期末专题复习训练（空间向量的应用）-2025-2026学年高二上学期人教A版选择性必修第一册

专题复习（空间向量的应用） 班级： 姓名： 2025-2026学年上高二数学期末专题复习（空间向量的应用）（解析版） 点到直线的距离、异面直线所成角 1,己知空间向量AB=(0,1,0),AC=(-1,1-1),则B点到直线AC的距离为() A.v6 B. 3 C.2 D.3 3 3 【答案】A 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案 【详解】AB=(0,1,0),AC=(-1,1-1),故AB在AC上的投影向量的模为 AB·AC (01,0(-1,1-1 1 d= AC 1+1+1 枚8点到直线4C的距离为丽--，写 故选：A 2.在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，A4=2AB=4,点E在线段CC上，且CC=4CE,点 F为BD中点， B D B (I)求点D到直线EF的距离； (2)求证：A,C⊥面BDE 【答案】①)114 3 (2)证明见解析 【分析】(1)依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公 式即可求得： 试卷第1页，共3页 (2)由1)中所建的系求出AC,DB,DE的坐标，分别计算得到AC.DB=0和A,C·DE=0 由线线垂直推出线面垂直 【详解】(1) 24 D C 如图，以D为原点，以DA,DC,DD分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系， “正四棱柱ABCD-A,B,CD,AA=2AB=4,CC=4CE,F为BD中点， .D(0,0,4),E(0,2,,F(1,1,0),ED=(0,-2,3),EF=(1,-1,-1) 、2 则点D到直线EF的距离为： ED ED·EF 114 EF 13 3 (2)由(1)可得C(0,2,0,B(2,2,0,A(2,0,4), 则AC=-2,2,-4),DB=（2,2,0),DE=(0,2,1, 由AC.DB=-2×2+2×2=0可得AC1DB, 又由AC·DE=2×2+(-4)×1=0可得AC⊥DE, 又DBODE=D, 故A,C⊥面BDE 3.在直三棱柱ABC-A,B,C中，∠BCA=90°，D,F分别是AB,AC的中点， BC=CA=CC,则AD与BF所成角的余弦值是 【答案】66 1818 试卷第1页，共3页 专题复习（空间向量的应用） 班级： 姓名： 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出AD,与BF对应的方向向量，结合向量夹角的余 弦的坐标公式即可得解 【详解】建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角 :直三棱柱ABC-AB,C1,且∠BCA=90°， :以C为原点，分别以CA,CB,CC为x轴，y轴，z轴的正向，建立如图所示的空间直 角坐标系， ZA B D A 设BC=CA=CC=2,则A(2,0,0),D1l,2，B0,2,0),F(1,0,2), ∴.AD=（-1,1,2,BE=(1,-2,2), 设直线0，与5成的角为0∈0引 2 :直线D与BF所成角的余弦值为 18 故答案为： 6 4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,∠BAC=90°，点D,E,N分别为棱 PA,PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2. 试卷第1页，共3页 D E /M A C (I)求证：MN/I平面BDE ②)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ,求线段AH的长 9 【答案】（①）证明见解析 ②好或2 【分析】(1)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能证明MW//平面BDE; (2)设AH=t,且1[0,4，则H0,0,),由直线NH与直线BE所成角的余弦值，利用向 量法能求出线段AH的长， 【详解】(1)如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标 系， E M B 则M(0,0,1),B(2,0,0),C(0,4,0),N1,2,0),D(0,0,2),E(0,2,2), MN=1,2,-1),DB=(2,0,-2),DE=(0,2,0), 设平面BDE的法向量元=(x,y,), DB=2x-2z=0 则 ,取x=1,得n=(1,0,), DE=2y=0 :MN五=0，MNZ平面BDE,.MNII平面BDE. 试卷第1页，共3页 专题复习（空间向量的应用） 班级： 姓名： (2)设AH=t,且1∈[0,4，则H0,0,),N五=(-1，-2，)，BE=(-2,2,2), NHBE 则cos(NH,BE |2t-2V5 整理得4t2-9t+2=0 N丽BE V5+t212 9 解得1=或1=2，所以线段AH的长为或2. 4 二线面角、面面角、点到面的距离 5.已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD,PD=AD,点E是线段PB上 的动点，则直线DE与平面PBC所成角的最大值为() B. C. 3 D. 2 【答案】C 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果 【详解】 由题意，因为ABCD为正方形，且PD⊥底面ABCD, 以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设PD=AD=1,则D(0,0,0,B(1,1,0,C(0,1,0),P(0,0,1, 所以PB=(1,1,-1),PC=(01,-1,设PE=PB,1∈[0,1， 则PE=(2,2,-),所以E(2,2,1-1),即DE=(2,2,1-2), 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 万-PC=y-2=0,解得x=0,y=:,取y=2=l, i.PB=x+y-z=0 则 所以平面PBC的一个法向量为n=(0,1,1, 设直线DE与平面PBC所成角为O, 试卷第1页，共3页 则sin6=lbos<元.DE n.DE V2x222+1-2)2 因为y=sin0,0∈ 0 单调避增，所以当入-背时，0=5最大， 此时0= 3 即直线DE与平面P8C所成角的最大值为胥 故选：C 6.在三棱锥S-ABC中，平面SAC⊥平面ABC,AB⊥BC,AC=AS=SC=2BC,D,E分 别为AB,AC的中点， S D B (I)证明：AB⊥平面SDE; (2)求二面角A-SB-C的正弦值 【答案】()证明见解析 28v6 65 【分析】(1)结合中点，利用面面垂直的性质定理证明SE⊥平面ABC,从而利用线面垂直 的性质定理得SE1AB,最后利用线面垂直的判定定理证明即可； (2)过E作EM⊥AC交AB于点M,设AC=2,建立空间直角坐标系，然后利用向量法 求解二面角A-SB-C的正弦值即可 【详解】(1)：SC=AS,E为AC中点， :SE⊥AC 又平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,SEc平面ABC, :SE⊥平面ABC,而ABC平面ABC, :SE⊥AB 又D为AB的中点， .DEIBC,又BC⊥AB, :DE⊥AB 试卷第1页，共3页 专题复习（空间向量的应用） 班级： 姓名： 又DE∩SE=E,DE,SEc平面SDE, :AB⊥平面SDE. (2)过E作EM⊥AC交AB于点M,设AC=2, 以E为原点，分别以EM,EC,ES为x,y,z轴建立空间直角坐标系， E M D x B 则40-l0,c00.s0a同.a9小 s-au.9小s=0-.西90】 m⊥AB m·AB=0 设m=(x,,z)为平面SAB的法向量，则 即 mAS=0 N5.3 2x+3%=0」 0,取x=3,则y=5名=1， y+V3z1=0 :m=3,-V5,是平面SAB的一个法向量 i⊥C下iCs=0 设元=(x2,y2,22)为平面SBC的法向量，则 即 nLCB' CB=0 -2+52,=0 51 ,取x2=1,则y2=V5,22=1, 22=0 :元=山，V3,是平面SBC的一个法向量 设二面角4-SB-C的大小为0，则cos(m,)= m…n 3-3+1 =v65 m:元√9+3+1×V1+3+1 65, sin0= 18V65 6565 试卷第1页，共3页 :二面角A-SB-C的正弦值为8V65 65 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC, AP =AB=AD=1,BC =2. B C (I)求二面角B-PD-C的正弦值： (②)在棱PC上确定一点E,使异面直线PD与BE所成角的大小为60，并求此时点E到平面 PBD的距离 【答案】0)2 3 因E-心，d 9 【分析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角： (2)设PE=入PC,由空间向量法求异面直线所成的角得出入，再由向量法求点面距 【详解】(1)以AB,AD,AP为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 2 因为BC=2,AP=AB=AD=1, 所以B1,0,0),P(0,0,1,D0,1,0,C(1,2,0, 则PB=(1,0,-1,PD=(0,1,-1,DC=(1,1,0) 设平面PBD的法向量n,=(x,,2), 试卷第1页，共3页 专题复习（空间向量的应用） 班级： 姓名： 元·P8=x-2=0 则 ,取x=1得n1=(1,1,1), z·PD=y-31=0 设平面PCD的法向量n2=(x2,y2,22), nDC=x+y=0 则 取x2=1得n2=(1,-1,-1), n2·PD=y2-z2=0 设二面角B-PD-C的大小为O,则 cose cosm,n2=- 11 3x53, 所以sin6=V-cos9=2 3 (2)设PE=2PC=(2,22,-2)(0<元≤1)，则 BE=PE-PB=(入-1,22，-1+1) 因为异面直线PD与BE所成角的大小为60， 所以cos60°cos<PD,BE> 万2玩分解得-号现0舍去) |22+(2-1)川1 此时PE= 242 333 所以点E到平面PBD的距离d= PE.m 4 3 4v5 5 试卷第1页，共3页专题复习（空间向量的应用） 班级： 姓名： 2025-2026学年上高二数学期末专题复习（空间向量的应用） 一 点到直线的距离、异面直线所成角 1．已知空间向量，，则B点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点. (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 3．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 . 4．如图，在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，. (1)求证：平面. (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 二 线面角、面面角、点到面的距离 5．已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 7．如图，在四棱锥中，平面，. (1)求二面角的正弦值； (2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $