2.9 函数的图象-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

则f(x)=g(x)-k,作出g(x)的图 象及直线y=饣如图， y=k XA X g(0)=1,g(-1)=2,函数f(x)有4个 零点，等价于方程g(x)=k有4个不相 等的实数根，所以数形结合可知，g(0)≤ k<g(-1),所以∈[1,2)，由图可知， x1<-1<x2<0<x3<1<x1,由二 次函数的对称关系可得，x1十x2=一2， 又由图可知lgx=|gx1,所以 一lgxg=lgx1,则有gx3x1=0,所 以x8x1=1,所以x1十x2十 x3x4=一1. 对点训练2(1)B令t= 6当0< 日<1时4=己>0，单调道减，周 为函数y=logt单调递减，所以 1 f(x)=log.-b 单调递增且定义域 为(b,十o∞)，此时直线g(x)=bx十a 在y轴上的截距在(0,1)上，排除C.当 1 a>1时，t=2一6>0，单调递减，因 为函数y=logt单调递增，所以 1 f(x)=log.-b 单调递减且定义域 为(b,十o∞)，此时直线g(x)=bx十a 在y轴上的裁距在(1，十∞)上，排除 D.在A,B中，由y=g(x)的图象知 b<0,f(x)=-log,(x-b)=0 时，x=1十b<1,排除A.故选B. e后》 解析：由题意知，点A,B的纵坐标都为 2,则B点的横坐标为8，即C点的横坐 标为8，所以A点的横坐标为 3 日C点的鼠多标为 =8由 四边形ABCD为矩形知D,点的坐标是 G动》 例3D因为y=0.5在R上单调递减， 所以0.5l<0.5=脚a<分因 为y=log.x在(0，十o∞)上单调递 减，所以1og.0.3>log6.0.9=1,即 1 b>1.c=1og2=log:2,因为y= logx在(0，十o∞）上单调递增，所以 lok,ok 2 og 31 2<c<1.综上所述，a<c<b.故 1 选D. 例4（号） 解析：因为1og(2-x)>1og53x-2' 1 所以不等式化为log(2一x)> log2(3x-2),又y=log2x在(0，十∞) 上是增函数，所以1og2(2一x)> 2-x>3x-2·解得 10g,(3x-2)93x-2>0, 兰<工<1，即x的取值范周是 (层 例5解：(1)由题意可得 红十2>0解得-2<x<1, 1-x>0, 即函数f(x)的定义域为（一2,1）. 当a=2时，f(x)=log2(x十2)十 1og2(1-x)=log2(-x2-x十2)， 令t=-x2-x十2，则y=log2t,易知 函数y=log2t在(0，十o∞)上单调 递增. 函数t=一x2一x十2图象的对称轴为 直线x=一之 2, 当x∈(-2,1)时，函数t=-x2 ±+2在(2，- 2 上单调递增，在 [2)上单河适该。 由复合函数的单调性可得函数f(x) 的单润递增区间为(-2，一】，单测 莲减区间为[号)小 (2)存在实数a,使得函数f(x)在区 间[1，]上取得录大值2 f(x)=log。(x十2)+log.(1-x)= log.(-x2-x十2)(a>0,且a≠1). 令y=-x-x+2=(+）广+ 9 侧y=一（十）+是的值线为 [] 当0<a<1时，y=logx在 [侣]上单调减。 所以函数fx)在[1，] 7 上的最大 11 值为1og。16 -447- =2，a=a=< 则log。16 16 4 1,满足题意 当a>1时y=1og在[品，] 上单调递增， 所以函数了)在区向[1，号]上的 9 最大值为1og。 则l6g号=2a2= 9 →a= 3 4 2 1,满足题意 综上所述a的值为T皮子 对点训练3(1)C因为f(x)=log(a 2)在[1，十∞)上单调递增，所以a> 1,且a-2>0,所以a>2.故选C. (2)屏：0肉为：=感在[子个上 1 单调递增，所以t=logx∈1og:4, 1og:4=[-2,2],所以t的取值范围 为[-2,2]. ②f(x)=(log2x十2)(1og2x十1)= (log2x)2+3log2x十2， 令t=log2x,t∈[-2,2]， 则函数变形为y=t2十3t十2= +)-子 当：=一号时=一子此时 3 1 =一子解用：=2-9 4 当t=2时，ymx=12,此时1og2x=2, 解得x=4. 所以f(x)的最大值为12，此时x的值 为4，(x)的最小值为-子，此时x的 值为② 4 2.9 函数的图象 必备知识回顾 教材回扣 2.(2)①-f(x)②f(-x) ③-f(-x)④log.x(x>0) (4)①f(a.x)②af(x) 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4) 2.C由于容器上粗下细，所以匀速注水 的过程中，高度的增长会越来越慢，只 有C选项的图象符合条件，故选C. 3.D函教f)=x1的定义战 2x 为{xx≠0}，且f(一x)= 1x-1=-x1 -2x 2x 参考答案“☑。 一f(x),函数f(x)为奇函数，故A错 误：当x>1时，f(x)=x-1 2x 是=（一）通数单调运 增，故B,C错误.故选D. 4.D画数y=g品化为y=gx一2 显然把函数y=lgx的图象向下平移 2个单位长度即得y=1gx一2的图 象，所以为了得到函数y=1g100 的图 象，只需把函数y=1gx的图象上所 有的点向下平移2个单位长度.故 选D. 关键能力提升… 例1解：1)先作出y=(2) 的图象， 保留y=(》 图象中x≥0的部分， 再作出y= (兮）广的图象中x>0部 分关于y轴的对称部分，即得y= () 的图象，如图1实线部分. -1o1x 0-1 图1 图2 -11 -1-2:0-11+2 -2 图3 (2)将函数y=1ogx的图象向左平移 1个单位长度，再将x轴下方的部分沿 x轴翻折上去，即可得到函数y |1og2(x十1)的图象，如图2. x2-2x-1x≥0且 (3)因为y=z+2x-1x<0: 函数为偶函数，所以先用描点法作出 [0,十∞)上的图象， 再根据对称性作出（一○，0）上的图 象，得图象如图3. 对点训练1解：(1)当x≥0时，y= sin|x|与y=sinx的图象完全相 同，又y=sinx|为偶函数，图象关于 y轴对称，其图象如图1. -10T23x 图1 图2 (2)y= 2.x-1 x-1 =2+ 7,故函数的 图象可由y=工的图象向右平移1个 x 红对勾·讲与练·高三数学 单位长度，再向上平移2个单位长度得 到，如图2所示. 2(1)B f(x)=-2+(e'-e*)sin z, 则f(-x)=一（一x)2十(ex一e2)· sin(-x)=-x+(e'-e )sin z= f(x),故f(x)为偶函数，故A,C错 误：f(1)=-1+(e-el)sin1> -1+(-)m=-1-> 年一2e>0,故D错误，B正确.故选B. 11 (2)B对于A,函数f(x）=cos2x· (e一e)的定义域为R,而题设函数 的图象在自变量为0时无意义，不符合 题意，排除；对于C,当x>0时， f(x)=e十e二>0，不符合图象，排 除：对于D,当x>0时，f(x)=1 'h(]< 0,不符合图象，排除.故选B. 对点训练2(1)Bf(x)的定义域为 （-x)3 x R,f-x)=户x中2=x+2 一f(x),f(x)为定义在R上的奇画 数，图象关于坐标原点对称，C错误；当 x>0时，fx）=+2f'（x）= 3（x+2)-x=2zx十3》 (x+2)2 （x+2)2>0, f(x)在(0，十)上单调递增，A,D错 误，B正确.故选B. (2)A由题图1知，f(1)=0,且当 x>1时，f(x)>0,由题图2知，图象 过，点(0,0)，且当x<0时，y>0,对于 C,当x=0时，y=f(4)>0,C不可 能；对于D,当x=0时，y=一f(4)< 0,D不可能；对于A,当x=0时，y= f1)=0,而当x<0时，1-2x>1, 刻小1-宁)>0，A可能：对于B. 当x=0时，y=-f(1)=0,而当 x<0时，1- 2x>1,则-f(1- 合)<0，B不可能，故选A 例3C根据奇函数的图象特征，作出 ∫(x)在(-∞，0)上的图象如图所示， 由x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)> (x2-2>0, 0,等价于fx)>0 (x2-2<0, 或 f(x)<0, -448- 解得x-2,或√2x<2,或一√2 x<0.故不等式解集为(-∞，-2)U (-2,0)U(√2,2).故选C. 例4B因为fx)=hz-1Dx>1, {-x2十4x,x1, 令g(x)=|f(x),作出g(x)的图 象，如图所示，令h(x)=ax,由图知， 要使对任意x∈R都有|f(x)≥ ax,则必有a≤0，当x≤0时，y= x一4红，由y=x-x'消去y得 ly=ax, 到x2-(4十a)x=0,由△=0，得到 (4十a)2=0,即a=-4,由图可知 一4≤a0.故选B. =g(x) 对点训练3(1)D因为f(x)=2一 x-1,所以f(x)>0等价于2>x十 1,在同一直角坐标系中作出y=2和 y=x十1的图象如图所示 3 y=x+] 2 1=2 2Z1012x -1 两函数图象的交点坐标为(0,1)，(1， 2),不等式2>x十1的解为x<0或 x>1.所以不等式f(x)>0的解集为 (-o∞，0)U(1,十∞).故选D. (2)D因为函数f(x)的定义域是R, 满足2f(x十1)=f(x),所以f(x 1)=之f(x).且当x∈01]时， x)=xa-D=(-) 0<x十11，则f(x)=2f(x十 e[合可当xe(-2- 时，一1<x十1≤0，则f(x)= 2f(x十1)∈[-1,0]，且当x∈ (-2,一1]时，0<x十21，则 f(x)=2f(x十1)=4f(x+2)= 4(x十2)(x十1)，令f(x)=4(x+ 三一三·如图所示 4 -2 3 y=f(x) 8 因为对任意x∈[m,十o∞)，都有 3,因 (x)二8，由图可知，m4 此，实数m的取值范围是 4 3 +∞）. 故选D. 2.10 函数与方程 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)f(x)=0(2)x轴f(x)=0 2.f(a)·f(b)<0(a,b)f(c)=0 3.f(a)·f(b)<0一分为二 零点 基础检测 1.(1) (2)× (3) (4)× 2.B由 x≤0， 或 x+x-2=0 x>0, -1+lnx=0, 解得x=一2或x= e,故f(x)有2个零点.故选B. 3.B函数f(x)在(0，十∞)上单调递 增，则f(x)=0在(0，十+∞)上只有一 个实数根，且f(1)=一1，f(2)=1,则 f(1)f(2)<0,故f(x)的零，点所在的 区间为(1,2).故选B. 4.-5 解析：因为函数y=x2十ax十b的零 9+3a十b=0, 点是3和一1，所以 解 1-a十b=0, a=-2, b=-3 得 所以a十b=-5. 关键能力提升 例1(1)ABCf(x)=2-x2,因为 f-D=-20)=1.所以/) 在（一1,0）内存在零，点；因为f(1)= 1,f(3)=-1,所以f(x)在(1,3)内 存在零点：因为f(3)=一1，f(5)= 7,所以f(x)在(3,5)内存在零点；作 出y=x2与y=2的图象如图所示， 结合y=x与y=2的图象的交点 情况可知f(x)在(5,6)内没有零点. 故选ABC =r2 =2 -10 24x (2)C当x-2时，f(x)=x2一5， 当f(x)=1时，解得x=一√6：当 x>-2时，令f(x)=xlg(x十2)= 1,即g(x+2)三·画出函数y3 1g红十2》和y=的图象（图略），可 得当f(x)=1时，x∈(-2，-1)或 x∈(1,2).综上，k的最大值是1.故 选C. 对点训练1(1)C设f(.x)=lnx- x十2=lnx一（x一2)，易知函数 f(x)在(1，十∞)上的图象连续，由表 格数据得f(1)>0,f(2)>0,f(3)= 1.099-1=0.099>0,f(4)= 1.386-2<0,f(5)<0,则f(3)· f(4)<0,即在区间(3,4)上，函数 f(x)存在一个零点，即方程lnx x十2=0的一个根所在的区间为(3， 4).故选C. (2)B函数f(x)=nx+x-2的 定义域为(0，十o∞)，又函数y=lnx, y=xy=- 在(0，十∞)上单调递 x 增，所以函数f()=lnx十x二兰在 (0,十o∞)上单调递增，又f(1)=ln1十 1-2=-1<0,f(2)=ln2+2-1= ln2+1>0,所以f(1)·f(2)<0,所 以零点所在的区间为(1,2).故选B. 例2(1)C作出函数y=f(x)的图象， 如图所示. 0 将原问题转化为直线y=ax十2（过定 点(0,2)与函数y=f(x)的图象交 点的个数，由图可知，当a=0时，直线 y=2与函数y=f(x)的图象只有一 个交点；当a<0时，直线y=a.x十2 与函数y=∫(x)的图象没有交点；当 a>0时，直线y=ax十2与函数y= f(x)的图象有三个交点，所以直线 y=ax十2与函数y=f(x)的图象不 可能有两个交点.故选C, (2)C由函数f(x)为偶函数，所以 f(x)=f(-x),因为对任意x∈R, 都有f(x)=f(6一x),即f(-x) f(6一x),所以函数f(x)的周期T= 6,当x∈[0,3]时，f(x)=log2(x+ 1)-1,则f(x)= 1-1og2(x+1),x∈[0,1)， log2(x十1)-1，x∈[1,3]， -449- 函数F(x)=f(x)十lg|x-1的零 点等价于函数y=f(x)与函数y= 1一gx图象的交点，如图所示，一 共有10个交，点，故C正确.故选C. y=I-Igid -13-11 -7-5 o1 对点训练2(1)B由f(x)=0,得 (分)广-1=1ogx,因此画数 f(x)的零点即为函数y=log2x与 y=(）广-1的国象交点横坐标。 在同一坐标系内作出函数y=log2x 与y= (合）广-1的国泉如图， 4 y=logx =- 观察图象知，函数y=log2x与y= (兮）)广-1的圈象有唯一交点，所 以函数f(x) 的零点个数为1.故选B. (2)C令f(x)=√11cosπx-2x+ 1=0,可得√11cosx=2x-1,则函 数f(x)=√1Ic0s元x-2x十1零点 的个数为y=√cosπx与y=2x 1图象的交点个数，显然y=√11c0sπx 与y=2zx-1的图象均关于（分0）对 称，又当x=2时，√/11c0s2r>2X2 1,当x=4时，√cos4r<2X4-1,再 结合两个函数的图象，如图，可得y= √11c0sπx与y=2x一1有5个交，点， =2x- y=/1Icos mx 故函数f(x)=√/11cosπx-2x+1 零点的个数为5，故C正确.故选C, 例3Ag(x)=0→f(x)十x-1 a=0→f(x）十|x-1=a,令 h(x)=f(x)十x-1|,则h(x)= x2+2x+1-x+1,x≤1， 即 2x2-8x+10+x-1,x>1, x2十x+2,x≤1， h(x)=2x2-7x+9x>1, 作出 h(x)的图象，如图. 参考答案‘☑。第二章函数的概念与基本初等函数 进 ①设t=log2x,求t的取值范围； 2.求解对数不等式的两种类型及方法 ②求函数∫(x)的最大值与最小值，并求出取 (1)logx>logb:借助y=logax的单调性求 解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两 最值时对应的x的值. 种情况讨论， (2)log。x>b:需先将b化为以a为底的对数， 再借助y=log。x的单调性求解. 3.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的 函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方 面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内 讨论；二是底数与1的大小关系：三是复合函数的构 成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外， 解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想 的应用. 【对点训练3】(1)(2024·湖北武汉二模)已知函 数f(x)=log(a'-2)在[1，十∞)上单调递 增，则a的取值范围是 ( A.(1,+∞) B.ln2,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞) (2)函数f(x)=(1og2x十log24)(log2x十 温馨提示) 043 1og2)的定义域为x∈，4 学习至此，请完成课时作业13 2.9 函数的图象 考试要求 1.会用描点法及图象的平移规律画简单的函数图象. 2.能根据函数的性质辨识函数图象，能根据实际问题辨识函数图象 3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题 必备知识回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 2.函数图象的变换 (1)平移变换 1.利用描点法作函数图象 y=f(r)+k 其基本步骤是列表、描点、连线。 k(k>0) 首先①确定函数的定义域，②化简函数解析 移个单位长度 y= 式，③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期 左移 f(x+)方个单位长度=f(x) 右移 y= 五个单位长度 f(x-h) 性、对称性等)；然后列表（尤其注意特殊点、零 (h>0) (h>0) 飞(k>0) 点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)， 移个单位长度 描点，连线 y=f(x)-k 红的勾·讲与练·高三数学 左右平移仅仅对x而言，利用“左加右减”进行2.