2.8 对数与对数函数-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

(品)广≤1，令f)=(品)” (高)广+（侣）广，则f)在上单润 递减，且f(1)=1,故不等式10 6-3≥1的解集为[1，十∞). 例5解：(1)因为fx)=1十2 2 十a的 定义域为R且是奇函数，所以f(0) 0,即2 .1 十2十a=0,解得a=-2 2* 1 1 此时fx)=1十2-豆=2 1 2 1+2则f-x)=1千2-2 11 1+2-2 =一f(x),符合题意. (2)因为f(x)≥0在x∈[-1,1]上 恒成立，所以f(x)mm≥0. 令t=2,因为x∈[-1,1]，所以t∈ [日 所以y=亡8=品+1+a t [哈 因为y=+1+a在[上 调递增， 所以yia= 1 +1十a=a十3 1十2 即f(x)nm=a十3 1 故a-子≥0，解得a≥弓 厂1 所以a的取值范围是上3，十o∞) 对点训练3(1)ABD令u=x2十4x十 3=(x+2)2-1,则u∈[-1，十∞). 对于A,f(x)的定义域为R,故A正 确：对于B,因为y=（2)u∈ 1“ [一1，十o∞)的值域为(0,2]，所以函数 f(x)的值域为(0,2]，故B正确：对于 C,因为u=x2+4x十3=(x十2)2 1在[-2，十∞)上单调递增，且y= (分）广在[-1，十0)上单调通减，所 以根据复合函数的单调性，得函数 f(x)在[-2，十∞)上单调递减，故C 不正确；对于D,由于函数f(x)在 [-2,十∞)上单调递减，则f(W2)> f(4),故D正确.故选ABD. (2)解：①当m=1时，可得f(x)= 4-2+1-8,即4-2+1-8<0，即 (2)2-22x-8<0,整理得(2 4)(2十2)<0， 红对勾·讲与练·高三数学 因为2十2>0，所以2一4<0，解得 x<2,所以不等式∫(x)<0的解集为 (-0∞，2) @令t=2,x∈[0,2]，则t∈[1,4幻， 可得4-m·2+1-8=t2-2mt-8, 由f(x)≥-12，可得t2-2mt-8≥ -12, 因为Hx∈[0,2]，f(x)≥-12恒成 立，即t2-2mt十4≥0对任意t∈[1， 4幻恒成立，即m≤十4对任意1∈ 2t [1,4]恒成立， 又因为=号+名≥ t t,2 2 =2,当仅当=即 t=2时取等号， 所以m≤2， 即实数的取值范围为（一∞，2]. 2.8对数与对数函数 必备知识回顾 教材回扣 1.以a为底V的对数x=log,N对 数的底数真数 2.(1)0 1 N (2)Olog,M+log.N ②log.M-log.N③nlog.M 4.logx(a>0,且a≠1)x(0,十o∞) 5.(0,十∞)(1,0)10减函数 增函数 6.互换y=x 基础检测 1.(1)×(2)/(3)×(4)/ 2.A方法一如图，作出函数y1= logo.2x,y2=logo.3x,y3 logo. 图象， y↑ 6x -y1=l0g0.2x -y2=logo3x -y3=10g04x 由图可知，当x=6时，l0g.6> log.36>log6.16,即a>b>c.故 选A, 方法二 易知0>10g0.4> log60.3>log60.2,所以 loge 0.4 10g0.3<1og,0.2'即1og.16< log.36<log0.26,即a>b>c.故 选A. 3.(3,4) 解析：当x=3时，y=1og。1十4=4， .函数y=log。(x一2)十4的图象恒 过点A(3,4). 4.[2,4] 解析：，1x≤9，.l0g31 logax log:9,即0≤10gx≤2，即2≤ -446- f(x)≤4，则函数f(x)的值域为 [2,4]. 5.10 解析：原式=en9-log23·log2+ 1g100=9-1十2=10. 关键能力提升… 例1解：(1)原式=1og(5×7) 2(1og7-log3)+1og7-1log号月 log5+log7-2log57十2log3十 logs 7-2logs 3+l0gs5=2l0gs 5=2. (2)原式=lg√2×(2g√2十lg5)+ √(1g2-1)2=lg2×(g2+lg5)+ 1-lg√2=lg√2+1-lg2=1. 对点训练1(1)5 解析：由题意可得原式=g102 r 2 10gs2+1og3×1og2-3=立X 1 og:10-21og:2+2log:3×3lbg.2- 1 3=21+10g2)-210g2+6X02 1m3-3=2+6-3=5. In 2 (2)1+6 a+b 解析：由7=2可得b=10g2,所以 10g614= 1og:14 1+log72 10g,6=10g,2+10g3 1十b a十b 例2(1)D当x=0时y=1og. 1 一1，则当0<a<1时，如图1，函数图 象过第二、三、四象限； 图1 则当a>1时，如图2，函数图象过第 一、三、四象限 y 0Y-1 图2 所以函数y=l0g（x十上)的图象一 定经过第三、四象限.故选D, (2)[1,2)-1 解析：设g(x)= |-x2-2x+1,x≤0， gz>0, 则f(x)=g(x)-k,作出g(x)的图 象及直线y=饣如图， y=k XA X g(0)=1,g(-1)=2,函数f(x)有4个 零点，等价于方程g(x)=k有4个不相 等的实数根，所以数形结合可知，g(0)≤ k<g(-1),所以∈[1,2)，由图可知， x1<-1<x2<0<x3<1<x1,由二 次函数的对称关系可得，x1十x2=一2， 又由图可知lgx=|gx1,所以 一lgxg=lgx1,则有gx3x1=0,所 以x8x1=1,所以x1十x2十 x3x4=一1. 