4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

2x2-4x+4 -4(x-1)2 <0, x2(x-2)2 x2(x-2)2 所以9(x)在(0,1)上单调递减，所以 P(x)>9(1)=0,即G(x)-G(2 x)>0, 所以G(x)>G(2-x),所以G(x2)= G(x1)>G(2-x1). 又G(x)在(1，+∞)上单调递增，所以 x2>2-x1,即x1十x2>2,得证. 对点训练2解：(1)f'(x)=e一ax· e a e a*(1-ax). 因为a∈R,所以a<0时，f(x)= e1-ax)>0>x>1,f'(x)= er(1-a.x)<0→x< 所以。<0时，单调递增区间为[日 十)，单调递减区间为(0，)： a=0时，f'(x)=ex(1-ax)=1 0,所以a=0时，单调递增区间为 (一∞，十∞)，无单调递减区间： a>0时，f'(x)=er(1-ax)> 0>x<1,f'(x)=er(1-ax)< 1 0→x> a 所以a>0时，单调递增区间为（一∞， 门单调递波区间为（行十小： 综上，a<0时，单调递增区间为 [日，十∞)，单调递减区间为(-四， 工)；a=0时，单调递增区间为 (一∞，十∞)，无单调递减区间：a>0 时，单调递增区间为（∞，]，单调 递减区间为（日，十∞）· (2)证明：证法 一 由(1)知，a >0 时，单调递增区间为（©，]，单调 递减区间为（，+），且x> 时，f(x)>0,f(x)大=f(） ,函数y=f(x)与y=a的大致图 a e 象如图所示 y=f(x) y=a X2 因为a>0时，函数y=f(x)一a有两 个零点x1x2, 所以a<即。<， 不妨设x1<x2,则0<x1< 1∠x 先证x1十x?> 名，用证1>之 2 a 一x2, 因为x1< 上<x,所以2 -x2< 1 a 又y=f(x)在(-，工）上单调递增， 所以需证)>f(后-小 又f(x1)=f(x:), 所以需证f,)>f(径-) x> 令函数Fx)=fx)-f(径-)小， xe(日+ 则F'(x)=er(1-a.x)十e2ar1 a(层-门]=1-ame-e. 因为E>日所以-ax<ar-21 ax,F'(x)=(1-az)(e " e2+r)>0, 函数下x)=fx)-f(层-)在 (日，十∞)上单调递增，所以 Fx)>F(日)=0. 因为>日所以F,)>f(名 2 x2),即x1十x2> a 所以1十x）”≥三之2，所以x1中 2 x2>2ve. 证法二与证法一相同，解出a'< e 因为a>0时，函数y=f(x)-a有两 个零点x1x2, 所以两个零点必为正实数，f(红) a=0→emx-ax=eh“(x>0), 等价于lnx一a.x=lna有两个正实 数解. g (x)In x-ax -In a(x >0), 则g'(x）= 1 -a(x>0),g(x)在 (0,）上单调递增，在（日，十）上 单湖造成且0<<君< 令G)=)-(层-小， xe(日+∞)小 -461- 则G'(x)= 1 -a+ x 2 a 一x 2 x(2-a.x) -2a> -2a=0, a 所以G(x) 在（日，+）上单河 增，G(x)> 6(日)=o 又x2> 又g(x1)=g(x2),所以g(x1)> 又0<x1<1<,所以1， a 又g(x)在(0，）上单调递增，所以 x1十x2> 所以21十x)” 2 2 >2e,所以x1十 a x2>2e. 第四章 三角函数、 解三角形 4.1任意角和弧度制、 三角函数的概念 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)逆时针 顺时针零角 正角、 负角和零角 (2)角的终边 坐标轴 (3){3B=a十k·360°，k∈Z} 2.(1)1弧度正数负数0 1 (2)n (3)al.r2alr 3.(1)yz 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 24 9 解标：周为。=-0=-2X2a 。8与&的终边相同，且B目 （营》所以=行 3号9 解析：设该扇形的半径为r,则2r十 2r=10,解得r= 。,所以该扇形的面 积为号X2× )= 参考答案‘☑。 4.1 解析：因为角日的终边经过，点P(一1， m)(m>0),所以sin0= 772 √/1+m √ 之m,解得m=1(m=-1舍去)，所 以m=1. 关键能力提升… 例1(1)CD对于A,B,在同一个表达式 中，角度制与孤度制不能混用，故A,B 错误：对于C,9-2x+牙，则与号 终边相同，而至与一至终边相同， 且-7严化为角度制即为一315°，则 4 一315与紧的终边相同，则一315十 &·360∈刀是与要的终边相同的 角的表达式，故C正确；对于D,由C得 贤与受终边相同，则与学终边相同的 4 角可以写成2kπ十元(k∈Z)的形式， 4 故D正确.故选CD. (2)AB对于A,300=300X180= ⑤A正确：对于B,心为第一象限角) 92k元≤a<2kπ十2k∈Z, x<是<x十年∈Z则号为第 一或第三象限角，B正确；对于C,第二 象限角不都是钝角，比如490°为第二 象限角，但不是钝角，C错误；对于D, 终边在直线y=一x上的角的集合是 aa=km-子k∈ZD错误.故 选AB. 2024r=674π+3： 2π 对点训练1(1)B 3 则2024π与2π终边相同，为第二象限 3 3 角.故选B 《2)℃终边落在直线y=3x上的角为 否中x便∈刀终边落在直线y=5z 上的角为行十kπ∈D,故角a的集合 a冬+m<a<号+领b∈Z: 为 故选C. 例2解：(1)设扇形的弧长为1.α= 60=分r=3l=ar=号 3=π. 2对勾·讲与练·高三数学 (2)由题设条件知1十2r=16,l= 16-2r(8 +1<r<8, 因此期形的面积S=子：=子16- 2r)r=-r2+8r=-(r-4)2+16, .当r=4时，S有最大值16，此时l= 16-2r=8,a=1=2, r ∴当a=2时，扇形的面积最大，最大 面积是16. 对点训练2(1)D由题意知OB=1, 1金=2，则圆心角∠B0C=是=2， 1 则∠BOD=1,所以BC=2BD=2X 1×sin1=2sin1.故选D. (2)B由圆M与圆N外切，得MN= 2,又圆M、圆N与x轴分别相切于 原点O和，点B,则OB=MN=2,所 以AB的长1=OB=2,所以AB对 应的扇形面积为号X2X1=1,故 选B. 例3(1)-5 5 解析：由P(一1,2)为角a终边上的一 点，得c0sa= -1 、 5 √/-1)+2 51 e(》 解析：设点P的坐标 为(xpyp).如图，因 为点A的坐标为合 ）所以∠0A= 子，所以∠x0p=十=匹，所 3 2 6 以xp=c0 5π=5， 6 =sin 6 名所以点P的整标为日》： 1 例4(1)C因为，点M(cosa,tana)在第 二象限，所以cosa<0,tana>0,所 以a的终边在第三象限.故选C. (2)B由题意可得P在第四象限，所 3-9>0,。解得2<a<4,故 以ioga-2<0: a的取值范围是(2,4).故选B. 对点训练3(1)A因为点P(m,-√) (m≠0)在角a终边上，且cosa= 年m,所以cosa= m+(-5)2 车m,所以m2=5,所以sina= -462- -√3 -3 、6 √m2+(-3) 2√2 选A. (2)Da的终边过，点(cosa,sina),又 sina<0且cosa>0,则a的终边所在 象限为第四象限.故选D. 4.2同角三角函数的基本 关系及诱导公式 必备知识回顾… 教材回扣 11ama(e≠x十2，k∈Z 2.sin a cos a -cos a sin a tana一tana奇变偶不变 3.(1)1-cos'a (1+sin a)(1-sin a) (3)-tan'a tan'a-1 cos a (4) sin'a+cos a 基础检测 1.(1)× (2)×(3)×(4)× 2.、26 5 解析：由sn(受-e）=cosa=子又 a是第四象限角，所以sina= -oa=-1-() 25所以cs(e+）=sna 5. 2√6 5 3.36 5 解析：因为tan0=一2，所以in日 -2,即sin9=-2cos0,因为sin0+ c0s20=1,所以5c0s20=1,因为0是 钝角，所以cos日=- 誓如0 c0s0=-3c0s9=3 5 4.-1 2 解析：因为tan0=3: 则2sin0-4eos9_ 2tan 0-4 'sin 0+2cos 0 tan 0+2 .-4 =-1. …关键能力提升… 3 例1(1)A因为tana= ，所以 00=,又因为sina+cosa=1, cos a第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念 考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制的概念， 2.能进行弧度与角度的互化 3.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣 1°=π 180 rad≈0.01745rad; 1.角的概念 180 1 rad= °≈57.30° (1)正角、负角、零角：我们规定，一条射线绕其 (3)半径为r的圆中，圆心角为arad的角所对 079 端点按 方向旋转形成的角叫做正角， 按 方向旋转形成的角叫做负角.如果 的弧长公式：l 扇形的面积公 一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个 式：S= 任意角包括 3.三角函数的概念 (2)象限角：我们通常在直角坐标系内讨论角， (1)定义：设a是一个任意角，a∈R,它的终边 使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非 OP与单位圆相交于点P(x,y),则sina 负半轴重合.那么， 在第几象限，就说 这个角是第几象限角.如果角的终边在 ,cos a ,tana=Y(x≠0). x 上，那么就认为这个角不属于任何一 正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角 个象限（常称为轴线角） 函数. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角， (2)三角函数的定义域和函数值在各象限的 连同角a在内，可构成一个集合S= 符号 2.弧度制 三角 定义域 第一象第二象第三象第四象 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 函数 (弧度制下) 限符号限符号限符号限符号 叫做 的角，弧度单位用符号rad表示， sin a 个 读作弧度.一般地，正角的弧度数是一个 cos a R ,负角的弧度数是一个 ,零角 的弧度数是 aa≠kπ十 tan a (2)角度和弧度的换算 ,k∈Z 180°= rad; 红内·讲与练·高三数学 回教材拓展 基础检测。 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正 1.判断（正确的画“√”，错误的画“×”） 弦，三正切，四余弦， (1)若a为锐角，则2a为钝角 () 2.角度制与弧度制可利用180°=rrad进行互化， (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角。 半径为R,圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式 () 分别为1=nR,S=nxR (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置 180 360· 无关 () 3.象限角 (4)若a为第一象限角，则sina十cosa>1. 第-象限角{a2km<a<2km+受，kE乙 () 2.(人教A版必修第一册P170例1改编)已知 限角的 第二象限角 {a2km+受<a<2km+m,keZ 40 第三象限角 al2k+a<2km+kEZ 9r,9与a的终边相同，且9∈ 第四象限角 al2k+<a<2km+2m.keZ ()则B= 4.轴线角 3.(人教A版必修第一册P176T10改编)已知某扇 形的周长为10，圆心角为2，则该扇形的半径为 终边落在x轴上的角{aa=km,keZ ,该扇形的面积为 线角的集 终边落在y轴上的角{aα=受+km,keZ 4.(人教A版必修第一册P180T3改编)若角0的 终边经过点P(-1,m)(m>0),且sin0= 终边落在坐标轴上的角 (ala=s.kez} 080 2m,则m= 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1象限角与终边相同的角 听课记录 【例1】 (1)(多选)下列与的终边相同的角的 表达式中，正确的是 A.45°+2k元(k∈Z) B经+&·360（∈Z C.-315°+k·360°(k∈Z) D.于+2πk∈Z)） 规律总结 (2)(多选)下列说法中正确的是 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条 A.300°=5m 件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有 3 角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值 B,若。为第一象限角，则？为第一或第三象 来求得所需的角. 限角 2.确定a,(∈N)的终边位置的方法 C.第二象限角都是钝角 先写出a或号的范围，然后根据友的可能取值 D.终边在直线y=一x上的角的集合是 0=2跳x-于，6∈z 确定如或号的终边所在的位置 第四章 三角函数、解三角形 讲 【对点训练1】1)2024r是 规律总结 3 应用弧度制解决问题的方法 A.第一象限角 B.第二象限角 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意 C.第三象限角 D.第四象限角 角的单位必须是弧度。 (2)如图，已知角0的终边落在阴影区域内（不 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次 含边界)，角a的终边和0相同，则角a的集 函数的最值问题. 合为 ( (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理 y↑y=.x 地利用圆心角所在的三角形 【对点训练2】(1)“古典正弦”定义为：在如图所 示的单位圆中，当圆心角∠BOC的范围为(0， π)时，其所对的“古典正弦”为BC(D为BC的 中点).根据以上信息，当圆心角∠BOC对应 的BC的长为2时，其对应的“古典正弦”值为 A.a 天+2k元<a<5+2kr,k∈乙 3 () B后+经<a<+经ez 2 3+ 十kr<a< 十kπ，k∈Z D.a 2 3kπ，k∈Z 2 A.2sin2° B.2sin1 081 考点2弧度制及其应用 【例2】 已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径 C.2sin1° D.2sin 1 为r (2)(2024·山东潍坊三模)如图，半径为1的圆 (1)若a=60°，r=3,求扇形的弧长 M与x轴相切于原点O,切点处有一个标志， (2)若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该 该圆沿x轴向右滚动，当圆M滚动到与出发位 扇形面积最大？并求出最大面积. 置时的圆相外切时（记此时圆心为N),标志位 听课记录 于点A处，圆N与x轴相切于点B,则阴影部 分的面积是 A.2 B.1 c 考点3三角函数的定义 命题角度1三角函数的定义及应用 【例3】(1)(2024·浙江金华三模)已知角a的顶 点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合. 若P(-1,2)为角a终边上的一点，则cosa= 2勾·讲与练·高三数学 (2)(2024·上海松江区二模)已知点A的坐标 规律总结 为后 1.三角函数定义的应用 ,将线段OA绕坐标原点O逆时针 (1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终 旋转至OP,则点P的坐标为 边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个 角的三角函数值. 听课记录 (2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角 函数的定义列出含参数的方程，求参数的值。 2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三 角函数中的角是第九象限角，再根据正、余弦函数值 在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所 在象限，那就要进行分类讨论求解. 命题角度2三角函数值符号的判断 【对点训练3】(1)已知点P(m,一√3)(m≠0) 【例4】(1)已知点M(cosa,tana)在第二象限， 则角a的终边在 ( 在角a终边上，且0se-,则ma A.第一象限 B.第二象限 ( C.第三象限 D.第四象限 (2)已知角0的终边经过点P(3“一9，log2a A.- √6 B.- √10 4 4 2),若cos0>0,且sin0<0,则实数a的取值 范围是 ( C 4 D.110 A.(1,3) B.(2,4) 082 C.(3,4) (2)若sina<0且cosa>0,则a的终边所在 D.(4,6) 象限为 ( 听课记录 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 温馨提示0 学习至此，请完成课时作业25 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sina十cos2a=1, sin a =tan a. cos a 2.掌握诱导公式及其应用. 必备知识回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣 2.诱导公式 项目公式一 公式二 公式三公式四 公式五 公式六 1.同角三角函数的基本关系 a+2kπ 角 π π十a -a r一a 2 -a sin2a +cos2a (k∈Z) 2 sin a 与a终 关于原关于x 关于y 关于直线 相同 cos a 边关系 点对称轴对称轴对称y=x对称