精品解析：吉林省吉林市第九中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

吉林市第九中学 2025-2026 学年度上学期初三年级期中考试 数学试卷 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 已知∠A是锐角，，那么∠A的度数是（） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】∵，且∠A是锐角， ∴∠A=45°. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握相关数值是解题关键. 2. 如图所示是中国部分城市关于冰雪活动设计的中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解： D项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形； A、B、C选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标， 故选：A． 5. 如图，在中，，分别是和上的点，，若，那么（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．先求解再证明可得 【详解】解： ， ， 故选：B． 6. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是求出的度数和得出．根据圆内接四边形的性质得出，求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵弧对的圆周角是，圆心角是， ∴， 故选：B 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，掌握“关于原点对称时，横纵坐标都互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 8. 已知是方程的一个根，代数式的值是________． 【答案】 2025 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由m是方程的一个根，根据一元二次方程根的定义，可得，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， 因此 ， 故答案为2025． 9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=10．如果将△ABC绕点C按逆时针旋转到△A′B′C的位置，并且点B恰好落在边A′B′上，则BB′的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得BC＝AB＝5，在根据旋转的性质得CB′＝CB，∠CB′A′＝∠CBA＝60°，则可判断△B′BC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝10， ∴BC＝AB＝5，∠ABC＝60°， ∵三角板ABC绕点C逆时针旋转，点B恰好落在边A′B′上， ∴CB′＝CB，∠CB′A′＝∠CBA＝60°， ∴△B′BC为等边三角形， ∴BB′＝BC＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质、含30度的直角三角形三边的关系． 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，关于直线的对称点为，根据的解为抛物线与轴交点的横坐标，作答即可． 【详解】解：由题意知，关于直线的对称点为， ∵的解为抛物线与轴交点的横坐标， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 11. 如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， 的长为． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值及二次根式的运算是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值及二次根式的运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 13. 吉林市承载着“京剧第二故乡”的人文内涵．京剧元素在吉林市文旅产业中也展现出了新的活力．某工厂制作京剧系列人物盲盒进行销售，月份制作该盲盒个，同年月份制作该盲盒个，求该工厂月份到月份制作该盲盒数量的月平均增长率？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解增长率的含义并建立出相应的方程．设该工厂月份到月份制作该盲盒数量的月平均增长率为，根据题意可列方程，求解方程即可，注意要根据增长率的实际意义对解进行取舍． 【详解】解：设该工厂月份到月份制作该盲盒数量的月平均增长率为， 由题意得， 解得，（舍去）， 答：该工厂月份到月份制作该盲盒数量的月平均增长率为． 14. 如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；因此此题可根据三角函数进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 15. 如图，是的直径，是的切线，连接交于点C，点D在上，，求证：． 【答案】 证明：∵是的切线，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的判定定理证明结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 16. 如图，在正三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， 又， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，，得出，证明，得出，即，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形，，， ，， 由（1）知， ， 即， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两个角对应相等的两个三角形相似． 17. 如图1是吉林市文化地标之一的世纪之舟，它于1999年正式竣工落成．某校数学兴趣小组利用无人机测量世纪之舟的主体的高度，并绘制了如图2的示意图．无人机在点处测得世纪之舟顶部点的仰角为，世纪之舟底部点的俯角为，无人机与世纪之舟的水平距离，求世纪之舟主体的高度．（结果精确到整数）参考数据：（，，）     【答案】世纪之舟主体的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；因此此题可根据三角函数进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴，， ∴； 答：世纪之舟主体的高度为． 18. 作图题． （1）如图1是的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形涂上阴影，使阴影部分为中心对称图形； （2）如图2是边长为1个单位长度的正方形网格，以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，画出旋转后的； （3）如图3是边长为1个单位长度的正方形网格，点、、、都是格点，作关于点的中心对称图形． 【答案】（1）所作图形如图所示： （2） 所作如图所示： （3） 所作如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查旋转变换及中心对称图形，熟练掌握旋转的性质及中心对称的性质是解题的关键； （1）根据中心对称图形的性质可进行作图； （2）根据旋转的性质可进行求解； （3）根据中心对称图形的性质可进行作图． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 2025年5月4日，某校开展了“我们正青春”主题演讲比赛．从八、九年级中各随机抽取了20名学生的比赛成绩（百分制）进行统计，下面给出部分信息： I．八年级学生竞赛成绩如下： II．八、九年级各20名学生比赛成绩的频数分布统计表如下： 八年级 4 3 8 九年级 4 4 3 9 III．八、九年级各20名学生比赛成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 八年级 92 九年级 93 96 95 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中________，________，________； （2）根据抽查结果，求该校400名九年级学生成绩不低于90分的人数； （3）在抽取的学生中，若八年级的小聪和九年级的小明成绩都为94分，请根据数据说明谁的成绩在本年级抽取的学生成绩中从高到低排序更靠前． 【答案】（1）5，97，93 （2）240人 （3）小聪的成绩在本年级更靠前 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、众数、中位数及频率分布表，熟练掌握平均数、众数、中位数及频率分布表是解题的关键； （1）根据表格及众数、中位数的定义可进行求解； （2）根据题意可直接进行求解； （3）根据中位数的定义可进行求解． 【小问1详解】 解：由表可知：， 把八年级20名学生成绩从小到大排列为82、83、84、84、85、88、89、92、92、93、93、94、95、96、97、97、97、99、100、100，其中出现最多的是97，所以众数是97，中位数为第10和第11的平均数，即为； 故答案为5，97，93； 【小问2详解】 解：由题意得：（人）， 答：该校400名九年级学生成绩不低于90分的人数为240人． 【小问3详解】 答：由表可知：八年级的中位数是93，九年级的中位数是95，且小聪的94分高于八年级的中位数，所以小聪的成绩在本年级更靠前． 20. 小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究． （一）猜测探究 在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB． （1)如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是_______，NB与MC的数量关系是_______； （2)如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1)中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由。 （二)拓展应用 如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝90°，∠C1＝30°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转60°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值． 【答案】（一）（1）∠NAB=∠MAC，BN=MC； （2）（1）中结论仍然成立， 证明：由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM， ∴∠BAC-∠BAM=∠NAM-∠BAM， 即：∠MAC=∠NAB， ∵AB=AC， ∴△CAM≌△BAN（SAS）， ∴MC=NB； （二）线段B1Q长度的最小值为4． 【解析】 【分析】（一）（1）由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，进而得出∠MAC=∠NAB，判断出△CAM≌△BAN，即可得出结论； （2）由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，进而得出∠MAC=∠NAB，判断出△CAM≌△BAN，即可得出结论； （二）取A1C1的中点O，则C1O=A1O=A1C1，再判断出A1B1=A1C1，进而得出C1O=A1O=A1B1=4，再判断出∠B1A1C1=∠QA1P，进而判断出△PA1O≌△QA1B1，得出OP=B1Q，再判断出OP⊥B1C1时，OP最小，即可得出结论． 【详解】解：（一）（1）由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM， ∴∠BAC-∠BAM=∠NAM-∠BAM， 即：∠MAC=∠NAB ∵AB=AC， ∴△CAM≌△BAN（SAS）， ∴MC=NB， 故答案为∠NAB=∠MAC，MC=NB； （2）略 （二）如图3，取A1C1的中点O，则C1O=A1O=A1C1， 在Rt△A1B1C1中，∠C1=30°， ∴A1B1=A1C1，∠B1A1C1=90°-∠C1=60°， ∴C1O=A1O=A1B1=8， 由旋转知，A1P=A1Q，∠QA1P=60°， ∴∠B1A1C1=∠QA1P， ∴∠PA1C1=∠B1A1Q， ∴△PA1O≌△QA1B1（SAS）， ∴OP=B1Q， 要线段B1Q长度的最小，则线段OP长度最小， 而点O是定点，则OP⊥B1C1时，OP最小， 在Rt△OPC1中，∠C1=30°，OC1=8， ∴OP=OC1=4， 即：线段B1Q长度的最小值为4． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，构造出△PA1O≌△QA1B1是解本题的关键． 21. 如图，在中，，，，P，是边上的两个动点，点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动；点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动．它们同时出发，设出发时间为秒． （1） ________（用含的代数式表示）； （2）当________秒时，； （3）设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查列代数式，平行线分线段成比例，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，解题的关键是第3问注意分段讨论． （1）根据列代数式即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，当时，由此列式求解； （3）按照运动时间进行分类讨论，当时，，当时，过点Q作于点H， 证明，得出，再根据列函数关系式． 【小问1详解】 解：由题意知，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， ， ， ， 解得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：在中，，，， ， 当点Q到达点C时，， 当点Q到达点A时，， 当时，如图， ，， ； 当时，如图，过点Q作于点H， ，， ， ， ， ， ， 综上可得，关于的函数关系式为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中，为常数）的图象经过，其对称轴为直线，且图象与轴正半轴交于点，过点作垂直于轴的直线．点在该抛物线上，其横坐标为，点是坐标平面内的一点，其坐标为，过点分别向直线作垂线，垂足分别为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点与点重合时，求的值； （3）当矩形为正方形时，求的值； （4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式 （2）， （3），，， （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用、矩形的性质、一元二次方程、不等式等知识点，熟练应用分类讨论思想和掌握相关知识并正确解读题意是解题的关键． （1）将代入中求得c，结合对称轴求得b即可； （2）由（1）知，结合题意知和，列出等式求解即可； （3）由（2）知，，解二元一次方程求得，结合为正方形的性质得，列出方程求解即可； （4）分五种情况：当点在直线对称轴的左边，点在点上面时；当点在直线的左边，点在点和x轴下面时；当点在直线的左边，且点在x轴上面、在点下面时；当点在直线的左边，点在点和x轴下面，在点上面时；当点在直线的右边，点在点和x轴上面，在点上面时；分析出符合题意的情况即可求解即可． 【小问1详解】 解：将代入中 解得：． ∵对称轴为直线， ∴，解得， 则该抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：由（1）知 由题意知、， 点与点重合时，， 解得：，； 【小问3详解】 解：由（2）知，， 令，解得， ∴， ∵矩形为正方形， ∴， ∴ 即或， 解得，，，； 【小问4详解】 解：当点在直线对称轴的左边，点在点上面时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，如图，不合题意； 当点在直线的左边，对称轴的右边，且点在x轴下面、在点上面时，抛物线在矩形内不存在对应的部分，如图，不合题意； 当点在直线的左边，且点在x轴上面、在点下面时，抛物线在矩形内不存在对应的部分，如图，不合题意； 当点在直线的左边，点在点和x轴下面时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大，如图， 此时，且，解得； 当点在直线的右边，点在点上面时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大，如图， 此时，且，解得； 综上，或时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第九中学 2025-2026 学年度上学期初三年级期中考试 数学试卷 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 已知∠A是锐角，，那么∠A的度数是（） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 2. 如图所示是中国部分城市关于冰雪活动设计的中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，分别是和上的点，，若，那么（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 点关于原点的对称点的坐标为______． 8. 已知是方程的一个根，代数式的值是________． 9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=10．如果将△ABC绕点C按逆时针旋转到△A′B′C的位置，并且点B恰好落在边A′B′上，则BB′的长为________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 11. 如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是______． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 计算：． 13. 吉林市承载着“京剧第二故乡”的人文内涵．京剧元素在吉林市文旅产业中也展现出了新的活力．某工厂制作京剧系列人物盲盒进行销售，月份制作该盲盒个，同年月份制作该盲盒个，求该工厂月份到月份制作该盲盒数量的月平均增长率？ 14. 如图，在中，，，，求的长． 15. 如图，是的直径，是的切线，连接交于点C，点D在上，，求证：． 16. 如图，在正三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 17. 如图1是吉林市文化地标之一的世纪之舟，它于1999年正式竣工落成．某校数学兴趣小组利用无人机测量世纪之舟的主体的高度，并绘制了如图2的示意图．无人机在点处测得世纪之舟顶部点的仰角为，世纪之舟底部点的俯角为，无人机与世纪之舟的水平距离，求世纪之舟主体的高度．（结果精确到整数）参考数据：（，，）     18. 作图题． （1）如图1是的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形涂上阴影，使阴影部分为中心对称图形； （2）如图2是边长为1个单位长度的正方形网格，以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，画出旋转后的； （3）如图3是边长为1个单位长度的正方形网格，点、、、都是格点，作关于点的中心对称图形． 19. 2025年5月4日，某校开展了“我们正青春”主题演讲比赛．从八、九年级中各随机抽取了20名学生的比赛成绩（百分制）进行统计，下面给出部分信息： I．八年级学生竞赛成绩如下： II．八、九年级各20名学生比赛成绩的频数分布统计表如下： 八年级 4 3 8 九年级 4 4 3 9 III．八、九年级各20名学生比赛成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 八年级 92 九年级 93 96 95 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中________，________，________； （2）根据抽查结果，求该校400名九年级学生成绩不低于90分的人数； （3）在抽取的学生中，若八年级的小聪和九年级的小明成绩都为94分，请根据数据说明谁的成绩在本年级抽取的学生成绩中从高到低排序更靠前． 20. 小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究． （一）猜测探究 在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB． （1)如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是_______，NB与MC的数量关系是_______； （2)如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1)中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由。 （二)拓展应用 如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝90°，∠C1＝30°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转60°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值． 21. 如图，在中，，，，P，是边上的两个动点，点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动；点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动．它们同时出发，设出发时间为秒． （1） ________（用含的代数式表示）； （2）当________秒时，； （3）设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中，为常数）的图象经过，其对称轴为直线，且图象与轴正半轴交于点，过点作垂直于轴的直线．点在该抛物线上，其横坐标为，点是坐标平面内的一点，其坐标为，过点分别向直线作垂线，垂足分别为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点与点重合时，求的值； （3）当矩形为正方形时，求的值； （4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $