3.1 导数的概念及其意义、导数的运算-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

第三章 一元函数的导数及其应用 3.1导数的概念及其意义、导数的运算 考试要求 1.了解导数的概念，理解导数的几何意义，掌握基本初等函数的导数. 2.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣 续表 0 基本初等函数 导函数 1.导数的概念 f(x)=e f'(x)= (1)函数y=f(x)在x=x。处的导数记作 054 或 f(x)=log。x(a>0,且a≠1) f'(x)= y= f(x）-imdx f(x)=Inz f'(x)= 4.导数的运算法则 (2)函数y=∫(x)的导函数 若f'(x),g'(x)存在，则有 f'(x)=lim f(x+△x)-f(x) Ar-+0 △x (1)[f(x)士g(x)]'= 2.导数的几何意义 (2)[f(x)g(x)]'= 函数y=f(x)在x=x。处的导数的几何意义就 (3) 「f(x)7' g (x) 是曲线y=f(x)在点P(xo,f(x。)处的切线 (g(x)≠0). 的 ,相应的切线方程为 (4)[cf(x)]Y= 5.复合函数的定义及其导数 3.基本初等函数的导数公式 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y= 基本初等函数 导函数 f(u),u=g(x)的导数间的关系为y= f(x)=c(c为常数) f'(x)= ,即y对x的导数等于y对u 的导数与u对x的导数的乘积. f(x)=x(a∈R,且a≠0) f'(x)= 回教材拓展 f(z)=sin z f'(x)= 1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导 f(z)=cos z f'(x)= 数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数. 2.曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个， f(x)=a(a>0,且a≠1) f'(x)= 而直线与二次曲线相切只有一个公共点.注意“在点P 第三章一元函数的导数及其应用 进 处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切 (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线 线上；“过点P的切线”，说明点P不一定是切点，点P 的切线 () 一定在切线上，但不一定在曲线上. 2.（人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T1,2 3.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x) 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向， 改编)函数y=一1的导数为 sin x |f'(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢， 函数y=3rex的导数为 |f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡” 3.(人教A版选择性必修第二册P81T6改编)已知 基础检测。 函数fx)满足f(x)=f(任) cosx-sinx,则 1.判断（正确的画“√”，错误的画“×”） (1)f'(xo)是函数y=f(x)在x=x。处的瞬时 () 变化率. ( ) 4.(人教A版选择性必修第二册P82T11改编)已 (2)函数f(x)=sin(-x)的导数f'(x)=cosx. 知曲线y=xe在点(1，e)处的切线与曲线y= ( alnx+2在点(1,2)处的切线平行，则a= (3)求f'(x)时，可先求f(xo),再求f(xo) 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1导数的概念 规律总结、 由导数的定义可知，若函数y=f(x)在x=x。 【例1】已知f(x)在x=x。处的导数f'(x。) 055 f(x。十△x)-f(xo ,求下列各式的值： 处可导，则f'(x。)=lim ,它 △reD △x (1)lim f(xo)-f(x。-△x) 仅与x。有关，与△x无关，因此使用导数的定义时要 △x-*0 2△x 明确公式的形式，分子为函数值的改变量，分母是自 (2)lim f(x。+△x)-f(xg-△x) 变量的改变量，要注意公式的变形 △x 听课记录 【对点训练1】 计算：lim sin 2(+h)-sin 2x h A.0 B.cos 2x C.2cos x D.2cos 2x 考点2导数的运算 【例2】 求下列函数的导数 (1)f(.x)=x2e; (2)f(x)=logx」 2r sin x (3)f(x)= 1十cosz (4)f(.x)=ln(1-2x). 吧听课记录 红通内·讲与练·高三数学 考点3导数的几何意义 命题角度1求曲线的切线方程 【例3】(1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)= e+2sin工，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的 1+x2 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( B 0. (2)过坐标原点作曲线y=é2十1的切线，则 切线方程为 ( 4规律总结 A.y=x B.y =2x 求导数的几种情况 1 C.y= D.y=ex (1)乘积形式：先展开化为多项式的形式，再 求导 听课记录 (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整 式函数或较为简单的分式函数，再求导. 056 (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导. (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再 求导. (5)三角形式：先利用三角函数公式化简，再 求导. (6)复合函数形式：确定复合关系，由外向内或 命题角度2求参数 由内向外逐层求导. 【例4】(2024·河北保定三模)已知二次函数y= a.x(x-b)(b≠0，且b≠1)的图象与曲线y= 【对点训练2】(1)设f'(x)是f(x)的导函数， lnx交于点P,与x轴交于点A(异于原点O), 已知f(x)=2f'(1)x-x2十1nx+1,则 若曲线y=lnx在点P处的切线为l,且l与 f(1)= AP垂直，则a的值为 () 1 >. B.1 A.1 B.-1 c D.2 C.- D.-2 (2)(多选)下列求函数的导数正确的是( 听课记录 A）'-1-ng t? 1 B.(√2x-1)'= √2x7 C.(e5r-4)'=5e5r-4 D.snl2x+g）】=-2cas2z+5） 第三章 一元函数的导数及其应用 讲 命题角度3公切线问题 A.3 B.-3 【例5】(2024·新课标I卷)若曲线y=e十x在 C.0 D.1 点(0，l)处的切线也是曲线y=ln(x十1)十a (3)若曲线y=e在x=0处的切线也是曲线 的切线，则a= y=lnx+b的切线，则b= () 听课记录 A.-1 B.1 C.2 D.e 高考创新方向 多想少算 【例】(2024·浙江温州一模)已知0<x1< x2<x3<4元，函数f(x)=sinx的图象在点 (x;,sinx;)(i=1,2,3)处的切线均经过坐标 原点，则 () A.tan i tan 规律总结 xI x3 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切 B.tan i tan y 线和曲线过某点的切线.曲线y=f(x)在点P(xo, x I x3 f(x。)处的切线方程是y一f(x。)=f'(x。)(x C.x+x3<2x2 x。);求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依 D.x1+x3>2x2 据已知点在切线上求解. 身听课记录 2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、 057 切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上； ③切点在曲线上. 3.公切线问题应根据两条曲线在切点处的斜率 相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点 横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出 两曲线的切线，利用两切线重合列方程（组）求解. 【对点训练3】(1)(2023·全国甲卷文)曲线y 创新解读 本题通过切线斜率考查导数的几何意义，判 十在点1，)处的切线方程为 断选项C,D是否正确的关键是根据tanx: x:(i=1,2,3)构造tanx=x,通过转化思想和数 A.y-f B.y=2t 形结合思想分析，将计算问题转化为图象问题，减 % 少计算量，体现新高考的变化趋势 4 (2)(2024·福建漳州一模)若曲线y=ae-2十 温馨提示0 x在点(2,2十a)处的切线方程为y=4x十b, 学习至此，请完成课时作业17 则a十b=2)-1000[2(2）+1+3]. 1≤x≤10，令t= 1,≤t≤1， x10 则g(t)=10000(-2t2+t+3) -20o[-)-]· 故当 4时，g()的值最大，此时x=4. t= 故选C. 第三章 一元函数的 导数及其应用 3.1导数的概念及其 意义、导数的运算 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)f'(xo)yx=0 -+i △x 2.斜率y-f(xo)=f'(xo)(x-x0) 3.0 ax-1 cos x-sin x a'lna ezina 1 1 x 4.(1)f'(x)±g'(x) (2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (3)(x)g(x)-f(x)g'(x) [g(x)] (4)cf(x) 5.yg·uf 基础检测 1.(1)√(2)×(3)×(4)× 2.3'sin -cos x (x1) sin'x 3"e r In 3-3*+le-r 解析：y’= (x3-1)'sinx-(sinx)'(x3-1) (sin )2 3x'sin x -cos x (x-1) sin'x y'=(3)'e+3r(e3r)'= 3"e-In 3-3+e r. 3.1-√2 解析：f(x)=-f(牙）sinx-cosx 令x=得f(任)=r(任) 号解得了()=1-厄 4.2e 解析：由y=xe,得y'=e(x+1), 所以该曲线在点(1，e)处的切线斜率 为2c.由y=alnx+2,得y=2,所 以该曲线在点(1,2)处的切线斜率为 a.因为两切线平行，所以a=2e. …关键能力提升… 例1解：(1)，lim f(xo)-f(xo-△x) x0-(x0-△x) f'(xo),即lim f(x0)-f(x。-△x) △x f'(x。)=k, .'lim nfx)-fx。-Ax）= 2△x 2· (2)''lim f(x。十△x)-f(x。-△x) 2△x lim f(x。十△x)-f(x。-Ax) △x 2k. 对点训练1D设f(x)=sin2x,则 mm2z+h》）-sn2z h 1imfx+h）-fz2）=r'(x) h (sin2x)'=2cos2x,故选D. 例2解：(1)f'(x)=2xe十x2e= (2x十x2)e. (2)f'(x)= xln2·2-logaz·2n2 (2)9 1 xln2-logx·ln2 2 (3)f'(x)= cosx·(1+cosx)-sinx·(-sinx) (1+cos z) cosx十cos2x十sin2x (1十cosx)2 1十c0sx 1 (1+cos x)I+cos x" 1 4f'(x)=1-22·1-2x)' 1 2 1-2x·（←2)=2z 对点训练2(1)Df'(x)=2f'(1)- 2x+1,当x=1时，f1)= 2f'(1)-2+1,解得f'(1)=1,所以 f(x)=2x-x2十lnx十1，f(1)= 2-1十0十1=2.故选D. 2A对于A)'= (In z)'z-(z)'In x x 1-1n工，故A正确；对于B, t! (√2x-I)'=[(2x-1)]'= 号a-1wx2- 1 三，故B正 W2x-1 确；对于C,(e5-1)=e5-1X5= 5eiu→，故C正确；对于D, -451- [m(r+晋)门'=cos(2r+)x 2=2c0s(2x十子）小，故D错误.故 选ABC. 例3(1)Af(x)=c+2sin工，则 1+x2 f(x)= (e +2cos x)(1+x2)-(e"+2sin x)2x (1+x2)2 故f(0)=3,所以曲线y=f(x)在点 (0,1)处的切线的方程为y=3x十1， 令x=0,解得y=1,令y=0,解得 了，故所求三角形的面积 1 x=一 为s= 11 (2)A由函数y=e2+1,可得y'= e2,设切点坐标为(t,e2十1)，可得 切线方程为y-(e2十1)=e2(x- t),把(0,0)代入方程，可得0-(e十 1)=e2(0-t),即(t-1)e2=1,解 得t=2,所以切线方程为y一(e°十 1)=e°(x-2),即y=x.故选A. 例4B易知A(b,0),设P(t,lnt),联立 y=lnx与y=a.x(x-b),可得lnx= ax(x-b),故lnt=at(t-b).由y= nx,得y=所以，= x 方因为1上PA,所以k·kpA了 t-b)=-1,即nt=-t(t-b),又 In t lnt=at(t-b),所以a=-1.故选B. 例5ln2 解析：方法一由y=e十x,可得 y'=e十1，曲线在点(0,1)处的切线 的斜率为e°十1=2，切线方程为y一 1=2x,即y=2x十1.曲线y=e十 x在点(0,1)处的切线也是曲线y= ln(x十l)十a的切线，设该切线与曲线 y=1n(x十1)十a的切点的横坐标为 工，可得切线的斜率为1 十7=2，可得 号起x=-代入y=2x中 1 x=- 2 1,可得切点坐标为(0).因为切 点在曲线y=ln(x十l)十a上，所以 0=h(合-1)十a,解得。=n2 方法二（切线重合）由y=e十x,可 得y'=e十1，曲线在点(0,1)处的切 线的斜率为e°十1=2，切线方程为y 1=2x,即y=2x十1.设该切线与曲 线y=ln(x十1)十a的切点为(xo, ln(x。十1)十a),由两曲线有公切线， 参考答案☑。 则切点为(-分lh十a),切线方程 为y=2(:+2)+1n2+a=2x+ 1十a-ln2.根据两切线重合，得a ln2=0,解得a=ln2. 对点训练3(1)Cy'= g(x+1)-e,1= xe" (x+1)2 （x+1),当 =1时-宁则南我y一 在点，）处的切线斜率=导，所 以南线y=品在点)是的切 线方程为y-号=宁（红-1D,即y= 十故选C e (2)C因为y=ae2十x,所以y'= ae+1,由题意可得8b=2十。 解得日二32所以a+b=0.故选C b=-3, (3)C对于函数y=e,y=e,则当 x=0时，y=e°=1，又当x=0时， y=e°=1，所以曲线y=e在x=0 处的切线方程为y一1=x,即y=x十 1.设直线y=x十1与曲线y=lnx十 b相切于点(t,lnt十b),对于函数y= 血x十6，共导数为y=士由号教的 几何意又可得}=1，得1=1，所以切 点坐标为(1，b),代入切线方程得b= 1+1=2.故选C. 【高考创新方向多想少算】 例C由题意知f'(x)=cosx,则曲线 在点(x;,sinx;)处的切线斜率k;= c0sx,=n(注意切线过原点)，即 x,=加4=anx,所以n之 1,故A,B错误.同时x;可看作直线 y=x与曲线y=tanx在(0,4π)内 的3个交点的横坐标.作函数y= anx与y=x的图象，如图，设 A(x,tan ),B(x2,tan 2),C(x3, tanx),易知D(x2-r,tanx2), E(x2十π，tanx2).由正切函数图象性 质知kaD<k,得an二anx< x2一π一x1 anr3tan,即2二 x3一x2π 3一9，又x2-元-x1>01 3一x2一π 红对勾·讲与练·高三数学 x2一π>0，所以(x2-x1)(x3-x2- π)<(x一x2)(x2-元-x1),即 x1π十x3π<2πx2,即x1十x3<2x2, 故C正确，D错误.故选C y 1'=X C D B y=tanx E A》 3π/ 0/斤2m/10/4x 3.2导数与函数的单调性 必备知识回顾 教材回扣 1.f(x)>0f(x)<0 基础检测 1.(1)×(2)/(3)×(4)/ 2.C当x∈(-3,0)时，f'(x)<0,故 f(x)在（一3,0）上单调递减，当x∈ (0,2)时，f'(x)>0,故f(x)在(0,2) 上单调递增，当x∈（2,4)时， f'(x)<0,故f(x)在(2,4)上单调递 减，当x∈(4，十∞)时，f'(x)>0,故 f(x)在(4，十∞)上单调递增，显然C 正确，其他选项错误.故选C 3,-2.(号+） 解析：由f(x)=3x2十4x-4= (3x-2)(x十2)>0，得x<-2或 x>2 ,故f(x)的单调递增区间为 ←，-2.（号+） 4.[-3,0] 解析：由题知f'(x)=3x2十2ax a≥0在R上恒成立，所以4a2+12a≤ 0,解得-3≤a0. 关键能力提升 例1(1，十∞) 解析：函数f(x)=2x2-3.x-lnx的 定义域为(0，十∞)，求导得f'(x)= 4x-3-1=4x+1)x-D,由 7” f(x)>0,得x>1,所以f(x)的单 调递增区间为(1，十o∞)， 对点训练1(1)D由f(x)=xsin x十 cosx,可得f'(x)=sinx十E cos x sin z xcosx.f (x)=x cos< 0,当x∈（一π，0）时，由xc0sx<0可 得e0sx>0,解得x∈(，0)：当 x∈(0，π)时，由x cos x<0可得 c0sx<0,解得x∈（行x).因光可 得f(x)在（一π，π）上的单调递减区间 是（受0）和（合）.故选D -452- (2)BC若f(x)=x2一2x,则 f'(x)=2x-2,因为f'(1)=0,所以 A错误.若f(x)=x3一2x,则 f(x)=3x2-2,当x∈[1,2]时， f(x)>0恒成立，所以B正确.若 f(x)=sinx一2x,则f'(x) c0sx一2<0，所以C正确.若f(x)= e一3x,则'(x)=e-3<0在[0， 2]上不恒成立，所以D错误.故选BC 例2解：函数f(x)=ax2-(a十4)x十 2lnx的定义域为(0，十o), f'(x)=2a.x-(a+4)+ 2 x 2a.x2-(a十4)z+2_ (a.x-2)(2x-1) 当a>0时，由f'(x)=0,可得x1= 2 1 :=2 当0<a<4时子>当号<< 2时，f'(x)<0,此时函数f(x)单调 递减， 当0<x<2或x>2时fx)> 0,此时函数(x)单调递增： 当a=4时， 2=2对任意的x>0, 1 f'(x)≥0，此时函数f(x)在(0， 十∞)上单调递增； 当a>4时0<吕<日当名<x< 1 a 时，f'(x)<0,此时函数f(x)单调 1 递减， 当0<x<2或x>2时，f(x)> a 0,此时函数f(x)单调递增 综上所述，当0<a<4时，函数f(x) 在(0)，（后，+）上单调递增， 在（号，）上单润递减： 当a=4时，函数f(x)在(0，十∞)上 单调递增； 当a>4时，函数fx)在(0,2)， (分，+)上单调遥增，在（会·） 上单调递减. 对点训练2解：(1)函数f(x)=ae x十b,求导得'(x)=ae-1,则 f'(0)=a-1,而f(0)=a+b, 因此曲线y=f(x)在x=0处的切线 方程为y-a-b=(a-1)x,即y= (a-1)x+a+b.