（人教A版必修第一册P140T6改编）向如图放 操作，若x的系数不是1，需要先把系数提出来， 置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图 再进行操作。 象中可以大致刻画容器中水面的高度与时间的 上下平移是对y而言，利用“上加下减”进行 函数关系的是 操作. (2)对称变换 ①y=f(x)关于x轴对称 y= ②y=f(x) 关于y轴对称 y= ③y=f(x) 关于原点对称 高度 高度 y= ④y=a(a>0,且a≠1)关于y=x对称 0 时间 0 时间 A B (3)翻折变换 高度 高度 保留x轴上方图象 ①y=f(x) 将x轴下方图象翻折上去 y= |f(x)|; 时间 0 时间 保留y轴右边图象，并作其关于y轴 ②y=f(x) C D 对称的图象，y轴左边图象去掉 3.(人教B版必修第二册P52T3改编)函数 044 y=f(|x|). (4)伸缩变换 f()=I2i-11 的图象为 ( 2.x 4>1,横坐标缩矩为原来的二倍 ①y=f(x) 0<4<1,横坐标伸长为原来的上倍 y= a>1,纵坐标伸长为原来的a倍 ②y=f(x) 0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍 y= 基础检测。 1.判断（正确的画“/”，错误的画“×”） (1)当x∈(0，十∞)时，函数y=f(x)|与y= f(x)的图象相同. () (2)函数y=f(1一x)的图象，可由y=∫(-x) 4.为了得到函数y一g0的图象，只雷把函数 的图象向左平移1个单位长度得到. y=lgx的图象上所有的点 (3)函数y=af(x)与y=f(a.x)(a>0且a≠ A.向左平移2个单位长度 1)的图象相同. () B.向右平移2个单位长度 (4)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原 C.向上平移2个单位长度 点对称. () D.向下平移2个单位长度 第二章函数的概念与基本初等函数 关键能力提升 互动探究·考，点精讲 考点1作函数的图象 【对点训练1】作出下列函数的图象： 【例1】作出下列函数的图象： (1)y =sin x; (2)y= 2.x-1 =) x-1 (2)y=|log2(x+1)|; (3)y=x2-2|x|-1. 心听课记录 045 考点2函数图象的识别 【例2】(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)= -x2+(e-er)sinx在区间[-2.8,2.8] 的图象大致为 ( 4规律总结↓ 1.描点法作图：当函数解析式（或变形后的解析 式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征 描出图象的关键点直接作出. 2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数 (2)(2024·陕西西安二模) 的图象经过平移、对称、翻折或伸缩得到，可利用图 已知函数f(x)的图象如图 象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的颜序 所示，则函数f(x)的解析 对变换单位及解析式的影响 式可能为 红圈内·讲与练·高三数学 A.f(x)=cos2x·(e-e) B.f(x)=sin2x·1n+1 22 C.f(a)=e'te 01 x 图1 图2 D.fx)=正·ln 2 x2+1 A.y=f(1-) B.y=-f(1-zz) 听课记录 C.y=f(4-2x) D.y=-f(4-2x) 考点3函数图象的应用 命题角度1利用函数的图象解不等式 【例3】已知定义在R上的奇 函数f(x)在[0，+∞)上的 2 图象如图所示，则不等式 x2f(x)>2f(x)的解集为 规律总结 ( ) 1.抓住函数的性质，定性分析 A.(-√2,0)U(√2,2) (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从 B.(-∞，-2)U(2,+∞) 函数的值域，判断图象的上下位置. C.(-∞，-2)U(-√2,0)U(2,2) (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势. D.(-2,-√2)U(0,√2)U(2,+∞) 046 (3)从函数的周期性，判断图象的循环往复. (4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 听课记录 2.抓住函数的特征，定量计算 利用函数的特殊点、特殊值的计算，分析解决 问题。 【对点训练2】(1)(2024·天津和平区一模)函数 x f(x)=x十2的图象大致是 命题角度2利用函数的图象求参数的取值范围 【例4】(2024·北京昌平区二模)已知函数 -x2+4x,x≤1， f(x)= 若对任意x∈R ln(x-1),x>1. 都有|f(x)|≥a.x,则实数a的取值范围是 公 ( A.(-∞，0] B.[-4,0] C.[-3,0] D.(-∞，2] 听课记录 C D (2)(2024·浙江台州一模)函数y=(.x)的图 象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对 应的函数解析式可能为 第二章函数的概念与基本初等函数 讲 4规律总结 C.(0,1) 1.当不等式问题不能用代数法求解或用代数法 D.(-∞，0)U(1,+∞) 求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将 (2)设函数f(x)的定义域是R,满足2f(x+ 不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用 1)=f(x),且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x 数形结合思想求解. 1).若对任意x∈[m,十∞)，都有f(x)≥ 2.利用图象求参数时，要准确分析函数图象的 。,则m的取值范围是， 特殊点，借助函数图象，把原问题转化为数量关系较 明确的问题. B. + 4 【对点训练3】(1)已知函数f(x)=2-x一1， D 则不等式f(x)>0的解集是 A.(-1,1) 温馨提示) B.(-∞，-1)U(1,+∞) 学习至此，请完成课时作业14 2.10 函数与方程 考试要求 1.理解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.能用二分法求方程的近似解的步骤 047 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 3.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且 1.函数的零点 的函数y=∫(x),通过不断地把它的零点所在 (1)函数零点的定义：使 的实数x叫 区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼 做函数y=f(x)的零点， 近 ,进而得到零点近似值的方法叫做 (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对 二分法. 应方程的根的关系： 注意1.若连续函数f(x)在定义域上是单调函 数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个 (函数=)有零点 “点”，而是其图象与x轴交点的横坐标，也是令函数 值为0所得方程的实数根. 函数)=)的图象 方程 2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间 与有公共点 有实数解 [a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如 2.函数零点存在定理 图所示，所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 条连续不断的曲线，且有 ,那么，函数 y=fx) y=f(x)在区间 内至少有一个零点， 即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就 是方程(x)=0的解. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点