2.3 函数的奇偶性、周期性-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

听课记录 4规律总结1 1.比较函数值的大小时，先转化到同一个单调 区间内，然后利用函数的单调性解决. 2.求解函数不等式时，由条件脱去“f”,转化为 自变量间的大小关系，应注意函数的定义域. 3.求参数的值（范围）时，根据单调性直接构建 参数满足的方程（组）（不等式（组）)或结合图象求 解.对于分段函数，要注意衔接点的取值 【对点训练3】()已知函数fx)=gx-(?) f(m)=1,且0<p<m<n,则 A.f(n)<1且f(p)>1 B.f(n)>1且f(p)>1 C.f(n)>1且f(p)<1 D.f(n)<1且f(p)<1 2.3函数的 考试要求 1.了解函数的奇偶性、周期性的概念和几何意义. 2.掌握函数的奇偶性、周期性的简单应用. 必备知识回顾 教材回扣。 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 般地，设函数f(x)的定义域 关于 为D,如果Hx∈D,都有 偶函数 x∈D,且 ,那么函 对称 数f(x)就叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域 关于 为D,如果Hx∈D,都有 奇函数 x∈D,且 ,那么函 对称 数f(x)就叫做奇函数 第二章函数的概念与基本初等函数 (2)(2024·新课标I卷)已知函数f(x)= -x2-2a.x-a,x<0, 在R上单调递增，则 er+ln(x+1),x≥0 a的取值范围是 ) A.(-∞，0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) (3)(2024·陕西西安模拟)已知函数f(x)= 1 2r1,x<0, 则不等式f(a2-1)>f(3)的 1 (x+2x≥0， 解集为 A.(-2,2) B.(0,+∞) C.(-o∞，0) D.(-∞，-2)U(2,+∞) -温馨提示0 学习至此，请完成课时作业7 023 奇偶性、周期性 自主学习·基础回扣 2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域 为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个 x∈D都有x十T∈D,且 ,那么 函数y=∫(x)就叫做周期函数，非零常数T叫 做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数∫(x)的所有 周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期， 教材拓展 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调 性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 2烟内·讲与练·高三数学 2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任意自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0) (2)若f(x+a) fr)则T=2a(a>0. 基础检测 o 1.判断（正确的画“/”，错误的画“X”) (1)函数y=x2在(0，十∞)上是偶函数. ( (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)=0 ( (3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n Z,n≠0)也是函数f(x)的周期. 关键能力提升 考点1函数奇偶性的判断 【例1】判断下列函数的奇偶性： 024 (1)f(x)=√3-x2+√x2-3; x2+x,x<0, (2)f(x)= -x2+x,x>0: (3)f(x)=log2(x+√x2+1). 必听课记录 (4)对于函数y=f(x),若存在x,使f(一x)= -f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.（) 2.(多选)（人教A版必修第一册P84例6改编）给 出下列函数，其中是奇函数的有 () A.f(x)=x B.f(x)=x c)=r+ n5x)= 3.(人教A版必修第一册P86T11改编)若f(x) 是奇函数，且当x>0时，f(x)=1一√x,则当 x<0时，f(x)= 4.设f(x)是以2为最小正周期的周期函数，且当 x∈[0,2]时，f(x)=(.x-1)2,则f(5)= 互动探究·考点精讲 规律总结 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 确定定 定义域 否 既不是奇函数， 义域 关于原点对称 也不是偶函数 是 f(-x)=f(x) 偶函数 判断f(-x)与 fx)的关系 f(-x)=-f(x) 奇函数 既不是 f(-x)≠fx) 奇函数 且f-x)≠-fx) 也不是 偶函数 (2)图象法 关于原点对称 fx)为奇函数 fx)的图象 关于y轴对称 fx)为偶函数 (3)性质法 在公共定义域内有：奇士奇=奇，偶士偶=偶， 奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇. 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的前提条件。 【对点训练1】(1)(2024·天津卷)下列函数是偶 函数的是 ( ) A./(x)=c'-z2 x2+1 B.f(x)=cosx十x2 x2十1 C.f(x)=c"-z x+1 D.f(x）=sinx+4z (2)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上 的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是 A.f(x)十g(x)为R上的奇函数 B.f(x)一g(x)为R上的偶函数 C名为R上的闲西数 D.|f(x)g(x)|为R上的偶函数 考点2函数奇偶性的应用 命题角度1利用函数的奇偶性求值（解析式） 【例2】(1)(2024·河南开封二模)若函数f(x)= 1a2x-1,x<0 是奇函数，则实数a= x +a,x >0 A.0 B.-1C.1 D.土1 (2)(2024·江西景德镇三模)已知函数f(x)= x<0, 是奇函数，则x>0时，g(x) g(x),x>0 的解析式为 A.g(x)=- Bgx)=(号 C.g(x)=-2 D.g(x)=2 听课记录 命题角度2奇偶性与单调性 【例3】(1)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈ [0,十∞)时，f(x)是增函数，则f(-√7)， f(π)，f(一3)的大小关系是 () 第二章函数的概念与基本初等函数 A.f(π)>f(-3)>f(-√7) B.f(π)>f(-√7)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-√7) D.f(π)<f(-√7)<f(-3) (2)(2024·安徽安庆三模)已知函数f(x)= ax|x|的图象经过点(2,8)，则关于x的不等 式9f(x)+f(4一x2)<0的解集为() A.(-∞，-4)U(1,+∞) B.(-4,1) C.(-∞，-1)U(4,+∞) D.(-1,4) 听课记录 025 规律总结 函数奇偶性的应用 (1)求函数值或参数的取值，求解的关键在于借 助奇偶性转化为求已知区间上的函数值，或得到关 于参数的恒等式，利用方程思想求参数的值 (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间 上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区 间上，进而利用其单调性比较大小. (3)解抽象函数不等式，先把不等式转化为 f(g(x)>f(h(x)的形式，利用单调性把符号 “f”脱掉，得到具体的不等式（组）. 【对点训练2】(1)(2024·江苏宿迁三模)已知函 数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0 时，f(x)=名10gx-1,则/(-4)=(】 A (2)(2024·山西运城三模)设函数f(x)= log2|x|-x2,则不等式f(x-2)≥f(2x+ 2)的解集为 () 2圈内·讲与练·高三数学 A.[-4,0] 4规律总结 B.[-4,0) 1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目 C.[-4,-1)U(-1,0] 特征及周期的定义，求出函数的周期， D.[-4,-1)U(-1,0) 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、 考点3函数的周期性及应用 求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上， 进而解决问题， 【例4】(1)(2024·山东青岛一模)若Hx∈R, f(x)+f(.x+3)=1-f(x)f(x+3), 【对点训练3】(1)(2024·贵州六盘水三模)定义 f(-1)=0,则f(2024)的值为 在R上的奇函数f(x),满足f(x+3)=f(1 A.2 B.1 x),x∈[0,2]时，f(x)=me-1,则f(31)= C.0 D.-1 () (2)设f(x)是定义在R上以2为周期的奇函 A.e+1 B.e-1 数，当x∈[0,1)时，f(x)=log2(x十1)，则函 C.1-e D.-e 数f(x)在[4,6]上的解析式是 (2)(2024·安徽合肥模拟)若定义在R上的函 听课记录 数f(x),满足2f(x+y)f(x-y)=f(2x)十 f(2y),且f(1)=-1,则f(0)十f(1)+ f(2)+…+f(2024)= () A.0 B.-1 C.2 D.1 026 温馨提示Q 学习至此，请完成课时作业8 2.4函数的对称性及应用 考试要求 掌握一些函数的轴对称和中心对称公式和推论，会利用函数的对称性解决相关问题. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 f(x)满足f(a-x)=-f(a十x),则函数的图 象关于点 对称。 1.奇函数、偶函数的对称性 3.两个函数图象的对称 (1)奇函数关于 对称，偶函数关于 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称. 对称. (2)若f(x十a)是偶函数，则函数f(x)图象的 (2)函数y=f(x)与y=一f(x)的图象关于 对称轴为 ;若f(x十a)是奇函数，则 对称。 函数f(x)图象的对称中心为 (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 2.若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a十x),则 对称. 函数的图象关于直线x=a对称；若函数y(3)1 解析：令f(x)=g(x),x>0,即 x=子z>0,得x=1,当x 0,1]时，1x=x<1,当x∈ 1 1,十0)时，x=x>正，所以 1 x∈(0,1]， h(x)=x x,x∈(1，十o∞). 当x∈(0,1]时，h(x)单调递减，当 x∈(1，十∞)时，函数h(x)单调递 增，所以当x=1时，h(x）min=1. 1 例4D易知fx）=2一气在 (1,十∞)上单调递增，又5>5> √2，故f(5)>f(3)>f(2),即 c>b>a.故选D. 例5C函数f(x)的定义域为R,且对 Hx1x2∈R,x1<x2,有f(x1) f(x2)<x2-x1,即f(x1)十x1< f(x2)十x2.h(x)=f(x)十x为单 调递增函数，f(x)一f(2一x)十2x> 2,整理得f(x)十x>f(2-x)十2 x,:h(x)=f(x)十x为单调递增函 数，.x>2一x,解得x>1.故选C 1x2-2a.x,x≥1， 例6B由f(x)=a x-1x<1 a≤1， 是R上的增品数，得2>0， -1≤1-2a, 2 4 解得0<a≤行，所以实数a的取值范 图元，】黄运B 对点训练3(1)C:y=gx在(0， 十∞)上单调递增，y= (-o∞，十∞)上单调递减，f(x)在 (0,十o∞)上单调递增.又：f(m)= 1,且0<p<m<n,∴.f(n)>1且 f(p)<1.故选C. (2)B因为函数f(x)在R上单调递 增，且当x<0时，f(x)=一x2 2a.x-a,所以f(x)=-x2-2a.x-a 在(-0∞，0)上单调递增，所以-a≥0， 即a0;当x≥0时，f(x)=e十 ln(x十1)，所以函数f(x)在[0，十o∞) 上单调递增.若函数∫(x)在R上单调 递增，则-a≤f(0)=1,即a≥-1. 综上，实数a的取值范围是[一1,0].故 选B. 2对勾·讲与练·高三数学 1 2+x<0, (3)Af(x) 易知 1 (x+2x≥0， 2中在（一∞，0）上单调递减，y= 1 y= 十2在(0，十©)上单调递减，且 1 f(x)在x=0处连续，故f(x)在R上 单调递减，由f(a2-1)>f(3),则 a2-1<3,解得-2<a<2,故不等 式f(a2-1)>f(3)的解集为(-2， 2).故选A. 2.3函数的奇偶性、周期性 …必备知识回顾 教材回扣 1.f(-x)=f(x)y轴f(一x)= -f(x)原点 2.(1)f(x十T)=f(x)(2)最小最 小正数 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)X 2.BC对于f(x)=x1,f(x)的定义域 为R,由f(一x)=(一x)1=x1= f(x),可知f(x)=x1是偶函数，同 是 理可知f(x)=x5,f(x)=x十工 1 奇画数，fx)=是偶画数.故 选BC. 3.-1+x 解析：当x<0时，一x>0, ∴f(-x)=1-Fx,又f(x)为奇 函数，f(x)=-f(-x)=-1十 √E,.当x<0时，f(x)=-1十 √z. 4.04 解析：f(5)=f(1)=(1-1)2=0, r()=+2)=(分) (分-)=子 关键能力提升 8-x2≥0得x2=3, 例1解：1)由x2-3≥0， 解得x=土√3， 即函数f(x)的定义域为{一√5，√5， 从而f(x)=√3-x2+√-3=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)= f(x),所以函数f(x)既是奇函数又 是偶函数. (2)显然函数f(x)的定义域为(-∞， 0)U(0,十∞)，关于原点对称. 因为当x<0时，一x>0, -440- 则f(一x)=一（一x)2-x=一x2 x=-f(x); 当x>0时，-x<0,则f(-x)= (-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知，对于定义域内的任意x,总 有f(-x)=一f(x)成立，所以函数 f(x)为奇函数. (3)显然函数f(x)的定义域为R, f(-x)=log[-x+√(-x)+1]= log2(√x十1-x)= log（√+1+x)1= -log(√x十1十x)=-f(x),故 f(x)为奇函数. 对点训练1(1)B方法一对于A, fx)=e工，定义城为R, x2+1 1一1 f(1)= 安2-)=2，利 f(一1)≠f(1),不符合题意；对于B, fr)=osx+x,定义摄为R. 1+x2 f(-x)=cos-x）+(-x） 1十(-x)2 osx十工=f(x),即f(x)为偶函 1十x2 数，符合题意；对于C,由题意得，f(x) 的定义域为{xx≠一1}，不关于原点 对称，函数f(x)既不是奇函数也不是 偶函数，不符合题意；对于D,f(x)= sim十4红，画数定义城为R, f(-x)=sin(-x）+4(-x)_ e -sinx-4虹=一f(x),即f(x）为 奇函数，不符合题意.故选B. 方法二由题易知y=x2十1和y= e均为偶函数，且恒为正，对于A,由 于y=e一x2既不是奇函数也不是偶 函教，所以f()=e一工既不是奇 x2+1 函数也不是偶函数；对于B,y=cosx十 x是偶函数，所以f(x)=c0sr十 x2+1 是偶函数；对于C,易知∫(x)= 。一工的定义城不关于原点对称，所 x+1 以)=-既不是守西数也不 是偶函数；对于D,y=sinx十4x是奇 函数，所以f(x)=n工十4虹是奇画 e 数.故选B. (2)D因为f(x)为R上的奇函数， g(x)为R上的偶函数，所以f(-x)= -f(x)g(-x)=g(x).对于A,x∈ R,设F(x)=f(x)十g(x),则 F(-x)=f(-x)十g(-x)= -f(x)十g(x)≠-f(x)-g(x)= 一F(x),故错误；对于B,x∈R,设 N(x)=f(x)-g(x),N(-x)= f(-x)-g(-x)=-f(x) g(x)≠f(x)-g(x)=N(x),故错 误；对于C,x∈R,g(x)≠0，设 M(.x)= -- g(-x) f(x) =一M(x)≠M(x),故错 g(x) 误；对于D,x∈R,设H(x)= f(x)g(x),H(-x)= |f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)= f(x)g(x)=H(x),所以H(x) 为偶函，数，故正确.故选D. 例2(1)C 当x>0时，一x<0,则 f(-x)=a2(-x)-1=-x-a= -f(x),则 解得a=1, 此时f(x)={1 0,当x<0 >0. 时，一x>0,所以f(一x）=一x十 1=一(x一1)=一f(x),符合题意. 所以a=1.故选C. (2)C设x>0,则一x<0,所以 f(-x)=(3)=2,又画教f(x) 是奇函数，所以f(一x)=一f(x), 即-f(x)=2→f(x)=-2,x> 0,即g(x)=一2.故选C. 例3(1)A因为f(x)是偶函数，所以 f(-√7)=f(W7),f(-3)=f(3),又 因为当x∈[0，十∞)时，f(x)是增函 数，所以由√7<3<π可得f(π)> f(3)>f(√7)，即f(π)>f(-3)> f(-√7).故选A (2)C由题意知f(2)=4a=8,解得 a=2,所以f(x)=2xx,其在R上 单调递增，又因为f(一x)= -2x-x =-2xx=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数，9f(x)= f(3x),所以不等式9f(x)十f(4 x2)<0可化为f(3x)<-f(4- x2)=f(x2-4),于是3x<x2-4, 即x2-3x-4>0,解得x>4或 x<-1.故选C 对点训练2(1Af)=号e 1=og2-1=号× 、号，国为∫(x)为定义在R上的奇 函教，所以f-酒)=-f)=号 故选A (2)C函数f(x)=logx-x2的 定义域为{x|x≠0，且f(-x)= log2 -x-(-z)2=loge I z- x2=f(x),所以f(x)=log2x一 x2为偶函数，当x>0时f(x)= log2x-x2,因为y=log2x与y= 一x-2在(0，十∞)上单调递增，所以 f(x)=log2x-x2在(0，十o∞)上单 调递增，则f(x)在(-∞，0)上单调递 减，不等式f(x-2)≥f(2x+2),即 f(|x-2)≥f(2x+2),等价于 1x-2≥2x+21, x-2≠0， 解得一4 2x十2≠0， x<一1或一1<x≤0，所以不等式的 解集为[-4，-1)U(-1,0].故选C. 例4(1)B由题意知Hx∈R,f(x)十 f(x+3)=1-f(x)f(x+3), f(-1)=0,令x=-1,则f(-1)十 f(2)=1-f(-1)f(2),.f(2)=1, 显然f(x)=一1时，-1十f(x十3)= 1+f(x+3)不成立，故f(x)≠-1， 1-f(x) 故fx+3)=1+f,则fx+ 1-f(x) 1一1+fx） 6)= 1+1f =f(x),即6为函 1+f(x) 数f(x)的周期，则f(2024)= f(337×6十2)=f(2)=1.故选B. log2(x-3),x∈[4,5)， (2)f(x)= 0,x=5, -log2(7-x),x∈(5,6] 解析：因为f(x)是定义在R上以2为 周期的奇函数且x∈[0,1)时， f(x)=log(x十1)，设x∈[4,5)，则 x-4∈[0,1)，所以f(x)=f(x 4)=log2(x-3);设x∈(5,6]，则x一 6∈(-1,0]，-(x-6)∈[0,1)，故 f(x)=f(x-6)=-f[-(x- 6)]=-log,(6-x+1)=-log2(7- x),又f(5)=f(1)=f(-1)= 一f(1),所以f(5)=0.综上可得，函 数f(x)在[4,6]上的解析式是 log2(x-3),x∈[4,5)， f(x)= 0,x=5, -log2(7-x),x∈(5,6]. 对点训练3(1)C因为定义在R上的奇 函数f(x),满足f(x十3)=f(1 x),所以f(x十3)=f(1-x)= -f(x-1)=-f(x-4+3)= -f[1-(x-4)]=-f(5-x)= f(x-5),故f(x)的周期为8，当x∈ [0,2]时，f(x)=me-1,则f(0)= m一1=0，所以m=1,所以f(31)= f(-1)=-f(1)=1-e.故选C. -441- (2D令x=y=子则有 2f(1)f(0)=f(1)+f(1),又f(1)= 1 -1f(0)=1.令x=2y=0,则 有2f(3)f(3)=f1)+f0) -1+1=0f(分）=0.令y=x 3则有2(2x-)F(位) f2)+f2x-1D.r(2)=0, .f(2x)+f(2x-1)=0, .f(x)+f(x-1)=0,f(0)+ f(1)+f(2)+…十f(2024)=f(0)+ [f(1)+f(2)]+…+[f(2023)+ f(2024)]=1+1012×0=1.故 选D. 2.4函数的对称性及应用 必备知识回顾… 教材回扣 1.(1)原点 y轴(2)x=a(a,0) 2.(a,0) 3.(1)y轴(2)x轴(3)原点 基础检测 1.(1)√(2)×(3)×(4)/ 2B因为)==1+是由 x y=- 的图象向上平移1个单位长度 得到y=1十二的图象，又y=1的 图象关于点(0,0)对称，所以f(x)= 1十二的图象关于点(0,1)对称，故 选B. 3.4 解析：方法一由y=f(x十2)一3是 奇函数，.f(-x十2)-3=-f(x十 2)十3，令x=2,f(0)-3=-f(4)+ 3,得f(0)=4. 方法二由y=f(x十2)一3是奇函 数，得f(x)的图象关于点(2,3)对称， 故f(0)+f(4)=6,即f(0)=4. 4.5 解析：f(x)为偶函数，.f(一1)= f(1),由f(x)的图象关于直线x=2 对称，可得f(1)=f(3)=2×3-1= 5,所以f(-1)=5. …关键能力提升… 例1证明：证法一易知x∈(0,2)， f(2-x)+f(x)=In 2-工+a(2 x)+b1-x)P+ln2-z+ax十 b(x-1)3=2a, 参考答案“☑。