精品解析：云南省红河州屏边县2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷

屏边县2024-2025学年下学期期末学业质量监测 八年级 数学 试题卷 范围：八年级上册30%+下册70% （全卷共三个大题，27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷，答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 常数项是的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 5. 六边形的内角和是（ ） A. 1080° B. 900° C. 720° D. 540° 6. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 下图是我市月日至月日的天气预报情况，图中显示了每天的最高气温和最低气温，则这天最低气温的中位数和众数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 9. 把三个正方形的一边首尾相接组成下图，已知正方形的面积为，如果正方形的面积为，那么正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点E是正方形对角线的中点，，则正方形的周长为（ ） A. B. 8 C. D. 11. 某县区始终秉持“安全与健康第一”的教育理念，为积极推动大课间活动，开展了大课间创新大赛，从“创意与特色”、“节奏与配合”、“文明与安全”等三个方面计算成绩．下表是甲、乙两所学校的成绩，则成绩更稳定的是（ ） 学校 创意与特色 节奏与配合 文明与安全 平均分 甲 8 6 10 8 乙 9 8 7 8 A. 甲 B. 乙 C. 一样 D. 不确定 12. 如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 2米 D. 米 13. 小兴进行滑轮组的拉力测试实验时，将实验得到的无数组拉力和所悬挂物体的重力的关系绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），根据图象判断以下结论不正确的是（ ） A. 是的一次函数 B. 当拉力时，物体的重力 C. 拉力随着物体重力的增加而增大 D. 当滑轮组未悬挂物体在空中静止时，所用拉力为 14. 如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 15. 数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（ ） A. ①②③④ B. ④②③① C. ①④③② D. ③②①④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 要使二次根式有意义，y的值可以是________． 17. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 18. 分解因式：____________． 19. 当时，函数（b为常数）的函数值．已知点在该函数图象上，点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，与相交于点，，，求证：． 22. 某快递转运中心采用两种型号的机器人分拣快递，A型机器人比B型机器人每小时多分拣300件快递，A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣6000件快递所用时间相等，两种机器人每小时分别分拣多少件快递？ 23. 云南省颇具生物多样性的特征，生物多样性是人类赖以生存和发展的基础，是地球生命共同体的血脉和根基．某县开展了生物多样性知识竞赛，并随机抽取了某中学的部分学生的竞赛成绩进行调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图： 竞赛成绩频数分布表 组别 分数段（分） 组中值 人数累计 A组 正正 B组 正正正正 C组 正正正正正正正正 D组 正正正正正正 备注：一个“正”字代表5人 根据图表信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）求被抽取学生的竞赛成绩的平均分（每组中各个数据用该组的组中值代替）． 24. 云南昆明斗南花市，是全亚洲最大的国际鲜花交易市场．2025年3月8日“妇女节”这一天，小宇在某花店购买1捆康乃馨和2捆玫瑰需120元，小艳购买2捆康乃馨和1捆玫瑰需90元． （1）求该花店康乃馨和玫瑰的销售单价； （2）该花店老板在这天购进康乃馨的数量不少于玫瑰的数量，又不多于玫瑰数量的2倍，且购进康乃馨和玫瑰共80捆，在当天下午就全部销售完，且获得了最大利润．已知1捆康乃馨和1捆玫瑰的进价分别是10元和30元，该花店老板购进的康乃馨的数量是多少捆？获得的最大利润是多少元？ 25. 如图，在平行四边形中，，分别是，的平分线，且，分别在边，上，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求平行线与间的距离． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点；直线交轴于点，与直线相交于点． （1）求和的值； （2）若点是直线上的一个动点，且始终在点的下方，请你在直线上描点，连接．若（为常数），求的值． 27. 如图，四边形的对角线与相交于点，，交于点，交于点，是上的一点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，为中点，求的长； （3）若，现有以下个结论：，，．请你看一看，想一想，证一证以上个结论中正确的一个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 屏边县2024-2025学年下学期期末学业质量监测 八年级 数学 试题卷 范围：八年级上册30%+下册70% （全卷共三个大题，27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷，答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题． 【详解】解：由题意得：A、C、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有B选项； 故选B． 2. 常数项是的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据常数项是函数中不含变量的常数部分，对于一次函数形式 中为常数项，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、中常数项为，原选项不符合题意； 、中常数项为，原选项符合题意； 、中常数项为，原选项不符合题意； 、中常数项为，原选项不符合题意； 故选：． 3. 据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为，再根据勾股定理的逆定理即可求解，掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设结间距为， ∴， ∴这个三角形其中一个角是， 故选：． 4. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：、不能与合并，不符合题意； 、，不能与合并，不符合题意； 、，能与合并，符合题意； 、，不能与合并，不符合题意； 故选：C． 5. 六边形的内角和是（ ） A. 1080° B. 900° C. 720° D. 540° 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式计算即可得解. 【详解】解：（6﹣2）•180°＝720°. 故选C. 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，熟记内角和公式是解题的关键. 6. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算及性质、同底数幂的除法及积的乘方，运用二次根式的运算及性质、同底数幂的除法及积的乘方进行计算并判断即可． 【详解】A：，而，∴A错误． B：根据指数运算法则，，∴B正确． C：根据根式运算法则，，∴C正确． D：根据积的乘方法则，，∴D正确． 故选：A． 7. 如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． 8. 下图是我市月日至月日的天气预报情况，图中显示了每天的最高气温和最低气温，则这天最低气温的中位数和众数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求众数与中位数，根据众数与中位数定义即可求解，解题的关键是正确理解众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 【详解】解：这天最低气温从小到大排序为：，，，，，，， ∴中位数为第四个数，为； ∵出现四次，最多， ∴众数为， 综上可得：中位数为，众数为， 故选：． 9. 把三个正方形的一边首尾相接组成下图，已知正方形的面积为，如果正方形的面积为，那么正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，结合勾股定理和正方形的面积公式，正方形的面积等于正方形的面积与正方形的面积之和，解题的关键是掌握以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积为， 故选：． 10. 如图，点E是正方形对角线的中点，，则正方形的周长为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和勾股定理，求出边长是解题的关键． 利用正方形的性质和勾股定理求出边长即可解决问题． 【详解】解：∵点E是正方形对角线的中点，， ∴， ∴， ∵在正方形中， ∴， ∴正方形的周长为：， 故选：B． 11. 某县区始终秉持“安全与健康第一”的教育理念，为积极推动大课间活动，开展了大课间创新大赛，从“创意与特色”、“节奏与配合”、“文明与安全”等三个方面计算成绩．下表是甲、乙两所学校的成绩，则成绩更稳定的是（ ） 学校 创意与特色 节奏与配合 文明与安全 平均分 甲 8 6 10 8 乙 9 8 7 8 A. 甲 B. 乙 C. 一样 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查方差的计算，利用方差比较稳定性等，熟练掌握方差的计算方法是解题关键． 通过计算两所学校成绩的方差比较稳定性，方差小的更稳定． 【详解】解：∵平均分均为8，甲学校成绩：， ∴方差 ， 乙学校成绩：， ∴方差 ， ∵ ， ∴乙学校方差更小，成绩更稳定， 故选：B． 12. 如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 2米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键． 根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度． 【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高度， 故选：D 13. 小兴进行滑轮组的拉力测试实验时，将实验得到的无数组拉力和所悬挂物体的重力的关系绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），根据图象判断以下结论不正确的是（ ） A. 是的一次函数 B. 当拉力时，物体的重力 C. 拉力随着物体重力的增加而增大 D. 当滑轮组未悬挂物体在空中静止时，所用拉力为 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、函数图象等知识点，由函数图象直接可以判断选项，设拉力与重力的函数解析式为，用待定系数法求出函数解析式，把时，代入函数解析式求值即可判断选项，掌握数形结合思想以及从函数图象上获取信息是解题的关键． 【详解】解：、由图象可知，是的一次函数，原选项正确，不符合题意； 、设拉力与重力的函数解析式为， ∴，解得， ∴拉力与重力的函数解析式为， 当拉力时，，物体的重力，原选项不正确，符合题意； 、拉力随着物体重力的增加而增大，原选项正确，不符合题意； 、当滑轮组未悬挂物体在空中静止时，所用拉力为，原选项正确，不符合题意； 故选：． 14. 如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由是等边三角形，则，又，所以，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：． 15. 数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（ ） A. ①②③④ B. ④②③① C. ①④③② D. ③②①④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将每个代数式进行平方运算，再比较结果的大小，进而即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴代数式从小到大顺序为④②③①， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 要使二次根式有意义，y的值可以是________． 【答案】2025（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，进而得到y的取值，再选取一个符合条件的值． 【详解】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数非负， ∴ ， ∴ ， ∴ 取（满足）， 故答案为：2025（答案不唯一） 17. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为6，8， ∴由勾股定理得，斜边=10． ∴斜边上的中线长=×10=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是能正确求出斜边的长度． 18. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 19. 当时，函数（b为常数）的函数值．已知点在该函数图象上，点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查待定系数法确定一次函数解析式，轴对称的性质，熟练掌握是解题关键． 先根据已知条件求出函数解析式，再求点A的坐标，最后利用关于x轴对称的性质求点B的坐标． 【详解】解：当时，，代入函数，得， 解得． 所以函数解析式为． ∵点在函数图象上， ∴，即点A坐标为． ∵点A与点B关于x轴对称， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 先进行二次根式的运算，零指数幂，负整数指数幂的运算，再算加减即可． 【详解】解： ． 21. 如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】证明：在△AOC和△BOD中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用“”证明即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】略 22. 某快递转运中心采用两种型号的机器人分拣快递，A型机器人比B型机器人每小时多分拣300件快递，A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣6000件快递所用时间相等，两种机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型机器人每小时分拣900件，B型机器人每小时分拣600件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键． 设B型机器人每小时分别分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递，根据题意建立方程，然后求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时分别分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递， 则， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴A型机器人每小时分拣件快递， 答：A型机器人每小时分拣900件，B型机器人每小时分拣600件． 23. 云南省颇具生物多样性的特征，生物多样性是人类赖以生存和发展的基础，是地球生命共同体的血脉和根基．某县开展了生物多样性知识竞赛，并随机抽取了某中学的部分学生的竞赛成绩进行调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图： 竞赛成绩频数分布表 组别 分数段（分） 组中值 人数累计 A组 正正 B组 正正正正 C组 正正正正正正正正 D组 正正正正正正 备注：一个“正”字代表5人 根据图表信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）求被抽取学生的竞赛成绩的平均分（每组中各个数据用该组的组中值代替）． 【答案】（1）见解析 （2）分 【解析】 【分析】题目主要考查频数分布图，平均数的计算方法，理解题意是解题关键． （1）根据题意列频数分布直方图即可； （2）根据平均数的计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：根据表格得，的人数累计为：人， 补全统计图如下： 【小问2详解】 根据题意得：竞赛成绩的平均分为：分． 24. 云南昆明斗南花市，是全亚洲最大的国际鲜花交易市场．2025年3月8日“妇女节”这一天，小宇在某花店购买1捆康乃馨和2捆玫瑰需120元，小艳购买2捆康乃馨和1捆玫瑰需90元． （1）求该花店康乃馨和玫瑰的销售单价； （2）该花店老板在这天购进康乃馨的数量不少于玫瑰的数量，又不多于玫瑰数量的2倍，且购进康乃馨和玫瑰共80捆，在当天下午就全部销售完，且获得了最大利润．已知1捆康乃馨和1捆玫瑰的进价分别是10元和30元，该花店老板购进的康乃馨的数量是多少捆？获得的最大利润是多少元？ 【答案】（1）康乃馨的销售单价为20元/捆，玫瑰的销售单价为50元/捆 （2）该花店老板购进的康乃馨的数量是40捆，获得的最大利润是1200元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式、一次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设花店康乃馨的单价为元/捆，玫瑰元/捆，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设该花店老板购进的康乃馨的数量是m捆，则购进的玫瑰的数量是捆，利润为w，根据题意列出不等式确定，然后列出一次函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：设花店康乃馨的单价为元/捆，玫瑰元/捆， 由题意得， 解得， 答：康乃馨的销售单价为20元/捆，玫瑰的销售单价为50元/捆； 【小问2详解】 设该花店老板购进的康乃馨的数量是m捆，则购进的玫瑰的数量是捆，利润为w， 根据题意得：， ， ∵1捆康乃馨和1捆玫瑰的进价分别是10元和30元， ∴利润为：， ∴当时，利润取得最大值为：， ∴该花店老板购进的康乃馨的数量是40捆，获得的最大利润是1200元． 25. 如图，在平行四边形中，，分别是，的平分线，且，分别在边，上，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求平行线与间的距离． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）平行线与间的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，角平分线的定义，直角三角形的性质，平行线间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，得，，通过平行线的性质可得，，再由角平分线定义可得，，所以，从而证明，四边形是平行四边形，然后通过邻边相等的平行四边形即可求证； （）过作于点，则，则有，得，通过勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴平行线与间的距离为． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点；直线交轴于点，与直线相交于点． （1）求和的值； （2）若点是直线上的一个动点，且始终在点的下方，请你在直线上描点，连接．若（为常数），求的值． 【答案】（1）的值为，的值为； （2）描点见解析，的值为． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，解二元一次方程组，代数式求值等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出直线解析式为，直线解析式为，然后把点，点，结合（为常数），代入得，解得，最后代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线交轴于点，交轴于点， ∴，解得：， ∴的值为，的值为； 【小问2详解】 解：如图，因为，，所以轴， 由（）得， ∴直线解析式为， ∵点在直线图象上， ∴， ∴， ∴点， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵点在直线图象上， ∴， ∴，即， ∵点是直线上的一个动点，且始终在点的下方， ∴， ∵点，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴ ， ∴的值为． 27. 如图，四边形的对角线与相交于点，，交于点，交于点，是上的一点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，为中点，求的长； （3）若，现有以下个结论：，，．请你看一看，想一想，证一证以上个结论中正确的一个． 【答案】（1）证明见解析； （2）的长为； （3），证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则四边形是平行四边形，，然后通过矩形的判定方法即可求证； （）由四边形是矩形，，即，通过勾股定理得，因为为中点，所以，再根据即可求出的长； （）连接，证明，则，再证明，得到，，，设，则有，然后通过三角形内角和定理得出，最后由线段的和与差即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问3详解】 解：， 证明：如图，连接， 由（）得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴，，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $