1.5 一元二次方程、不等式与二次函数-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

2圈内·讲与练·高三数学 1.5 一元二次方程、不等式与二次函数 考试要求 1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数. 2.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 3.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣门 教材回扣。 回教材拓展 1.一元二次不等式恒成立问题 1.一元二次不等式 (1)不等式ax2+bx+c>0(a≠0)，x∈R恒成 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 立=a>0且△<0. 的不等式，称为一元二次不等式 (2)不等式ax2+b.x+c<0(a≠0)，x∈R恒成 2.三个“二次”之间的关系 立台a<0且△<0. 判别式 (3)若a可以为0，则需要分类讨论，一般优先考虑 A>0 A=0 △<0 △=b2-4ac a=0的情形. 49 2.对于不等式ax2十bx十c>0,求解时不要忘记 二次函数y 014 ax'?bx c a=0时的情形. 0 (a>0)的图象 OX=x2 x 基础检测 方程ax2+bz+ 有两个不相等 有两个相等的 1.判断（正确的画“√”，错误的画“×”） c=0(a>0) 的实数根x1, 实数根x,= 没有实数根 b 的根 x2（x1<x2) x2= (1D)二号≥0等价T任-a):-6)≥0 2a ( ax2+bx+c> b 2 x≠ R 0(a>0)的解集 2a (2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1, ax?+bx+c< x2),则必有a>0. () 0(a>0)的解集 (3)不等式x2≤a的解集为[-√a,√a]. 注意 当△<0时，不等式a.x2十bx十c> 0(a≠0)的解集为R还是☑，要注意区别. (4)若方程ax2十b.x十c=0(a<0)没有实数 3.分式不等式与整式不等式 根，则不等式a.x2+bx十c>0(a<0)的解集 (1)f(x) 为R () g(2) >0(<0)台f(x)g(x)>0(<0). 2.(人教A版必修第一册P53T1(5)改编)不等式 (2) 一2x2+x≤-3的解集为 gz3≥0（≤0）台f(x)g(x)≥0（≤0）月 3.(人教A版必修第一册P55T5改编)已知A= g(x)≠0. {x|x2-16<0},B={x|x2-4x+3>0}, 4.简单的绝对值不等式 则AUB= 绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为 4.(人教A版必修第一册P58T6改编)若不等式 (-∞，-a)U(a,+∞)；|x<a(a>0)的 解集为（一a,a).记忆口诀：大于号取两边，小于 2十红一音<0对-切实数都成立.则 号取中间. 的取值范围为 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1一元二次不等式的解法 规律总结人 对含参的一元二次不等式，应对参数进行分类 命题角度1不含参一元二次不等式的解法 讨论，常见的分类有 【例1】（多选）下列选项中，正确的是 ( (1)根据二次项系数为正、为负及为零进行分类。 A.不等式x2十x-2>0的解集为{x|x< (2)根据判别式△与0的大小关系判断根的个数， -2或x>1} (3)有两个根时，有时还需根据两根之间的大小 B.不等式2x+)≤1的解集为x一3≤x<2 关系进行讨论。 “x-2 C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3 【对点训练1】解关于x的不等式： D.设x∈R,则1x-11<1”是t+4<0 x-5 ≤3 的充分不必要条件 (2)a.x2-(2a-1)x-2≥0. 听课记录 015 命题角度2含参一元二次不等式的解法 【例2】解关于x的不等式a.x2-2≥2x a.x(a∈R). 听课记录 考点2三个“二次”之间的关系 【例3】（多选）若存在m,n(m<n一1)，使得0≤ x2十ax十b≤c-x的解集为{x|m≤x≤ m十1或x=n},则下列结论正确的是() A.x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1 或x≥n》 B.x2十ax十b≤c一x的解集为{x|m十1≤ xnj C.c=-n D.a2+2a>4b-4c 心听课记录 2勾·讲与练·高三数学 规律总结 命题角度3给定参数范围的恒成立问题 1.一元二次方程的根就是相应二次函数的零 【例6】若不等式x2十x>4x+p-3,当0≤ 点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. p≤4时恒成立，则x的取值范围是() 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了 A.[-1,3] 相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可 B.(-∞，-1] 以利用代入法或根与系数的关系求待定系数. C.[3,+∞) 【对点训练2】（多选）已知关于x的不等式a.x2十 D.(-∞，-1)U(3,+∞) bx十c<0的解集为（一∞，1）U(5,+∞)，则 听课记录 ( A.a>0 B.a+b+c>0 C.bx十c>0的解集是x2> 6】 D.cx2-bx+a<0的解集是xx> 或 规律总结、 恒成立问题求参数的范围的解题策略 x<-1 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范 围，谁就是参数 考点3一元二次不等式的恒成立问题 (2)对于一元二次不等式在R上恒成立问题，可 命题角度1 在实数集R上的恒成立问题 用判别式△进行解决；对于一元二次不等式在给定 【例4】若命题p:“3x∈R,(k2-1)x2十4(1 区间上恒成立问题，不能用判别式△进行解决，一般 016 k)x十3≤0”是假命题，则k的取值范围是 用分离参数求最值或分类讨论的方法 ( A.(1,7) B.[1,7) 【对点训练3】已知关于x的不等式2x一1> C.(-7,1) D.(-7,1] m(x2-1). 听课记录 (1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R 恒成立？并说明理由； (2)若不等式对任意x∈(1，十∞)恒成立，求 实数m的取值范围； (3)若不等式对任意m∈[-2,2]恒成立，求 实数x的取值范围. 命题角度2在给定区间上的恒成立问题 【例5】(2025·八省联考)已知函数f(x)= x|x-a-2a2,若当x>2时，f(x)>0,则 a的取值范围是 ( A.(-∞，1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞) 吧听课记录 温馨提示) 学习至此，请完成课时作业5(2)A已知0<E<号，则x(2 1 3x)=3×3xX(2-3x)≤3 u+名3)=子当且仅当 2 3x=2-3x,即x= 合时等号成立 故x(2-3x)的最大值是行故选A 例2C因为上+2y=2,所以 1,因为x>0,y>0,所以x十 (红+)(2+=合+y+ 1 1 +1=8+y2≥ 3 2xy 1 3 2y·2xV=2+2X2= 2+ 1 zy =2xy √2.当且仅当 1 x+y=1, 即-1+② 2’时取等号.故选C y=2-√2 例36 解析：方法一（换元消元法）由已知 得9-(x十3y)=xy= 1 3·x…3y≤ 弓，（仁之3）当且仅当x=3,即 x=3,y=1时取等号，即(x十3y)2+ 12(x+3y)-108≥0，令x+3y=t, 则t>0且t2+12t-108≥0，解得t≥ 6,即x十3y的最小值为6. 方法二（代入消元法）由x十3y十 y=9,得x=9-3,所以x+3y 1+y 9-3+3y=9-3y+31+2- 1十y 1十y 9+3y2 1+y 31+y)2-61+y)+12=301+ 1+y 12 12 ”+1中，y6≥2√31+》1中y 6=12-6=6,当且仅当3(1+y)= 吕即y=1=3时取等号中 x十3y的最小值为6. 对点训练1(1)A因为ab=8,所以 。2+6=a-b)'+2ab=a-b+ a-b a-b 。二石因为a>b,所以a-b>0,所以 16 2(a a-b 红对勾·讲与练·高三数学 8,即a。十名≥8，当且仅当ab=鱼 时，等号成立，故十6 a-b 一2的最小值 是6.