1.3 等式性质与不等式性质-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

【高考创新方向创新考法】 例（合] 解析：因为2∈M,所以2适合不等式， 中2a-1>0,解得a>分因为1任 M,所以1不适合不等式，即a-1≤0， 解得a≤1.综上，a (合] 1.2常用逻辑用语 …必备知识回顾 教材回扣 1.充分必要充分不必要必要不 充分充要既不充分也不必要 2.(1)H(2)] 3.Hx∈M,p(x)3x∈M,p(x) Hx∈M 基础检测 1.(1)√(2)√(3)/(4)× 2.C由命题的否定的定义，因为原命题 是“Hx∈R,使得n≥x2”,因此其否 定形式应该把全称量词廿改为存在量 词月，把n≥x2改为n<x2,所以命 题“Vx∈R,使得n≥x2”的否定形式 是“了x∈R,使得n<x2”,故选C, 3.B显然a2十b2=0,则a=0,b=0, 有ab=0,即a2十b2=0→ab=0,而 ab=0,取a=0,b=1,a2十b2≠0， 则ab=0不能推出a2十b2=0,所以 “ab=0”是“a2十b2=0”的必要不充 分条件，故选B 4.(-∞，1) 解析：“x=1”是“x>Q”的充分条 件，x=1→x>a,∴a<1,即实数 a的取值范围为（一∞，1）. 关键能力提升 例1(1)D当a<0时，显然√a(a b)>0不成立，即充分性不成立；当 √a(a-b)>0时，显然有√a>0,则 a>b一定成立，即必要性成立.所以 “a>b”是“√a(a-b)>0”的必要不 充分条件，故选D. (2)C由函数y=x3单调递增可知， 若a3=b3,则a=b;由函数y=3单 调递增可知，若3”=3，则a=b.故 “a3=b3”是“3”=3”的充要条件.故 选C. (3)BD由x2-4x<0,解得0<x 4,设p:E={x0<x<4},p成立 的一个充分不必要条件为集合F,则 FE,所以0<x<2和1<x<3 都是0x<4的充分不必要条件，故 选BD. 对点训练1(1)A由x一2<1可 得-1<x-2<1,解得1<x<3, 红对勾·讲与练·高三数学 所以由1<x<2推得出x-2<1, 故充分性成立；由|x一2<1推不出 1<x<2,故必要性不成立.所以“1< x<2”是“x一2<1”的充分不必要 条件.故选A. (2)D当a=1,b=-2时，a>b, a2021<b221,当a=-2,b=1时， a221>b2021,a<b,所以“a>b”是 “a221>b221”的既不充分也不必要 条件，故选D. 例2(1)(0,3](2)[9，十∞) 解析：(1)因为p是q的必要不充分条 1-m≥2或 件，所以1十m<10 1-m>-2·解得m≤3，又m>0, 1+m≤10， 所以实数m的取值范围为(0,3]. (2)因为力是q的充分不必要条件，所 1-m<-2·解 以什+} 得m≥9，即实数m的取值范围为 [9,+o∞). 对点训练2(1)D因为“x∈A”是 “x∈B”的充分不必要条件，所以 A￥B,所以a≥2.故选D. (2)D.“x>2m2-3”是“-1< x<4”的必要不充分条件，.(-1,4) 是(2m2一3，十∞)的真子集，因此 2m2-3≤-1，解得-1≤m1.故 选D 例31D命题p:Vz∈(0,2)， sinx<x为全称量词命题，则p为 3x∈(0，受）nz≥，故选D (2)B对于p而言，取x=一1，则 有x十1=0<1，故p是假命题， 一p是真命题；对于g而言，取x=1, 则有x3=13=1=x,故q是真命题， q是假命题.综上，一p和q都是真命 题.故选B. 例4A因为“Hx∈R,x2-4x十a≠ 0”为假命题，所以“了x∈R,x2 4x十a=0”为真命题，即方程x2 4x十a=0有实数根，则△=(-4)2 4a≥0，解得a≤4，即实数a的取值范 围是(-∞，4].故选A. 对点训练3(1)B因为命题“了x≥3， x2一2x十3<0”为存在量词命题，所 以其否定为“Hx≥3，x2一2x十3≥ 0”.故选B. (2)C由题意知命题“月x∈[一1， 2],使x2十1>m”是真命题，所以 m<(x2十1)mx,当且仅当x=2时， 有(x2十1)mx=22十1=5，所以实数 m的取值范围是（一∞，5）.故选C. -434- 1.3等式性质与不等式性质 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)①>②=③ (2)①>②=③ 2.(1)b=a(2)a=c(3)a±c=b± c (4)ac =be (5)a=b c c 3.b<a b>aa>c a<c ac> bcac<bca+c>b十dac>bd 基础检测 1.(1)/(2)×(3)×(4)× 2.ABD ac2>bc2,则c2>0,则a>b, 故A正确；根据不等式的性质，a> b>0→a”>b”>0,n∈N”,故B正 确；若a=-2,b=-1,则a2>ab> 11=b一8①，因为 b2,故C错误：a一方三ab a<b<0,所以b-a>0,ab>0,所 以①式大于索，故日>方故D正骑。 故选ABD. 3. 限析片名-话>0同为。 b,所以b-a<0,所以ab<0. 4.M>N 解析：M-V=x2十y2十1-2x一 2y+2=(x-1)2+(y-1)2+1>0. 故M>N. …关键能力提升… 例1Bpg=+2-a二6= d a 8)=66-a ab b-aP(b+a,因为a<0,b<0,所 ab 以a十b<0,ab>0.若a=b,则p g=0,故p=q:若a≠b,则p-q< 0,故p<q.综上，p≤q.故选B. 例2e"·π<e°·π" 解折话兰()”以 0<e<1,0<元-e<1,所以 (）”<1,即x e。π" <1,即e"· π<e·π". 对点训练1(1)D因为a=4d十√3c, b=4d+√3c+I+1,则c≥0，所以 b-a=(4d2+√3c+I+1)-(4d+ √3c)=(4d2-4d+1)+(3c+1- √3c)=(2d-1)2+(√3c+1 √3e)≥0+（√3c+I-√3c)> √3c-3c=0,所以b>a,即a<b. 故选D. (2)A实数m,n,p满足m=4e, 2 18 4 n=5e,= e,.. .m 4e n 5 e<1m<,又”-4 2 p=18= e e是>1m>pp<m<n.故 选A. 例3(1)D当a=-1,b=-1时，a十 b=一2，故A错误；当a<0,b>0时， ab,故B错误：当a=2,b=1时， ln(a-b)=0,故C错误；若a>b>0, 则、 1>日>0湖a->6-日成 立，故D正确.故选D. (2)AD对于A,由0>c>d和不等 式性质可得c2<cd,故A正确；对于 B,因为a>b>0>c>d,若取a= 2,b=1,c=-1,d=-2,则a-c= 3,b-d=3,所以a-c=b一d,故B 错误；对于C,因为a>b>0>c>d, 若取a=2,b=1,c=一1，d=一2，则 ac=-2,bd=-2,所以ac=bd,故C 错误；对于D,因为a>b>0,则0 .1 日<6·又因为0>c>d,则0 一c<一d,由不等式的同向同正可乘 性得，-台<名号>0，故 a b D正确.故选AD. 对点训练2(1)D由于a>b,取a=1, 1 11 6=-1。十。干=立无法 得到。1 1 到a2中1<十，故A错误，取 a=0,b=-1,则ab=ab2,无法得 到ab>ab2,故B错误；取a=0, b=一2，则a2=0,ab=0,b=4,无 法得到a>ab>b2,故C错误；由于 a>b,则2a>b十a>2b,所以a> a十b>b,故D正确，故选D. 2 (2)BD当b为负数时，A可能不成 立，例如a=-2,b=-3,c=-4, -2>-3>-4,但-2+(-3)<-4， 即a十b<c,故A错误.因为a>b> |c≥0，根据不等式性质可得α2> b>c2,故B正确.因为a<b<0,所 以>0，所以a· a6<0,即 1 ab <<0，所以> ,C>0,故C 错误.因为a>b>c>0,所以 a b+c=ab十bc-ab-ac a十c a(a十c) 治号<0，所以名<牛D 正确.故选BD. 例4ABD因为-1<2x-y<4,所 以-2<4x一2y<8.因为-3<x十 2y<2,所以一5<5x<10,则-1< x<2,故A正确；因为一3<x十2y 2,所以-6<2x十4y<4.因为-1< 2x-y<4,所以-4<-2x十y<1, 所以-10<5y<5,所以-2<y<1, 故B正确；因为-3<x十2y<2, -1<2x-y<4,所以- 5 g+)<-号< 3 )<号期-2<x十y<2,故C错 误；因为-3<x十2y<2,-1<2x y<4:所以-号<日-2)< 号<w<号-1< x-y<3,故D正确.故选ABD. 对点训练3(1)C由题设0b<4, 则-4<-b≤0，又1<a<3,所 以-3<a-b<3.故选C. (2)D因为-1<a<5,-3<b 1,所以-1<-b<3,对于A, 1<a<53-15<ab<3, -3<b<0 -1<a<5ab=0, b=0 -1<a<5,-1<b<5,综上 0<b<1 可得一15<ab5,故A正确；对于B, -3-1=-4<a十b<1十5=6，故 B正确；对于C,-1-1=-2<a b<3十5=8，故C正确；对于D,当 a=4h时，分=8，故D错误，故 选D 【高考创新方向多想少算】 lx =b-a, 解析：设y=c一b, z=1-c, a=1-x-y-x, 那么b=1一y一之， c=1-2. ①若b≥2a,则1-y-之≥2(1-x- y-x),从而2x十y十之≥1，记m= max b-a,c-b,1-c, m≥x, 从而m≥y,所以4≥2x十y十之≥ m≥之， -435- 1每得阳≥子 ②若a十b≤1，则1一x-y-之十1 y-×≤1，从而x十2y+2x≥1， im max b-a,c-b,1-c, m≥x, 从而m≥y,所以5m≥x十2y十 m≥之， 2:≥1，解得m≥号综上m≥日即 max{b-a,c-b,1-c}的最小值 1 为 1.4基本不等式 …必备知识回顾 教材回扣 1.(1)a>0,b>0(2)a=b 2.(1)2ab(2)2 3.a+b 2 4.1)2p(2) 4 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.3 解折2十1中十1≥ 2√x1…5+1=3,且收 当x一1= 1 正，即x=2时等号 成立. 3.9 解析：由ab=a十b+3≥2√ab十3， 得ab-2√ab-3≥0，解得√ab≥ 3(√ab≤-1舍去)，即ab≥9.当且仅 当a=b=3时取等号. 4.101040 解析：设矩形莱园的相邻两条边的长 分别为xmym,由已知得xy=100, 篱笆的长度为2(x十y)m.由乙义≥ 2 √y,可得x十y≥2√xy=20,所以 2(x十y)≥40，当且仅当x=y=10 时等号成立，因此，当这个矩形莱园是 边长为10m的正方形时，所用篱笆最 短，最短篱笆的长度为40m 关键能力提升… 例1(1)B 因为x<4,所以4-x>0, 所以4x于≥2年=4，当且仅 当x=2时等号成立，所以x一4十 x-4≤-4，所以x+4 4 4≤0，即 女十4的最大值为0故选B 参考答案“☑。2圈勾·讲与练·高三数学 1.3 等式性质与不等式性质 考试要求 1.理解用作差法、作商法比较两个实数大小的理论依据，会比较两个实数的大小. 2.掌握等式的基本性质. 3理解不等式的概念及不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 必备知识回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 续表 性质 性质内容 注意 1.比较实数a,b大小的基本事实 a>b,c>0→ (1)作差法 可乘性 c的符号 a>b,c<0→ ①a-b>0台a b; a>b,c>d→ ②a-b=0台a b: 同向可加性 同向 ③a-b<0Ha」 b. 同向同正 a>b>0,c>d>0→ 同向， (2)作商法 可乘性 同正 ①6>1a∈R,6>0y9a b(a∈R, a>b>0,n∈N,n≥ 008 可乘方性 同正 2→an>bm b>0); a>b>0,n∈N,n≥2→ @号-1a≠0.6≠0)ea b(a≠0， 可开方性 同正 a>6 b≠0)： 回教材拓展 @号<1a∈R,b>0)a b(a∈R, 1.不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 b>0). 2.等式的基本性质 0>662< (1)对称性：a=b→ (2)传递性：a=b,b=c→ ②a<0<b31<1. (3)可加（减）性：a=b台 ③a>b>0,d>c>0→4>b (4)可乘性：a=b→ (5)可除性：a=b,c≠0台 ④0<a<x<b或a<x<b<0=1<1<1 a 3.不等式的性质 (2)分数性质 性质 性质内容 注意 若a>b>0,m>0,则 a>b台 ;a<b曰 ①年分发长<台名产6-0>8 对称性 可逆 即真分数越加越大，越减越小； a>b,b>c→ 传递性 同向 ②假分数性质：公十品<号<号山烟> a<b,b<c→ 0),即假分数越加越小，越减越大. 2.若a<x<b,c<y<d,则a-d<x-y< 可加性 a>b台a+c>b+c 可逆 b 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 基础检测。 A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b>0,则a2>b 1.判断（正确的画“/”，错误的画“×”） C.若a<b<0,则a2<ab<b2 (1)两个实数a,b之间，有且只有a>b,a=b, 1 a<b三种关系中的一种。 ( D.若a<6<0则>方 (2)若2>1，则b>a. 3.(人教A版必修第一册P57T2(1)若a>b,且 ( 1 方，则ab 1 —> 0.(用不等号“>”或 (3)同向不等式具有可加性和可乘性. a 4)若>方则b< “<”填空) 4.(人教A版必修第一册P43T3(4)改编)设M= 2.(多选)（人教A版必修第一册P43T8改编）下列 x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大 命题为真命题的是 小关系为 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1比较数（式）大小 规律总结、 作商法的步骤和关注点 命题角度1 作差法比较大小 作商并变形→判断商与1的大小→得 【例1】 若a<0,b<0,则p+6与g=a+ 步骤 结论 b的大小关系为 作商时两式的符号应相同，如果两式均小 A.饣<q B.p≤q 于0，所得结果与“作商法原理”中的结论 C.p>q D.饣≥q 关注点 009 相反.变形方法有分母（或分子）有理化， 听课记录 指、对数恒等变形等 【对点训练1】(1)若a=4d+√3c,b=4d+ √3c+1+1,则 A.a≥b B.a>b C.a=b D.a<b 4规律总结1 (2)若实数m,n,p满足m=4e,n=5e,p 作差法的步骤和关注点 步骤 作差并变形→判断差与0的大小→得结论 e () 利用通分、因式分解、配方等方法向有利于 关注点 A.p<m<n B.p<n<m 判断差的符号的方向变形 C.m<p<n D.n<饣<m 考点2不等式的性质 命题角度2作商法比较大小 【例3】(1)(2024·安徽淮北二模)已知a,b∈R, 【例2】e”·π°与e·π"的大小关系为 心听课记录 下列命题正确的是 () A.若ab=1,则a十b≥2 若日<石则a> C.若a>b,则ln(a-b)>0 D.若a>b>0,则a+>b+ b a 红圈内·讲与练·高三数学 (2)(多选)(2024·湖南长沙二模)设a,b,c,d 考点3利用不等式的性质求代数式的取值范围 为实数，且a>b>0>c>d,则下列不等式 【例4】（多选）已知实数x,y满足一3<x十 正确的有 2y<2,-1<2x-y<4,则 () A.c2<cd B.a-c<6-d A.x的取值范围为（一1,2） C.ac<bd D.->0 B.y的取值范围为（一2,1） C.x十y的取值范围为(-3,3) 听课记录 D.x一y的取值范围为(-1,3) 听课记录 4规律总结、 4规律总结、 判断不等式正误常用的三种方法 利用不等式的性质求某些代数式的取值范围 时，应注意两点： 010 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注 意应用性质的前提条件. 一是必须严格运用不等式的性质， (2)利用特殊值排除法· 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大变 (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性 量的取值范围，解决这个问题的途径是先建立所求 质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、 范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通 幂函数等的单调性进行判断。 过“一次性”不等关系的运算求解范围 【对点训练2】(1)(2024·北京丰台区二模)若a, 【对点训练3】(1)若1<a<3,-4<b<2,则 b∈R,且a>b,则 () a一|b|的取值范围是 () 1 1 A.(-3,3] B.(-3,5) Aa2+1<+1 C.(-3,3) D.(1,4) B.a2b>ab2 (2)已知一1<a<5,一3<b<1,则以下错 C.a2>ab>b2 误的是 () A.-15<ab<5 D.a>atb>b 2 B.-4<a+b<6 (2)(多选)(2024·安徽淮北一模)已知a,b, C.-2<a-b<8 c∈R,下列命题为真命题的是 n-号<号<5 A.若a>b>c,则a+b>c B.若a>b>|c|,则a2>b2>c2 高考创新方向 多想少算 C若a<b<c<0,则后>分 【例】以maxM表示数集M中最大的数.设0< D.若a>b>c>0,则2<b+c a<b<c<1,已知b≥2a或a+b≤1，则 aa+c max{b一a,c一b,1一c〉的最小值为 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 听课记录 创新解读 1.本题注重对思维品质的考查. 2.由于目标函数变量较多，故采用换元法，令 x=6-a, y=c一b,使原命题等价于求m=max{x,y,之} z=1-c, 的最小值，从而变得简洁易懂.依据约束条件，可 将原命题分为两个子命题进行探究.以上思维过 程突显了新高考改革的命题特点和趋势， 温馨提示) 学习至此，请完成课时作业3 1.4基本不等式 考试要求 L.掌握基本不等式√ab≤a十b(a,b>0)及其推导过程. 2 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 014 必备知识回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 2 11 和 a2+b2 分别叫做a,b的调和平均 2 1.基本不等式ab≤a十b 2 数和平方平均数.“四个平均数”可构成不等式 (1)基本不等式成立的条件： 链： 2 ≤ab≤a+b a2+62 (2)等号成立的条件：当且仅当 时取 ≤ 2 等号 2.几个重要的不等式 4.利用基本不等式求最值 (1)a2+b2≥ (a,b∈R). 已知x>0,y>0. (1)如果积xy是定值P,那么当且仅当x=y (a,b同号) 时，x十y有最小值，是 (简记：积定和 最小). (2)如果和x+y是定值S,那么当且仅当x=y 时，xy有最大值，是 (简记：和定积 2 最大) 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 回教材拓展 3.“四个平均数” 给定两个正数a,b,数 称为a,b的算 1≤巴士)≤产要线诺两数积、丙数 术平均数；数√ab称为a,b的几何平均数；和、两数平方和选择合适的形式.