2.1 函数的概念及其表示-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

设gu)=1-号+2tE1,+四)，显 然g(t)在(1，十∞)上单调递增. 当t计o0时，t-3十2十0， t 4 →0，所以m≤0. 4-+2 t 所以m的取值范围是（一∞，0]. (3)设f(m)=(x2-1)m-(2x-1), 当m∈[-2,2]时，f(m)<0恒成立， 当且仅当f(2)<0, f(-2)<0, 即/2x22x-1<00, -2x2-2x+3<0②， 由①得 2 <x<1+ 2 由②得x<1亚或x>1+7 2 2 取交集，得1十冗 2 x<1+ 2 所以x的取值范围是z 1-1+7 2 x<1+ 2 第二章 函数的概念 与基本初等函数 2.1函数的概念及其表示 必备知识回顾… 教材回扣 1.(1)非空的实数集任意一个数x 唯一确定的数y(2)定义域值域 自变量的取值定义域所有函 数值 3对应关系 分段函数 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.C对于A,y=x的定义战为R,y= (√元)2的定义域为[0，十∞)，定义域 不同，不是同一个函数，故A错误；对 于By=/=xy=√F= x,对应关系不同，不是同一个函 数，故B错误；对于C,两函数的定义 域，对应关系均相同，是同一个函数， 故C正确；对于D,y=x一1的定义域 为R,y= 三-1的定义城为红x大 0},定义域不同，不是同一个函数，故D 错误.故选C. 3.(-∞，-√2)U(√2,2)U(2,十∞) 解析：由题意有仁2，大0：解得 x2-2>0, x一√2或√2<x<2或x>2.故其 定义域为(-∞，-√2)U(W2,2)U (2,十0∞). 红对勾·讲与练·高三数学 4.0 解析：f(-1)=(-1)2十1=2，则 f(-1D)=12)=2+号-3=0， 关键能力提升… 例1(1)D要使f(x)有意义，则应有 /2x+1≥0， x-1>0,解得x>1且x≠2故 x-1≠1， 选D. (2)(-2,2] 解析：由函数f(2x十1)的定义域为 [-1,1),则有2x十1∈[-1,3)，令 -1≤1-x<3,解得-2<x≤2. 对点训练1(1)D因为f(x)= 工三，所以2-4>0，解得x< √/2-4 0,所以函数f(x)的定义域为（一∞， 0),所以画数x-1》需满足工-1< x十1 0且x十1≠0，解得x<1且x≠-1. 故选D. (2){x|x>2} 解析：根据题意可得仁≥0， 解得 x-2>0, x>2,故定义域为{xx>2}. 例2解：(1)（换元法）设1一sinx=t, t∈[0,2]，则sinx=1-t, .'f (1-sin x)cos'x 1-sin', .f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈ [0,2], 即f(x)=2x-x2(0≤x≤2). 2配谈法)r(+)=x =(+)-2又 =2,当且仅当x2= 即x=士1时等号成立， 段1=宁则：≥2 .f(t)=t2-2(t≥2)， .f(x)=x2-2(x≥2). (3)(待定系数法)f(x)是一次函 数，可设f(x)=a.x十b(a≠0)， .3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)十 b]=2x+17,即a.x+(5a十b)=2x十 1伦-1n得6二 .f(x)=2x+7. (4)(解方程组法) :f(x)-2f(-x)=9x十2①， .f(-x)-2f(x)=9(-x)十2②， 由①+2X②得一3f(x)=-9x+ 6,∴.f(x)=3x-2. -438- 对点训练2(1)，1 (x-1)2 (1,+0∞) 解析：由题意得丘≥0解得x>0 {x≠0， 所以f(E+1)=1（x>0), x 令√元+1=t(t>1),则x=(t-1)2, 所以f0=-11>1.所以 f(x)= 1 （x1Dx>1). @fc)=4红-号 解析：由3f(x)十2f(1-x)=4x①， 用1-x代x可得，3f(1-x)十 2f(x)=4(1-x)②， D-2X②得f(x)=4x 12+2,x≤3， 例3B因为f(x)= (经）z>3 1og29>3,log23<3,则f(log9)= f(合1og,9）=fog,3)- 23+ 2=3+分 +=10.故选B. 例4(1)-3或3 解析：因为f(x)= x2-1z<0且 4,x≥0 fm)=8,所以m1=8或 m<0 4二8解得m=-3或m= lm≥0， 2 (2)(-∞，e-1] 解析：当x≤0时，f(x)=x十1≤1， 得x≤0，所以x≤0；当x>0时， f(x)=ln(x十1)≤1，得-1<x≤ e-1,所以0<x≤e-1.综上， f(x)1的解集为（一o∞，e一1]. 对点训练3(1)D由题意知，当m1 时，f(m)=2m+1-8=-12,得2m+1= 一4，又2m+1>0,所以方程无解；当 m>1时，f(m)=4log1(m+1)= -12,得1og1(m十1)=-3，即m十 1=8,解得m=7,所以f(6-m)= f(-1)=21+1-8=-7.故选D. 21(m,-2)U(分，+) 解析：由题意可知f(()） f(1)=1.因为f(x)<f(2x),当 12x<1,即-合<正<专时，则 1x<号<1，可得1<1，不合题意： :e(1,]u [合)时，可得1<2x,解释> 是成x<所以x∈(-1 -)U(分)：当x≥1，即x≥ 1或x-1时，则2x=2x≥ 2>1,可得x2<(2x)2=4x2,符合题 意.综上所述，不等式f(x)<f(2x)的 解象是(0，-)U(合，+)： 【高考创新方向深刻理解】 例ABD对于A,y=f(x)=2, Hx∈A,均有唯一确定的f(x),且 f(x)∈(0，十∞)=B与之对应，符合 函数定义，故A符合题意；对于B,y= f(x)=2,Hx∈B,均有唯一确定 的f(x),且f(x)∈(1，十∞)三A, 符合函数定义，故B符合题意；对于C, x=f(y)=log2y,取y=1∈A,但 x=0任B,不符合函数定义，故C不 符合题意；对于D,x=f(y)=log2y, Hy∈B,均有唯一确定的f(y),且 f(y)∈R=A,符合函数定义，故D符 合题意.故选ABD. 2.2函数的单调性与最值 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)f(x1)<f(x2)单调递增单 调递增f(x1)>f(x2)单调递减 单调递减上升的下降的(2)单 调递增单调递减区间 2.f(x)≤Mf(xo)=Mf(x)≥ M f(x)=M 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.[2,十o∞) 解析：由题意可知x2一2x≥0，解得 x≤0或x≥2，所以函数f(x)的定义 域为(-∞，0]U[2,十o∞)，设y=√m, u=x2-2x,二次函数u=x2-2x的 单调递增区间是(1，十∞)，单调递减 区间是（一∞，1），所以f(x)的单调递 增区间是[2，十©∞). 3号2 解桥：由于x)=2在[26]上 单调递减，故(x)的最大值为 2)=2,最小值为6)=号 4.{x-2<x<2} 解析：由题意2x十1>-3， f2x十1<5， 解得-2<x<2. 关键能力提升 例1(1)(-1,2)，(5，十0∞) 解析：函数y=-x2+4x+5= -x2+4x+5,x∈[-1,5]， x2-4x-5,x∈(-0∞，-1)U(5,+∞)， 由-x2十4x十5|=0，解得x=-1 或x=5, 函数y=一x2十4x十5的图象如图 所示， -1025x 由图可知，函数y=-x2+4x十5的 单调递增区间为(-1,2)，(5，十∞). (2)[0,2] 解析：y=(-x2十4x)= √一x十4x,由-x2十4x≥0，解得 0≤x≤4，令u=-x2+4x=-(x 2)2十4，当x∈[0,2]时单调递增，当 x∈[2,4]时单调递减，又y=u三在 u∈[0，十o∞)时单调递增，所以函数 y=(-x2十4x)2的单调递增区间是 [0,2]. 例2解：方法一（定义法) 设-1<x1<x2<1,因为f(x)= a-0+） x-1 所以f(x1)-f(x2)= a(x2-x1) (x1-1)(x2-1) 由于-1<x1<x2<1,所以x2 x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1) 上单调递减； 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1) 上单调递增」 方法二（导数法） f(r)=(az)'(t-D)-ax(z-ly= (x-1)2 a(x-1)-ax= a (x-1)2 (x-1)2 故当a>0时，f'(x)<0,函数f(x) 在（一1,1）上单调递减； 当a<0时，f'(x)>0,函数f(x)在 (一1,1)上单调递增. 对点训练1(1)D对于A,若f(x)= 工，则y=fx)=z,在R上不 -439- 是减函数，故A错误；对于B,若 f(x)=x,则y=f(x)=x,在 R上不是增函数，故B错误；对于C,若 1 f(x)=x,则y=一f(x) =在 R上不是增函数，故C错误；对于D,函 数∫(x)在R上为增函数，则对于任意 的x1,x2∈R,设x1<x2,必有 f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2) 0,对于y=-f(x),则有y1-y2= [-f(x1)]-[-f(x2)]=-[f(x1)- f(x2)]>0,则y=-f(x)在R上为 减函数，故D正确.故选D. (2)D函数f(x)=-1 x-2 的定义 域为{xx≠2}，又f(x)= x-2 的周象是由y=一上的因象向右平移 2个单位长度而来的，y=一 的单调 x 递增区间为（一∞，0），(0，十∞)，所以 f(x)=一 1的单调递增区间为 x-2 (-o∞，2)，(2，十∞).故选D. 例3(1)[2,11] 解析：因为f(x)=x一2x十3= (x一1)十2图象的对称轴为直线x= 1,所以f(x)在区间[0,1]上单调递 减，在[1,4]上单调递增，当x=1时， f(x)m=f(1)=2,当x=4, f(x）x=f(4)=11,所以f(x)在区 间[0,4幻上的值域为[2,11]. (2)-4√2-12 解析：易知函数y=√6一x在区间 [2,4]上单调递减，y=一3.x在区间 「2,4]上单调递减，所以函数f(x)= √6一x一3x在该区间上单调递减，所 以f(x)m=√6-2-3X2=-4, f(x)m=√6-4-3X4=√2-12. 对点训练21)一2,5] 187 解析：由题意知函数y=一2x十1' y=x2均在[0,2]上单调递增，故 f(x)在定义域[0,2]上为增函数，所 以f(x)m=f(0)=-2十0=-2， 2 18 fx)m=f(2》=4千行十4= 51 即fx)的值战为[2,5」 187 (2)[-1,+∞) 解析：令√E=t(t≥0)，则函数变为 y=t2-2t=(t-1)-1,t≥0， 该函数在[1，十∞)上单调递增，在[0， 1)上单调递减，故当t=1时，y取最小 值一1，所以值域为[-1，十∞). 参考答案“☑。第二章 函数的概念与基本初等函数 2.1函数的概念及其表示 考试要求 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象 的作用. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 必备知识回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣 值区间，有着不同的 ,这样的函数叫 做 1.函数的概念 间教材拓展 017 (1)函数的定义 1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个 一般地，设A,B是 ,如果对于集 交点 合A中的 按照某种确定的对应 2.在函数的定义中，非空实数集A,B,A即为函数 关系f,在集合B中都有 和它对 的定义域，值域为B的子集」 应，那么就称∫：A→B为从集合A到集合B的 3.分段函数虽由几部分组成，但它表示的是一个 一个函数，记作y=f(x),x∈A. 函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并 (2)函数的三要素 集，值域等于各段函数的值域的并集。 函数由 和对应关系三个要 基础检测。 素构成.在函数y=f(x),x∈A中， 范围（即数集A)称为这个函数的 1.判断（正确的画“√”，错误的画“X”) 组成的集合{f(x)|x∈ (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个 A}称为函数的值域 函数是同一个函数， () 2.函数的表示法 (2)任何一个函数都可以用图象法表示.() (3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多 解析法 图象法 列表法 个交点。 () 用解析式表示两用图象表示两个列出表格来表 x-1,x≥0， 个变量之间的对 变量之间的对应 示两个变量之 (4)函数f(x)= 的定义域为R x2,x<0 应关系 关系 间的对应关系 3.分段函数 2.(人教A版必修第一册P66例3改编)下列各组 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取 函数表示同一个函数的是 () 2硒内·讲与练·高三数学 A.y=x和y=(√x) 3.(人教A版必修第一册P65例2改编)函数∫(x)= B.y=a和y=√ -1+x-2) 的定义域为 Wx2-2 x,x≥0， C.y=|x|和y= -x,x<0 4.设f(x)= +2-3,x≥1 x十 x 则f(f(-1)= D.y=x-1与y=之 -1 x2+1,x<1, 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1函数的定义域 【对点训练1】(1)已知函数f(x)= 24,则 【例1】(1)函数(x)= √2x+I lg(x -1) 的定义域是 函数fxD的定义城为 x+1 A.(-∞，1) B.(-∞，-1) B.{x|x>1) C.(-∞，-1)U(-1,0) D.(-∞，-1)U(-1,1) c号且x≠2 (2)(2024·北京通州区二模)函数f(x)= D.{x|x>1且x≠2} x十lg(x-2)的定义域为 (2)(2024·湖北武汉二模)已知函数f(2x+ 018 考点2求函数的解析式 1)的定义域为[-1,1)，则函数∫(1一x)的定 义域为 【例2】(1)已知f(1-sinx)=cos2x,求f(x)的 吧听课记录 解析式， (2)已知f+)=+，求fx)的解 析式 (3)已知f(x)是一次函数且3f(x十1)一 2f(x-1)=2x十17，求f(x)的解析式. (4)若对任意实数x,均有f(x)一2f(-x)= 4规律总结 9x十2，求f(x)的解析式. 1.求给定解析式的函数的定义域，其实质就是 听课记录 以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列 出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应 使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函 数f(g(x)的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f(g(x)的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域. 3.定义域是一个集合，要用集合的描述法或区 间等形式表示.若定义域不连续，则用区间表示时， 应分成多个区间，各区间之间不能用“或”连接，而应 该用并集符号“U”连接。 第二章函数的概念与基本初等函数 进 4规律总结 (2)(2024·湖北武汉一模)已知函数∫(x)= 函数解析式的求法 x+1,x≤0， (1)配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x),可 则关于x的不等式f(x)≤ ln(x+1),x>0, 将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代 1的解集为 g(x),便得f(x)的解析式. (2)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函 听课记录 数、二次函数)可用待定系数法， (3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式， 可用换元法，此时要注意新元的取值范围， (④)方程思想：已知关于fx)与/()或f(-x) 等的解析式，可根据已知条件再构造出另外一个等 式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【时点训练】@)已知派+D=则 规律总结 f(x)= ,其定义域为 关于分段函数求值问题的解题思路 (2)已知f(x)满足3f(x)+2f(1-x)=4x, (1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪 则f(x)的解析式为 段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 考点3分段函数 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 命题角度1分段函数求值 (2)求自变量的值或范围：先假设所求的值或范 019 【例3】(2024·江苏南通二模)已知函数∫(x) 围在分段函数定义区间的某段上，然后求出相应自 2r+2,x≤3， 变量的值或范围，再用同样的方法求其余各段上自 变量的值或范围，最后综合得出结果.切记要代入 f()x>3. 则f(1og29)= 检验 A号 R号 【对点训练3】 (1)(2024·山东泰安二模)已知函 C 82 2r+1-8,x≤1， D.9 数f(x)= 且f(m)= 4log1(x+1),x>1, 心听课记录 -12,则f(6-m)= ( A.-1 B.-3 C.-5 D.-7 (2)(2024·北京东城区二模)设函数f(x)= 1,x<1, ,不等 x2,|x1≥1， 则(2) 式f(x)<f(2x)的解集是 高考创新方向 深刻理解 命题角度2分段函数与方程、不等式 【例4】(1)(2024·北京大兴区三模)已知f(x)= 【例】（多选）(2024·广东六校联考)给定数集 x2-1,x<0, A=R,B=(0,十∞)，x,y满足方程2-y= 若f(m)=8,则m= 4,x≥0， 0,下列对应关系∫为函数的是 () 2硒内·讲与练·高三数学 A.f:AB,y=f(x) 创新解读 B.f:B→A,y=f(x) 本题考查函数的定义，需要学生对函数定义 C.f:A→B,x=f(y) 中的几个关键点深刻理解，才能将正确选项全部 D.f:B→A,x=f(y) 选出，如C选项考查A中的每一个元素在B中都 听课记录 有唯一确定元素与之对应，体现新高考对基础概 念深入考查的特点和趋势」 温馨提示) 学习至此，请完成课时作业6 2.2 函数的单调性与最值 考试要求 1.会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 020 教材回扣。 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上 或 1.函数的单调性 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间 (1)单调函数的定义 具有（严格的）单调性， 叫做y=f(x) 项 的单调区间. 增函数 减函数 目 2.函数的最值 一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果对于 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实 前提 定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的 数M满足 值x1,x2 (1)Hx∈D,都有 (1)Vx∈D,都有 当x1<x2时，都有 当x1<x2时，都有 条件 定 ,那么就称函数f(x) ,那么就称函数f(x) (2)3x。∈D,使得 (2)3x。∈D,使得 义 在区间I上 在区间I上 特别地，当函数f(x) 特别地，当函数f(x 结论 M为最大值 M为最小值 在它的定义域上 在它的定义域上 时，我们就称它是 时，我们就称它是 回教材拓展 增函数 减函数 1.函数单调性的等价定义 设任意x1,x2∈D(x1≠x2),则 y=f(x) y (1)fx)-f(x2) f(x2) y=f(x) x1一x2 >0(或(x1-x2)[f(x) 象 :f) fx )fx2) f(x2)门>0)台f(x)在D上单调递增】 描 X2 述 (2)fx)-f) x1-x2 <0(或(x1-x)[f(x) 自左向右看图象是 自左向右看图象是 f(x2)门<0)台f(x)在D上单调递减.