期末复习分类训练：圆的最值问题 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

圆的最值问题（苏科版） 1.如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点P在经过点，的直线上，PQ与相切于点Q，则切线长PQ的最小值为(    ) A. B. C. 3 D. 4 2.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形ABCD中，M、N分别是AB、BC上的格点，，若点P是这个网格图形中的格点，连接PM、PN，则所有满足的中，边PM的长的最大值是(    ) A. B. 6 C. D. 3.如图，AC是的弦，，B是上的一个动点，且，若M，N分别是AC，BC的中点，则线段MN长的最大值是          . 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，C为平面内的动点，且满足，D为直线上的动点，则线段CD长的最小值为          . 5.如图，在等边中，，点D，E分别在边BC，AC上，且，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是          . 6.如图，在矩形ABCD中，，M为BC的中点，P是矩形内一动点，且满足，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则的最小值为          . 7.如图，在等腰直角三角形ABC中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是          . 8.如图，是的外接圆，AC为直径，若，，点P在内运动且始终保持，则CP的最小值为          . 9.如图，在矩形ABCD中，，，M是边AB上一动点不含端点，将沿直线DM对折，得到当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则的面积为          ；DP的最大值为          . 10.如图，在正方形ABCD中，，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为          . 11.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，，，点D为斜边AB的中点，E是AC上一动点，过点D作DF垂直于DE交BC于点F，连接EF，则EF的最小值是          . 12.已知，点A、B分别在射线OM、ON上运动， 如图①，若，取AB的中点D，点A、B运动时，点D也随之运动，点A、B、D的对应点分别为、、，连接OD、判断OD与有什么数量关系？证明你的结论． 如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离． 如图③，若，当点A、B运动到什么位置时，的面积最大？请说明理由，并求出面积的最大值． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】略 2.【答案】C  【解析】如图，作MN的垂直平分线OQ，并使，以点O为圆心，OM为半径作圆，为MN的垂直平分线且，，，，弦MN所对的的圆周角为，点P在优弧上，PM为的弦，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O，此时最大，等于的直径．，，，，，，故选 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】解：如图，是等边三角形， ，， ， ≌ ， 又， ， ， ， 点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动， 连接OC交于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值 故答案为 首先证明，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动，连接OC交于N，当点F与N重合时，CF的值最小． 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关性质等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题． 6.【答案】7  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ， ， ， 点P的运动路线为以AD为直径的圆， 作以AD为直径的，作点M关于直线DC的对称点，连接交于点，连接，OP， 则，， ， 的最小值为； 连接OM， 四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点，点M为BC的中点， ，，， 四边形OMCD是矩形， ， 点M关于直线DC的对称点， ， 在中， 由勾股定理，得， 的最小值为， 故答案为： 先找出点P的运动路线为以AD为直径的圆，设圆心为O，作点M关于直线DC的对称点，连接交于点，可推出的长即为的最小值，再求出的长即可． 本题考查轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，能利用一条线段的长表示两线段的和的最小值是解题的关键． 7.【答案】  【解析】如图，取AB的中点O，AC的中点E，BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，则，且，，，四边形CEOF为平行四边形．，，四边形CEOF为正方形，，由勾股定理，得在等腰直角三角形ABC中，，，，为PC的中点，，，点M在以OC为直径的圆上．当点P在点A时，点M在点E；当点P在点B时，点M在点F，点M的路径是以EF为直径的半圆，点M运动的路径长 8.【答案】  【解析】解：取AB的中点J， 是直径，， ， ， ， ， 点P在以AB为直径的上运动，当J，P，C共线时，PC的值最小，在中，，， ，又，， 的最小值为 9.【答案】10    【解析】由题意可得的面积等于矩形ABCD的面积的一半，的面积为在中，，当AP最大时，DP即最大．由题意可得点N是在以点D为圆心，4为半径的圆上运动，当射线CN与圆相切时，AP最大，此时C、N、M三点共线，如图，由题意可得，，，，，，≌，，， 在中， 10.【答案】  【解析】如图，由，可得点E在以点G为圆心，半径为2的圆上运动，连接四边形ABCD是正方形，，，，，≌，当A、E、G三点共线时，AE最短，则CF最短．是BC的中点，，，，此时，长的最小值为 11.【答案】  【解析】如图，可知和互补，所以E、C、F、D四点共圆，EF为直径．连接CD，易得，，CD为直径时，圆最小，EF也最小，所以EF的最小值为 12.【答案】【小题1】 证明：，AB的中点为D，为的中点，且，， 【小题2】 如图①，作的外接圆I，连接CI并延长，分别交于点D和点，当点O运动到点时，OC最大，此时是等边三角形，， 【小题3】 如图②，作的外接圆，连接、，当O运动到时，的延长线与AB垂直，O到AB的距离最大，的面积最大，设此时的延长线与AB交于点H，，，由勾股定理可得半径，由垂径定理可得又，，，面积的最大值为   【解析】 见答案  见答案  见答案 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $