精品解析：海南省文昌中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

2025—2026学年度第一学期高二第二次月考试题 数 学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置. 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写.选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效.写在试卷上无效. 第Ⅰ卷 （选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 且，故. 故选：C. 2. 已知等差数列中，，则的值是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项计算即可. 【详解】设公差为， 则. 故选：C. 3. 在等比数列中，，则公比（ ） A. 6 B. 3 C. 或6 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列性质知，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】数列为等比数列，且， ，又， 所以，即， 解得或． 故选：C． 4. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ） A. B. R与G互斥但不对立 C. D. S与T相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义求解， 【详解】对于A，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”是对立事件， 所以，故A正确； 对于B，"两次都摸到红球"和"两次都摸到绿球”，不能同时发生，但能同时不发生， 所以R与G互斥但不对立，故B正确； 对于C，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”， 所以，故C正确； 对于D，从袋中不放回地依次随机揽出2个球，不同的结果有： ，共12种结果， 事件S包含这6种结果，， 事件T包含这6种结果，， 事件ST包含这2种结果，， ，所以S与T不是相互独立事件，故D错误. 故选：D. 5. 数列的前n项和，则（ ） A. 70 B. 120 C. 40 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】通过，先求出，当时，构造，得出，然后求出即可. 【详解】由， 所以当时，， 当时，， 所以 ， 当时，满足， 所以， 故选：A. 6. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理可知，，结合直线的位置关系，即可求解. 【详解】圆 的圆心为，而点， 所以 由题意可知，， 则，所以 所以弦所在的直线的方程为， 即. 故选：A. 7. 已知数列的前项和为，若，且，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出数列的项，得出是以为周期的数列，从而可解. 【详解】数列中，且，， 所以 从而可知数列是以为周期的数列，且， 则. 故选：B 8. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过作轴，根据条件表示出，，然后利用斜率公式得到的等式，进而即得. 【详解】 过作轴，交轴于点，为等腰三角形，， ，为等腰三角形，， ，轴，， ， 是双曲线的左顶点，，， 点在过且斜率为的直线上， ，，， 在中，，， ，， ，， ，. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，判断下列结论的正确性：（ ） A. 若，则是双曲线，其渐近线方程为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则是圆，其半径为 D. 若，，则是两条直线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线、椭圆、圆、直线与二元二次方程之间的关系，结合满足的条件可确定表示的曲线，再结合各曲线的性质依次判断各选项即可. 【详解】对于A，若，则，曲线表示双曲线， 则其渐近线方程为：，A错误； 对于B，若，则，曲线表示椭圆， 又，椭圆的焦点在轴上，B正确； 对于C，若，则曲线表示圆，半径为，C错误； 对于D，若，，则曲线，即， 表示两条直线，D正确. 故选：BD. 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，为坐标原点，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 的方程为 C. D. 在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，结合抛物线方程及导数的几何意义逐项判断即可. 【详解】由点在抛物线上，得，， 对于A，直线的斜率，因此直线的倾斜角为，A正确； 对于B，抛物线的准线方程为，B错误； 对于C，为焦点，则，C正确； 对于D，由，求导得， 则在点处的切线斜率为， 切线方程为，即，D正确. 故选：ACD 11. 对于正项数列，定义：为数列的“匀称值”．已知数列的“匀称值”为，前项和为，则下列关于数列的描述正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为递减数列 C. D. 记，则数列有最大项 【答案】AD 【解析】 【分析】由条件求出数列的通项公式，利用定义证明数列为等差数列，即可判断A，B；求出数列的前n项和的解析式，进而得到的解析式，并求出的值，即可判断C；若数列有最大项，根据列出不等式组，并求出的值，即可判断D. 【详解】因为数列的“匀称值”为， 即， 所以①. 当时，②， 当时，①减去②可得 ， 两边同时除以，可得. 当时，由①可得，符合上式， 所以数列的通项公式为. 因为， 所以数列是以1为公差的等差数列，故A正确； 因为公差，所以数列为递增数列，故B错误； 因为等差数列的前项和， 所以，所以，故C错误； 因为， 所以若数列有最大项，则有， 即，化简得， 解得，所以为数列有最大项，故D正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷 （非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆关于原点对称的圆的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆的方程得出圆心及半径，再得出对称点，进而得出圆的标准方程. 【详解】圆圆心为半径为1， 所以圆关于原点对称的圆的圆心为半径为1， 所以圆关于原点对称的圆的方程为. 故答案为：. 13. 已知数列的通项公式为，数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则_________． 【答案】50 【解析】 【分析】依题意求出的通项，通过分别列举找到两者的公共项，发现构成等差数列，利用等差数列的基本量运算即得. 【详解】由题意， 将两数列列举出来可得： 可得两数列的公共项依次为，构成公差为12的等差数列， 于是. 故答案为:50． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P、Q在椭圆上且关于原点对称，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，得出，整理，令，利用单调性求最小值． 【详解】设， ， 因为关于原点对称，， ，， ， 令， 则在上单调递减，在上单调递增， 时， ， 所以的最小值为， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 【答案】（1）； （2）时取得最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 故， 所以. 【小问2详解】 由，且， 所以， 故时取得最大，最大值为. 16. 已知椭圆的离心率，一个焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为1的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求出、，即可解出椭圆方程； （2）设直线方程为，联立椭圆方程再利用弦长公式即可求出直线方程； 【小问1详解】 由题知，，则， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线方程为，点，， 由方程组，化简得：， ，可得. ， ，解得， 直线方程或. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可； (2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【详解】（1）因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以. （2）[方法一]：通性通法—坐标法 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，设, 所以， 设为平面的法向量， 则由可求得平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以，解得． 又点C到平面的距离为，所以， 所以三棱锥的体积为． [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作，垂足为点G． 作，垂足为点F，连结，则． 因为平面，所以平面， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由已知得，故． 又，所以． 因为， ． [方法三]：三面角公式 考虑三面角，记为，为，， 记二面角为．据题意，得． 对使用三面角的余弦公式，可得， 化简可得．① 使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．② 将①②两式平方后相加，可得， 由此得，从而可得． 如图可知，即有， 根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得， 结合的正切值， 可得从而可得三棱锥的体积为． 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理； 方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解. 方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速. 18. 已知函数，数列满足，， （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求； （3）对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过取倒数法，利用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可； （2）结合（1）的结论，利用等比数列的前项和公式进行求解即可； （3）结合（2）的条件，结合作差法判断数列的单调性，利用单调性进行求解即可. 【小问1详解】 因为函数， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以. 【小问3详解】 由（2）可知：， 所以由， 因为， 所以由， 设， 由， 由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，， 于是有时，， 所以，，因此， 存在，使得成立，则有， 因此实数k的最大值. 19. 在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为抛物线上位于第一象限内的点.当时，有. （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线的另一个交点为，点，在直线上的射影分别为点，，过点且与垂直的直线与直线相交于点，证明：是线段的中点； （3）设过定点的直线与抛物线交于，两点.若，且，两点的横坐标均与点的横坐标不相等，试判断直线，的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围. 【答案】（1） （2）由上可知，点的坐标为， 若直线的斜率不存在，则直线垂直于轴，是与轴的交点，显然是的中点， 若直线的斜率存在，易知该直线斜率不为0，可设直线的方程为， 联立整理得， 设点，的坐标分别为，，则， 则，的坐标分别为，， 直线的方程为，于是点的坐标为， ，，三点在同一直线上，，是线段的中点； （3）是定值 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于的方程求解即可； （2）求点的坐标为，再利用三点共线可得证； （3）由韦达定理。结合直线的斜率公式，化简计算可得为常数即可. 【小问1详解】 由，得， 为抛物线上位于第一象限内的一点， 设，，则，即， 由题知，，解得， 抛物线的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 可设（）， 由上可得，， 由，得，解得， 点的坐标为，由题意得直线必不垂直于轴， 可设，联立 整理得， 其中恒成立， 设，， 由韦达定理，有，， 进而得， ， ， 综上可得，直线，的斜率之积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高二第二次月考试题 数 学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置. 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写.选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效.写在试卷上无效. 第Ⅰ卷 （选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列中，，则的值是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 3. 在等比数列中，，则公比（ ） A. 6 B. 3 C. 或6 D. 或3 4. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ） A. B. R与G互斥但不对立 C. D. S与T相互独立 5. 数列的前n项和，则（ ） A. 70 B. 120 C. 40 D. 14 6. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和为，若，且，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，判断下列结论的正确性：（ ） A. 若，则是双曲线，其渐近线方程为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则是圆，其半径为 D. 若，，则是两条直线 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，为坐标原点，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 的方程为 C. D. 在点处的切线方程为 11. 对于正项数列，定义：为数列的“匀称值”．已知数列的“匀称值”为，前项和为，则下列关于数列的描述正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为递减数列 C. D. 记，则数列有最大项 第Ⅱ卷 （非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆关于原点对称的圆的方程为________． 13. 已知数列的通项公式为，数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则_________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P、Q在椭圆上且关于原点对称，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 16. 已知椭圆的离心率，一个焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为1的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 18. 已知函数，数列满足，， （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求； （3）对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 19. 在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为抛物线上位于第一象限内的点.当时，有. （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线的另一个交点为，点，在直线上的射影分别为点，，过点且与垂直的直线与直线相交于点，证明：是线段的中点； （3）设过定点的直线与抛物线交于，两点.若，且，两点的横坐标均与点的横坐标不相等，试判断直线，的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $