专题05 一次函数（期末复习知识清单，5知识&9题型&3易错&3方法清单）八年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学一次函数专题清单涵盖5大知识模块、9类典型题型、3项易错警示及3种解题方法，系统梳理变量与函数、一次函数概念、图象性质、实际应用、与方程关系等核心内容，搭建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单采用“知识清单+题型变式+易错突破+方法总结”四维架构，如将一次函数与二元一次方程关系设为重点，通过“行程问题建模步骤”等实例培养抽象能力和推理意识。易错点设“系数关系混淆”专项辨析，方法清单含“方案选择问题对比策略”，助力学生分层突破，教师可直接用于备课与学情诊断，提升教学效率。

专题05 一次函数（5知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】 变量与函数 变量与常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量。例如：汽车行驶过程中，路程和时间是变量，速度可能是常量（匀速行驶时）。 函数的概念 一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，x是自变量。判断两个变量是否为函数关系的关键：①是否有两个变量；②对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应。 函数的表示方法 1. 解析法：用数学式子表示函数关系的方法。例如：y=2x+1。优点是简洁、准确，便于进行理论分析和计算。 2. 列表法：通过列出自变量的值与对应的函数值的表格来表示函数关系的方法。例如：购买笔记本，单价2元，数量x与总价y的关系可列表：x=1时y=2；x=2时y=4等。优点是能直接看出部分自变量与函数值的对应关系。 3. 图象法：用图象来表示函数关系的方法。例如：气温随时间变化的曲线。优点是直观形象，能清晰地反映函数的变化趋势。 函数值 对于函数y=f(x)，当x=a时，y的值叫做当自变量x为a时的函数值，记作f(a)。例如：函数y=3x-2，当x=1时，函数值f(1)=3×1-2=1。 【清单02】 一次函数的概念 一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，即y=kx（k是常数，k≠0），叫做正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。 一次函数的结构特征 1. 自变量x的次数是1； 2. 比例系数k≠0； 3. 常数项b可以为任意实数； 4. 表达式是关于x的整式。 确定一次函数的表达式 已知一次函数的表达式是y=kx+b（k≠0），要确定其表达式，需要根据已知条件求出k和b的值。通常需要两个独立的条件，列出关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k和b。例如：已知一次函数经过点（1，3）和（-1，-1），代入可得：3=k+b，-1=-k+b，解得k=2，b=1，所以函数表达式为y=2x+1。 【清单03】一次函数的图象与性质 一次函数的图象 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线。由于两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只需描出两点，再过这两点画直线即可。通常选取（0，b）和（-b/k，0）（当k≠0且b≠0时）这两个点，分别是直线与y轴和x轴的交点。 正比例函数的图象 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线。画其图象时，通常选取（0，0）和（1，k）两点。 一次函数的性质 1. k的作用： · k决定直线的倾斜方向和倾斜程度。当k>0时，直线从左到右上升，y随x的增大而增大；当k<0时，直线从左到右下降，y随x的增大而减小。|k|越大，直线越陡；|k|越小，直线越平缓。 2. b的作用： · b是直线与y轴交点的纵坐标，即直线与y轴交于点（0，b）。当b>0时，交点在y轴正半轴；当b=0时，交点在原点；当b<0时，交点在y轴负半轴。 一次函数图象的平移 一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的图象平移得到。当b>0时，向上平移b个单位长度；当b<0时，向下平移|b|个单位长度。例如：y=2x向上平移3个单位得到y=2x+3；y=2x向下平移2个单位得到y=2x-2。 【清单04】用一次函数解决问题 利用一次函数解决实际问题的步骤 1. 审题：理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。 2. 设元：设出合适的自变量和因变量，通常设自变量为x，因变量为y。 3. 列函数关系式：根据题目中的等量关系，列出一次函数表达式y=kx+b。 4. 确定函数关系式：根据已知条件求出k和b的值，确定函数表达式。 5. 求解：利用函数表达式解决实际问题，如求值、判断、预测等。 6. 检验：检验所求结果是否符合实际意义。 常见的实际问题类型 1. 行程问题：涉及路程、速度、时间，常根据路程=速度×时间建立函数关系。例如：甲、乙两地相距100km，一辆汽车从甲地出发，以60km/h的速度驶向乙地，行驶时间t（h）与距乙地的距离s（km）的函数关系为s=100-60t。 2. 工程问题：涉及工作总量、工作效率、工作时间，常根据工作总量=工作效率×工作时间建立函数关系。 3. 