2.5 二次函数-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

(2,十∞)上单调递减，由∫(3)=0，知 f(1)=0,作出函数f(x)的大致图 象，如图 1x=2 由图可知，当x<0时，f(x)<0,则 xf(x)>0;当0<x<1时，f(x)< 0,则xf(x)<0;当1<x<3时， f(x)>0,则xf(x)>0:当x>3时， f(x)<0,则xf(x)0.所以不等式 xf(x)>0的解集为(-∞，0)U(1, 3).故选B. (2)B由f(x十6)=f(x),可得f(x) 的一个周期为6，又y=f(x十3)为偶 函，数，(x)的图象关于直线x=3对 称，所以f(3.5)=f(2.5),f(-4.5)= f(1.5),f(12.5)=f(0.5).又f(x) 在(0,3)内单调递减，所以f(3.5) f(-4.5)<f(12.5).故选B. 2.5二次函数 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)a.x2+bz+c(a≠0)(2)(m,n) 2.R-2a b 4ac-b （2a 减 增增减 基础检测 1.(1)/(2)×(3)× 2.3 解析：y=x2-2x十4=(x一1)2+3， 故当x=1时，ym=3. 3.f(x)=x2-4x 解析：由题意，可设f(x)=a(x一 2)2-4(a>0),又图象过原点，所以 f(0)=4a-4=0,解得a=1,所以 f(x)=(x-2)2-4=x2-4x. 4.(-∞，40]U[160,+∞) 解折：依题多知，合≥20或气≤5解 8 得k≥160或k≤40. 关键能力提升 例1-4.x2十4x十7 解析：方法一（利用“一般式”）设 f(x)=ax2十bx十c(a≠0). 4a+2b+c=-1, 由题意得a-6十c=一1， 4ac-b' =8, 、4a 1a=-4, 解得{b=4,所以所求二次函数的 c=7. 解析式为f(x)=一4x2十4x十7. 方法二（利用“顶，点式”）设f(x) a(x-m)十n(a≠0).因为f(2)= f(一1)，所以抛物线的对称轴为直线 x- 2十(-1)1 1 2 =2,所以m=2又 函数有最大值8，所以n=8,所以 f)=a(e-》”+8,因为 f2)=-1,所以a(2-）广+8- -1,解得a=-4,所以f(x)= -4(-)广+8=-4红+红+7 方法三（利用“交点式”）由已知 f(x)十1=0的两根为x1=2, x2=-1,故可设f(x)十1=a(x- 2)(x十1)(a≠0)，即f(x)=a.x2 ax-2a-1.又函数有最大值8，即 4a(-2a-1)-(-a)2 =8.解得 Aa a=一4或a=0(舍).故所求函数的解 析式为f(x)=-4x2十4x十7. 对点训练1f(x)=x2一x十1 解析：由题意，设f(x)=ax2十bx+ c(a≠0)，因为f(0)=1,即c=1,所 以f(x)=ax2+bx+1,所以f(x+ 1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+ 1]-(ax2十bx+1)=2a.x十a+b= 2x,从而有2二2。解得二1所 la+b=0, b=-1. 以f(x)=x2-x十1. 例2BCD由题意得a<0z=一2a 1,则b=-2a>0,当x=1时y= a十b十c>0,故A错误；当x=-1 时y=a一b十c<0,则a十c<b,故 B正确；当x=0时，y=c>0,则 abc<0,故C正确；设一元二次方程 ax2十bx十c=0的两根分别为x1, 22,由图象可知x1一x2=瓜 a √B=4ac<4,整理可得< a 4a(c十4a),故D正确.故选BCD. 对点训练2ABD函数y=ax2十bx十 b c的困象的对称轴为直线工=一2a,设 与x轴的两个交点的坐标分别为(x1, b 0),(x2,0),则x1十x2=- Q x1x:=￡，对于A,a<0,- b∠ 2a 0,-合<0，>0，则a<0.6<0 c<0,abc<0,符合题意；对于B, a<0,>0，>0<0. a -443- a<0,b>0,c>0,abc<0,符合题 忘：对于Ca>0,品<0名< a 0,￡>0，则a>0,b>0,c>0, .abc>0,不符合题意；对于D,a> 0,b0-6之0，>0，则a> 0,b<0,c>0,.abc<0,符合题意. 故选ABD. 例3解：(1)易知f(x)=x2十4ax的图 象开口向上，对称轴为直线x=-2a, 所以若f(x)在区间[1,3]上单调递 增，则需-2a≤1pa≥子 若∫(x)在区间[1,3]上单调递减，则 需-2a≥3→a≤- 3 2 综上，a的取值范围为（一∞，一 [+) (2)当a<-2a<a+1, 即a∈（←合o0)时， g(a)=f(-2a)=-4a2, 当-2a≤a,即a≥0时，g(a)= f(a)=5a2, 当-2a≥a十1，即a≤-号时， g(a)=f(a+1)=5a2+6a+1, -如，- <a<0, 综上g(a)=5a,a≥0， 5a2+6a+1a≤-3 对点训练3解：(1)因为二次函数的解析 式为f(x)=x2+(1-2a)x+ 子a∈R. 所以f(x)图象的对称轴为直线x= 2a-1且开口向上，即f(x)的增区间 2 为2+ 又函数f(x)在[2，十∞)上单调递增， 所以[2，十∞) [+可 得02≤2，解得a≤号 2 所以。的取值范国是(，]。 2②)令gx)=f(-)=（(x 2)广+1-2a(-2)- x2-2ax+a=(x-a)2-a2+a> -a2十a, 参考答案‘☑。 假设存在实数a,使得函数g(x)在区 间[-1,1门上的最小值为-2， 则-a2十a≤-2，得a2-a-2≥0， 解得a≤-1或a≥2. 当a≤-1时，g(x)在[-1,1]上递增， 则g(x)mm=g(-1)=3a十1，所以 3a十1=-2，得a=-1; 当a≥2时，g(x)在[-1,1]上递减， 则g(x)mm=g(1)=1一a,所以1 a=-2,得a=3. 综上所述，存在实数a=-1或a=3, 使得函数/(e-号）在区间-1，山 上的最小值为一2. 2.6幂函数及几类常见的特殊函数 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)y=x 基础检测 1.(1)×(2)/(3)/(4)× 2.y=x 解析：设幂函数的解析式为y=x,因 为国象经进点(，宁，则子 2→3=303=-子所以 y=t i 3.-1或-3 解析：由幂函数的性质知，f(x)=x°， 在第一象限内，当《<0时，函数单调 递减，当《为奇数或分子和分母均为奇 数的既约分数时，函数为奇函数，所以 当a=一1或a=一3时，幂函数在 (0,十∞)上单调递减，且为奇函数. 4.-1 解析：因为函数f(x)是幂函数，所以 m2-3m-3=1,即m2-3m-4=0, 解得m=4或m=一1，当m=4时， f(x)=x",图象与y轴有交，点(0,0)， 当m=-1时，f(x)=x°，图象与y 轴无交点，所以实数m的值为一1. 关键能力提升 例1(1)D对于A,函数y=x= 的定义域为[0，十∞)，显然不符合题 意，故A错误；对于B,函数y=x专 二的定义城为(0，十∞)，显然不特合 √ 题意，故B错误，对于C,函数y=x3的 定义域为R,y=x3为奇函数，但是 y=x3在(0，十∞)上增长速度越来越 快，故不符合题意，故C错误；对于D, y=x寺=沉定义城为Ry=言为 2对勾·讲与练·高三数学 奇函数，且y=x了在(0，十∞)上的增 长速度越来越慢，故D正确.故选D. (2)B 由a=(2)6=(日)。 c= ().得a=()6 (兮)=（付）.因为采画数y x导在区间(0，十∞)上单调递增，且 号<<以（）< 1 (日)<（兮），即e<a<故 选B 对点训练1(1)B由幂函数性质可知 y=x”与y=x的图象恒过点1,1D, 即在第一象限的交点为(1,1)，当0< 工<1时x°>x,则”<1：又y= x”的图象关于y轴对称，心y=x”为 偶画数，“(-x)”=仁)” x”=,又m,n互质m为偶 数，n为奇数.故选B. (2)ABC由幂函数f(x)=x的图 象经过点(4,2)，得2=4，则a=2, 1 所以幂画数f(x)=x专=E,A正 确；又f(1)=√T=1,即f(x)的图象 经过点(1,1)，B正确；且f(x)在 [0,十∞)上单调递增，C正确；不等式 f(x)≥x,即√E≥x,解得0≤x≤ 1,D错误.故选ABC. 例2解：(1)fx)=a工+2-a= x+1 ax+）2-2a=a+2a. x+1 x+1 所以f(x)图象的对称中心为点(-1， a),由题意得a=3. (2)由f(x)=ax+2-a知直线 x十1 x=一1为f(x)图象的一条渐近线， 又由一次分式函数的性质知，当且仅 当1×(2-a)>1×a, 即a<1时，f(x)在(-1，十∞)上单 调递减，故a的取值范围是（一∞，1）. 例3解：函数f)在[合2）上递减：在 2,41上递增，f2)=4,而f(号） 号0)=5，所以1)m=号， 17 f(x)m=4,故对任意x1x2∈ [合)f≤m+日 -444- 恒成立等价于|f(x1)-f(x2)mx≤ m+2,而1f(x1)-f(x)1 m 17 29 2二4三号，即m七m≥之·显然当 <0时不等式不成立，所以原不等式 可变形得2m2-9m十4≥0且m>0, 解得0<m≤号或m≥4，即实数m ,1]U[4,+∞). 的取值范围为(0,2] 例4(1)BCD对于A,当0≤x1时， y=[x]=0,当-1<x<0时，y= [x]=-1,所以y=[x],x∈R不是 奇函数，即函数y=[x],x∈R的图 象不是关于原点对称，故A错误；对于 B,由取整函数的定义知，[x]≤x< [x]+1,所以x-1<[x]≤x∴.0≤ x-[x]<1,∴.函数y=x-[x] (x∈R)的值域为[0,1)，故B正确；对 于C,由取整函数的定义知，廿x,y R,Lx]x,y]y,所以Lx]十 [y]=[x]+[y]≤[x+y],故C正 确；对于D,由2[x]+[x]-1<0得 (2[x]-1)([x]+1)<0,解得-1< []<弓，结合取整画教的定义可得 {x0≤x<1},故D正确.故选BCD. (2)ABD对于A,根据狄利克雷函数 定义可知D(D(2)=D(1)=1, D(D(√2))=D(0)=1,故A正确.对 于B,易知函数f(x)=工十工的定 2x 义域为(-∞，0)U(0,十∞)，当x∈ (-0,0)时，f(x)=2,十=0：当 2x x∈(0，十o)时，f(x)= |x十x 2x 1,即函数f(x)= 」x十工的值域为 2x {0,1},故B正确.对于C,易知函数 D(x)的定义域关于原点对称，当x∈ Q时，一x∈Q,则D(-x)=1= D(x);当x庄Q时，一x年Q,则 D(-x)=0=D(x),即D(x)为偶函 数，故C错误.对于D,当x∈Q时，x十 1∈Q,此时D(x十1)=D(x)=1:当 xQ时，x十1任Q,此时D(x+1)= D(x)=0,故D正确.故选ABD. (3)BD令g(x)>f(x),即(x+ 1)2>x十1，解得x<-1或x>0,所 以可知M(x)=max{f(x),g(x)}= (x十1)2，x<-1或x>0, x十1，-1x0, 所以M(2)=(2+1)2=9,故A错误； 当Hx≥1时，M(x)=(x十1)≥ (1十1)2=4，故B正确；由M(x)=(2)已知函数f(x)的定义域为R,f(x一2)为 偶函数，f(x一1)为奇函数，当x∈[1,2]时， f)=ax+b,若f2)+f3)=7,则() A.f(x)在区间[0,1]上是增函数，且有最小 值-日 B.f(x)在区间[0,1]上是减函数，且有最大 值时 C.f(x)在区间[-2，一1]上是增函数，且有最 大值号 D.f(x)在区间[-2，一1]上是减函数，且有最 小值一司 听课记录 2.5 考试要求 理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、一元 必备知识回顾 教材回扣。 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)= (2)顶点式：f(x)=a(x-m)2十n(a≠0)，顶 点坐标为 (3)交点式：f(x)=a(x-x1)(.x-x2)(a≠ 0),x1x2为f(x)的零点. 第二章函数的概念与基本初等函数 规律总结 解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性 与对称性缩小自变量的取值范围或转换自变量所在 的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式： 【对点训练3】(1)已知定义在R上的函数f(x) 在（一∞，2]上单调递增，若函数f(x十2）为偶 函数，且f(3)=0,则不等式xf(x)>0的解 集为 () A.(0,3) B.(-∞，0)U(1,3) C.(-∞，0)U(3,+∞) D.(0,1)U(3,+∞) (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+ 6)=f(x),且y=f(x十3)为偶函数，若f(x) 在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是 ( A.f(-4.5)<f(3.5)<f(12.5) B.f(3.5)<f(-4.5)<f(12.5) C.f(12.5)<f(3.5)<f(-4.5) 029 D.f(3.5)<f(12.5)<f(-4.5) ,温馨提示0 学习至此，请完成课时作业9 二次函数 二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题 自主学习·基础回扣 2.二次函数的图象和性质 y =ax?+ba +cy=ax2+bx +c 函数 (a>0) (a<0) y↑ 图象（抛 物线) 2题内·讲与练·高三数学 续表 定义域 值域 「4ac-b2 ,+∞ o,4ac-b2 Aa Aa 对称轴 x 顶点 坐标 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非 奇偶性 偶函数 b 2a 上 在，- 2a 是 函数； 是函数 单调性 农 6 +∞）上在 a,+0 是 函数 上是 函数 回教材拓展 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向 和对称轴及给定区间的范围有关， 030 关键能力提升 考点1二次函数的解析式 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=一1， f(-1)=一1，且f(x)的最大值是8，则 f(x)= 听课记录 规律总结 求二次函数解析式的方法 三点坐标选用一般式 顶点坐标 已知 对称轴 选用顶点式 最大（小）值 与x轴两交点坐标 选用交点式 a>0, 2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则当 A<0 时，恒有f(x)>0;当 口<0时，恒有f(x)<0. △0 基础检测。— 1.判断（正确的画“√/”，错误的画“×”） (1)二次函数y=a.x2十b.x十c的图象恒在x轴 下方，则a<0且△<0. () (2)若二次函数y=ax2十b.x十c的两个零点确 定，则二次函数的解析式确定 () (3)二次函数y=a.x2十bx+c(x∈[m,n])的 值定是。 () 2.函数y=x2一2x+4的最小值为 3.已知f(x)为二次函数，若f(x)在x=2处取得 最小值一4，且f(x)的图象经过原点，则函数解 析式为 4.若函数f(x)=4x2一kx一8在[5,20]上单调， 则实数k的取值范围为 互动探究·考点精讲 【对点训练1】已知f(x)是二次函数且满足 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,则函数f(x) 的解析式为 考点2二次函数的图象 【例2】（多选）二次函数y=a.x2十bx+c的图象 如图所示，则 ( A.a+b+c<0 B.a+c<b C.abc<0 D.b2<4a(c+4a) 听课记录 4规律总结 研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进 行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象 上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点； “一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线 的开口方向 【对点训练2】（多选）设abc<0,则函数y= ax2十bx十c的图象可能是 考点3二次函数的最值 【例3】已知函数f(x)=x2十4ax. (1)若f(x)在区间[1,3]上具有单调性，求实 数a的取值范围； (2)求f(.x)在区间[a,a+1]上的最小值 g(a). 听课记录 第二章函数的概念与基本初等函数 规律总结 闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点 一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和抛物线的 顶点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单 调性及分类讨论的思想求解 【对点训练3】已知函数f(x)=x2十(1一 2a)x+4(a∈R). (1)若函数f(x)在[2，十∞)上单调递增，求a 的取值范围。 (2》是否存在实数，使得函数e一)在区 间[-1,1]上的最小值为一2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由。 031 温馨提示0 学习至此，请完成课时作业10