4.8 解三角形在实际问题中的应用-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

所以BP=BC-PC=14+23 3 4=2+23 3 对点训练3解：(1)由已知，得 2hcOs∠ABC=cOs∠BAC+csim∠BAC tan∠ACB 根据正弦定理，得 2sin∠ABCcos.∠ABC= sin∠ACBcos.∠BAC+ sin∠ACBsin∠BAC tan∠ACB 即2sin∠ABCcos∠ABC= sin∠BACcos.∠ACB+ cos∠BACsin∠ACB, 即2sin∠ABCcos∠ABC= sin(∠BAC+∠ACB)=sin∠ABC, 由于0<∠ABC<π，所以 sin∠ABC>0,所以cos∠ABC=2, 所以∠ABC=S· (2)因为S△ABC=S△ABD十S△BCD' 所以子acsin.∠ABC=BD·e· sin∠ABD+BD.a·sin∠CBD, 因为BD为∠ABC的平分线， 所以∠ABD=∠CBD= ∠ABC= 1 3 等aX2则5ac-22a+ 1、2√2 1 3 c),即ac= 2W6 a十c), 9 由余弦定理得b2=a2十c2 2 ac cos∠ABC,即16=a2+c2-ac, 所以16=(a十c)2-3ac=(a+c)2 25(a十c),解得a十c=25或a+ 3 c=二45（舍）， 3 故△ABC的周长为2√6+4. 4.8解三角形在实际 问题中的应用 必备知识回顾 基础检测 1.(1)/(2)×(3)/(4)× 2.D由条件及题图可知，△ABC为等 腰三角形，所以∠BAC=∠ABC 40°，又∠BCD=60°，所以∠CBD= 30°，所以∠DBA=10°，因此灯塔A在 灯塔B的南偏西80°方向上.故选D. 3.B由题意可得PQ=√2OP,MQ 2MN=80(来)∠PMQ=至，则 以对勾·讲与练·高三数学 ∠MPQ=x-年-(x--)= 石在△PMQ中，由正孩定理可得 MQ PQ 80 ,即 1 =E0P,解得 sin 6 sin4 2 2 OP=80米.故选B. 4.C由余弦定理可得AB= √AC2+BC2-2AC·BC·cOsC= 1 √9+16-2×3×4×2 √13(km).故选C. 关键能力提升 例1D如图，依题 北 意设炮弹第一次命 ,东 中点为C,则AB= M 14千米，AC= BC AM=18 千米，∠CBA= ∠CAB=0, B ∠MAB= 2,在△ABC中，BC2白 AC2+AB2-2AC·ABcos0,即182 142+182-2×14×18c0s0,解得 cos9=18,所以c0s9=2cos 7 2 7 8 1=18,又9为锐角，解得0s 号（负值已合去）.在△ABM中，BM AM+AB-2AM·ABco2=18+ 5 14-2×18×14×后=100，所以 BM=10千米，即B炮台与弹着点M 的距离为10千米.故选D. 对点训练1B由题意知AB=√2 n mile, ∠BAC=45°，∠BCA=30°.由正弦定理 AB BC 得，sn2CA=sin/BAC,所以BC= AB sin/BCA·sin∠BAC sin30sin45°= 2 n mile..故乙船前往营救遇险渔船时 需要航行的距离为2 n mile,.故选B. 例220wW6 解析：因为CD=20m,∠BDC= 135°，∠BCD=15°，所以∠CBD 180°-135°-15°=30°，由正弦定理得 CD sin∠CBD sin∠BC,即20-BC BC 1√2 22 解得BC=20√2m,在Rt△ABC中， ∠ACB=60°，所以AB=BCtan60°= 20√6(m),故塔高AB=20√6m 对点训练2204 解析：设OA=h米，因为在点B处测 -472- 得点A的仰角为日，所以验=2，所以 OB OB-冬未.周为在点C处测得点A的 仰角为45°，所以OC=h米.由余弦定 理，可得BC2=OB2+OC2-2OB· 0C.e0s∠B0C,即102×7=72+ 乙，解得h=204. 例3D在△ADP中，由正弦定理可得 AP=ADsin135°=25E(m),在 sin30° Rt△ABP中，易知AB=25V2cos(0+ 15°)m,PB=25√2sin(0十15°)m,则 tan a=sin 25v2sin(0+15)-10 cos 0 25√2cos(0+15) 整理可得cos日= 15-2× 5v2 2 6-区_55-5.故选D. 4 4 对点训练3A如图 D 所示，由题意有 DE=AB=BC= 楼高 60米，∠DAE= A--- ∠DBE=45°，则有 AE=BE=AB= 60米，故∠EAB= 60°，则EC= √60+1202-2×60×120×c0s60°= 60√3（米），故DC= √602+(60√3)2=120（米），则sin0= sn∠DCE-瓷=子就选A 【高考创新方向多想少算】 例BCD当A,B两，点与旗杆底部不在 一条直线上时，就不能测量出旗杆的 高度，故A不正确；如图1，在△ABD 中，由正弦定理求AD,则旗杆的高 CD=h十ADsin3,故B正确：如图2， 在Rt△ADC中，直接求出旗杆的高 DC=ACtan a,故C正确；如图3，在 △ABD中，由正弦定理求AD,则旗杆 的高CD=ADsin a,故D正确.故 选BCD. 0 0 h B 图1 图2 D B B A 5m 图32勾·讲与练·高三数学 规律总结 角平分线的相关结论 如图，在△ABC中，AD平 分∠BAC,∠BAC,∠ABC, ∠ACB所对的边分别为a,b,c. 】 (1)内角平分线定理： 部瓷能肥 (2)等面积法： S△ABC=S△ABD十S△AC→ 多AB X ACx Sn∠BAC=AB X AD X sin∠BAC+，AC〉 2 2 AD X sin ZBAC, (3)角形式： ∠ADB+∠ADC=π→cOS∠ADB+ cos∠ADC=0. 在△ADB中，cOs∠ADB= DA2+DB2-AB2 2DA X DB DA2+DC2-AC2 104 在△ADC中，cos∠ADC= 2DA×DC 4.8 解三角形在 考试要求 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决 必备知识回顾 教材回扣○ 测量中的几个有关术语 术语 术语意义 图形表示 名称 在目标视线与水平视 线（两者在同一铅垂 目标 视线 仰角与 平面内)所成的角 铅 中，目标视线在水平 仰角 水平 俯角 义俯角 视线 视线上方的叫做仰 、目标 角，目标视线在水平 视线 视线下方的叫做俯角 【对点训练3】(2024·黑龙江哈尔滨二模)在 △ABC中，∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分 别为a,b,c,已知b=4,2bos∠ABC= COS∠BAC+ sin∠BAC tan∠ACB (1)求∠ABC的大小： (2)已知BD为∠ABC的平分线，且与AC交 于点D,若BD-2,求△AC的周长。 温馨提示0 学习至此，请完成课时作业31 实际问题中的应用 些与测量和几何计算有关的实际问题」 自主学习·基础回扣 续表 术语 术语意义 图形表示 名称 从某点的指北方向线 起按顺时针方向到目 北 标方向线之间的夹角 方位角 135°东 叫做方位角，方位角 0的范围是0°≤0< A 360° 续表 术语 术语意义 图形表示 名称 正北或正南方向线与 例： 目标方向线所成的锐 北1 北1 方向角 东 东 角，通常表达为北 (南)偏东（西）a 北偏东α 南偏西α 坡面与水平面所成的 锐二面角叫做坡角(0 坡角与 为坡角)；坡面的垂直 坡比 高度与水平长度之比 叫做坡比（坡度），即 h i tan 基础检测。 1.判断（正确的画“/”，错误的画“X”) (1)西南方向与南偏西45°方向相同.() (2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的 角其范周为0》】 (3)方位角是从正北方向线起按顺时针转到目 标方向线之间的水平夹角 () (4)若从A处望B处的仰角为a,从B处望A处 的俯角为3，则a,3的关系为a十3=180°. 2.(人教A版必修第二册P51T3改编)如图所示， 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等， 灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观 察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的 ( 关键能力提升 考点1测量距离问题 【例1】(2024·山东临沂一模)在同一平面上有 相距14千米的A,B两座炮台，A在B的正东 方，某次演习时，A向北偏两-0方向发射炮 第四章 三角函数、解三角形 讲· i609 西 南 A.北偏东10°方向上B.北偏西10°方向上 C.南偏东80°方向上D.南偏西80°方向上 3.(人教A版必修第二册P49例10改编)新疆国际 大巴扎丝绸之路观光塔是乌鲁木齐的地标性建 筑.如图，某同学为测量观光塔的高度OP,在观 光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物 MN,在地面上点Q处(O,Q,N三点共线且在 同一水平面上)测得建筑物MN的顶部M的仰 角为，测得观光塔的顶部P的仰角为干，在建 筑物MN的顶部M处测得观光塔的顶部P的仰 角为2·则观光塔的高OP为 π 105 A.40√2米 B.80米 C.80√2米 D.405米 4.(人教A版必修第二册P49 例9改编)如图，在高速公路 建设中，要确定隧道AB的 长度，工程人员测得隧道两 B 端的A,B两点到点C的距 离分别为AC=3km,BC=4km,且∠ACB= 60°，则隧道AB的长度为 A.3 km B.4 km C.√13km D.√/17km 互动探究·考点精讲 弹，B向北偏东-0方向发射炮弹，其中0为 锐角，观测回报两炮弹皆命中18千米外的同一 目标，接者A改向向北偏西受一号方向发射炮 2对勾·讲与练·高三数学 弹，弹着点为18千米外的点M,则B炮台与弹 着点M的距离为 A.7千米 B.8千米 C.9千米 D.10千米 听课记录 4规律总结 距离问题的解题思路：这类实际应用题，实质就 是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定 106 理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意 图，然后将问题转化为三角形问题去求解， 注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三 角形及正、余弦定理要恰当 【对点训练1】(2024·北 B 吉林长春二模)如 东15 图，位于某海域A 609 处的甲船获悉，在 其北偏东60°方向的C处有一艘渔船遇险后抛 锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲 船北偏东15°且与甲船相距√2 n mile的B处的 乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么 乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为 A.√2 n mile B.2 n mile C.2√2 n mile D.3√2 n mile 考点2测量高度问题 【例2】(2024·宁夏银川三模)如图，某同学为测 量塔的高度AB,选取了与塔底B在同一水平 面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD三 15°，∠BDC=135°，CD=20m,在点C测得塔 顶A的仰角为60°，则塔高AB= m. 听课记录 一规律总结 高度问题的易错点 (1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处 理，从而致错 (2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把 握不准已知条件而致错」 【对点训练2】(2024·广东湛江二 模)财富汇大厦坐落在广东省湛江 市经济技术开发区，是湛江经济技 术开发区的标志性建筑，同时也是 已建成的粤西第一高楼.如图，为 B 测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一 个最高点A,点A在大厦底部的射影为点O, 两个测量基点B,C与O在同一水平面上，他 测得BC=102√7米，∠BOC=120°，在点B处 测得点A的仰角为0(tan0=2),在点C处测 得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度 OA- 米 考点3测量角度问题 【例3】如图，某校学生参加课外实践活动“测量一 土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC= 15°，沿土坡向坡顶前进25m后到达D处，测 得∠PDC=45°.已知旗杆CP=10m,PB⊥ AB,土坡对于地平面的坡角为0，则cos0= () 15° 459C D B A.2-1 B.√5-1 C.5E-5 D.53-5 4 4 听课记录 4规律总结 角度问题的解题方法 在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再 根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一 步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法 解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联 袂”使用的优点 【对点训练3】公路北侧有一幢楼，高为60米，公 路与楼脚在同一水平面上.某人在点A处测得 楼顶的仰角为45°，他在公路上自西向东行走， 行走60米到点B处，测得楼顶的仰角为45°，沿 该方向再行走60米到点C处，测得楼顶的仰角 为0.则sin0= () A司 B.3 C.-2 n- 第四章 三角函数、解三角形 高考创新方向 多想少算 【例】（多选）(2024·甘肃兰州模拟)某学校开展 测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建 立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在 以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗 杆高度的方案有 ( ) A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测 量旗杆顶端的仰角α，3，再测量A,B两点 间距离 B.在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得 建筑物的高度为h,在该建筑物底部和顶部 分别测得旗杆顶端的仰角α和β C.在地面上任意寻找一点A,测得旗杆顶端的 仰角α，再测量A到旗杆底部的距离 D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角 a,正对旗杆前行5m到达B处（旗杆底部， A,B在一条直线上)，再次测量旗杆顶端的 仰角3 听课记录 107 创新解读 本题的设计背景来源于人教A版必修第二册 P49例10.设计方案测量物体高度，需要注意不同 方案的限定条件，在学习过程中要重视教材，复习 阶段要从教材例题出发，落实“引导学生在解决实 际问题的过程中建构知识、培养能力、提升素养” 的要求。 温馨提示) 学习至此，请完成课时作业32