2.4 函数的对称性及应用-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

2题闪·讲与练·高三数学 A.[-4,0] 4规律总结 B.[-4,0) 1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目 C.[-4,-1)U(-1,0] 特征及周期的定义，求出函数的周期， D.[-4,-1)U(-1,0) 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、 考点3函数的周期性及应用 求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上， 进而解决问题， 【例4】(1)(2024·山东青岛一模)若Hx∈R, f(x)+f(x+3)=1-f(x)f(x+3), 【对点训练3】(1)(2024·贵州六盘水三模)定义 f(-1)=0,则f(2024)的值为 在R上的奇函数f(x),满足f(x+3)=f(1 A.2 B.1 x),x∈[0,2]时，f(x)=me-1,则f(31)= C.0 D.-1 () (2)设f(x)是定义在R上以2为周期的奇函 A.e+1 B.e-1 数，当x∈[0,1)时，f(x)=log2(x+1),则函 C.1-e D.-e 数f(x)在[4,6]上的解析式是 (2)(2024·安徽合肥模拟)若定义在R上的函 听课记录 数f(x),满足2f(x十y)f(x-y)=f(2x)+ f(2y),且f(1)=-1,则f(0)十f(1)+ f(2)+…+f(2024)= () A.0 B.-1 C.2 D.1 026 温馨提示0 学习至此，请完成课时作业8 2.4函数的对称性及应用 考试要求 掌握一些函数的轴对称和中心对称公式和推论，会利用函数的对称性解决相关问题. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣 f(x)满足f(a-x)=-f(a十x),则函数的图 象关于点 对称 1.奇函数、偶函数的对称性 3.两个函数图象的对称 (1)奇函数关于 对称，偶函数关于 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称. 对称. (2)若f(x十a)是偶函数，则函数f(x)图象的 (2)函数y=f(x)与y=一f(x)的图象关于 对称轴为 ;若f(x十a)是奇函数，则 对称。 函数f(x)图象的对称中心为 (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 2.若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a十x),则 对称. 函数的图象关于直线x=a对称；若函数y= 第二章 函数的概念与基本初等函数 基础检测。 2.函数f(x)=x十1 2 图象的对称中心为( 1.判断（正确的画“√”，错误的画“×”） A.(0,0) B.(0,1) (1)函数y=f(x十1)是偶函数，则函数y= C.(1,0) D.(1,1) f(x)的图象关于直线x=1对称. ( 3.(人教A版必修第一册P87T13改编)已知函数 (2)函数y=f(x一1)是奇函数，则函数y y=f(x+2)一3是奇函数，且∫(4)=2，则 f(x)的图象关于点(1,0)对称. f(0)= (3)若函数f(x)满足f(x-1)+f(x+1)= 4.若偶函数y=∫(x)的图象关于直线x=2对称， 0,则f(x)的图象关于y轴对称 且当x∈[2,3]时，f(x)=2x-1,则f(-1)= (4)若函数f(x)满足f(2十x)=f(2-x),则 f(x)的图象关于直线x=2对称. 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1函数的对称性 特别地，当a=b,即f(a十x)=f(a-x)或 【例1】(2024·新课标I卷T18节选)已知函数 f(x)=f(2a一x)时，y=f(x)的图象关于直线 f(x)-In2-z 。x十ax+b(x-1)°，求证：曲线 x=a对称. (4)若函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)= y=f(x)是中心对称图形 2b,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称. 吧听课记录 特别地，当b=0,即f(a+x)+f(a-x)=0或 f(x)+f(2a一x)=0时，y=f(x)的图象关于点 027 (a,0)对称. (5)函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b x)的图象关于直线x=6,对称。 2 特别地，当a=b时，函数y=f(a+x)的图象 与函数y=f(a一x)的图象关于直线x=0对称. 考教衔接 对称的充要条件 1.教材母题：（人教A版必修第一册P87T13) 我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成 中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇 函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x) 的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条 规律总结 件是函数y=f(x+a)一b为奇函数. 对称性的五个常用结论 (1)求函数f(x)=x3一3x2图象的对称中心； (1)y=f(x+a)是偶函数台f(a+x)=f(a x)台y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图 (2)y=f(x十a)是奇函数台f(a十x) 象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y= 一f(a一x)台y=f(x)的图象关于点(a,0)对称. f(x)为偶函数”的一个推广结论. (3)若函数y=f(x)满足f(a十x)=f(b 2.上述问题中第(2)题的结论为：函数y=f(x)的 x),则y=fr)的图象关于直线x=a十对称。 图象关于直线x=C成轴对称图形的充要条件是 2 函数y=f(x十c)为偶函数. 红圈内·讲与练·高三数学 3.对于锅1，由f(x)=1血2乙十az+b(x-1), 考点2对称性与周期性 【例2】(2024·江苏南通三模)已知函数f(x)的 可知yz十D-a三n十ax+a为 定义域为R,且f(x十1)为偶函数，f(x+ 奇函数，故据教材结论可知，曲线y=f(x)关于 2)一1为奇函数.若f(1)=0,则∑f(k)= 点(1，a)成中心对称. 【典例】（多选）已知函数y=f(x)的图象关于 点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数 A.23 B.24 C.25 D.26 y=f(x十a)-b为奇函数，函数y=f(x)图 听课记录 象关于直线x=c成轴对称图形的充要条件是 函数y=f(x十c)为偶函数，则 A.函数f(x)= x2一2x的图象有对称轴 x2-2x十2 区西放子)兰二气的图聚无对将销 C.函数f(x)=x3一3.x2图象的对称中心是点 规律总结↓ 1.若函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=a, (1,-2) x=b,则其周期T=2b-a. D.若函数f(x)=x3一3.x2,则f(-2022)+ 2.若函数y=f(x)图象的对称中心为点(a, f(-2023)+f(2024)+f(2025)=-8 0),(b,0),则其周期T=21b-a. 听课记录 3.若函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=Q, 028 对称中心为点(b,0),则其周期T=4b一a. 【对点训练2】(1)(2024·河北石家庄模拟)已知 f(x)是周期为3的函数，且Hx∈R都有 f(3.x)+f(4-3x)=4,则f(2024)= 【对点训练1】(2023·全国乙卷理T21节选)已 A.-4B.-2C.2 D.4 知函数fu)=(侵+a)ln1+x),是否存在 (2)(2024·山东济南二模)已知函数f(.x)的 a6,使得曲线y=f(日)关于直线r-6对称？ 定义域为R,若f(-x)=-f(x),f(1十x)= f(1-x),则f(2024)= () 若存在，求a,b的值；若不存在，说明理由. A.0 B.1 C.2 D.3 考点3周期性、单调性与对称性 【例3】(1)（多选）若函数f(x)是定义在R上的 奇数侣-)层-小在引 上单调递增，则 A.f(0)=0 B.f(x)在 ?0上单调递减 C.f(x)的周期为2π D.f(x)在 2, 上单调递减 第二章函数的概念与基本初等函数 讲 (2)已知函数f(x)的定义域为R,f(x一2)为 规律总结 偶函数，f(x一1)为奇函数，当x∈[1,2]时， 解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性 fx)=ax+6,若f2)+f8)=号，则( 与对称性缩小自变量的取值范围或转换自变量所在 的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式 A.f(x)在区间[0,1]上是增函数，且有最小 【对点训练3】(1)已知定义在R上的函数f(x) 值-2 在（一∞，2]上单调递增，若函数f(x十2）为偶 B.f(x)在区间[0,1]上是减函数，且有最大 函数，且f(3)=0,则不等式xf(x)>0的解 值 集为 () A.(0,3) C.f(x)在区间[-2，一1]上是增函数，且有最 B.(-∞，0)U(1,3) 大值) C.(-o∞，0)U(3,+∞) D.(0,1)U(3,+∞) D.f(x)在区间[-2，一1]上是减函数，且有最 (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x十 小值一司 6)=f(x),且y=f(x十3)为偶函数，若f(x) 必听课记录 在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是 ( A.f(-4.5)<f(3.5)<f(12.5) B.f(3.5)<f(-4.5)<f(12.5) C.f(12.5)<f(3.5)<f(-4.5) 029 D.f(3.5)<f(12.5)<f(-4.5) 温馨提示0 学习至此，请完成课时作业9 2.5二次函数 考试要求 理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题 必备知识回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 2.二次函数的图象和性质 y ax?+bx +cy=ax?+bx+c 1.二次函数解析式的三种形式 函数 (a>0) (a<0) (1)一般式：f(x)= y↑ y (2)顶点式：f(x)=a(x-m)十n(a≠0)，顶 点坐标为 图象（抛 (3)交点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠ 物线) 0),x1x2为f(x)的零点.F(-x)=f(-x)十g(-x)= -f(x)十g(x)≠-f(x)-g(x)= 一F(x),故错误；对于B,x∈R,设 N(x)=f(x)-g(x),N(-x)= f(-x)-g(-x)=-f(x) g(x)≠f(x)-g(x)=N(x),故错 误；对于C,x∈R,g(x)≠0，设 M(.x)= -- g(-x) f(x) =一M(x)≠M(x),故错 g(x) 误；对于D,x∈R,设H(x)= f(x)g(x),H(-x)= |f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)= f(x)g(x)=H(x),所以H(x) 为偶函，数，故正确.故选D. 例2(1)C 当x>0时，一x<0,则 f(-x)=a2(-x)-1=-x-a= -f(x),则 解得a=1, 此时f(x)={1 0,当x<0 >0. 时，一x>0,所以f(一x）=一x十 1=一(x一1)=一f(x),符合题意. 所以a=1.故选C. (2)C设x>0,则一x<0,所以 f(-x)=(3)=2,又画教f(x) 是奇函数，所以f(一x)=一f(x), 即-f(x)=2→f(x)=-2,x> 0,即g(x)=一2.故选C. 例3(1)A因为f(x)是偶函数，所以 f(-√7)=f(W7),f(-3)=f(3),又 因为当x∈[0，十∞)时，f(x)是增函 数，所以由√7<3<π可得f(π)> f(3)>f(√7)，即f(π)>f(-3)> f(-√7).故选A (2)C由题意知f(2)=4a=8,解得 a=2,所以f(x)=2xx,其在R上 单调递增，又因为f(一x)= -2x-x =-2xx=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数，9f(x)= f(3x),所以不等式9f(x)十f(4 x2)<0可化为f(3x)<-f(4- x2)=f(x2-4),于是3x<x2-4, 即x2-3x-4>0,解得x>4或 x<-1.故选C 对点训练2(1Af)=号e 1=og2-1=号× 、号，国为∫(x)为定义在R上的奇 函教，所以f-酒)=-f)=号 故选A (2)C函数f(x)=logx-x2的 定义域为{x|x≠0，且f(-x)= log2 -x-(-z)2=loge I z- x2=f(x),所以f(x)=log2x一 x2为偶函数，当x>0时f(x)= log2x-x2,因为y=log2x与y= 一x-2在(0，十∞)上单调递增，所以 f(x)=log2x-x2在(0，十o∞)上单 调递增，则f(x)在(-∞，0)上单调递 减，不等式f(x-2)≥f(2x+2),即 f(|x-2)≥f(2x+2),等价于 1x-2≥2x+21, x-2≠0， 解得一4 2x十2≠0， x<一1或一1<x≤0，所以不等式的 解集为[-4，-1)U(-1,0].故选C. 例4(1)B由题意知Hx∈R,f(x)十 f(x+3)=1-f(x)f(x+3), f(-1)=0,令x=-1,则f(-1)十 f(2)=1-f(-1)f(2),.f(2)=1, 显然f(x)=一1时，-1十f(x十3)= 1+f(x+3)不成立，故f(x)≠-1， 1-f(x) 故fx+3)=1+f,则fx+ 1-f(x) 1一1+fx） 6)= 1+1f =f(x),即6为函 1+f(x) 数f(x)的周期，则f(2024)= f(337×6十2)=f(2)=1.故选B. log2(x-3),x∈[4,5)， (2)f(x)= 0,x=5, -log2(7-x),x∈(5,6] 解析：因为f(x)是定义在R上以2为 周期的奇函数且x∈[0,1)时， f(x)=log(x十1)，设x∈[4,5)，则 x-4∈[0,1)，所以f(x)=f(x 4)=log2(x-3);设x∈(5,6]，则x一 6∈(-1,0]，-(x-6)∈[0,1)，故 f(x)=f(x-6)=-f[-(x- 6)]=-log,(6-x+1)=-log2(7- x),又f(5)=f(1)=f(-1)= 一f(1),所以f(5)=0.综上可得，函 数f(x)在[4,6]上的解析式是 log2(x-3),x∈[4,5)， f(x)= 0,x=5, -log2(7-x),x∈(5,6]. 对点训练3(1)C因为定义在R上的奇 函数f(x),满足f(x十3)=f(1 x),所以f(x十3)=f(1-x)= -f(x-1)=-f(x-4+3)= -f[1-(x-4)]=-f(5-x)= f(x-5),故f(x)的周期为8，当x∈ [0,2]时，f(x)=me-1,则f(0)= m一1=0，所以m=1,所以f(31)= f(-1)=-f(1)=1-e.故选C. -441- (2D令x=y=子则有 2f(1)f(0)=f(1)+f(1),又f(1)= 1 -1f(0)=1.令x=2y=0,则 有2f(3)f(3)=f1)+f0) -1+1=0f(分）=0.令y=x 3则有2(2x-)F(位) f2)+f2x-1D.r(2)=0, .f(2x)+f(2x-1)=0, .f(x)+f(x-1)=0,f(0)+ f(1)+f(2)+…十f(2024)=f(0)+ [f(1)+f(2)]+…+[f(2023)+ f(2024)]=1+1012×0=1.故 选D. 2.4函数的对称性及应用 必备知识回顾… 教材回扣 1.(1)原点 y轴(2)x=a(a,0) 2.(a,0) 3.(1)y轴(2)x轴(3)原点 基础检测 1.(1)√(2)×(3)×(4)/ 2B因为)==1+是由 x y=- 的图象向上平移1个单位长度 得到y=1十二的图象，又y=1的 图象关于点(0,0)对称，所以f(x)= 1十二的图象关于点(0,1)对称，故 选B. 3.4 解析：方法一由y=f(x十2)一3是 奇函数，.f(-x十2)-3=-f(x十 2)十3，令x=2,f(0)-3=-f(4)+ 3,得f(0)=4. 方法二由y=f(x十2)一3是奇函 数，得f(x)的图象关于点(2,3)对称， 故f(0)+f(4)=6,即f(0)=4. 4.5 解析：f(x)为偶函数，.f(一1)= f(1),由f(x)的图象关于直线x=2 对称，可得f(1)=f(3)=2×3-1= 5,所以f(-1)=5. …关键能力提升… 例1证明：证法一易知x∈(0,2)， f(2-x)+f(x)=In 2-工+a(2 x)+b1-x)P+ln2-z+ax十 b(x-1)3=2a, 参考答案“☑。 所以f(x)的图象关于点(1，a)中心对 称，即曲线y=f(x)是中心对称 图形. 证法二f)=n2产十ar十 b(x-1)的定义域为(0,2)， f(1+x)+f(1-x)= 1十x ln2-1十x+a1+x)+b1+x 1-x 1)+In2-a-n+a1-)+ 1-x-1)=n}+x+a1+x)+ 1-x n}-z+a1-x)-ba3= bz'+In ln1+2a=2a, 因此f(x)的图象关于点(1，a)对称， 所以曲线y=f(x)是中心对称图形. 【考教衔接】对称的充要条件 典例ACD因为函数f(x) x2-2x 的定义域为R,而f(x十 x2-2.x+2 十为偶函数，所以画数 f(x)=-2x 的图象有对称 x2-2x+2 轴，即直线x=1,A正确，B错误；因为 函数f(x)=x3-3x2=(x-1)3 3(x一1)一2的定义域为R,而y= f(x十1)十2=x3-3x为奇函数，所 以函数f(x)=x3-3x2图象的对称中 心是点(1，一2)，C正确；因为函数 (x)=x3一3.x2图象的对称中心是点 (1,-2),所以f(x)十f(2-x)=一4，故 f(-2022)+f(-2023)+f(2024)+ f(2025)=-8,D正确.故选ACD. 对点训练1解：假设存在a,b,使得曲线 y=()关于直线x=b对称。 令gx)=f(）】 =(x+a)n1十 ）=x+an1, x 因为曲线y=g(x)关于直线x=b对 称，所以g(x)=g(2b-x), 即(x+aln土1_ x (2b-x+a)n26,x十1 26-x x-2b (x-26-a)ln :-26-1' a= 于是a二-2弘-a“得 2 1=-2b, b=- 2 当a=b=时g(x)=(x 2)n1+）g-1-x 红对勾·讲与练·高三数学 (+2）1中1 (e+号)(1+)=ge. 所以曲线y=g(x)关于直线x= 一子对称满足题查 故存在a6,使得曲线y=f(） 于直线x=b对称，且a= 6 、1 2 例2Cf(x十1)为偶函数，则f(x十 1)=f(-x十1)，则f(x)的图象关于 直线x=1对称，f(x十2)一1为奇函 数，则f(-x十2)-1=-f(x十2)十 1,即f(-x十2)十f(x十2)=2，则 f(x)的图象关于点(2,1)对称，则由 其关于直线x=1对称有f(x)= f(-x十2)，则f(x)十f(x十2)=2， 则f(x十2)十f(x十4)=2，作差有 f(x)=f(x十4)，所以f(x)为周期 函数，且周期为4，因为f(1)十f(3)= 2,f(1)=0,则f(3)=2,因为f(0)= f(2),f(0)十f(2)=2,则f(0)= f(2)=1,f(4)=f(0)=1,则f(1)十 f(2)+f(3)+f(4)=4,所以 2)=22=24+9 1=25.故选C. 对点训练2(1)C由已知f(3x)十 f(4-3x)=4,即f(x)+f(4-x)= 4,令x=2,可知f(2)十f(2)=4,即 f(2)=2,又函数f(x)的周期为3，则 f(2024)=f(2)=2.故选C. (2)A因为f(1十x)=f(1-x),所 以f(1十(1+x)=f(1-(1十x), 即f(2+x)=f(-x),又f(-x)= 一f(x),函数f(x)的定义域为R,所 以∫(x)是定义域为R的奇函数，所以 f(0)=0,f(x)=-f(2十x),所以 f(2十x)=-f(4十x),故f(x)= -f(2十x)=f(4+x),所以f(x) 是以4为周期的周期函数，所以 f(2024)=f(506×4十0)=f(0)= 0.故选A. 例3(1)ACD对于A,因为函数f(x) 是定义在R上的奇函数，所以f(0)= 0,A正确；对于B,因为f(x)为奇函 数，f(z)在0，牙上单调递增，所以 )在[音刘上单满好，B储 -442- 误：对于D,因为f(空-x） f(乏十x),所以f(x)的图象关于直 线工=对称，又因为f()在 ,引]上单调递指，比f)在 [臣]上单拥造减D正痛：对于C f(受+x）=f(受-x）,则fx) f(π-x),又f(x)=-f(-x),所以 f(π-x)=一f(一x),即f(π十x) 一f(x),所以f(x十2π)=f(x),结 合f(x)的单调性可知f(x)的周期 T=2π，C正确.故选ACD. (2)A因为f(x一2)为偶函数，所以 f(x一2)=f(-x-2)①，且函数 f(x)的图象关于直线x=一2对称， 又f(x一1)为奇函数，所以一f(x 1)=f(-x一1)②，且函数f(x)的图 象关于点（一1,0）中心对称，所以有 -f(x)=f(-x-2)=f(x-2)→ f(x)=f(x十4)，即f(x)的一个周 期为T=4,令x=0代入②得 f(-1)=0=3).即2)=号令 x=3代入①得f(1)=f(-5)= a十b=0, f(3)=0,所以 1解得 2a十b=2: 1 a2' 1 所以fx)=- b=一2 (x∈[1,2])， 4 23-2-1123 2 如图所示，根据函数的对称性与周期 性可知，f(x)的图象关于直线x=2 对称，关于点(3,0)中心对称，可得 f(x)在区间[-4,4]的图象，易知 f(x)在区间[0,1]上是增函数，且有 最小值f(0)=-f(-2)=-f(2)= 厂三，故A正确，B错误；∫(x)在区间 [-2,一1]上是减函数，且有最大值 -2)=2)=号最小值K-1D= 0,故C,D均错误.故选A. 对点训练3(1)B由函数f(x十2)为 偶函数，可知函数f(x)的图象关于直 线x=2对称，又函数f(x)在（一∞， 2]上单调递增，知函数f(x)在 (2,十∞)上单调递减，由∫(3)=0，知 f(1)=0,作出函数f(x)的大致图 象，如图 1x=2 由图可知，当x<0时，f(x)<0,则 xf(x)>0;当0<x<1时，f(x)< 0,则xf(x)<0;当1<x<3时， f(x)>0,则xf(x)>0:当x>3时， f(x)<0,则xf(x)0.所以不等式 xf(x)>0的解集为(-∞，0)U(1, 3).故选B. (2)B由f(x十6)=f(x),可得f(x) 的一个周期为6，又y=f(x十3)为偶 函，数，(x)的图象关于直线x=3对 称，所以f(3.5)=f(2.5),f(-4.5)= f(1.5),f(12.5)=f(0.5).又f(x) 在(0,3)内单调递减，所以f(3.5) f(-4.5)<f(12.5).故选B. 2.5二次函数 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)a.x2+bz+c(a≠0)(2)(m,n) 2.R-2a b 4ac-b （2a 减 增增减 基础检测 1.(1)/(2)×(3)× 2.3 解析：y=x2-2x十4=(x一1)2+3， 故当x=1时，ym=3. 3.f(x)=x2-4x 解析：由题意，可设f(x)=a(x一 2)2-4(a>0),又图象过原点，所以 f(0)=4a-4=0,解得a=1,所以 f(x)=(x-2)2-4=x2-4x. 4.(-∞，40]U[160,+∞) 解折：依题多知，合≥20或气≤5解 8 得k≥160或k≤40. 关键能力提升 例1-4.x2十4x十7 解析：方法一（利用“一般式”）设 f(x)=ax2十bx十c(a≠0). 4a+2b+c=-1, 由题意得a-6十c=一1， 4ac-b' =8, 、4a 1a=-4, 解得{b=4,所以所求二次函数的 c=7. 解析式为f(x)=一4x2十4x十7. 方法二（利用“顶，点式”）设f(x) a(x-m)十n(a≠0).因为f(2)= f(一1)，所以抛物线的对称轴为直线 x- 2十(-1)1 1 2 =2,所以m=2又 函数有最大值8，所以n=8,所以 f)=a(e-》”+8,因为 f2)=-1,所以a(2-）广+8- -1,解得a=-4,所以f(x)= -4(-)广+8=-4红+红+7 方法三（利用“交点式”）由已知 f(x)十1=0的两根为x1=2, x2=-1,故可设f(x)十1=a(x- 2)(x十1)(a≠0)，即f(x)=a.x2 ax-2a-1.又函数有最大值8，即 4a(-2a-1)-(-a)2 =8.解得 Aa a=一4或a=0(舍).故所求函数的解 析式为f(x)=-4x2十4x十7. 对点训练1f(x)=x2一x十1 解析：由题意，设f(x)=ax2十bx+ c(a≠0)，因为f(0)=1,即c=1,所 以f(x)=ax2+bx+1,所以f(x+ 1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+ 1]-(ax2十bx+1)=2a.x十a+b= 2x,从而有2二2。解得二1所 la+b=0, b=-1. 以f(x)=x2-x十1. 例2BCD由题意得a<0z=一2a 1,则b=-2a>0,当x=1时y= a十b十c>0,故A错误；当x=-1 时y=a一b十c<0,则a十c<b,故 B正确；当x=0时，y=c>0,则 abc<0,故C正确；设一元二次方程 ax2十bx十c=0的两根分别为x1, 22,由图象可知x1一x2=瓜 a √B=4ac<4,整理可得< a 4a(c十4a),故D正确.故选BCD. 对点训练2ABD函数y=ax2十bx十 b c的困象的对称轴为直线工=一2a,设 与x轴的两个交点的坐标分别为(x1, b 0),(x2,0),则x1十x2=- Q x1x:=￡，对于A,a<0,- b∠ 2a 0,-合<0，>0，则a<0.6<0 c<0,abc<0,符合题意；对于B, a<0,>0，>0<0. a -443- a<0,b>0,c>0,abc<0,符合题 忘：对于Ca>0,品<0名< a 0,￡>0，则a>0,b>0,c>0, .abc>0,不符合题意；对于D,a> 0,b0-6之0，>0，则a> 0,b<0,c>0,.abc<0,符合题意. 故选ABD. 例3解：(1)易知f(x)=x2十4ax的图 象开口向上，对称轴为直线x=-2a, 所以若f(x)在区间[1,3]上单调递 增，则需-2a≤1pa≥子 若∫(x)在区间[1,3]上单调递减，则 需-2a≥3→a≤- 3 2 综上，a的取值范围为（一∞，一 [+) (2)当a<-2a<a+1, 即a∈（←合o0)时， g(a)=f(-2a)=-4a2, 当-2a≤a,即a≥0时，g(a)= f(a)=5a2, 当-2a≥a十1，即a≤-号时， g(a)=f(a+1)=5a2+6a+1, -如，- <a<0, 综上g(a)=5a,a≥0， 5a2+6a+1a≤-3 对点训练3解：(1)因为二次函数的解析 式为f(x)=x2+(1-2a)x+ 子a∈R. 所以f(x)图象的对称轴为直线x= 2a-1且开口向上，即f(x)的增区间 2 为2+ 又函数f(x)在[2，十∞)上单调递增， 所以[2，十∞) [+可 得02≤2，解得a≤号 2 所以。的取值范国是(，]。 2②)令gx)=f(-)=（(x 2)广+1-2a(-2)- x2-2ax+a=(x-a)2-a2+a> -a2十a, 参考答案‘☑。