4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

2勾·讲与练·高三数学 规律总结 1.已知三角函数解析式求单调区间 c-受+引e 求形如y=Asin(ωx十9)或y=Acos(awx十 9)(其中w>0)的函数的单调区间时，要视“w.x十” D修+晋弩+)e2 为一个整体，通过解不等式求解，但如果ω<0，可先 (2)(2024·河北唐山二模)函数f(x)= 借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错. sin (2x- 2.己知三角函数的单调区间求参数 9)191≤)在(0，）上为单调递 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关 增函数，则9的取值范围为 系求解 A. 2 6 灭，0 6 【对点训练】《D函数y=子a2:-君}+ 1 元元 C.62 D.06 的单调递增区间为 A元-吾π十）∈D 温馨提示) 学习至此，请完成课时作业28 4.5函数y=Asin(wx+p)的图象及应用 考试要求 092 1.了解函数y=Asin(ωx+p)的实际意义，能借助图象理解参数w,g,A的意义，了解参数的变化对函数图 象的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题，可以利用三角函数构建事物周期变化的数学模型. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 元 列表先由wx士9=0,2元，3买2x分别求出 1.函数y=Asin(wx+p) 的值，再由ωx十9的值求出y的值，列出下表. (1)匀速圆周运动的数学模型 ωx+9 如图，点P从P。(t=0)开始，逆时针绕圆周匀速 运动（角速度为w),则点P距离水面的高度H y= 与时间t的函数关系式为 0 Asin(ω.z+p 描点.在平面直角坐标系中描出各点. 连线.用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期 水面 内的图象。 成图.利用函数的周期性，通过左、右平移得到 (2)函数y=Asin(wx十p)的图象 定义域内的简图 ①用五点法画y=Asin(wx十P)(A>0,w> ②由y=sinx的图象通过图象变换得到y= 0,x∈R)的简图： Asin(wx+p)(A>0,w>0)图象的方法： 第四章三角函数、解三角形 进 方法一 方法二 (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个 画出y=sinx的图象 画出y=sinx的图象 周期内图象中最高点的值与最低点的值确 个 1 单位长度 横坐标变为 原来的倍 定的 () 步 得到y=sinx+9)的图象 得到y=sin @x的图象 2.(人教A版必修第一册P240T1改编)要得到y= 2 横坐标变为 原来的倍 向左(90或 平移 个 步 向右(9<0！单位长度 得到y=sin(wr+g)的图象 得到y=sin(ox+9)的图象 3m(2x+ 的图象，只要把函数y=3sin2.x 3 纵坐标变为 原来的_倍 的图象 ( 纵坐标变为 原来的倍 步 得到y=Asin(@x+p)的图象 得到y=Asin(@x+p)的图象 A向左平移管个单位长度 4 2.三角函数的应用 B.向右平移个单位长度 3 (1)如果某种变换着的现象具有 ,那么 就可以考虑借助三角函数来描述， C向左平移需个单位长度 (2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函 数y=Asin(wx十9)，x∈[0，+o∞)表示，其中 D.向右平移答个单位长度 A>0,w>0.描述简谐运动的物理量，大都与 3.(人教A版必修第一册P240T3改编)若函数 这个解析式中的常数有关： 振幅 x)-3sim2x一)+1(x∈R)的图象向右 周期 频率 相位 初相 平移个单位长度后得到y=g(x)的图象，则 12 函数g(x) ( 基础检测 A.最大值为3 B.最小正周期为2π 093 C.为奇函数 D.图象关于y轴对称 1.判断（正确的画“/”，错误的画“X”) 4.(人教A版必修第一册P241T4改编)已知 (1)将函数y=3sin2.x的图象向左平移元个单 f(x)=Asin(ox+)(A>0,0>0, 位长度后所得图象的解析式是y=3sin2x+ 的部分图象如图所示，则f(x)= 引 上 (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与 “先伸缩，后平移”中平移的长度一致.（) 12 (3)函数y=Acos(wx十9)的最小正周期为T, 那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1函数y=Asin(wx十p)的图象及变换 听课记录 【例】已知函数f(x)=2sim(2x+): (1)作出f(x)在[0，π]上的图象（要列表）； (2)函数y=f(x)的图象可由函数y=sinx 的图象经过怎样的变换得到？ 红通内·讲与练·高三数学 C.纵坐标不变，横坐标变为原来的)，再将所 得图象上所有点向左平移答个单位长度 D.纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将 所得图象上所有点向左平移”个单位长度 考点2 由图象确定函数y=Asin(wx十p）的 解析式 【例2】(1)(2024·湖南邵阳三模)宋朝诗人王镃 在《蜻蜓》中写道：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞 恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会 使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波 纹，其形状可近似用函数f(x)=Asin(wx+ 4规律总结 p)A>00>0,9<）的图象来措述， 作函数y=Asin(awx+9)(A>0,w>0)的图 象常用的两种方法 如图所示，则f(x) (1)五点法作图，用“五点法”作y=Asin(wa十 y 9)的简图，主要是通过变量代换，设之=ωx十9，由 094 :康0，否，受2来泉出相应的，通拉列衣，计 (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)= 算得出五点坐标，描点后得出图象 (2)图象的变换法，由函数y=sinx的图象通 sin(ox十g),如图，A,B是直线y-2与曲线 过变换得到y=Asin(wz十p)的图象有两种途径： “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” y=f(x)的两个交点，若|AB=否，则 【对点训练1】(1)(2024·新课标I卷)当x∈ f(π)= [0,2x]时，曲线y=sinx与y=2sim(3x-) 的交点个数为 ( A.3 B.4 C.6 D.8 听课记录 (2)(多选)要得到函数y=sin2.x十 3的图 象，可将函数y=sinx的图象 1向左平移答个单位长度，再将所得图象上 所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2倍 B.向左平移号个单位长度，再将所得图象上所 有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2 第四章三角函数、解三角形 讲 4规律总结 听课记录 确定y=Asin(wx+9)+b(A>0,w>0)的 步骤和方法 (1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值， 则A=M,mb=M+m 2 2 (2)求，确定西数的授小正周期了，则w牙 (3)求9.常用方法如下：把图象上的一个已知 点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降 区间上)或把图象的最高点或最低点代入 【对点训练2】(1)(2024·湖南长沙一模)如图是 函数y=Asin(wx十p)的部分图象，则该函数 的解析式可以是 A.y-2sin( 1 By=2sm(分- 1 cy=2sin2x+引 -2 D.y=2sin2x-引 095 (2)已知函数f(x)=sin wxcos9十cos w.sin9 命题角度2三角函数的零点问题 (w>0,0<9< )x)=0,fx)=1. 【例4】(1)函数y=f(x)的图象由函数y= 若1-的最小值为号且(》=2则 c0s2x+君)的图象向左平移否个单位长度 ∫(x)的解析式为 11 得到，则y=f(x)的图象与直线y=2x一2 考点3三角函数图象、性质的综合应用 的交点个数为 命题角度1图象与性质的综合应用 (2)(2024·江西九江三模)已知函数f(x) 【例3】(2024·福建三明三模)已知函数f(x) sin wr十coswr十君）（其中w>0)图象的两 sin(wr一)o>0)在区间0，x)上有且仅 有三个零点，则ω的取值范围是 条相邻对称轴间的距离为受， 听课记录 (1)若f(x)在(0，m)上有最大值无最小值，求 实数m的取值范围； (2)将函数f:)的图象向右平移答个单位长 度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到g(x)的图象，设 Ax)=g)+了，求A)在(-2x)上的 极大值点 2勾·讲与练·高三数学 4规律总结 象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此 1.研究y=Asin(wx十p)的性质时可将w.x+ 时|AB=√10，则下列四个结论正确的有 ”视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究 ( 其单调性、对称性和最值等， 2.与三角函数相关的方程根的问题（零点问题） 等常通过函数与方程思想化为图象交点问题，再借 助图象分析. A B 【对点训练3】(1)（多选）(2024·安微芜湖三模) 图1 图2 已知g)=2sn(or+)osax+】 A.入=5 (w>0),下面结论正确的是 B9= A.当w=1时，g)在， L64 上单调递增 C.图2中，AB.AC=5 D.图2中，S是△A'BC及其内部的点构成的 B.若g(x1)=1,g（x2)=-1,且|x1-x2|的 集合，设集合T={Q∈S|川AQ|≤2}，则 最小值为元，则w=1 C.若g(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则w的 T表示的区域的面积大于牙 取值范围是2424 「4147 听课记录 D.存在w∈(1,3)，使得g(x)的图象向右平 096 移云个单位长度后得到的图象关于y轴对称 (2)(多选)关于函数f(x)=|cosx|+ 1 |sin2.x-2,下列说法正确的是 A.π是函数∫(x)的一个周期 R在[任，上单造减 C.函数图象关于直线x=3红对称 创新解读 D.当x∈[-10π，10π]时，函数f(x)有40个 本题巧妙地将三角函数图象通过折叠变成立 零点 体图形，结合空间直角坐标系，考查学生由三角函 高考创新方向 知识交汇 数图象求解析式的同时，还考查了空间想象能力， D选项还借助几何图形，利用几何方法解决问题， 【例】（多选)(2024·湖南师大附中月考)已知函 体现新高考进行知识融合创新的趋势· 数fx)=Asim经x+9)a>0.0<g<x) 温馨提示) 的部分图象如图1所示，A,B分别为图象的最 高点和最低点，过点A作x轴的垂线，交x轴 学习至此，请完成课时作业29 于A',点C为图象与x轴的交点.将绘有该图(2)2 解析：f(x)=sinx一√3cosx 2sin(-哥），当x∈[0，x]时z 5π 时，f(x)取得最大值， fx)=f(）=2 例2BC对于A,令f(x)=sin2x=0, 解得x=7,k∈Z令g(x) 是π n(包：一）-0，解得x经+子 k∈Z,故f(x),g(x)零点不同，故A 错误；对于B,f(x)∈[-1,1]， g(x)∈[-1,1]，两函数有相同的最 大值，故B正确；对于C,显然两函数最 小正周期都为π，故C正确；对于D,由 2江=x+受，k∈五得函教fx)的 对称轴是工-经晋止∈五由2红 至=kx十受∈乙，得高数8x)的 图象的对称轴是x= 3元+kπ，k∈Z, 8+2 故D错误.故选BC 对点训练2(1)C 由题意得w>0且 是整数，若x∈(0，晋），则wr十 ∈ (行，子十），国为画数f) sin(ox十)的图象在(o,）上有 且只有一条对称轴和一个对称中心， 所以π< 3w+ F<经EN,解 3π <a<号o∈N,即w=8故 15 选C. (2)BCD 因为Hx∈R,f(x) f(于)≤0恒成立，所以f(x)的最大 值为/（写，所以子。十9=2x k∈Z,即9=-行0十2kr,k∈Z.当 x∈(0，号)时rx十9∈(9，号0中 9),又g∈(0，)f(x)在(o,） 上有且仅有2个零，点，所以< 3 3 ≤ 5π 所以 3π < π 3 2kπ≤ 2,k∈Z,即3 5 <2kπ≤ 2 2对勾·讲与练·高三数学 k∈Z,得灰=1，所以9=-子0十2x, 因为0<w<6,w∈N”,p∈ (0,受），所以a=59=号所以 f(x)=2c0s(5x十号）.对于A,函数 f(x)的最小正周期T= 故A 误：对于B,当x∈（受）时x中 子e(2,1）,又y=cosx在 (2,1）上单调递减，所以画数 fx)在区间（行，受）上单调递减，故 B正确：对于C,因为f(君) 2o(-g+号）=2s(）=0. 所以函数∫(x)图象的一个对称中心 为（百，0），故C正确：对于D,因为 f(-）=2[5(x-吾）中 】=ao(6x-号）=25，为 奇函数，故D正确.故选BCD. 例3(1)C因为函数f(x)的周期为π， 所以当仙>0时，对正、余弦函数来说， 。一会-受-2，此稀珍A,B声上∈ (后)时2红-吾∈(0，）因为 y=sinx在(0，）上单调递增y 0sx在(0，骨）上单调递减，故C正 确，D错误.故选C 解析：f(x)=sin(-2x+牙） -sm(x-吾）令2kx-受≤2a 号≤2十受6∈五.得x-危 x≤kπ十 受：∈五，则Kx)的单羽莲 减区同为[k一+阅 ,令A=[x-x+ π 5π7 Z,B=[0,π]，∴A∩B= [12元f(x)在[0，x]上的单调 「11π -466- 例4(1)A由题意得a= (sin 14+ 2 c0s14°)= 2 X√2Xsin(14°+45°)= sin59°，b=sin61°，c= 2 sin 60", 由正孩画教y=smx在(0，受）上单 调递增知，a<c<b.故选A, (2)B f(x)=sin 2wx+cos 2wx Ean(ox+）xe(吾)： 当>1时，2ax+∈（-子0 子+)且-子+<0< 名0+至，若fx)在（百需）上举 解得1< +≤受 .π w≤2，又因为)的一个零点是受， =kr,k∈Z,解得ω=k 则πw十4 k∈Z.所以k=2o 子故造取 对点训练3(1C令及x-至<2江 x<经+子k∈Z》,所以画数y 寸m(包x一）+名的单调通培区 1 网为（经-合经+晋）∈.故 选C. (2)C由x∈ (0,3）可得2x-g∈ 经-9≤后因为)在(0，号)上 2 3-9≤2 为单调递增函数，所以〈 -9≥2 解得晋≤9≤受，即g的取值范周为 6 [晋]故选C 4.5函数y=Asin(x+9）的 图象及应用 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)H=rsin(wt十p)+h (2)①0 2 2 3π π一 2 2π一9 ω U U U 1 1 ② A A U 2.(1)周期性 (2)A 2元 基础检测 1.(1)× (2)× (3)/(4)/ 2.C 因为y=3sim(2x+牙）= 3sin2(x十5），所以只要把画数y 36in2x的困象向左平移哥个单位长 度即可得到y=3sin(2x十等)的图 象.故选C 3.D :通意可得gx)=3sin[2(2 )-]+1=3n(:) 1=- 3cos2x十1，所以g(x)的最大 值为4，最小正周期为π，g(x)为偶函 数，图象关于y轴对称.故选D. 4.3sim(3x-牙） 3-(-3) 解析：由题图可得A= 3 2 =-()=晋郎得T 2又T= 2,解得w=3.因为fx) 的图象经过（任3），所以3=3sm 3× 子+).竖+g=受+2k∈ 又<受所以9=-故 fx)=3sin(3x-平） 关键能力提升 例1解：(1)因为x∈[0，π]，所以2x+ e[] 列表如下： 2x+ 兀 13π 6 6 π 受 2π 6 2π 11元 x 0 3 12 π f(x) 1 2 0 2 0 1 描点、连线，图象如图所示 2 3 T 5T 612 12 2 (2)将y=sinx的图象上的所有点向 左平移答个单位长度，得到函数y sin(x十）的图象，再将y=sim(x十 ）的图象上所有点的横坐标缩短到 原来的二（纵坐标不变），得到函数 y=sin(2x+）的图象，再将y= sn(2z十）的图象上所有点的纵坐 标伸长2倍（横坐标不变），得到 fx)=2sim(2x十)的图象. 对点训练1(1)C因为函数y= 2sin(3x-)的最小正周期了= 答，所以画数y=2sin(3x-君)在 [0,2π]上的图象恰好是三个周期的图 象，所以作出画数y=2sin3x-君） 与y=sinx在[0,2π]上的图象如图 所示，由图可知，这两个图象共有6个 交点.故选C. (2)BC对于A,所得解析式为y n(分十若A错误：对于B所得 解析式为y=sin(2x十号)，B正确； 对于C,所得解析式为y=sin2x+ 石）=sin(2十)，C正确：对于D, 所得解析式为y=sin合(e十)= m(分x+君)D错误，故选BC 例21sin(2x+) 解析：由题知A=1,T=2π 4(经-晋)=5。=是即 f)=sn(+)小又f(g) 3、 9=子脚fx)=n(+ -467- 2)、 2 解析：对比正弦函数y=sinx的图象 易知，点肾)为五点（品国》法”中 的第五点，所以2经。十9=2π①.由题 3 知|AB=xB-xA=6, wxA十9= ara十9= 两式相减，得m红B 5π 6 A)= 2红，解得ω=4.代 入①，得9=-兰片以f) sn(4号）=-s号 2· 对点训练2(1)C由题图可得，A=2, 7-是-()=华牌 π= 2红，即”=±2，观察各选项可 知，本题考虑w=2即可，则y= 2sim(2x+p起点（径2）代入y 2in(2x十p)中，可得sn(倍+9）- 1,故8+9-受+2x,k∈7即甲 号+2t∈Z所以y=2ain(2x 号+2n）=2n(2x+号).故选C 2)fx)=sim(+号） 解析：因为f(x)=sin wx cos十 cosw.rsin=sin(wx十p),又 f(x1)=0,f(x2)=1,且x1-x2 的小值为所以于=即T 2x,又w>0,所以w= 2π=1，所以 fx)=smx+g.又f(受)=3： 所以sin(受十）=合即c0s9= 1 因为0<甲<受，所以g=晋，所 1 以fx)=sin(+): 例3解：(1)f(x)= 2 sin wx+ 号cos=sin+号）a>0. 因为图象相邻两条对称轴间的距离为 受所以周期了=2X受=，即如 =2 参考答案‘☑。 因此fx)=sin(2x+于)，当x∈ 0,m)时，2x+牙∈(3,2m+), 若f(x)在(0，m)上有最大值，无最小 值，则由正弦函数图象得<2m十 子≤受懈得<m≤ 7π 即m的取值范围 (] (2)将Fx)的图象向右平移答个单 位长度得y=n[2(e-)+] sin2x的图象， 再将图象上所有点的横坐标变为原来 的2倍（纵坐标不变）得g(x)=sinx 的图象， 所以Ax)=gx)十营=snx+营 h'()=cosx+3x∈-2x,m. 令h'(z)=0,得cosx=一子 解得=或=成： 3 当x∈（2m,-） 时，h'(x)>0, h(x)单调递增， 当x∈（经，-） 时，h'(x)<0, h(x)单调递减， 当x∈（） 时，h'(x)>0, h(x)单调递增 当x∈（昏） 时，h'(x)<0,h(x) 单调递减， 所以h(x)的极大值点为 3 例4(1)3 解析：起画数y=c0s(2x十)的图 象向左平移日个单位长度后得到函数 fx)=o[2(+)+]- cos(2z+）=-sin2x的图象.作 出函数f(x)的部分图象和直线y= 号，如图所示，观察图象知，为 有3个交点. y=-sin 2x 1( 2树勾·讲与练·高三数学 e(] 解析：令t=wx一 “x∈0… ∈（至@m-日)，问题转化为 函数y=int在区同(-子o-牙) 上有且仅有三个零点，∴2π<ωπ 对点训练3(1)CD对于A,g(x)= 2sin(+是)os(+是)- sm2x+),当x∈[吾]时， 令1=2+晋则：∈[吾]而 y=血1在[吾]上不华调，故 A错误：对于B,g(x)=sin2wx十 晋），由x1一：的最小值为，则画 数周期为2元，所以红=2x,解得。 2w 2,故B错误；对于C,g(x)= 1 si(2r+看）在[0.2a]上格有7个 零点，结合正弦曲线可知，2w·2π十 音∈a#u毛[侵)成 C正确；对于D,将g(x)=sin2wx十 晋)的图象向右平移否个单位长度后 得到y=m(2r-罗+君）的国 象，由它关于y轴对称，可知一四十 3 后-受十∈五.解得0=-1 3k,k∈Z,当w∈(1,3)时，取k=-1, w=2,故D正确.故选CD. (2)ABD对于A,f(x十π)= cos(x+π)+|sin2(x十π)- =cosx+sin2xH交 1 2 f(x),故π是函数f(x)的一个周期， 故A正确；对于B,当x [ 1 时，f(x)=cosx十sin2x- 2,则 f'(x)=-sinx十2cos2x,因为 -sinx∈ ,2c0s2x∈ [-2,0],所以f'(x)=-sinx十 2os2a<0在「匹，x] L4'2] 上恒成立，即 -468- 函教x)在[，]上单调递减，故 B正确；对于C.因为f(-x+） cas(a+)中 sim2(-←x+）-3=lsin中 |sin2x-2≠f(x),故C错误：对 于D,因为f(-x)=|cos(-x)|十 1sin(-2x)|- 2 Icos1+ 1 |sin2z-号=f),所以画数 f(x)为偶函数，又因为f(一x十 π)=|cos(-x十π)|十|sin2(-x+ 名=osx+m2z名 f(x),所以函数f(x)的图象关于直 线x=受对称，所以f)=fx十 π)，故函数∫(x)的最小正周期为T= π，又因为f(x)= a≤r≤合+a 1 cos x sin 2x- -cos x-sin 2x- +受<≤x+x k∈Z由B知，函数f)在[至2] 上单调递减，由对称性，则函数∫(x) 在[受，]上单消递培，且0) f(x)= 分）=名当x []时，fr)=os+m2红 ?>0恒成立，由对称性，得当x€ [经时f)=-msx-m2x- 号>0提成立，故品数)在一个网 期T=π内有两个零点，则函数f(x) 在[-10元，10π]内共40个零点，故D正 确.故选ABD. 【高考创新方向知识交汇】 例AC如图1，：f(x)的最小正周期 T=2红=4，AA'1=X,A'B= π 2 √A十4，如图2，AB= √个AA''+AB下=√2+4= √10，解得入=V5,故A正确；f(x)= 5sm(经x+g）…fo)=gsn9 9ng=号60<g<p 匹，又f(x)的图象在y轴右 或6 侧到达最低点前是下降的，= 6 则在图2中，以0为原点，O元，A有的 方向分别为y'轴、之轴的正方向建立 如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,-子)B,号 c(o,号0）…A店=5,2，-). AC=(0,1,-√5)，则ABA元=5× 0+2X1十(-5)×(-√5)=5，故C 正确； 图1 图2 AC=(0,1,-√5)，.AC= √02+12+(-√3)2=2，则T表示的 区域即为扇形CA'N(点N为以A'为圆 心，A'C为半径的圆与A'B的交，点)，在 图1中，作BB'⊥x轴，则∠B'A'B< 2,r=|CA'J=1,S帝期caw 子·∠BAB.r=安∠BAB< 牙，故D错误.故选AC 4.6 正弦定理、余弦定理 必备知识回顾 教材回扣 C b2+c2-2bc cos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C (1)2Rsin B 2Rsin C (3)sin A sin B:sin C (3)2r(a+b+c 基础检测 1.(1)× (2)/ (3)X (4)× 22+6 解析：B=180°一45°-75°=60°，由正 2 弦定理，得 sin60°= sin75,得c 2+6 3.120 解析：因为c0sA=6+c-Q 2bc 合所以A=120 4.65 解析：因为cosA= 32+82-72 2×3×8 号>0：所以A为锐角，所以A= 3 sin A ?,所以△ABC的面积为 如smA=子x8x8×誓=65 …关键能力提升 刚11C因为B=子6=号a,则 9 由正弦定理得sin Asin C= g sin'B= 4 3由余孩定理可得b”=a+2 9 ac=ac,即a2十c2=ac,根据正 弦定理得sinA+sin'C=13 4sin A. sinC怎，所以(sinA十sinC)” sinA+sin'C+2sin Asin C, 为A,C为三角形的内角，所以sinA十 sinC>0,则sinA+sinC= 选C. (2)BC因为b=10,A=45°，C= 60°，所以B=75°，所以△ABC只有一 解，故A错误；因为b=√15，c=4, B=60°，所以由正弦定理得sinC= csin B b X2=25<1,因为b< √155 c,即B<C,所以C>60°，所以 △ABC有两解(60°<C<90°或90°< C<120°)，故B正确：因为a=3,b= 2,A=45,所以由正孩定理得nA sinB,即sinB=bsinA b 2X② 2 a 同为号<<。<6，所以 △ABC有两解(45°<B60°或 120°<B<135°)，故C正确：因为a= 8,b=4,A=80°，所以由正弦定理得 nB=nA-n即<分 a 8 由于b<a,故B<80°，所以△ABC只 有一解，故D错误.故选BC. -469- (3)A方法一已知c=V5a,由正 弦定理得sinC=√3sinA,所以 sinC=3sinA,所以cosC=1 sin'C =1-3sin'A.2acos C+b= 2ccos A,2sin Acos C+sin B 2sin Ccos A,2sin Acos C+sin(A+ C)=2sin Ccos A,3sin Acos C= sin Ccos A,9sin'Acos'C sin'Ccos'A, 9sinA(1 -3sinA)=3sinA(1- sinA),由sinA≠0，解得sinA= ±子又0<A<,且A<C,所以 A=吾故选A 方法二由射影定理，得b=ac0sC十 ccos A,代入2 acos C+b=2 ccos A, 得3 acos C=ccos A,又c=√3a,所以 c0sA=c0sC0,由c=5a及正孩 √3 定理得V5sinA=sinC②，①2十②， 可得写A+3siA=1,即s血A 分又由①将A∈(0，受)故A=吾 故选A 【微拓展】任意三角形中的射影定理 典例B因为2 bcos B=acos C+ccos A, 所以2b0sB=b:解得c0sB=号又 因为B∈(0，π)，故B= 子故选B 例21ω子 1 解析：△ABC的面积S=2 bsin C, 因为a”+b2-c2=4S,所以2 abcos C= 1 4X2 absin C,所以tanC=1,又C∈ (0,π)，所以C= π (2)52 11W5 25 解析：如图， 在△ABM中， B=45°， 公 AB=√2， AM=√/I0,由余弦定理得AM2= AB+BM-2AB·BM·cOs∠ABM, 解得BM=4,则MC=4,BC=8,所 以AC2=AB2十BC2-2AB·BC· cos∠ABC,解得AC=5√2，故 cOs∠MAC=AM+AC-MC 2·AM·AC 10+50-1611√5 2×W10×5√2 25 参考答案“☑。