精品解析：四川省达州市达川区达州中学联盟2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

四川省达州中学联盟期中 九年级数学 （时间：120分钟满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 如图，漏斗是实验室中常见的一种仪器，其主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的主视图．熟练掌握从正面看到的是主视图是解题的关键．根据从正面看到的是主视图进行判断即可． 【详解】解：由题意知，主视图如下： ． 故选B． 2. 我们在学习四边形时．先学习了平行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ） A. 转化 B. 归纳 C. 由一般到特殊 D. 数形结合 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，读懂题意是解题的关键．依据探究过程并结合选项可作出判断． 【详解】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊． 故选：C． 3. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A．，不是成比例线段，不合题意； B．，不是成比例线段，不合题意； C．，不是成比例线段，不合题意； D．，是成比例线段，符合题意； 故选：D． 5. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 1 B. －1 C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需同时满足次数和系数条件．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴ 且， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】延长PA、PB交x轴于E、C，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于F，由A、B、P的坐标求出AB，PD，PF的长，证明△PEC∽△PAB，得到，代入数值求出结果． 【详解】解：延长PA、PB交x轴于E、C，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于F， ∵ 的坐标分别为． ∴AB=6-0=6，轴， ∵ ， ∴PD=6，PF=6-2=4， ∵轴， ∴△PEC∽△PAB， ∴ ∴， ∴EC=9， 故选：B． ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定及性质，正确构造相似三角形进行证明是解题的关键． 8. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造4个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则大正方形边长为7，该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为45，则该方程的正数解为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程是解决本题的关键．根据阴影部分的面积四个矩形的面积大正方形的面积，得出，解方程即可． 【详解】解：∵阴影部分的面积为45， ∴，即， ∴大正方形边长为， ∴该方程的正数解为． 故选：C． 9. 如图，将矩形沿对折，点落在处，点落在边上处，与相于点，若，，，则周长的大小为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质可知，，利用勾股定理可求出AH的值，得出三角形HAE的周长，再通过证明，根据三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵根据折叠的性质可知，， ∴ 解得： ∴ ∴三角形HAE的周长为12 根据同角的余角相等，可得出 ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查的是折叠问题，涉及的知识点有勾股定理，相似三角形的判定及性质，难度不大． 10. 如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边，使点A与点F在直线同侧，交于点G，交于点H．给出下面四个结论：①；②；③若，则；④若，则四边形是菱形． 上述结论中，正确的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、菱形的判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、菱形的判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故④正确； 故选D． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则__________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 将已知根代入方程求解参数m． 【详解】解：将代入方程， 得， 即， 整理得， 解得． 故答案为：2． 12. 如图，大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴ 故答案为：． 13. 杨柳食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表： 碟子的个数 1 2 3 4 … 碟子的高度（单位：） 2 3.5 5 6.5 … 现在分别从三个方向上看若干碟子，得到的三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠成一摞后的高度为__________． 【答案】23 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类问题及由三视图判断几何体的知识，找出碟子个数与碟子高度之间的关系式是此题的关键． 根据三视图得出碟子的总数，由（1）知每个碟子的高度，即可得出答案． 【详解】解：由表格知：看出碟子数为x时，碟子的高度为； 由三视图可知共有15个碟子， ∴叠成一摞的高度， 故答案为：23． 14. 如图所示，四边形是正方形，边长为6，点分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且D点的坐标为，P是上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理，连接，由正方形的性质可得点关于直线对称，，从而可得，推出，连接，交于点P，则当点在同一直线上时，最小，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形为正方形， 点关于直线对称，， ， ， 连接，交于点P，则当点在同一直线上时，最小，为， 点的坐标为， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 15. 如图，一张锐角三角形纸片，点D、E分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积等知识，根据同高的两个三角形面积之比等于对应的底之比可求出，设，则，，根据沿将剪成面积相等的两部分，可求出，进而求出，然后同高的两个三角形面积之比等于对应的底之比求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. 用适当方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）移项后根据因式分解法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 17. 中国高铁近年来以震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”． 修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道（在山的两侧），工程人员为了计算两点之间的直线距离，选择了在测量点进行测量，点分别在上，现测得米，米，米，米，米，求隧道的长． 【答案】隧道的长为3000米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，将实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 先根据题中的数据可得，再结合可得，根据相似三角形的性质可得，最后将数据代入计算即可． 【详解】解：，， ． 又， ． ． 又米， 米． 答：隧道的长为3000米． 18. 为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表． 组别 分数段 频次 频率 A 60≤x＜70 17 0.17 B 70≤x＜80 30 a C 80≤x＜90 b 0.45 D 90≤x＜100 8 0.08 请根据所给信息，解答以下问题： (1)表中a=______，b=______； (2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数； (3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率． 【答案】（1）0.3 ，45；（2）108°；（3）． 【解析】 【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b； （2）B组的频率乘以360°即可求得答案； （3）画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率； 【详解】（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a==0.3，b=100×0.45=45（人）． 故答案为0.3，45； （2）360°×0.3=108°． 答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°． （3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得： ∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种， ∴甲、乙两名同学都被选中的概率为=． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19. 小明和小华观察一个长方体纸盒(单位:厘米)， 这个长方体纸盒的表面积是多少平方厘米?它的容积是多少立方厘米? 【答案】1050平方厘米；2250立方厘米. 【解析】 【分析】根据正视图和俯视图，得到长方体的长为15，宽为10，高为15，然后根据表面积和体积的计算公式，即可得到答案. 【详解】解：根据正视图和俯视图，可知：长方体的长为15，宽为10，高为15， ∴长方体的表面积为： 平方厘米； ∴长方体的容积为：立方厘米； 【点睛】本题考查了几何体的三视图，以及长方体的体积和表面积，解题的关键是掌握三视图的定义，正确求出长方体的长宽高. 20. 如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接． （1）求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）证明：四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图，四边形即为所求， （2） 证明：作图可知：垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，三角形全等的判定和性质，菱形的判定； （1）作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点A、B，连接、即可； （2）根据作图可知：垂直平分，则，，根据平行线的性质可得，，进而证明得出，即可证明为平行四边形，进而根据邻边相等即可得证四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若，为该方程的两个实数根，且满足，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵ 又∵ ∴ ∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系； （1）当一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根，先计算根的判别式，证明判别式大于0即可； （2）由根与系数的关系得，，然后代入即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，， ∵ ∴ ∴ 解得 故答案为：. 22. 根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材1 随着数字技术、新能源，新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇，天府科技园工作实验室借助智能化，对某款电动车的零部件进行一体化加工，以相同的生产效率提升，该零件7月份生产500个，9月份生产720个． 素材2 该工作实验室的零部件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零部件售价为50元/个时，月销售量为800个，若在此基础上售价每下降2元，则月销售量将增加20个．为刺激经济的快速增长，政府给予实验室支持，当销量不低于900个时，每个将有5元的科技创新补贴． 问题解决 任务1 该工作实验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使工作实验室月销售利润达到13500元，而且尽可能让车企得到实惠，社会普及增加，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】 任务1：平均增长率为；任务2：该零件的实际售价应定为40元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： 任务1：设平均增长率为，根据该零件7月份生产500个，9月份生产720个，列出方程进行求解即可； 任务2：设该零件的实际售价应定为元，根据利润等于单件利润乘以销量加上政府补贴，列出方程进行求解即可． 【详解】解：任务1：设平均增长率为，由题意，得：， 解得：（舍去）； 答：平均增长率为：； 任务2：设该零件的实际售价应定为元，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 当时，销售数量为，符合题意； 答：该零件的实际售价应定为40元． 23. 如图1，中， ，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理．现请你用射影定理解决下列问题： 如图2，正方形的边长为，点是对角线的交点，点在上，过点作，垂足为，连接． （1）试利用射影定理证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图， 四边形为正方形， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理： （1）先根据正方形的性质得到，利用射影定理得到，，即可证明； （2）用勾股定理求出，在含有角的直角三角形中用三角函数求出，由（1）的结论可证明出，得到比例代入数值计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，而， ， 在中，， 四边形为正方形，是对角线， ，， ， 在中，， ， 即， 而， ， ， 即， ． 24. “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． 原式：． 可知当时有最小值是． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： （1）当______时代数式有最小值是______； （2）当m、n满足什么条件时，多项式有最小值，并求出这个最小值． （3）在长方形中，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接、、．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 【答案】（1）3；5； （2）当时，多项式有最小值是21； （3），当时，S有最小值，最小值是4． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方式的特征是解题关键． （1）仿照例题，运用“配方法”求解即可； （2）仿照例题，运用“配方法”求解即可； （3）由题意可知，，，，进而得出，，再根据列式，然后利用“配方法”求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 即当时代数式有最小值是， 故答案为：3；5； 【小问2详解】 解： ， ， ， 当时，多项式有最小值是21； 【小问3详解】 解：由题意可知，，，， 在长方形中，，， ，，， ，， ， ， ， ， 当时，S有最小值，最小值是4． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B． （1）直接写出A，B的坐标； （2）点P在直线上，点Q在坐标平面内，是否存在以，为对角线的四边形是菱形，若存在，请求出菱形的面积S，若不存在，请说明理由； （3）平面内一动点满足（a为常数），过两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得与相似，求a的值． 【答案】（1）， （2）存在，30 （3）3或 【解析】 【分析】（1）由得，在中，令得，故； （2）设，，由为对角线，则的中点重合，且，有，解方程组可求出点P的坐标，然后根据割补法求出的面积，最后根据菱形的性质求解即可； （3）如图，设点，则，，由，可得，即，求出，直线的表达式为，把代入得：，即，根据有且只有一点C，使得与相似，知，即可解得a的值． 【小问1详解】 解：由得， ∴， 在中，令得， ∴； 【小问2详解】 解：平面内存在一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形， 理由如下： 设，， ∵为对角线， ∴的中点重合，且， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴菱形的面积； 【小问3详解】 解：如图，设点，则，， ∵与相似， ∴E只能在点B左侧， ∴， 若，则， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为，将点A，点D的坐标代入得： 解得， ∴直线的表达式为， 把代入得：， ∴， ∵有且只有一点C，使得与相似， ∴方程有且只有一个实数根， ∴， 解得或； 故满足条件的a值为3或． 【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、两点间距离公式、相似三角形的判定与性质，菱形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州中学联盟期中 九年级数学 （时间：120分钟满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 如图，漏斗是实验室中常见的一种仪器，其主视图为（　　） A. B. C. D. 2. 我们在学习四边形时．先学习了平行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ） A. 转化 B. 归纳 C. 由一般到特殊 D. 数形结合 3. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 4. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. B. C. D. 5. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 1 B. －1 C. D. 不存在 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 7. 如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 8. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造4个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则大正方形边长为7，该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为45，则该方程的正数解为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 9. 如图，将矩形沿对折，点落在处，点落在边上处，与相于点，若，，，则周长的大小为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 6 10. 如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边，使点A与点F在直线同侧，交于点G，交于点H．给出下面四个结论：①；②；③若，则；④若，则四边形是菱形． 上述结论中，正确的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则__________ 12. 如图，大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为______． 13. 杨柳食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表： 碟子的个数 1 2 3 4 … 碟子的高度（单位：） 2 3.5 5 6.5 … 现在分别从三个方向上看若干碟子，得到的三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠成一摞后的高度为__________． 14. 如图所示，四边形是正方形，边长为6，点分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且D点的坐标为，P是上一动点，则的最小值为__________． 15. 如图，一张锐角三角形纸片，点D、E分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为__________． 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. 用适当方法解下列方程： （1） （2） 17. 中国高铁近年来以震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”． 修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道（在山的两侧），工程人员为了计算两点之间的直线距离，选择了在测量点进行测量，点分别在上，现测得米，米，米，米，米，求隧道的长． 18. 为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表． 组别 分数段 频次 频率 A 60≤x＜70 17 0.17 B 70≤x＜80 30 a C 80≤x＜90 b 0.45 D 90≤x＜100 8 0.08 请根据所给信息，解答以下问题： (1)表中a=______，b=______； (2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数； (3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率． 19. 小明和小华观察一个长方体纸盒(单位:厘米)， 这个长方体纸盒的表面积是多少平方厘米?它的容积是多少立方厘米? 20. 如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接． （1）求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）证明：四边形是菱形． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若，为该方程的两个实数根，且满足，求k的值． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材1 随着数字技术、新能源，新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇，天府科技园工作实验室借助智能化，对某款电动车的零部件进行一体化加工，以相同的生产效率提升，该零件7月份生产500个，9月份生产720个． 素材2 该工作实验室的零部件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零部件售价为50元/个时，月销售量为800个，若在此基础上售价每下降2元，则月销售量将增加20个．为刺激经济的快速增长，政府给予实验室支持，当销量不低于900个时，每个将有5元的科技创新补贴． 问题解决 任务1 该工作实验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使工作实验室月销售利润达到13500元，而且尽可能让车企得到实惠，社会普及增加，则该零件的实际售价应定为多少元？ 23. 如图1，中， ，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理．现请你用射影定理解决下列问题： 如图2，正方形的边长为，点是对角线的交点，点在上，过点作，垂足为，连接． （1）试利用射影定理证明：； （2）若，求的长． 24. “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． 原式：． 可知当时有最小值是． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： （1）当______时代数式有最小值是______； （2）当m、n满足什么条件时，多项式有最小值，并求出这个最小值． （3）在长方形中，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接、、．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B． （1）直接写出A，B的坐标； （2）点P在直线上，点Q在坐标平面内，是否存在以，为对角线的四边形是菱形，若存在，请求出菱形的面积S，若不存在，请说明理由； （3）平面内一动点满足（a为常数），过两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得与相似，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $