江苏省仪征中学、江苏省江都中学、江苏省高邮中学2025-2026学年高三上学期12月份联合考试数学试卷

江苏省仪征中学、江苏省江都中学、江苏省高邮中学 2025-2026学年度第一学期高三12月份联合测试数学试卷 分值：150分时间：120分钟 命题单位：江苏省仪征中学 命题人：陈宏强 审核人：鲁媛媛 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求)》 1.已知集合A=x2≥0，B=dx>1,则AnB=() A.(1,2) B.(1,2] C.(2,+o) D.[2,+o) 2.已知复数z满足z=(1-),则lz=() A.1 B.2V2 C.2 D.2 3.若双曲线mx2+y2=1的一条渐近线方程为y=2x,则%=() A君 B.-2 C.- D.-4 4.设a=30.7,b=孕-0.8，c=logo.70.8,则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 5.已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为() A.36v3 B.36√6 C.108v√3 D.1086 6.过点(2V2,0)作直线l与曲线y=V4-x2相交于A,B两点，0为坐标原点，当2A0B=时，直 线的斜率为() A.±9 B.-9 C.t/3 D.-3 7.一条直线与函数y=nx和y=ex的图象分别相切于点P(x1,y1)和点Q(x2,y2),则(1-x1)(1+x2) 的值为() A.2 B.2e C.0 D.In2 8.已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递减，且f(3)=0,若关于x的不等式 (mx-2)f(x-2)≥(nx+3)f(2-x)的解集为[-1，+o),则em-2n+en+1的最小值为() A.2ve B.2e C.2e2 D.2e3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.己知函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则( A.b+c>0 B.abc<0 C.2a+b+c>0 D.关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集为(-3,1) 7-3 10.己知抛物线x2=4y的焦点为F,A,B是抛物线上两动点，下列说法正确的有( A.抛物线的焦点坐标为F(0,-1) B.若|AF+BP=8,则线段AB的中点到x轴的距离为3 C.以线段AF为直径的圆与x轴相切 D.以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切 1.在ABC中，若+器 sinA =4cosC,则( A.sin2A+sin2B sin2C B.C的最大值为 2 C.sinAsin(C-B)=sinBsin(A-C) D.1+1 、2 tanB tanc 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若“1<x<2”是“x-m<1”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 13.己知边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为C1D1,A1B1的中点，则点B到平面AEF 的距离为 14.如图，P为矩形ABCD边AB中点，M,N分别在线段EF、CD上， D 其中AB=4,BC=3,AE=BF=1,若PM·PN=4, W 则PM+PNI的最小值为 E M P B 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有 平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率 分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率： (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望. 16.(本小题满分15分) 己知四棱台ABCD-AB,CD,底面ABCD是边长为2的菱形，AA⊥平面ABCD, ∠ABC=60°，AA=AB1=1,E是BC的中点： A (1)证明：AE⊥平面ADDA: B C (2)求平面ADE与平面ADE夹角的余弦值 B 17.(本小题满分15分) 己知函数f(x)=2 sinxcosx+2V3cos2x-V3, (1)求f(x)的单调递增区间： (2)当x∈[-子时，求fx)的最值： (3)当x∈[后，时，关于x的不等式afGx-3-fx+≥4有解，求实数a的取值范围. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C若+品=1(a>b>0)的焦距为2，点P(1,引在椭圆C上 (1)求椭圆C的方程： (2)M,N是椭圆C上的两个动点，直线PM、PN的倾斜角互补，O为坐标原点 ①直线MN的斜率是否为一个定值？若是定值，求出该定值：若不是定值，请说明理由. ②求△OMN面积的最大值 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xex+asinx, ()当a=0时，求证：四>x+1; (2)若f(x)>0对x∈(0，π)恒成立，求a的取值范围： (3)若存在x1,x2∈(0，π)，使得f(x1)=f'(x2)=0,求证：x1<2x22025-2026学年度第一学期高三12月份联合测试数学试卷 参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求) 1.C2.D3.D4.D 5.A 6.B 7.A 8.B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.AD 10.BCD 11.BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.[1,2] 13.5 14.2y5 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概 率如下表： 第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛 甲学校获胜概率 0.5 0.4 0.8 乙学校获胜概率 0.5 0.6 0.2 甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场， ①甲学校3场全胜，概率为：P1=0.5×0.4×0.8=0.16, ②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44, 所以甲学校获得冠军的概率为：P=P1+P2=0.6: (2)乙学校的总得分X的可能取值为：0,10,20,30，其概率分别为： P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44, P(X=20)=0.5×0.6×08+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34, P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06, 则X的分布列为： X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 X的期望EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13 16.(本小题满分15分) (1)证明：因底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是BC的中点，所以AE⊥BC, 又ADIIBC,则AE⊥AD.又AA⊥平面ABCD,AEC平面ABCD,所以AA⊥AE. 因为AA,ADC平面ADDA,且AA∩AD=A,所以AE⊥平面ADDA, (2)解：因为A4⊥平面ABCD,AA⊥AE,AE⊥AD,所以AE,AD,A4两两垂直. 以A为原点，AE,AD,A4所在直线分别为七，y,=轴，建立空间直角坐标系 则A(0,0,0),E(V3,0,0),A(0,0,1),D(0,2,0),D(0,1,1), 设平面ADE的一个法向量为m=(a,b,c), AD=(0,1,1),AE=(5,0,0) mAD=0 [b+c=0「b=-c 则 mAE=0 所以5a=0即a=0, 取b=1,得m=(01,-1), 设平面4DE的法向量为=（化，y,z),AD=(0,1,0),AE=(V3,0,-1), AD=0 y=0 则 所以 AE=0 V5x-=0取=3.得n=(W50,3), m 3 设平面ADE与平面ADE夹角为日，则cos日 m闭V2×254 故平面40B与平面40E夹角的余弦值为N 4 17.(本小题满分15分) 解：(1)由题意，得函数f(x)=2 sinxcosx+2v3cos2x-√3=sin2x+√3cos2x =2Gsin2x+号cos2）=2sin(2x+9, 由2m-≤2x+号≤2kr+0kcZ),解得m-晋≤x≤km+ke刃， 所以f)的单调递增区间为km-登km+引k∈2)： (2)当xe[-3时，2x+号∈[-号，，所以sm(2x+9∈[-，1， 则f)E[-√3,2]，当2x+写=-即x=-时，函数f()取得最小值为-V3: 当2x+号=即x=时，函数f(0)取得最大值为2： 3)由题意得xe匠，]时，afx-3-fec+没)=2 asinx-2cos2x≥4有解， 而此时six>0,即a≥2+cos2有解， sinx 只需要a≥2鸟马nn即可，24m整-3=品一2sin,xe后，身， sinx sinx sinx 令t=sinx,te分，1，则y=-2t在[吃，1]上单调递减， 所以当t-1时，nn-1,即(2马a-1, 所以{ala≥1. 18.（本小题满分17分) 解：(1)设椭圆的左、右焦点分别为耳、耳，因为焦距为2， 所以2c=2c=1且PR1x轴，放-3， a-2 又由于d=b2+c2=b2+1,所以得a=2,b=√3， 故椭圆c方程为父+少-1 43 (2)①设M(x,y),N(x2,y2),直线N的方程为y=x+m, 由于直线PM,PN的倾斜角互补，故kM+kw=O y=你+m 联立方程 +-1整理得(3+4)x+8咖+4m-12=0, 43 故△=(8m)°-4(3+4k2)(4m2-12)=483+4k2-2)>0,即<3+42， 且x+x2= 8km 412-12 3+42’32= 3+42 3 k pM hpn =2k+k+m-3）当+3-2 =2k-k+m- 3)8k2+8a+6 2x2-(x+x2)+1 241m2+4k2+8a- F.C =2k 8+8m+6-12k6=0,所以k=】 2(2m+2k+3)2(2m+2k+3) 1 ②直线N的方程为V=2x+m,且0Sm<3+4=4, 原点到直线N:x-2y+2m=0的距离为d=2m 5 所以吉ad54-时5m--4s 故当且仅当m=±√2时，△ON的面积的最大值为5 19.(本小题满分17分) 解：(1)证明：由a=0,得f(x)=xex, 要证/G四>x+1,只要证e×-x-1>0,令g()=e*-x-1,则g'()=e*-1, 当x∈(-∞，0)时，g'(x)<0,则g(x)单调递减，当x∈(0，+o)时，g'(x)>0,则g(x)单调递增， 所以g(x)>g(0)=0,即ex>x+1,因此/四>x+1: (2)f'(x)=(x+1)ex+acosx,f(0)=0, h(x)=f'(x),h'(x)=(x+2)e*-asinx, ①当a≥0时，由x∈(0，m),得xex>0,asix≥0，因此f(x)>0,满足题意， ②当a<0时，由x∈(0，m),得(x+2)ex>0,-asinx>0, 因此h'(x)>0,则f'x)在(0，π)上单调递增， 1°若-1≤a<0,则f'(x)>f'(0)=1+a≥0，则f(x)在(0，)上单调递增， 所以f(x)>f(0)=0,满足题意， 2°若a<-1,则f'(0)<0,f'孕>0，因此f'(x)在(0，m)存在唯一的零点x,且xo∈(0，， 当0<x<xo时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当xo<x<π时，f(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(xo)<f(0)=0,不合题意， 综上，a的取值范围为-1，+∞)： (3)证明：由(2)知a<-1,设x0=为2∈(0，， 所以f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2,π)上单调递增， 注意到f(0)=0,f(x2)<f(0)=0,f(π)=πeπ>0， 故f(x)在(0，)上存在唯一的零点x1,x1∈(x2,π)， 注意到x1,2x2∈(x2,π)，且f(x)在(x2,π)上单调递增， 要证明x1<2x2,只要证f(x1)<f(2x2), 因为f(x1)=0,所以只要证f(2x2)>0,即证2x2e2x2+asin2x2>0, 因为(x2+1)e2+acosx:2=0,即a=-2+e2 COSX2 所以只要证2x,e2-色+1esin2x2>0,只要证x2e*2-(x2+1)sin名2>0，x2∈(0，孕()， COSX2 由(1)得e*2>x2+1, x2ex2-(x2+1)sin x2>+2-(x2+1)sin x2=(x2+1)(x2-sin x2), 设m(x)=x-sinx,0<x<,则m'(x)=1-cosx>0, 所以m()在(0，上单调递增，所以m(x)>m(0)=0,从而m(x2)>0,即x2-sinx2>0, 因此(*)得证，从而x1<2x2