故选A (2)D因为0<x<1,所以1-x> *1-1=3+1 x 3+2E,当里当= 2x,即 1-x x=2一1时，等号成立，所以」十 吕的小位是3十2放选D (3)A由x2-2xy+2=0可得y= x1 +x十)=x十+ +上≥受王=6，收 2 北时=2>0，符合题意.x十y 3 的最小值为√6.故选A. 例4B因为正数x,y满足(x-1)(y 4)=4,即xy=4x十y,所以4十 y =1所以十÷=（红+学）· (+)=2+≥2+ y 4x 即y=8,x=2时取等号，因为正数 x,y满足(x-1)(y-4)=4,且x十 ￥≥a2-3a恒成主.所以a-3a≤ 4,解得-1≤a≤4，即实数a的取值 范围是{a-1≤a4}.故选B. 对点训练2C由题意可得4工-2)+ a 2≥4-8对任意>2位成主， 由a>0,x>2,可得4x-2 4 a 当且仅当4(x-2) 1 x2,即x= 2+气时取得华子因4兰≤后 2 解得0<a≤4.故选C. 例515 解析：设本次活动中筹集的资金为y 无y-0,0<5 -436- 不妨令t=x-10∈(0,15]，则y= 10t 10 (t+5) 1+空+10 t 10 -=500,当且仅当t= 25 2N· +10 t 5,即t=5,即x=15时取等号，故售 卖价格每件应定为15元. 对点训练342000 解析：设房屋地面平行于墙的一边长 为xm,则其垂直于墙的一边的长为 2m,则总造价y=6000+1000× 18 (3z+18×2×3）,y=6000+ 3000X（x十 0)≥6000+3000☒ ,36 2x· x =42000,当且仅当x= 36,即工=6时取等号，故房屋的最低 总造价为42000元. 1.5一元二次方程、 不等式与二次函数 必备知识回顾… 教材回扣 2.{xx<x1,或x>x2}{xx1< x<x200 基础检测 1.(1)× (2)/ (3)×(4)× 2.(-0∞， 1u[层+) 解析：由-2x2十x≤-3可得2x2一 x-3≥0，即(2x-3)(x十1)≥0，解 得x-1或x≥ ),故不等式的解集 为-∞，-U[受+∞) 3.R 解析：已知A={xx2一16<0}= {x-4<x<4,B={xx2-4x 3>0}={x|x<1或x>3},则AU B=R. 4.(-3,0] 解析：当k=0时，满足题意：当k≠0 k<0, 时·=k-4×2×(人)<0， 解得一3<k<0,所以-3<k≤0， .关键能力提升… 例1ABD因为方程x2十x一2=0的 解为x1=1,x2=一2，所以不等式 x2十x-2>0的解集为{x|x<-2 或x>1,故A正确：因为2红十1 x-2 1≤0，即工+3 x-2 ≤0，即(x十3)(x 2)≤0且x-2≠0，解得一3≤x< 2,所以不等式的解集为{x一3≤x 2},故B正确；由x一2≥1，可得x一 2≤-1或x-2≥1，解得x≤1或x≥ 3,所以不等式的解集为{xx≤1或 x≥3}，故C错误；由|x一1<1，可 得-1<x-1<1,解得0<x<2, 由之大4 5<0,可得-4<x<5,因此. “x-1<1”是“+青<0”的充分 x-5 不必要条件，故D正确.故选ABD 例2解：原不等式可化为ax2十(a 2)x-2≥0，即(ax-2)(x十1)≥0. ①当a=0时，原不等式化为x十1 0,解得x-1. ②当a>0时，原不等式化为(x 名)u+D≥0，解得x≥名或x≤-1 ③当a0时，原不等式化为 (e-2)x+10≤0. 当2>-1，即a<-2时，解得-1≤ a 2 x 当 =-1,即a=一2时，解得x= 一1，满足题意； 当2<-1，即-2<a<0时，解得 2≤x≤-1. a 综上所述，当a=0时，不等式的解集 为{xx≤-1}； 当a>0时，不等式的解集为 ≥是或r≤-： 当一2<a<0时，不等式的解集为 {名<<-： 当a=一2时，不等式的解集为{一1}： 当a<一2时，不等式的解集为 -1≤x≤ 对点训练1解：(1)由题意得 2x 1一x 3= 5x-3 1-x ≤0， 可得 1(5x-3)(x-1)≥0·解得x≤ x-1≠0， 5 或x>1, 所以不等式的解集为 (1,十0∞). (2)不等式a.x2-(2a-1)x-2≥0可 化为(ax十1)(x-2)≥0， 当a=0时，x一2≥0，不等式的解集 为[2，十o∞)： 当a>0时，不等式化为（红+）x 2)≥0，其解集为(，-日]U [2,+o∞)； 当a<0时，不等式化为（十日）u 2)0, ①当-是<2即a<-号时，不等式 a 的集为： ②当-=2.即a=2时，不等式 的解集为{2}； ③当- 1>2,即- 1 2 <a<0时，不 等式的解集为2，-a] 17 例3AD对于A,B,因为m<n一1，故 m十1<n,由题意得x2十ax十b≤c- x的解集为{xm≤x≤n,x2十 a.x十b≥0的解集为{x|x≤m十1或 x≥n},A正确，B错误；对于C,x2+ (a十1)x十b一c=0的两个根为m,n, x2十a.x十b=0的两个根为m十1，n, 故m十n=-a一1，mn=b-c,m十 1十n=-a,(m十1)n=b,由于mn= b-c,(m+1)n=b,b-c+n=b, 所以n=c,C错误；对于D,因为n m>1,n-m=√(m十n)-4mn= √(-a-1)-4(b-c),故 √(-a-1)-4(b-c)>1,两边平方 得a2十2a>4b-4c,D正确.故选AD. 对点训练2CD由题意可得1和5是方 程ax2十bx十c=0的两根，且a<0, 由韦达定理可得1+5=-么，1X5 a ,得b==6a,c=5a,对于A因为 a<0,故A错误；对于B,a十b十c= a一6a+5a=0,故B错误；对于C,不 等式bx十c>0,即-6a.x+5a>0,即 6x二5>0，解得工≥令，所以不等式 证中：>0的每象是>号}故 C正确；对于D,由不等式cx2-bx十 a<0,得a(5x2十6x十1)<0，即 5x2+6.x十1>0，则(5x十1)(x十 1D之0，解得x>弓或x<-1,即解 桑为>号或x<-故D 正确.故选CD. -437- 例4B因为命题“了x∈R,(k2 1)x2十4(1-k)x十3≤0”是假命题， 所以命题“Hx∈R,(k2一1)x2+ 4(1一k)x十3>0”是真命题，若k2 1=0,则k=1或k=一1，当k=1时， 不等式为3>0，恒成立，满足题意；当 k=一1时，不等式为8x十3>0，不恒 成立，不满足题意：若k2一1≠0，则需 要满足 k2-1>0, 4=16(1-k)2-4×(k2-1)X3<0, 中-》之#降1< 7.综上所述，k的取值范围是[1,7).故 选B. 例5B①若a>2,当2<x<a时， f(x)=xx-a-2a2=-x2+ ax-2a2,此时△=a2-4×(-1)× (-2a2)=-7a2<0,又-1<0，所以 f(x)<0,不满足当x>2时，f(x)> 0,故a>2不符合题意；②若0<a≤ 2,当x>2时，f(x)=xx-a 2a2=x2-a.x-2a2=(x-2a)(x十 a)>0,解得x>2a,由于当x>2时， f(x)>0,故2a≤2，解得0<a≤1； ③若a=0,当x>2时，f(x)=x2> 0恒成立，符合题意：④若a<0,当 x>2时，f(x)=x|x-a-2a2= x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)> 0,解得x>一a,由于当x>2时， f(x)>0,故一a≤2，解得一2≤a 0.综上a的取值范围为[一2,1].故 选B. 例6D不等式x2十x>4x十力-3， 可化为(x-1)p十x2-4x十3>0，由 已知可得[(x-1)p十x2-4x十 3]mm>0(0≤力≤4)，令f(p)=（x 1)力十x2-4x+3(0≤p≤4)，可得 /f(0)=x2-4x+3>0, f(4)=4(x-1)十x2-4x十3>0， 解得x<-1或x>3.故选D. 对点训练3解：(1)不存在.理由：原不等 式等价于mx2-2x十(1-m)<0, 当m=0时，原不等式化为一2x十1 0,不恒成立： 当m≠0时，若不等式对于任意实数x 恒成立， 则需<0且△=4-4m(1-m) 0,无解， 所以不存在实数，使不等式对任意 x∈R恒成立. (2)因为x>1,所以m< 2x-1 x2-1 设2x-1=t(t>1),x2-1= t2+2t-3 4 At 所以m<2+2t-3 4 参考答案·2。 设gu)=1-号+2tE1,+四)，显 然g(t)在(1，十∞)上单调递增. 当t计o0时，t-3十2十0， t 4 →0，所以m≤0. 4-+2 t 所以m的取值范围是（一∞，0]. (3)设f(m)=(x2-1)m-(2x-1), 当m∈[-2,2]时，f(m)<0恒成立， 当且仅当f(2)<0, f(-2)<0, 即/2x22x-1<00, -2x2-2x+3<0②， 由①得 2 <x<1+ 2 由②得x<1亚或x>1+7 2 2 取交集，得1十冗 2 x<1+ 2 所以x的取值范围是z 1-1+7 2 x<1+ 2 第二章 函数的概念 与基本初等函数 2.1函数的概念及其表示 必备知识回顾… 教材回扣 1.(1)非空的实数集任意一个数x 唯一确定的数y(2)定义域值域 自变量的取值定义域所有函 数值 3对应关系 分段函数 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.C对于A,y=x的定义战为R,y= (√元)2的定义域为[0，十∞)，定义域 不同，不是同一个函数，故A错误；对 于By=/=xy=√F= x,对应关系不同，不是同一个函 数，故B错误；对于C,两函数的定义 域，对应关系均相同，是同一个函数， 故C正确；对于D,y=x一1的定义域 为R,y= 三-1的定义城为红x大 0},定义域不同，不是同一个函数，故D 错误.故选C. 3.(-∞，-√2)U(√2,2)U(2,十∞) 解析：由题意有仁2，大0：解得 x2-2>0, x一√2或√2<x<2或x>2.故其 定义域为(-∞，-√2)U(W2,2)U (2,十0∞). 红对勾·讲与练·高三数学 4.0 解析：f(-1)=(-1)2十1=2，则 f(-1D)=12)=2+号-3=0， 关键能力提升… 例1(1)D要使f(x)有意义，则应有 /2x+1≥0， x-1>0,解得x>1且x≠2故 x-1≠1， 选D. (2)(-2,2] 解析：由函数f(2x十1)的定义域为 [-1,1),则有2x十1∈[-1,3)，令 -1≤1-x<3,解得-2<x≤2. 对点训练1(1)D因为f(x)= 工三，所以2-4>0，解得x< √/2-4 0,所以函数f(x)的定义域为（一∞， 0),所以画数x-1》需满足工-1< x十1 0且x十1≠0，解得x<1且x≠-1. 故选D. (2){x|x>2} 解析：根据题意可得仁≥0， 解得 x-2>0, x>2,故定义域为{xx>2}. 例2解：(1)（换元法）设1一sinx=t, t∈[0,2]，则sinx=1-t, .'f (1-sin x)cos'x 1-sin', .f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈ [0,2], 即f(x)=2x-x2(0≤x≤2). 2配谈法)r(+)=x =(+)-2又 =2,当且仅当x2= 即x=士1时等号成立， 段1=宁则：≥2 .f(t)=t2-2(t≥2)， .f(x)=x2-2(x≥2). (3)(待定系数法)f(x)是一次函 数，可设f(x)=a.x十b(a≠0)， .3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)十 b]=2x+17,即a.x+(5a十b)=2x十 1伦-1n得6二 .f(x)=2x+7. (4)(解方程组法) :f(x)-2f(-x)=9x十2①， .f(-x)-2f(x)=9(-x)十2②， 由①+2X②得一3f(x)=-9x+ 6,∴.f(x)=3x-2. -438- 对点训练2(1)，1 (x-1)2 (1,+0∞) 解析：由题意得丘≥0解得x>0 {x≠0， 所以f(E+1)=1（x>0), x 令√元+1=t(t>1),则x=(t-1)2, 所以f0=-11>1.所以 f(x)= 1 （x1Dx>1). @fc)=4红-号 解析：由3f(x)十2f(1-x)=4x①， 用1-x代x可得，3f(1-x)十 2f(x)=4(1-x)②， D-2X②得f(x)=4x 12+2,x≤3， 例3B因为f(x)= (经）z>3 1og29>3,log23<3,则f(log9)= f(合1og,9）=fog,3)- 23+ 2=3+分 +=10.故选B. 例4(1)-3或3 解析：因为f(x)= x2-1z<0且 4,x≥0 fm)=8,所以m1=8或 m<0 4二8解得m=-3或m= lm≥0， 2 (2)(-∞，e-1] 解析：当x≤0时，f(x)=x十1≤1， 得x≤0，所以x≤0；当x>0时， f(x)=ln(x十1)≤1，得-1<x≤ e-1,所以0<x≤e-1.综上， f(x)1的解集为（一o∞，e一1]. 对点训练3(1)D由题意知，当m1 时，f(m)=2m+1-8=-12,得2m+1= 一4，又2m+1>0,所以方程无解；当 m>1时，f(m)=4log1(m+1)= -12,得1og1(m十1)=-3，即m十 1=8,解得m=7,所以f(6-m)= f(-1)=21+1-8=-7.故选D. 21(m,-2)U(分，+) 解析：由题意可知f(()） f(1)=1.因为f(x)<f(2x),当 12x<1,即-合<正<专时，则 1x<号<1，可得1<1，不合题意：