精品解析：福建省南平市政和县2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

2025-2026学年上学期八年级半期质量监测 数 学 试 题 （全卷共4页，3大题，共25小题；满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：（本大题每小题4分，共40分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 与点关于y轴对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 3. 长度分别为2，4，x的三条线段，能组成一个三角形，则x的值可以是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 4. 下列计算中，正确的是(　　) A. B. C. D. 5. 在中，作边上的高，以下选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，作边的垂直平分线，交于D点，交于E点，连接，若，，则的周长是（） A. B. C. D. 7. 如图，平分∠，于点A，点Q是射线上一个动点，若，则的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，AD平分∠BAC.过点D作DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数是( ) A. 45° B. 50° C. 60° D. 70° 9. 如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 10. 如图，在等边中，是边上的高，，在下列结论中： ①；②；③；④正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 二.填空题（本大题每小题4分，共24分） 11. 计算：___________． 12. 若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 13. 已知点与关于x轴对称，则_____． 14. 已知，则 ________. 15. 如图，在中， ，垂直平分，分别交于D，E．若，则__________． 16. 如图，中，的面积为24，D为边上一动点（不与B，C重合），将和分别沿直线翻折得到与，那么的面积最小值为_______________. 三.解答题（共86分） 17. 如图，和相交于点，，．求证：． 18. 计算： （1） （2） （3） 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形． （2）写出点，，的坐标． （3）求出的面积． 20. 是的中点，，求证：． 21. 已知：如图，，，，与全等吗？请说明理由． 22. 先化简，再求值：其中． 23. 在中，，． （1）求作线段的垂直平分线，与线段相交于点，与线段相交于点．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在你所作的图形中，连接． 求证：是等边三角形． 24. 如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且 （1）求证：； （2）若，求的度数． 25. 如图1，在中，，边的垂直平分线与的外角的平分线相交于点E，与，分别相交于点F，G． （1）求证：； （2）如图2，连接，． ①试探求和的数量关系，并说明理由； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级半期质量监测 数 学 试 题 （全卷共4页，3大题，共25小题；满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：（本大题每小题4分，共40分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 与点关于y轴对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称的点坐标的特点，掌握相关知识是解决问题的关键．关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【详解】解：∵点关于y轴对称， ∴对称点的横坐标为3，纵坐标为1， ∴对称点的坐标为 故选：A． 3. 长度分别为2，4，x的三条线段，能组成一个三角形，则x的值可以是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形三边中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式求解的取值范围即可得解． 【详解】解：∵ 三边长度分别为2，4，， ∴ ， ∴ x的取值范围为． 选项中只有5满足条件． 故选：B． 4. 下列计算中，正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查指数运算的规则，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同底数幂相乘、幂的乘方，合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A：，∴A错误； B：，∴B错误； C：∴C正确； D：，∴D错误． 故选：C． 5. 在中，作边上的高，以下选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答． 【详解】解：在中，作边上的高，作法正确的是： 故选：C 6. 如图，作边的垂直平分线，交于D点，交于E点，连接，若，，则的周长是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端的距离相等．利用线段垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式计算可得到的周长． 【详解】解：垂直平分线段， ， ，， 的周长， 故选：B． 7. 如图，平分∠，于点A，点Q是射线上一个动点，若，则的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质以及垂线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键．过作交于，根据角平分线的性质可得，由垂线段最短即可得出，此题得解． 【详解】解：过作交于， 平分，，， ， ∵点Q是射线上一个动点， ．即的最小值为 故选：B． 8. 如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，AD平分∠BAC.过点D作DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数是( ) A. 45° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】依据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，再根据角平分线以及垂线的定义，即可得到∠ADE的度数． 【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=70°， ∴∠BAC=60°， 又∵AD平分线∠BAC， ∴∠BAD=30°， 又∵DE⊥AB， ∴∠ADE=90°-30°=60°. 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，垂线的定义，以及角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 9. 如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由：两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． 10. 如图，在等边中，是边上的高，，在下列结论中： ①；②；③；④正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握“角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键． 利用等边三角形和高的性质得角的度数，结合角的直角三角形“对的直角边是斜边的一半”推导线段关系，逐一验证结论． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高， ∴，，， ∴（），故结论①正确； ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，故结论②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴（），故结论③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， 同理，， ∴，结论④正确； 综上，①②③④正确，共个． 故选：． 二.填空题（本大题每小题4分，共24分） 11. 计算：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 13. 已知点与关于x轴对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，掌握相关知识是解决问题的关键。关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴ 解得． 故答案为． 14. 已知，则 ________. 【答案】0.75 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法和除法法则进行解答. 【详解】∵ ∴ 故答案为0.75 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法和除法，熟练掌握其运算法则并能逆运用是关键. 15. 如图，在中， ，垂直平分，分别交于D，E．若，则__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得到，则，可证明，根据三角形内角和定理可得，据此求解即可． 【详解】解：∵垂直平分，分别交于D，E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，中，的面积为24，D为边上一动点（不与B，C重合），将和分别沿直线翻折得到与，那么的面积最小值为_______________. 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了几何折叠的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键． 过点作，交的延长线于点，根据折叠的性质得出相等的边和角，根据含角的直角三角形的性质，得出，当时，最短， 然后根据三角形的面积求出长，最后求出三角形的面积即可． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时，最短， ∵，的面积为24， ∴当时，，， ∴的面积最小值为， 故答案为：9． 三.解答题（共86分） 17. 如图，和相交于点，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ≌．  根据边角边定理求证． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【详解】略 18. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行积的乘方运算，再用单项式乘以单项式计算即可 （2）用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，最后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，最后合并同类项 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形． （2）写出点，，的坐标． （3）求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换作图及点的坐标特征，三角形求面积； （1）利用关于y轴对称图形的点的坐标特征是“横坐标相反，纵坐标不变”得到对应点的位置即可画出图形； （2）利用关于y轴对称图形的点的坐标特征即可得到答案； （3）利用三角形面积公式，的长为底，到的距离为高即可求解； 【小问1详解】 如图，即为所求的三角形： 【小问2详解】 由图可知，，，． 【小问3详解】 20. 是的中点，，求证：． 【答案】 证明：∵是的中点， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，利用“”即可证明． 【详解】略 21. 已知：如图，，，，与全等吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定．由得出，再用“”证明即可得证．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 【详解】解：， 理由如下： ， ，即， 在和中， ， ． 22. 先化简，再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法法则、加减法则、代数式求值，根据整式乘法法则展开，然后合并同类项，最后将代入即可． 【详解】解： ， ， ∴原式． 23. 在中，，． （1）求作线段的垂直平分线，与线段相交于点，与线段相交于点．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在你所作的图形中，连接． 求证：是等边三角形． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两弧的交点作直线即可； （2）根据有三个角是的三角形是等边三角形证明即可． 【小问1详解】 解：如图，直线为所求作直线，点D，点E为所求作点． 【小问2详解】 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握作线段的垂直平分线，属于中考常考题型． 24. 如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且 （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）可根据“”判断； （2）由，，可判断为等腰直角三角形，则，可得到，再根据得到，然后根据进行计算． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴和是直角三角形． ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ∵， ， ． 25. 如图1，在中，，边的垂直平分线与的外角的平分线相交于点E，与，分别相交于点F，G． （1）求证：； （2）如图2，连接，． ①试探求和的数量关系，并说明理由； ②求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①，理由见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证，再由平行线和角平分线的性质可证，利用等腰三角形的性质即可证； （2）①通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可证明两角相等；②通过角的等量代换和三角形内角和定理可证； 本题主要考查了平行线、等腰三角形、全等三角形的判定和性质，垂直平分线和角平分线的性质，熟练掌握利用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵于点F， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴； ∵平分， ∴． ∴， ∴． 【小问2详解】 ①过点E分别作于点I，于点H， 则． ∵平分， ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ②证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $