与向量 其方向：入>0时，与 数乘 (入+4)a (1)a|与b|是否相等和a,b的方向无关. a的积 a方向 ;λ✉ () 的运算 0时，与a方向 入(a+b) (2)两个向量相加，结果有可能是个数量.() (3)向量AB与向量CD是共线向量，则A,B,C, λ=0时，入a=0 D四点在一条直线上， () 3.共线向量基本定理 (4)当两个非零向量a,b共线时，一定有b=入a, 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯 反之也成立. 一一个实数入，使b=入a. 2.(人教A版必修第二册P5T3改编)以下命题中 4.向量三角不等式 正确的个数是 |川a-|b|≤|a土b|≤|a1+b.两向量不 ①两个相等向量的模相等； 共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三 ②若a和b都是单位向量，则a=b; 边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立；两 109 ③相等的两个向量一定是共线向量： 向量共线时，可得出“=”成立（分同向、反向两 ④零向量是唯一没有方向的向量。 种不同情形) A.1 B.2 教材拓展 C.3 D.4 1.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向 3.(人教A版必修第二册P14例6改编)在△ABC 量起点指向最后一个向量终点的向量，即A,A2十 中，AB=3AD,则CD= () A2A+A3A+…+A。1A=A1An(n≥2，n∈N'), A.AB 特别地，一个封闭图形首尾顺次连接而成的向量和为 吉Ad BA店+号AC 零向量 ca店- D.号A店+AC 2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则 4.(人教A版必修第二册P16例8改编)已知向量 O市-2O+O):若G为△ABC的重心，则G+ a,b不共线，向量c=a+3b,d=2a+kb,且c∥ GB+GC=0. d,则k= () 3.若OA=入OB+uOC(入，μ为实数)，且O店，O心 A.-3 B.3 不共线，则点A,B,C共线的充要条件是入十4=1. C.-6 D.6 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1平面向量的概念 C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点 【例1】(1)（多选）下列命题正确的有 相同 A.方向相反的两个非零向量一定共线 D.“若A,B,C,D是不共线的四点，且AB= B.任意两个单位向量方向相同 DC”台“四边形ABCD是平行四边形” 2圈内·讲与练·高三数学 (2)设a,b都是非零向量，下列四个条件中，使 A号丽号a0 B号A店+号Ad a b laTT6 成立的充分条件是 CA店+Ad D.是A店+号A A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且1a=|b (2)在△ABC中，D是CB延长线上一点，E是 AD的中点.若CB=3BD,AAB+uAC=6BE, 听课记录 则 () A.λ=24 B.λ=-2u C.4=2λ D.4=-2λ 心听课记录 规律总结 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具 有传递性 规律总结 (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点 平面向量线性运算的常见类型及解题策略 无关. (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则， (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相 求差用向量减法的几何意义. 等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆 (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表 110 (0春家向正a与日 -是与a同 示出来，进行比较，求参数的值 方向的单位向量。 【对点训练2】(1)(2024·四 川自贡一模)如图所示的 【对点训练1】(1)如图，在正六 △ABC中，点D是线段BC 边形ABCDEF中，点O为其 上靠近B的三等分点，点E是线段AB的中 中心，则下列判断错误的是 点，则DE= ( A.AB=OC A.-言i-君a花R-合丽-ad B.AB∥DE C.-- D.-5AB+AC C.AD =BE (2)已知△ABC的重心为O,若向量BO= D.AD-FC xAB十yAC,则x+y= (2)(多选)下列说法不正确的是 A.若|a=|b|,则a=b或a=-b a号 2 B.AB与BA是平行向量 C.- D.- 1 3 3 C.若a,b满足|a|>|b|且a与b同向，则 考点3共线向量基本定理及应用 a>b 【例3】（1)(2024·安徽马鞍山三模)已知平面向 D.若a∥b,b∥c,则a∥c 量e1,e2不共线，a=(2k-1)e1十2e2,b=e1 考点2平面向量的线性运算 e2,且a∥b,则k= () 【例2】(1)(2024·江苏南通模拟)在梯形ABCD A-司 B.0 中，AB∥CD,且AB=2CD,点M是BC的中 点，则AM= C.1 () 第五章平面向量、复数 进 (2)(2024·陕西西安一模)在△ABC中，点D【对点训练3】(1)已知向量e1,e2是平面上两个 是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且 不共线的单位向量，且AB=e1十2e2,BC= C而-Di,A护-号A店+AC,则X=( -3e1+2e2,DA=3e1-6e2,则( A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线 1 B.3 c号 5 0.6 C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线 心听课记录 (2)(2024·福建福州模拟)已知e1,e2是两个 不共线的向量，若2e1十Ae2与ue1十e2是共线 向量，则 () A.A=-2 B.λ4=-2 c.4=2 D.入4=2 (3)己知点O是△ABC的重心，过点O的直线 与边AB,AC分别交于M,N两点，D为边BC 规律总结 利用共线向量基本定理解题的策略 的中点.若AD=xAM+yAN(.x,y∈R),则 (1)a∥b台a=入b(b≠0)是判断两个向量共线 x+y= () 的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用 A. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点 共线，即A,B,C三点共线台AB,AC共线. C.2 n (3)若a与b不共线且Aa=b,则入==0. 111 (4)OA=入OB+uOC(入以为实数)，若A,B,C 温馨提示0 三点共线(O不在直线BC上)，则入十：=1. 学习至此，请完成课时作业33 5.2 平面向量基本定理及坐标运算 考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。. 2.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两 1.平面向量基本定理 个 的向量，叫做把向量作 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那 (2)平面向量的坐标运算 么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对 ①平面向量线性运算的坐标表示 实数入1，入2，使 我们把{e1,e2}叫 假设平面上两个向量a,b满足a=(x1y1),b 做表示这一平面内所有向量的一个 (x2,y2),则a士b= ,λa=第五章 平面向量、复数 5.1平面向量的概念及线性运算 必备知识回顾… 教材回扣 1.大小方向大小AB」0 1个单位长度相同或相反非零 相同长度相反 2.|入1a相同相反(a)a λa十aλa十λb 基础检测 1.(1)/(2)×(3)×(4)√ 2.B对于①，两个相等向量的模相等， 且它们的方向也相同，故①正确；对于 ②，若a和b都是单位向量，当它们的 方向不同时，a=b不成立，故②错误； 对于③，相等的两个向量方向相同，所 以它们一定是共线向量，故③正确：对 于④，任何向量都有大小以及方向，零 向量也是向量，只不过零向量是方向 任意的向量，故④错误.故正确的有 ①③，共2个.故选B. 3.CAB=3AD...CD =AD-AC= 号店-花故选C 4.D设d=入c,则2a十kb=入(a十 3b)=λa+3λb,故λ=2，k=3入=6. 故选D. …关键能力提升… 例1(1)AD方向相反的两个非零向量 必定平行，所以方向相反的两个非零 向量一定共线，故A正确；任意两个单 位向量的模相等，但方向不一定相同， 故B错误；两个向量起点相同，终点相 同，则两个向量相等；但两个向量相 等，不一定有相同的起点和终点，故C 错误；A,B,C,D是不共线的四，点，且 AB=DC,可得AB∥DC,且AB= DC,故四边形ABCD是平行四边形， 反之也成立，故D正确.故选AD. 2)C因为向量。的方向与向量0 方向相同·向量名的方向与向量 方向相同，且日=6所以白童0 b 与向量b方向相同，故可排除A,B,D. =26 b 当0=2b时，0=26=6 a 故0=2b是0三b成立的充分 条件.故选C. 对点训练1(1)D由正六边形的性质可 得四边形OABC为平行四边形，故 AB=O心，故A正确.因为AB∥DE, 故A方∥DE,故B正确.由正六边形的 性质可得AD=BE,故AD=BE|, 故C正确，因为AD,FC交于O,故 AD=F乙不成立，故D错误.故选D. (2)ACDa=b,但两向量的方 向不确定，A错误：AB与BA是相反向 量，所以是平行向量，B正确；向量之间 不能比较大小，只能比较向量模的大 小，C错误：若a∥b,b∥c,当向量b= 0时，a与c不一定平行，D错误.故 选ACD. 例2(1)D如图， D 连接AC,依题意 M 可得AM= B 2店+2花=}+2+ 心)=多茄+子脑+号脑 A访+A市.故选D, (2)A如图，因 为E是AD的中 E 点，C第=3BD, 所以B正= C 耐+号筋=合耐+司 1 号=-}+5-0) -}访-花.则6成=-2 AC,又AAB+uAC=6BE,所以入= -2,4=-1,所以1=2.故选A 对点训练2(1)BDE=D店+BE= 访-店=号市-花， 号破-君访-子花成递取 (2)D如图，设E 是AC的中点，由 于O是△ABC的 重心，所以B0= 成=名×破-)-号 (合C-a)=-号弦+专AC.别 十y=号+日=故选D 21 例3(1)A因为a=(2k-1)e1十2e2, b=e1-e2且a∥b,所以设a=tb, 即(2k-1)e1+2e2=t(e1-e2),又 e1,e2不共线，所以 2一1=解得 2=-t, t=-2, k=一1故选A 2 -473- (2)A如图，因为 C市=DA,所以 市=号花即 AC=2AD,又B =号店+C,所以A市 号正-2花，周为点P是线段BD上 二点，即B,P,D三点共线，所以三十 2入=1，解得入=百故选A 对点训练3(1)C因为A方=e1十2e2, BC=-3e1+2e2,不存在实数入使得 AB=λBC,故A,B,C三点不共线，故 A错误；因为AB=e1十2e2,DA= 3e1-6e2,不存在实数入使得AB= ADA,故A,B,D三点不共线，故B错 误；因为AC=Ai-BC=一2e1十4e2, 耐=0-0元=-号成故 A,C,D三点共线，故C正确；因为 BC =-3e 2e:,BD -DA- AB=-3e1+6e2-e1-2e2= 一4e1十4e2,不存在实数入使得B元= ABD,故B,C,D三点不共线，故D错 误.故选C. (2)D依题意，设2e1十Ae2=t(ue1十 e2),又e1,e2是两个不共线的向量，所 以t以=2，入=t,所以λ以=2.故选D. (3)A如图所 示，由三角形重心 的性质，可得 AO AD 所以 AD-- Ad.所以号Aò=A 中a访-号成+子示，因 为M,0N三点共线，可得号x 台y=1,所以中y=是载选A 5.2平面向量基本定理 及坐标运算 必备知识回顾 教材回扣 1.a=入1e1十入2e2基底 2.(1)互相垂直正交分解 (2)①(x1士x2y1士y2)(Ax1,Ay1) (ux1士Ux2,Uy1士vy2) ②√x+y ③b.(x2-x1y2-y1） √(x2-x1)+（y2-y1) (3)x1y2-x2y1=0 参考答案‘☑·