对点训练2(1)B令t= 6当0< 日<1时4=己>0，单调道减，周 为函数y=logt单调递减，所以 1 f(x)=log.-b 单调递增且定义域 为(b,十o∞)，此时直线g(x)=bx十a 在y轴上的截距在(0,1)上，排除C.当 1 a>1时，t=2一6>0，单调递减，因 为函数y=logt单调递增，所以 1 f(x)=log.-b 单调递减且定义域 为(b,十o∞)，此时直线g(x)=bx十a 在y轴上的裁距在(1，十∞)上，排除 D.在A,B中，由y=g(x)的图象知 b<0,f(x)=-log,(x-b)=0 时，x=1十b<1,排除A.故选B. e后》 解析：由题意知，点A,B的纵坐标都为 2,则B点的横坐标为8，即C点的横坐 标为8，所以A点的横坐标为 3 日C点的鼠多标为 =8由 四边形ABCD为矩形知D,点的坐标是 G动》 例3D因为y=0.5在R上单调递减， 所以0.5l<0.5=脚a<分因 为y=log.x在(0，十o∞)上单调递 减，所以1og.0.3>log6.0.9=1,即 1 b>1.c=1og2=log:2,因为y= logx在(0，十o∞）上单调递增，所以 lok,ok 2 og 31 2<c<1.综上所述，a<c<b.故 1 选D. 例4（号） 解析：因为1og(2-x)>1og53x-2' 1 所以不等式化为log(2一x)> log2(3x-2),又y=log2x在(0，十∞) 上是增函数，所以1og2(2一x)> 2-x>3x-2·解得 10g,(3x-2)93x-2>0, 兰<工<1，即x的取值范周是 (层 例5解：(1)由题意可得 红十2>0解得-2<x<1, 1-x>0, 即函数f(x)的定义域为（一2,1）. 当a=2时，f(x)=log2(x十2)十 1og2(1-x)=log2(-x2-x十2)， 令t=-x2-x十2，则y=log2t,易知 函数y=log2t在(0，十o∞)上单调 递增. 函数t=一x2一x十2图象的对称轴为 直线x=一之 2, 当x∈(-2,1)时，函数t=-x2 ±+2在(2，- 2 上单调递增，在 [2)上单河适该。 由复合函数的单调性可得函数f(x) 的单润递增区间为(-2，一】，单测 莲减区间为[号)小 (2)存在实数a,使得函数f(x)在区 间[1，]上取得录大值2 f(x)=log。(x十2)+log.(1-x)= log.(-x2-x十2)(a>0,且a≠1). 令y=-x-x+2=(+）广+ 9 侧y=一（十）+是的值线为 [] 当0<a<1时，y=logx在 [侣]上单调减。 所以函数fx)在[1，] 7 上的最大 11 值为1og。16 -447- =2，a=a=< 则log。16 16 4 1,满足题意 当a>1时y=1og在[品，] 上单调递增， 所以函数了)在区向[1，号]上的 9 最大值为1og。 则l6g号=2a2= 9 →a= 3 4 2 1,满足题意 综上所述a的值为T皮子 对点训练3(1)C因为f(x)=log(a 2)在[1，十∞)上单调递增，所以a> 1,且a-2>0,所以a>2.故选C. (2)屏：0肉为：=感在[子个上 1 单调递增，所以t=logx∈1og:4, 1og:4=[-2,2],所以t的取值范围 为[-2,2]. ②f(x)=(log2x十2)(1og2x十1)= (log2x)2+3log2x十2， 令t=log2x,t∈[-2,2]， 则函数变形为y=t2十3t十2= +)-子 当：=一号时=一子此时 3 1 =一子解用：=2-9 4 当t=2时，ymx=12,此时1og2x=2, 解得x=4. 所以f(x)的最大值为12，此时x的值 为4，(x)的最小值为-子，此时x的 值为② 4 2.9 函数的图象 必备知识回顾 教材回扣 2.(2)①-f(x)②f(-x) ③-f(-x)④log.x(x>0) (4)①f(a.x)②af(x) 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4) 2.C由于容器上粗下细，所以匀速注水 的过程中，高度的增长会越来越慢，只 有C选项的图象符合条件，故选C. 3.D函教f)=x1的定义战 2x 为{xx≠0}，且f(一x)= 1x-1=-x1 -2x 2x 参考答案“☑。第二章函数的概念与基本初等函数 进 4规律总结 ②若Hx∈[0,2]，f(x)≥-12恒成立，求实 1.比较指数式的大小的方法 数m的取值范围. (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单 调性比较大小。 (2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中 间量比较大小 2.指数方程（不等式）的求解主要利用指数函数 的单调性进行转化. 3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数 函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值 域、单调区间、最值等问题时，一般要借助“同增异 减”这一性质分析判断. 易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底 数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论。 【对点训练3】(1)（多选）已知函数(x) r+4x+3 ) ,则 A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(0,2] C.函数f(.x)在[-2，十∞)上单调递增 039 D.f(√2)>f(4) 温馨提示0 (2)已知函数f(x)=4-m·2x+1-8. 学习至此，请完成课时作业12 ①若m=1,求不等式f(x)<0的解集； 2.8 对数与对数函数 考试要求 1.理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性，掌 握对数函数图象经过的特殊点。 3.知道对数函数y=logx与指数函数y=a互为反函数(a>0,且a≠1). 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。一 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：log1= ,log.a= 1.对数的概念 (a>0,且a≠1， 一般地，如果a'=N(a>0,且a≠1)，那么数 N>0). x叫做 ,记作 ,其 (2)对数的运算性质 中a叫做 ,N叫做 如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么 红闪·讲与练·高三数学 ①log.(MN)= (2)log.b=”1og.b(a,b均大于0.a≠1，m≠0). m M ②1og.N= (3)logb·logc·logd=logd(a,b,c均大于0且 ③log.M"= (n∈R). 不等于1，d>0). 3.换底公式 2.对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点 log b log.b= log a (a>0,且a≠1；c>0,且c≠1； 的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b. b>0). y=log r y=log 4.对数函数的概念 一般地，函数y= 叫做对数函数， -y=logx 其中 是自变量，函数的定义域是 y=log 由此我们可得到此规律：底数不同的对数函数图 5.对数函数的图象及性质 象在第一象限内与直线y=1相交，交点从左到右对应 的底数逐渐增大 a的范围 0<a<1 a>1 y 基础检测 =1 y↑ x=1 y=log 0 图象 (1,0) 1.判断（正确的画“/”，错误的画“×”） 0,0)x (1)函数y=1og(x+1)是对数函数.( y=logx 040 2)函数y=ln1T与y=ln(1+x)三ln(1 定义域 x)的定义域相同 () 值域 及 (3)当x>1时，若logx>logx,则a<b. 伐 过定点 ,即x= 时， () 定点 质 (0函数y=1og与y=168:的图象重合。 在(0，+∞)上是 在(0，十∞)上是 单调性 () 2.(人教A版必修第一册P141T13(1)改编)设a= 6.指数函数与对数函数的关系 1ogo.26,6 l0go.36,c=10go.46, () 一般地，指数函数y=ar(a>0,且a≠1)与对 A.a>b>c B.a>c>b 数函数y=logx(a>0,且a≠1)互为反函数， C.b>c>a D.c>b>a 它们的定义域与值域正好 ,图象关于 3.若函数y=log(x-2)+4(a>0,且a≠1)的 直线 对称. 图象恒过点A,则点A的坐标为 回教材拓展 4.(人教B版必修第二册P28练习AT5改编)已 知函数f(x)=2十log3x的定义域为[1,9]，则 1换底公式及其推论 函数f(x)的值域是 （11bg.1oga=1,即16gb=8aa6均大于5.计算：eh3-1og,9·log:8十1g4+1g25= 0且不等于1)， 第二章函数的概念与基本初等函数 讲 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1对数的运算 考点2对数函数的图象及应用 【例1】计算下列各式的值： 【例2】(1)(2024·广东深圳二模)已知a>0,且 1bg35-2g专+l0e7-og,18 a≠1，则函数y-1oge十)的图象一定 经过 ) (2)2(1g√2)2+lg√2×lg5+ A.第一、二象限 B.第一、三象限 √(1g√2)2-lg2+1. C.第二、四象限 D第三、四象限 听课记录 {-x2-2x+1-kx≤0， (2)已知函数f(x)= gx-kx>0 有且只有4个零点x1,x2,x3,x4(x1<x2< x3<x4),则及的取值范围为 x1十 xg十x3x4= 听课记录 041 4规律总结 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的 性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高 点、最低点等)排除不符合要求的选项 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应 的函数图象问题，利用数形结合法求解， 【对点训练2】(1)函数f(.x)=-1og(x一b)及 规律总结、 解决对数运算问题的常用方法 g(x)=bx十a,则y=f(x)及y=g(x)的图 (1)将真数化为底数的指数幂的形式再进行 象可能为 化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底 的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用 【对点训练1】(1)计算：21og100一1og4十 10g29X1og38-10lg3= (2)已知log3=a,7=2,用a,b的代数式表示 log614= 红圈内·讲与练·高三数学 (2)(2024·云南曲靖一模)在第一象限内，矩命题角度3对数函数性质的综合应用 形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y= 【例5】已知函数f(.x)=log.(x十2)十log.(1 loggx ,y== x)(a>0,且a≠1). 3 的图象上，且矩形的 (1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间. 边分别与两坐标轴平行，若点A,B的纵坐标 (2)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间 都为2，则点D的坐标是 [1,上取得最大值2？若存在，请求出口 考点3对数函数的性质及应用 的值；若不存在，请说明理由. 命题角度1 比较对数式的大小 【例3】(2024·天津北辰区三模)已知a=0.51, 吧听课记录 1 6=1oga0.3,c=l1og:2,则ab,c的大小关 系为 ( A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b 听课记录 042 命题角度2 解对数不等式 1 【例4】 若1o8:(2-x)>1o853x-2则实数x 的取值范围是 必听课记录 规律总结、 1.比较对数式大小的常见类型及解题方法 (常见类型】 (解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接 进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数 可以先用换底公式化为同底 相同 后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 第二章函数的概念与基本初等函数 进 ①设t=log2x,求t的取值范围； 2.求解对数不等式的两种类型及方法 ②求函数∫(x)的最大值与最小值，并求出取 (1)logx>logb:借助y=logax的单调性求 解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两 最值时对应的x的值. 种情况讨论， (2)log。x>b:需先将b化为以a为底的对数， 再借助y=log。x的单调性求解. 3.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的 函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方 面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内 讨论；二是底数与1的大小关系：三是复合函数的构 成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外， 解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想 的应用. 【对点训练3】(1)(2024·湖北武汉二模)已知函 数f(x)=log(a'-2)在[1，十∞)上单调递 增，则a的取值范围是 ( A.(1,+∞) B.ln2,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞) (2)函数f(x)=(1og2x十log24)(log2x十 温馨提示) 043 1og2)的定义域为x∈，4 学习至此，请完成课时作业13 2.9 函数的图象 考试要求 1.会用描点法及图象的平移规律画简单的函数图象. 2.能根据函数的性质辨识函数图象，能根据实际问题辨识函数图象 3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题 必备知识回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 2.函数图象的变换 (1)平移变换 1.利用描点法作函数图象 y=f(r)+k 其基本步骤是列表、描点、连线。 k(k>0) 首先①确定函数的定义域，②化简函数解析 移个单位长度 y= 式，③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期 左移 f(x+)方个单位长度=f(x) 右移 y= 五个单位长度 f(x-h) 性、对称性等)；然后列表（尤其注意特殊点、零 (h>0) (h>0) 飞(k>0) 点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)， 移个单位长度 描点，连线 y=f(x)-k