精品解析：黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

兆麟中学2025-2026学年度上学期第三次月考 高一学年数学学科试题 命题人：高一数学组 审题人：王洪亮 总分：150分 考试用时：120分钟 一､单选题（每题5分，共40分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的圆心角为，面积为25，则该扇形的弧长为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 4. 已知函数在区间上的图象是连续不断地，设，在区间中至少存在一个零点，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PF（千亿亿次浮点运算每秒）．截止到2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PF，按照技术规划，DeepSeek的算力将每年增长50%．按此计划，DeepSeek的算力将在（ ）年首次突破PF．（参考数据：，）（ ） A. 2032 B. 2033 C. 2034 D. 2035 6. 若函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. ] 7. 已知函数，若函数满足：对于任意的，当时，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（e是自然对数的底数），若，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：（每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与终边相同的角的集合是 B. C. 若，则为第一象限角 D. 扇形的半径为2，圆心角弧度数为，则扇形面积为 10. 设正实数m，n，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. D. 不等式的解集为 三､填空题（每题5分，共15分） 12. 若，且，则______． 13. 已知函数，且，则的大小关系为_______．（用“<”连接） 14. 对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是______. 四､解答题： 15. （1）已知角α终边上一点求的值． （2）已知，求的值. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）当时，求函数的最大值和最小值. 17. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性（不需证明）； （3）若，求取值范围. 18. 已知幂函数在上单调递减． （1）求实数m的值； （2）若． ①当时，关于x的不等式在上有解，求k的取值范围； ②若是奇函数，对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 19. 已知函数满足，函数． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兆麟中学2025-2026学年度上学期第三次月考 高一学年数学学科试题 命题人：高一数学组 审题人：王洪亮 总分：150分 考试用时：120分钟 一､单选题（每题5分，共40分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式求解即可. 【详解】 故选：C. 2. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，又，即，解得， 所以， 所以. 故选：C 3. 已知扇形的圆心角为，面积为25，则该扇形的弧长为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据扇形面积公式求出半径，再根据弧长公式求出弧长. 【详解】已知扇形圆心角，面积. 由扇形面积公式，可得，即，解得或（半径不能为负舍去），所以. 由弧长公式，已知，，可得弧长. 故选：C. 4. 已知函数在区间上的图象是连续不断地，设，在区间中至少存在一个零点，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，由，得函数在中至少存在一个零点，即， 函数的零点为，而，即推不出， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 5. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PF（千亿亿次浮点运算每秒）．截止到2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PF，按照技术规划，DeepSeek的算力将每年增长50%．按此计划，DeepSeek的算力将在（ ）年首次突破PF．（参考数据：，）（ ） A. 2032 B. 2033 C. 2034 D. 2035 【答案】D 【解析】 【分析】先从2025年开始，经过n年DeepSeek的算力首次突破PF，再由题意列不等式结合对数运算性质即可计算求解. 【详解】设从2025年开始，经过n年DeepSeek的算力首次突破PF， 则由题， 所以. 故DeepSeek的算力将在年首次突破PF. 故选：D 6. 若函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. ] 【答案】D 【解析】 【分析】令，等价于的值域能取到内的任意实数即可， 【详解】令，等价于的值域能取到内的任意实数， 若，则，符合题意， 若，则需，解得，∴a的范围为， 故选：D． 7. 已知函数，若函数满足：对于任意的，当时，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，再利用函数单调性定义确定单调性，进而列式求出参数值. 【详解】令函数， 对于任意的，当时， 由，得，即， 因此函数是上的减函数，则，解得 所以实数的取值范围是. 故选：D 8. 已知函数（e是自然对数的底数），若，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性定义判断函数的奇偶性，再由对数函数、复合函数的单调性判断函数的单调性，最后应用奇函数、单调性解不等式即可. 【详解】由题设，定义域为R， 所以，故在R上为奇函数， 根据复合函数的单调性，知在上单调递减，且在R上连续， 所以在R上单调递减， 由题设，即， 所以不等式解集为. 故选：B 二､多选题：（每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与终边相同的角的集合是 B. C. 若，则为第一象限角 D. 扇形的半径为2，圆心角弧度数为，则扇形面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据终边相同角的概念判断A，利用诱导公式及特殊值的三角函数值判断B，根据各象限三角函数值的特征判断C，利用扇形面积公式判断D. 【详解】对于A：与终边相同的角的集合是，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：若，则或， 所以为第一象限角或第三象限角，故C错误； 对于D：因为扇形的半径，圆心角弧度数为， 所以扇形面积，故D正确. 故选：ABD. 10. 设正实数m，n，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项分析计算即可. 【详解】对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，求得的值，再令得到；由函数单调性的定义法判断函数的单调性；令，得到，由此递推出；由题中等量关系化简不等式得，由函数单调性列出不等式，解的解集. 【详解】选项A，令，则，则；令，则， 所以，所以不是奇函数，A选项错误； 选项B，，，且，因为，所以； 又因为当时，，所以，所以， 故在上的单调递增，B选项正确； 选项C，令，则有，所以，，，…，， 将以上式子相加可得：，C选项正确； 选项D，因为，所以原不等式可化为； 由选项C可知，所以原不等式可化为； 因为在上单调递增，所以，解得，D选项正确. 故选：BCD. 三､填空题（每题5分，共15分） 12. 若，且，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 由于，故， 故答案为：6 13. 已知函数，且，则的大小关系为_______．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图像，再利用指数函数，对数函数的单调性以及对数的运算性质比较即可； 【详解】 作出函数的图象，可知关于对称，在上单调递减， 所以，，， 又， 因为，所以， 即， 故答案为：. 14. 对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性的性质判断函数的单调性，结合题中函数的定义，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为函数与都是实数集上的增函数， 所以函数在R上单调递增，且， 当时，，所以当时，， 当时，， 由，即当时，恒成立， 即当时，，即恒成立， 设，则， 当且仅当，即，即时，等号成立， . 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的性质，运用基本不等式进行求解. 四､解答题： 15. （1）已知角α终边上一点求的值． （2）已知，求的值. 【答案】（1）－；（2）. 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义、诱导公式即可求解； （2）由平方关系、商数关系即可求解. 【详解】（1）因为角α终边上一点， 所以，所以. （2）因为＝ ＝，解得. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）当时，求函数的最大值和最小值. 【答案】（1），，. （2）最大值为1，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数性质确定最小正周期与对称轴方程即可； （2）利用整体法求解的取值范围，结合正弦型函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 由， 得函数的最小正周期， 令，，得，， ∴函数图象的对称轴方程是，. 【小问2详解】 当时，， ∴， ∴， 故函数的最大值为1，最小值为. 17. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性（不需证明）； （3）若，求取值范围. 【答案】（1） （2）由于定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数， 由于为单调递增，为单调递减，故为单调递增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的性质列不等式即可求解， （2）根据奇偶性的定义即可求解，根据复合函数的单调性即可判定单调递增， （3）根据函数的奇偶性以及单调性即可列不等式求解. 【小问1详解】 的定义域需满足，解得， 故定义域为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由可得， 由于为定义域内的单调递增函数， 故，解得， 18. 已知幂函数在上单调递减． （1）求实数m的值； （2）若． ①当时，关于x的不等式在上有解，求k的取值范围； ②若是奇函数，对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的单调性结合，即可得到答案； （2）①对不等式进行分离参数得到，令，求的值域进而得到的取值范围； ②根据是奇函数，求出，再根据不等式恒成立问题转化为，求的值域，进而求出的取值范围. 【详解】（1）由题可知，解得， 又，所以． （2）①由题意， 不等式可化为，即当时，能成立． 令，令，则在上单调递增， 所以单调递增． 又，当时，，所以在上的值域是． 所以k的取值范围为． ②因为，，定义域为，则． 因为是奇函数，所以，即，所以， 解得，所以． 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增． 若对任意的时，不等式恒成立， 则有， 当时，，所以，所以． 所以，所以恒成立． 当时，有，化简得，解得或； 当时，有，化简得，解得或． 综上，实数a的取值范围是． 19. 已知函数满足，函数． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件构造关于和的方程组，即可求解； （2）首先不等式转化为在上恒成立，再通过换元，并参变分离为，，在上恒成立，转化为求函数的最值问题； （3）根据函数的解析式，并将不等式转化为，并利用换元，转化为二次函数零点分布问题，即可求解. 【小问1详解】 因为①， 则②， 故联立上述方程，解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，所以，而在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 方程等价于， 即，， 令，则方程化为，（）， 因为方程有四个不同的实数解，而t的每个值对应x的值有2个， 所以，（）有两个不同的正根、， 记， 所以，解得， 所以． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $