期末压轴题特训考向四 圆中的最值问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

次交易会.依题意,得12x (x-1)= 78,解得x1=13,x2=-12(舍去). ∴ 共有13家公司出席了这次交 易会. 4. (1) 设该品牌头盔10月到12月销 售量的月增长率为x. 由题意,得2250(1+x)2=3240,解 得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合 题意,舍去). ∴ 该品牌头盔10月到12月销售量 的月增长率为20%. (2) 设增加y条生产线. 由题意,得(900-30y)(y+1)= 3900, 整理,得y2-29y+100=0,解得 y1=4,y2=25. ∵ 要节省投入, ∴ y=4. ∴ 在增加产能的同时又要节省投入 的条件下(生产线越多,投入越大),应 该增加4条生产线. 5. (1) 设购买A种材料x套,则购买 B种材料(50-x)套. 由题意,得32x+24(50-x)≤1392, 解得x≤24. ∴ 最多能购买A种材料24套. (2) 由(1),得按计划采购,最多购买 A种材料24套,则购买B种材料 26套. 由题意,得24 1+34a% ×32 1- 3 8a% +26 1-413a% ×24 1+ 1 12a% =1392+16. 化简,得58(a%)2-37a%+4=0,解 得a1%= 1 2 ,a2%= 4 29. ∵ A、B两种材料的数量均为整数, ∴ a%=429 不合题意,舍去. ∴ a=50. 6. (1) ∵ 点P、N 重合, ∴ 2x+x2=20,解得x1= 21-1, x2=- 21-1(不合题意,舍去). ∴ 当x= 21-1时,点P、N 重合. (2) 易得点P、Q、M、N 中的点N 最 先到达运动边的另一个端点. 当点N 到达点A 时,x=25,此时点 M 和点Q 还未相遇, ∴ 点Q 只能在点M 的左侧. ① 当点P 在点N 的左侧时, 由题意,易得20-(x+3x)=20- (2x+x2),解得x1=0(不合题意,舍 去),x2=2. ② 当点P 在点N 的右侧时, 由题意,易得20-(x+3x)=(2x+ x2)-20,解得x1=-10(不合题意, 舍去),x2=4. 综上所述,当x=2或x=4时,以P、 Q、M、N 为顶点的四边形是平行四 边形. 7. (1) 24. (2) 设CD=x 米(0<x≤15),则 BC=45-x-2(x-1)+1=(48- 3x)米. 依题意,得x(48-3x)=180,解得 x1=6,x2=10. 当x=6时,48-3x=30,30>27,不 合题意,舍去; 当x=10时,48-3x=18,符合题意. ∴ 边CD 的长为10米. (3) 不能. 理由:设CD=y 米(0<y≤15),则 BC=45-y-2(y-1)+1=(48- 3y)米. 依题意,得y(48-3y)=210,整理,得 y2-16y+70=0. ∵ b2-4ac=(-16)2-4×1×70= 256-280=-24<0, ∴ 该方程没有实数根. ∴ 饲养场的面积不能达到210平 方米. 考向四　圆中的最值问题 1. C 解析:如图,过点M 作MH⊥ CD,交CD 的延长线于点H.∵ 菱形 ABCD 的边长为4,M 为AD 的中点, ∴ AM=MD=2.由折叠的性质,得 A'M=AM=2,即A'M 的长为定值. ∴ 点A'在以点M 为圆心、2为半径 的半圆上(不含端点A).易得当 M、 A'、C 三点共线时,A'C 的长取最小 值.∵ 在菱形ABCD 中,AB∥CD, ∴ ∠HDM = ∠DAB = 60°. ∴ ∠HMD=30°.∵ MD=2,∴ 易 得HD=1.∴ HM= 3.∴ HC= HD+DC=5.在 Rt△HMC 中, MC= HC2+HM2=27,∴ A'C= MC-MA'=27-2. (第1题) 2. 296 解析:设P(x,y).∵ PA2= (x+2)2+y2,PB2=(x-2)2+y2, ∴ PA2+PB2=2x2+2y2+8= 2(x2+y2)+8.∵ OP2=x2+y2, ∴ PA2+PB2=2OP2+8.连接OM 并延长,交☉M 于点P'.当点P 与点 P'重合时,OP 的长取得最大值,此时 OP 的长为OM+PM= 62+82+ 2=12.∴ PA2+PB2的最大值为2× 122+8=296. 3. 5+1 解析:如图,连接OB、OP, 将OB 绕点B 逆时针旋转60°得到 O'B,连 接 O'Q.∴ OB =O'B, ∠OBO'=60°.∵ △BPQ 为等边三角 形,∴ PB =QB,∠PBQ =60°. ∴ ∠OBO'- ∠PBO'= ∠PBQ - ∠PBO',即 ∠OBP = ∠O'BQ.在 △OBP 和 △O'BQ 中, OB=OB', ∠OBP=∠O'BQ, PB=QB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OBP ≌ △O'BQ.∴ OP=O'Q.∵ AB=2,四 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 65 边形ABCD 为正方形,P 是以边AD 为半径的圆上一点,∴ OA=OP= 1 2AB=1.∴ O'Q=OP=1.∴ 点Q 在以点O'为圆心、O'Q 长为半径的圆 上运动.∴ 当O、O'、Q 三点在同一直 线 上 时,OQ 的 长 取 最 大 值.在 Rt△OAB 中,根据勾股 定 理,可 得 OB= OA2+AB2 = 5,∵ OB= O'B,∠OBO'=60°,∴ △OBO'为等 边 三 角 形.∴ OO'=OB = 5. ∴ OQ=OO'+O'Q=5+1. (第3题) 4. 连接AO、AP、EP、DP,设☉O 分 别与边AC、AB 相切于点G、H,连接 OG、OH,则OG⊥AC,OH⊥AD. ∵ DE︵=DE︵, ∴ ∠DPE=2∠BAC=120°. ∵ PE=PD, ∴ ∠PED=∠PDE=30°. 易得DE=3PD=3AP. ∴ 当AP 长取最大值时,DE 长也取 最大值. 在Rt△AGO 和Rt△AHO 中, AO=AO, OG=OH, ∴ Rt△AGO≌Rt△AHO. ∴ ∠GAO=∠HAO=30°. ∵ ∠AGO=90°,OG=1, ∴ 易得AO=2. 当点P 在AO 的延长线上时,AP 长 有最大值,为3. 此时DE 长取最大值,为33. 5. (1) 如 图,连 接 OA、OB,设 ∠PAC=α. ∵ PA 是☉O 的切线, ∴ ∠PAO=90°. ∴ ∠OAC=90°-α. ∵ OA=OC, ∴ ∠OAC=∠OCA=90°-α. ∵ PA=PB,OA=OB, ∴ PO 垂直平分线段AB. ∴ ∠CAB=90°-∠OCA=90°- (90°-α)=α. ∴ ∠PAC=∠CAB. ∴ AC平分∠PAB. (2) 如图,设AB 交PD 于点M. 在△PAO 和△PBO 中, PA=PB, PO=PO, OA=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △PAO≌△PBO. ∴ ∠APO=∠BPO. ∴ PO 平分∠APB. ∵ AC平分∠PAB, ∴ 点C是△PAB 的内心. ∴ ☉C是△PAB 的内切圆. 设△PAB 的内切圆☉C 交PC 于 点H. ∵ ☉O 的直径为6, ∴ OA=OC=3. ∵ PO 垂直平分线段AB,AB=25, ∴ AM=BM=5. ∴ 在Rt△AMO 中,OM= OA2-AM2=2. ∵ OC=3, ∴ CH=CM=3-2=1. ∵ 点D 到☉C 上各点的最大距离为 线段DH 的长,DH=CD+CH=6+ 1=7, ∴ 点D 与△PAB 的内切圆上各点之 间的距离的最大值为7. (第5题) 6. (1) 25;3. (2) ∵ N 为☉O 的“4属相关点”, ∴ 根据定义,可得过点N 的弦长为6 的弦有1条,即直径;过点N 的弦长 为5的弦有2条;过点N 的弦长为4 的弦有1条,且过点N 的弦长为4的 弦是☉O 的最短弦. 如图①,设弦AC的长为4,过点O 作 ON⊥AC于点N,连接OC,则CN= 1 2AC=2. ∴ 在 Rt △CNO 中,ON = OC2-CN2= 32-22= 5,即点 N 在半径为5的☉O'上运动. 作射线QO',交☉O'于点N1、N2. ∵ 易得OQ=5, ∴ QN1=5-5,QN2=5+5. ∴ 5-5≤NQ≤5+5. (3) ∵ 由题意,易得r≠0,s≠0,r+ s=3(r、s都是正整数),且r<s, ∴ r=1, s=2. ∴ 过☉T 上点S作☉O 的弦,弦长为 正整数的弦有2条,即弦长为6的有 1条,弦长为5的有1条. ∴ 点 S 一 定 在 以 点 O 为 圆 心、 32- 52 2 = 112 为半径的圆上. 同理,点R 一定在以点T 为圆心、 22- 32 2 = 72 为半径的圆内. 当满足以点O 为圆心、3为半径的圆 与以点T 为圆心、72 为半径的圆有 2个交点,且同时满足以点O 为圆心、 11 2 为半径的圆与以点T 为圆心、2 为半径的圆有交点时的值符合题意. 如图②,当以点O 为圆心、 112 为半 径的圆与以点T 为圆心、2为半径的 圆外切时,此时t= 112 +2. 如图③,当以点O 为圆心、3为半径的 圆与以点T 为圆心、72 为半径的圆内 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 75 切时,此时t=3- 72. 综上所述,当3- 72 <t≤ 11 2 + 2时,存在点R、S,使得r+s=3,且 r<s. (第6题) 7. (1) 如图,连接OD. ∵ AB 为☉O 的直径, ∴ ∠ADB=90°. ∴ ∠BDC=90°. ∵ E 是BC的中点, ∴ DE=BE=12BC. ∴ ∠EDB=∠EBD. ∵ OD=OB, ∴ ∠ODB=∠OBD. ∵ ∠ABC=90°, ∴ ∠EBD+∠OBD=90°. ∴ ∠ODB + ∠EDB = 90°,即 ∠EDO=90°. ∴ DE⊥OD. ∵ OD 是☉O 的半径, ∴ DE 是☉O 的切线. (2) ∵ 在Rt△ABD 中,AD=2BD, AB2=AD2+BD2, ∴ 82=(2BD)2+BD2. ∴ BD=855. ∴ AD=1655. (3) ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠APB=90°. ∴ PA2+PB2=AB2=64. ∴ (PA+PB)2=64+2PA·PB. ∴ 当PA·PB 取最大值时,PA+ PB 取最大值. 设△ABP 的边AB 上的高为h. ∵ S△ABP= 1 2PA ·PB=12AB ·h, ∴ 当PA·PB 取最大值时,边AB 上的高h 取最大值,为AB2 =4 ,此时 S△ABP= 1 2AB ·h=12×8×4=16. ∴ PA·PB 的最大值为32. ∴ (PA+PB)2 的最大值为64+2× 32=128. ∴ PA+PB 的最大值为82. (第7题) 8. (1) 如图,过点O 作OM⊥AB 于 点M,作 ON ⊥CD 于 点 N,连 接 OB、OD. ∴ AB=2BM,CD=2DN. ∵ OE 平 分 ∠BED,OM ⊥AB, ON⊥CD, ∴ OM=ON. ∵ OB=OD,∠BMO=∠DNO=90°, ∴ Rt△BMO≌Rt△DNO. ∴ BM=DN. ∴ AB=CD. (2) ∵ 2OB+OE=10, ∴ OE=10-2OB. ∵ ∠MEN=∠EMO=∠ENO=90°, ∴ 四边形EMON 是矩形. ∴ EM=ON. ∴ OM2+ON2=OM2+EM2=OE2. ∵ AB2 + CD2 = (2BM )2 + (2DN)2 =4(BM2 + DN2)= 4(OB2-OM2 +OD2 -ON2)= 4(2OB2-OE2)=8OB2-4(10- 2OB)2=-8OB2+160OB-400= -8(OB-10)2+400, ∵ -8<0,0<OB≤5, ∴ 当OB=5时,AB2+CD2 有最大 值,最大值是200. (第8题) 考向五　与圆有关的作图题 1. (1) 如图①,△ABD 即为所求作 (作法不唯一). (2) 如图②,△AEF 即为所求作(作 法不唯一). (第1题) 2. (1) 如图,点O、D 即为所求作. 解析:如图,取格点H,连接AC、BH, AC与BH 的交点O 即为圆心.取格 点M、N,连接MN 交格线于点J,连 接OJ并延长,交☉O 于点D,点D 即 为所求作. (2) 如图,格点E、EF 即为所求作. 解析:如图,利用格线,易得点E 的位 置,连接OE、AE,取格点P、Q,连接 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 85 104 考向四　圆中的最值问题 ▶ “答案与解析”见P56 1. 如图,菱形ABCD 的边长为4,∠A=60°,M 是边AD 的中点,N 是边AB 上一动点,将 △AMN 沿MN 所在直线折叠得到△A'MN, 连接A'C,则A'C 长的最小值为 ( ) A. 23 B. 3+1 C. 27-2 D. 3 (第1题) (第2题) 2. 如图,在平面直角坐标系中,M(6,8),P 是以 点M 为圆心、2为半径的☉M 上一动点, A(-2,0)、B(2,0),连接PA、PB,则PA2+ PB2的最大值是 . 3. 如图,四边形ABCD 为正方形,P 是以边AD 为直径的☉O 上的一个动点,连接BP,以 BP 为边作等边三角形BPQ,连接OQ.若 AB=2,则线段OQ 长的最大值为 . (第3题) 4. 如图,∠BAC=60°,半径为1的☉O 与 ∠BAC 的两边相切,P 为☉O 上一动点,以 点P 为圆心、PA 长为半径的☉P 分别交射 线AB、AC 于点D、E,连接DE,求DE 长的 最大值. (第4题) 5. 如图,P 是☉O 外一点,PA 是☉O 的切线,A 是切点,B 是☉O 上一点,且PB=PA,射线 PO 交☉O 于C、D 两点,连接AC、AB. (1) 求证:AC 平分∠PAB. (2) 若☉O 的直径为6,AB=25,求点D 与 △PAB 的内切圆上各点之间的距离的最 大值. (第5题) 6. 对于☉C 和☉C 内一点P(点P 不 与点C 重合)给出如下定义:过点P 可以作出无数条☉C 的弦,若在这 些弦中,长度为正整数的弦有k 条,则称P 为☉C 的“k 属相关点”,k 为点P 关于☉C 的“相关系数”.在平面直角坐标系中,已知 ☉O 的半径为3. (1) 若点 M 的坐标为(2,0),则过点 M 的 ☉O 的所有弦中,最短的弦的长为 , 点M 关于☉O 的“相关系数”为 . (2) 已知点Q 的坐标为(3,4),若N 为☉O 的“4属相关点”,求线段NQ 长的取值范围. (3) T 是x 轴正半轴上的一点,☉T 的半径 为2,点R、S 分别在☉O 与☉T 上,点R 关 于☉T 的“相关系数”记为r,点S 关于☉O 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 105 的“相关系数”记为s.当点T 在x 轴的正半 轴上运动时,若存在点R、S,使得r+s=3, 且r<s,写出点T 的横坐标t的取值范围. 7. (2023·雅安改编)如图,在Rt△ABC 中, ∠ABC=90°,以AB 为直径的☉O 与AC 交 于点D,E 是BC 的中点,连接BD、DE. (1) 求证:DE 是☉O 的切线. (2) 若AD=2BD,AB=8,求AD 的长. (3) 在(2)的条件下,若P 是☉O 上一动点, 求PA+PB 的最大值. (第7题) 8. 如图,在☉O 中,弦AB 与弦CD 互 相垂直,垂足为E,连接OE. (1) 若EO 平分∠BED,求证:AB= CD. (2) 若2OB+OE=10,求AB2+CD2 的最 大值. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训