2.6 幂函数及几类常见的特殊函数-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

2圆内·讲与练·高三数学 2.6 幂函数及几类常见的特殊函数 考试要求 1.结合函数y=x,y= y=xy=xy=x的图象，理解它们的变化规律 2.了解一次分式函数、对勾函数、飘带函数、高斯函数、狄利克雷函数和最值函数. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 ②对称中心：。a 1.幂函数 ③渐近线方程：x=一 b (1)幂函数的定义 a 和y= 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自 ④单调性：当ad>bc时，函数在区间 变量，a是常数 (0,-2)(合+)上分别单游逆该： (2)常见的五种幂函数的图象 y=x2y↑= 1=X 当d<c时，函数在区间(，-）和 )=x (名，十)上分别单调递增。 032 012 3.对勾函数y=ax十 b(a>0,b>0j (1)性质 (3)幂函数的性质 ①奇偶性：奇函数 ①幂函数在(0，+∞)上都有定义； ②当。>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和 ②单调作：单满选塔区间(-6，√)·。 (0,0),且在(0，十∞)上单调递增； ③当a<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在 +单调递减区同（吾。0，） (0,十∞)上单调递减. ③渐近线：y=a.x和x=0. 2.一次分式函数 (2)图象 (1)定义：我们把形如y=cx+ ax十b (a≠0，ad≠ bc)的函数称为一次分式函数. 2 ab b (2)图象 0 -2ab (-bc a'a )= a 4.飘带函数y=a.x 6a>0,b≥0】 =8 ad>be b ad<bo x= (1)性质 (3)性质 ①奇偶性：奇函数； ①定义城：≠-：值域：≠日 ②单调性：在（一∞，0），(0，十∞)上单调递增； ③渐近线：x=0. 第二章函数的概念与基本初等函数 进 (2)图象 小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a, b}用来表示a,b的最大值，称作最大值函数. 回教材拓展 1.(1)幂函数y=x中，a的取值影响幂函数的定 义域、图象及性质 (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不 5.高斯函数y=[x] 会出现在第四象限 (1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整 2.对勾函数y=ax十 (ab>0)的极值与图象的 数部分，记作[x],例如，[3.4]=3，[-2.1]= 拐点可利用基本不等式求得. 一3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函 数y=[x]称为高斯函数，又称取整函数， 基础检测。 (2)性质 1.判断（正确的画“/”，错误的画“×”） ①定义域：R;值域：Z. (1)函数y=2x是幂函数. () ②不具有单调性、奇偶性、周期性 (2)当a>0时，幂函数y=x在(0，十∞)上是 (3)图象 增函数. () (3)当n是偶数时，幂函数y=x云(m,n∈Z,且 2 n是奇数)是偶函数. () -2-10 234x (4)函数y=x+”的单调增区间是（一， 2 033 -m),(√/m,+o). 6.狄利克雷函数D(x)= 1,x∈Q的性质 o,xQ 2.若幂函数的图象经过点(27,3 ,则函数的解析 (1)定义域：R;值域：{0,1}. 式为 (2)奇偶性：偶函数. 3.(人教A版必修第一册P100T5改编)已知a∈ (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小 正周期. 3-2-1-0分12，，若函数 (4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在 f(x)=x为奇函数，且在(0，十∞)上单调递 7.最值函数的概念 减，则a= a,a≤b, a,a≥b, 设min{a,b}= axta,b)= 4.(人教A版必修第一册P91练习T1改编)若幂 bab; b;a <b. 函数f(x)=(m2一3m-3)xm-”-2的图象与y 直观上来说min{a,b}的作用就是求a,b的最 轴无交点，则实数m的值为 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1幂函数的图象和性质 C.y=x3 【例1】(1)(2024·四川南充 D.y=xi 二模)已知函数∫(x)的 图象如图所示，则f(x) 2知a-)6-得)e-》 则a, 的解析式可能是() b,c的大小关系为 A.y=x A.a<b<c B.c<a<b B.y=x C.ab>c D.b<c<a 红通内·讲与练·高三数学 吧听课记录 (2)若函数f(x)在（一1，十∞）上单调递减， 求a的取值范围. 听课记录 4规律总结 1.对幂函数图象的掌握应抓住在第一象限内三 条直线分第一象限所成的六个区域，即直线x=1, y=1,y=x所分区域，根据幂指数a满足的条件，即 a<0,0<a<1,a=1或a>1确定图象在第-象 限的位置，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂的大小时，必须结合幂的特点，选择 适当的函数，借助其单调性进行比较 【对点训练1】(1)如图是 y= 函数y=x(m,n均为 正整数且m,n互质)的 命题角度2对勾函数与飘带函数 图象，则 ( 034 A.m,n是奇数，且<1 【例3】 已知函数广2)三x十若对任意 24,1f(x)-f(x)1≤m+2恒 1 B.m是偶数，n是奇数，且”<1 x2∈ n 成立，求实数m的取值范围. C.m是偶数，m是奇数，且”>1 心听课记录 D.m,n是奇数，且”>1 n (2)(多选)已知幂函数f(x)=x的图象经过 点(4,2)，则 ( Aa-日 B.f(x)的图象经过点(1,1) C.f(.x)在[0，十∞)上单调递增 D.不等式f(x)≥x的解集为{xx≤1} 考点2几类特殊函数 命题角度1一次分式函数 【例2】 卫知两数)-“中名，其巾 a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(-1,3)成 中心对称时，求a的值； 第二章函数的概念与基本初等函数 讲 命题角度3高斯函数、狄利克雷函数与最值函数 【例4】(1)（多选）对于任意的x∈R,[x]表示不 超过x的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数 学王子”高斯最早使用，因此得名为高斯函数， 人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确 的是 () A.函数y=[x],x∈R的图象关于原点对称 B.函数y=x-[x],x∈R的值域为[0,1) 4规律总结 C.对于任意的xy∈R,不等式[x]十[y]≤ 这几类特殊的函数问题都属于新定义问题，其 [x+y]恒成立 解题思想围绕着知识迁移，就是利用新、旧知识之间 D.不等式2[x]+[x]-1<0的解集为{x| 的联系，由旧知识的思考方式领会新知识的思考过 0≤x<1} 程，而产生迁移的关键是正确概括两种知识之间包 1,x∈Q, 含的共同因素，并与函数的性质相结合. (2)(多选)函数D(x)= 称为狄利 0,x在Q 克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确 【对点训练2】(1)设x∈R,用[x]表示不超过x 的是 ( 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如： [-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)= A.D(D(2)=D(D(2) 2.x2 B.D(x)的值域与函数f(c)=,十E的值 1+x2- 3,则函数y=[f(x)门的值域是 2.x 035 ( 域相同 A.{0,1} B.{-1,1} C.D(x)是非奇非偶函数 C.{-1,0y》 D.{-1,0,1} D.对任意实数x,都有D(x十1)=D(x) 1,x∈Q, (3)(多选)函数f(x)=x十1，g(x)=(x十 (2)已知狄利克雷函数D(x)= 则 O,xQ, 1)2,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者， 下列结论正确的是 () 记为M(x)=max{f(.x),g(x)},则下列说法 A.D(x)是偶函数 正确的是 B.D(x)是单调函数 A.M(2)=3 B.Hx≥1，M(x)≥4 C.D(x)的值域为[0,1] C.M(x)有最大值 D.M(x)最小值为0 D.D(π)>D(3.14) 听课记录 温馨提示) 学习至此，请完成课时作业11假设存在实数a,使得函数g(x)在区 间[-1,1门上的最小值为-2， 则-a2十a≤-2，得a2-a-2≥0， 解得a≤-1或a≥2. 当a≤-1时，g(x)在[-1,1]上递增， 则g(x)mm=g(-1)=3a十1，所以 3a十1=-2，得a=-1; 当a≥2时，g(x)在[-1,1]上递减， 则g(x)mm=g(1)=1一a,所以1 a=-2,得a=3. 综上所述，存在实数a=-1或a=3, 使得函数/(e-号）在区间-1，山 上的最小值为一2. 2.6幂函数及几类常见的特殊函数 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)y=x 基础检测 1.(1)×(2)/(3)/(4)× 2.y=x 解析：设幂函数的解析式为y=x,因 为国象经进点(，宁，则子 2→3=303=-子所以 y=t i 3.-1或-3 解析：由幂函数的性质知，f(x)=x°， 在第一象限内，当《<0时，函数单调 递减，当《为奇数或分子和分母均为奇 数的既约分数时，函数为奇函数，所以 当a=一1或a=一3时，幂函数在 (0,十∞)上单调递减，且为奇函数. 4.-1 解析：因为函数f(x)是幂函数，所以 m2-3m-3=1,即m2-3m-4=0, 解得m=4或m=一1，当m=4时， f(x)=x",图象与y轴有交，点(0,0)， 当m=-1时，f(x)=x°，图象与y 轴无交点，所以实数m的值为一1. 关键能力提升 例1(1)D对于A,函数y=x= 的定义域为[0，十∞)，显然不符合题 意，故A错误；对于B,函数y=x专 二的定义城为(0，十∞)，显然不特合 √ 题意，故B错误，对于C,函数y=x3的 定义域为R,y=x3为奇函数，但是 y=x3在(0，十∞)上增长速度越来越 快，故不符合题意，故C错误；对于D, y=x寺=沉定义城为Ry=言为 2对勾·讲与练·高三数学 奇函数，且y=x了在(0，十∞)上的增 长速度越来越慢，故D正确.故选D. (2)B 由a=(2)6=(日)。 c= ().得a=()6 (兮)=（付）.因为采画数y x导在区间(0，十∞)上单调递增，且 号<<以（）< 1 (日)<（兮），即e<a<故 选B 对点训练1(1)B由幂函数性质可知 y=x”与y=x的图象恒过点1,1D, 即在第一象限的交点为(1,1)，当0< 工<1时x°>x,则”<1：又y= x”的图象关于y轴对称，心y=x”为 偶画数，“(-x)”=仁)” x”=,又m,n互质m为偶 数，n为奇数.故选B. (2)ABC由幂函数f(x)=x的图 象经过点(4,2)，得2=4，则a=2, 1 所以幂画数f(x)=x专=E,A正 确；又f(1)=√T=1,即f(x)的图象 经过点(1,1)，B正确；且f(x)在 [0,十∞)上单调递增，C正确；不等式 f(x)≥x,即√E≥x,解得0≤x≤ 1,D错误.故选ABC. 例2解：(1)fx)=a工+2-a= x+1 ax+）2-2a=a+2a. x+1 x+1 所以f(x)图象的对称中心为点(-1， a),由题意得a=3. (2)由f(x)=ax+2-a知直线 x十1 x=一1为f(x)图象的一条渐近线， 又由一次分式函数的性质知，当且仅 当1×(2-a)>1×a, 即a<1时，f(x)在(-1，十∞)上单 调递减，故a的取值范围是（一∞，1）. 例3解：函数f)在[合2）上递减：在 2,41上递增，f2)=4,而f(号） 号0)=5，所以1)m=号， 17 f(x)m=4,故对任意x1x2∈ [合)f≤m+日 -444- 恒成立等价于|f(x1)-f(x2)mx≤ m+2,而1f(x1)-f(x)1 m 17 29 2二4三号，即m七m≥之·显然当 <0时不等式不成立，所以原不等式 可变形得2m2-9m十4≥0且m>0, 解得0<m≤号或m≥4，即实数m ,1]U[4,+∞). 的取值范围为(0,2] 例4(1)BCD对于A,当0≤x1时， y=[x]=0,当-1<x<0时，y= [x]=-1,所以y=[x],x∈R不是 奇函数，即函数y=[x],x∈R的图 象不是关于原点对称，故A错误；对于 B,由取整函数的定义知，[x]≤x< [x]+1,所以x-1<[x]≤x∴.0≤ x-[x]<1,∴.函数y=x-[x] (x∈R)的值域为[0,1)，故B正确；对 于C,由取整函数的定义知，廿x,y R,Lx]x,y]y,所以Lx]十 [y]=[x]+[y]≤[x+y],故C正 确；对于D,由2[x]+[x]-1<0得 (2[x]-1)([x]+1)<0,解得-1< []<弓，结合取整画教的定义可得 {x0≤x<1},故D正确.故选BCD. (2)ABD对于A,根据狄利克雷函数 定义可知D(D(2)=D(1)=1, D(D(√2))=D(0)=1,故A正确.对 于B,易知函数f(x)=工十工的定 2x 义域为(-∞，0)U(0,十∞)，当x∈ (-0,0)时，f(x)=2,十=0：当 2x x∈(0，十o)时，f(x)= |x十x 2x 1,即函数f(x)= 」x十工的值域为 2x {0,1},故B正确.对于C,易知函数 D(x)的定义域关于原点对称，当x∈ Q时，一x∈Q,则D(-x)=1= D(x);当x庄Q时，一x年Q,则 D(-x)=0=D(x),即D(x)为偶函 数，故C错误.对于D,当x∈Q时，x十 1∈Q,此时D(x十1)=D(x)=1:当 xQ时，x十1任Q,此时D(x+1)= D(x)=0,故D正确.故选ABD. (3)BD令g(x)>f(x),即(x+ 1)2>x十1，解得x<-1或x>0,所 以可知M(x)=max{f(x),g(x)}= (x十1)2，x<-1或x>0, x十1，-1x0, 所以M(2)=(2+1)2=9,故A错误； 当Hx≥1时，M(x)=(x十1)≥ (1十1)2=4，故B正确；由M(x)= (x十1)(x一1或x>0)可知，函数 无最大值，故C错误；当x<-1或x> 0时，M(x)>0,当一1≤x≤0时， 0≤M(x)1,所以M(x)最小值为 0,故D正确.故选BD 2x2 1 对点训练2(1)Df(x)= 1+x-3 2(1十x)-21=5-2 1+x2 331x,因 为x∈R,所以t=1十x2≥1,0< 十≤1，则)e【专) 当fe)e[号o)时w=[fc]= -1;当f(x)∈[0,1)时，y= [fx]=0:当fx)e,号）时， y=[f(x)]=1.所以函数y= [f(x)门的值域是{-1,0,1.故选D. (2)A对于A,当x∈Q时，显然 -x∈Q,此时恒有D(x)=D(-x)= 1,当x任Q时，x是无理数，显然一x也 是无理数，此时恒有D(x)=D(一x)= 0,所以D(x)是偶函数，因此A正确； 对于B,因为D(0)=D(1)=1,所以 函数D(x)不是实数集上的单调函数， 因此B不正确；对于C,由函数的解析 式可知，D(x)的值域为{0,1}，因此C 不正确；对于D,因为D(π)=0， D(3.14)=1,所以D(π)<D(3.14), 因此D不正确.故选A. 2.7指数与指数函数 必备知识回顾 教材回扣 1.(2)根式 3.(2)(0,十∞)y=1 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2.C因为函数y=1.01在(-∞， 十∞)上是增函数，且3.5>2.7，故 1.015>1.0127>1>0.751,即 c>b>a.故选C. 3.[1,十∞) 解析：复合函数f(x)=0.72-x可以 分为外部函数y=0.7”与内部函数 u=x2-2x,因为外部函数y=0.7“ 在公共定义域内单调递减，根据复合 函数单调性“同增异减”的性质，所以 求(x)的减区间，等价于求内部函数 u=x2一2x的增区间，易知u=x2 2x的增区间为[1，十o∞)，故f(x)的 减区间为[1，十∞). 4.1 解析：(a言·b言)立.aT÷ a().b（)x().a÷6 a片.b号=a,b°=1. 关键能力提升 例1解：D原式=a): aa5)=a)÷(a)=a a=1. ②原式={[)门 得)-1=[信)门() [(2)]-1=- 3 -1=0. (3)原式=Qb2.a号.b a.b 1 对点训练1(1)B由(a-一a): a十a1-2=5,可得a-a 土√5.故选B. (2)C(-64)3+[(-3)灯7-(2 33 1)+√38 =(-4)+(3)-1+ [)门-4+8-1+ 3 -子改选C 例2(1)A因为y= (仔)广为指数函 数，所以兰>0，且合≠1，所以 <0，因为二次函数y=ar十 2a b缸十c图象的对称轴为直线x=一2a, b 所以B,D错误，由指数函数的图象可 0<<1所以-<<0 所以二次函数图象顶点的横坐标在 (人子0)内，所以C错误.故选A .17 (2)(02」 解析：不等式4a-1<3x-4等价于 a-1< x-1,令f(x)=a, 3 gx)=是-1，当a>1时在同- 平面直角坐标系中作出两个函数的 图象， fx)=a -10 gx-1 图1 -445- 如图1所示，由图知不满足条件； 当0<a<1时，在同一平面直角坐标 系中作出两个函数的图象， y fx)=a-1 1: 0 2 图2 如图2所示，则f(2)≤g(2),即a2≤ X2-1,a≤子故a的取值范网足 3 ( 对点训练2(1)D由图象可知，函数 f(x)为减函数，从而有0<a<1. 方法一由f(x)=ar6的图象，得 其与y轴交点的纵坐标y∈(0,1)，令 x=0,得y=a,则0<ab<1,即 0<ab<a°，解得b<0.故选D. 方法二函数f(x)的图象可看作是 由y=a(0<a1)的图象向左平移 得到的，则-b>0,即b<0.故选D. (2)C y1+1 211表示 点M(x1y1)与点 A(1,-1)确定的直 线的斜率，又 0 M(x1y1)是y= A e在x∈[0,1)部 分图象上的动点，如图，当M接近 B(1,e)时，k→-o∞，当M为(0,1)时， &=0号=-2则e《,-, 只有C满足.故选C. 例3D因为指数函数y=0.5是单调 减函数，所以0.51<0.501<0.5°= 1,又幂函数y=x1在(0，十o∞)上是 单调增函数，所以1=1小1>0.51> 0.4山1，又因为指数函数y=1.1F是单 调增函数，所以1.1,5>1.1°=1，综 上可得b<a<c.故选D. 例4(1){x-1x3} 解析：不等式22-红≤ 22--1≤2-2，因为函数y=2为单 调递增函数，所以x2一4x-1≤2 2x,所以x2-2x-3≤0，解得-1≤ 3所以不等我2≤（日） 的解集为{x一1x3}. (2)[1,十∞) 解析：由10一6一3≥1，两边同除 以1，可得()广+（品）》广中 参考答案☑。