销售问题：涉及利润、成本、售价、销售量等，常根据利润=（售价-成本）×销售量等关系建立函数关系。 4. 方案选择问题：根据不同方案的一次函数关系，通过比较函数值或交点坐标等选择最优方案。 【清单05】 一次函数与二元一次方程 一次函数与二元一次方程的关系 任何一个二元一次方程都可以化成y=kx+b（k≠0）的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线。 二元一次方程组的解与一次函数图象的关系 二元一次方程组的解，就是相应的两个一次函数的图象（两条直线）的交点坐标。如果两个一次函数的图象没有交点（平行），那么对应的二元一次方程组无解；如果两个一次函数的图象重合，那么对应的二元一次方程组有无数个解。 用一次函数图象解二元一次方程组 步骤：1. 将二元一次方程组中的两个方程分别化成一次函数的形式；2. 在同一平面直角坐标系中画出这两个一次函数的图象；3. 找出两条直线的交点坐标，这个交点坐标就是二元一次方程组的解。例如：解方程组，将其化为y=-x+3和y=2x，画出图象，交点坐标为（1，2），所以方程组的解为。 【题型一】一次函数的定义 【例1】下列是关于的函数，其中是一次函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列选项中，y是关于x的正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知．当m，n满足条件 时，是的一次函数；当m，n满足条件 时，是的正比例函数． 【题型二】正比例、一次函数的平移 【例2】在平面直角坐标系中，若将一次函数向上平移个单位长度后，恰好经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】把正比例函数的图像向下平移1个单位长度，得到的函数图像的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】将一次函数（b是常数且）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，该一次函数图象经过原点，则 ． 【题型三】一次函数的图象与性质 【例3】已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法错误的是（    ） A．图象经过点 B．随着的增大而减小 C．图象可以由直线平移得到 D．图象经过第一、三、四象限 【变式3-1】对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的图象不经过第二象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象 D．若两点，在该函数图象上，则 【变式3-2】已知一次函数（，k，b为常数）经过点，且y随x的增大而增大，则b的值可以是 ．（写出一个即可） 【题型四】用表格表示变量间的关系 【例4】国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置． 小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/min 1 2 3 4 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（   ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm 【变式4-2】某科技小组在网上获取了声音在空气中传播速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表所示： 空气温度 0 10 20 30 声音在空气中传播速度 318 324 330 336 342 348 给出下面三个结论：①空气温度越高声音在空气中传播速度越快；②声音在空气中传播速度与空气温度关系式可以是；③温度每升高，声音在空气中传播速度增加．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【题型五】一次函数与坐标轴的交点问题 【例5】若直线与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式5-1】一次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点的坐标是 C．随的增大而减小 D．点在函数图象上 【变式5-2】如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为 ． 【题型六】一次函数恒过定点 【例6】在平面直角坐标系中，有直线，则该直线过定点（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知直线始终过定点，直线经过点和点，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知直线与直线交于点，直线经过定点． （1）点的坐标是 ； （2）若点到直线的距离是定值，则这个定值是 ． 【题型七】函数图象与几何结合问题 【例7】如图①，在中，是边上的一个动点，若，则关于的函数图象如图②所示．下列结论正确的是（   ） A．边的长是8 B．随的增大而增大 C．边上的高是7.2 D．边的长是15 【变式7-1】如图1，在长方形中，点P从B点出发沿着四边按方向运动，开始以每秒1个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒1个单位匀速运动．在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图2所示．则b的值为（   ） A．10 B．11 C． D．12 【变式7-2】如图①，在中，D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则（1） ；（2）m的值为 ． 【题型八】一次函数中的规律问题 【例8】如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于A，B两点，过原点O作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，依此规律作下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以O为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于点，…，按如此规律进行下去，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；⋯⋯．按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．（结果要求最简形式） 【题型九】一次函数中的解析式 【例9】如图，正比例函数与一次函数相交于点，点在一次函数图象上且在点的左下方，平分交轴于，． (1)求一次函数表达式； (2)如图，作的垂直平分线交于，作直线，直线是否能通过平移得到直线？若能，给出原因并说明平移方式，若不能，说明理由． 【变式9-1】如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中有一条直线． (1)求出直线的关系式； (2)在图中画出直线，并写出这条直线与x轴的交点坐标； (3)把直线向下平移一个单位，得到直线，直接写出直线的关系式； (4)点和点都在直线上，比较a和b的大小并说明理由． 【题型一】一次函数图象与系数的关系混淆 【例1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】一次函数的值随x的增大而减小，满足条件的m的值可以是 ． 【题型二】一次函数与方程、不等式的综合应用 【例2】已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是（） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，以下说法错误的是（    ） A．的面积为3 B．方程组的解为 C．点D的坐标为 D．当时， 【变式2-2】一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是 ． 【题型三】两直线的交点与平行问题 【例3】直线l与x轴相交于点，且与直线平行，则直线l的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【变式3-2】如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线与直线相交于点，则直线的解析式 ． 【题型一】一次函数的解决应用问题 方法技巧 一、审清题意，梳理关键信息 1. 明确问题类型：区分行程问题、工程问题、利润问题、方案选择等不同情境，理解题目核心需求（如求最值、确定等量关系、比较方案优劣等）。 2. 提取已知条件：找出题目中的常量（固定不变的量）、变量（变化的量）以及它们之间的关系，特别注意单位是否统一。 3. 确定函数关系：判断两个变量之间是否为一次函数关系，通常题目中会有“每增加/减少”“匀速变化”等提示，或通过公式（如路程=速度×时间、利润=单价×数量-成本）直接建立关系。 二、建立一次函数模型 1. 设出变量：通常设自变量为x（如时间、数量、单价等），因变量为y（如路程、成本、利润等），并明确x的取值范围（根据实际意义确定，如时间非负、数量为整数等）。 2. 列函数解析式： · 直接列式：根据题目中的等量关系，直接写出y=kx+b的形式（k≠0）。例如，已知初始量b和变化率k，如“出租车起步价8元（3公里内），超过3公里后每公里2元”，可设行驶路程为x公里（x≥3），费用y=8+2(x-3)。 · 待定系数法：若已知函数图像上的两个点（x₁,y₁）、（x₂,y₂），代入y=kx+b中，解方程组求出k和b。例如，已知当x=1时y=3，x=2时y=5，可得方程组{3=k+b,5=2k+b}，解得k=2,b=1，函数解析式为y=2x+1。 三、求解与分析函数 1. 代入计算：已知自变量x的值，求因变量y；或已知因变量y的值，求自变量x。例如，在y=2x+1中，当x=3时，y=7；当y=9时，x=4。 2. 利用函数性质解决问题： · 增减性：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。可用于比较大小、求最值（在自变量取值范围内的端点处取得最值）。例如，“某商品单价为x元，销量y与x的函数关系为y=-10x+500（x≥10），求利润最大时的单价”，利润=xy=x(-10x+500)=-10x²+500x，此为二次函数，但一次函数的增减性可帮助分析销量随单价的变化趋势。 · 图像与坐标轴交点：与x轴交点（令y=0，求x）表示y为0时x的值，与y轴交点（令x=0，求y）表示初始值。例如，行程问题中，与x轴交点可能表示到达目的地的时间，与y轴交点表示初始距离。 四、方案设计与优化 1. 列出多个函数关系式：针对不同方案，分别建立一次函数模型。例如，“方案一：月租30元，每分钟0.2元；方案二：无月租，每分钟0.5元”，设通话时间为x分钟，费用分别为y₁=30+0.2x，y₂=0.5x。 2. 比较函数大小：令y₁=y₂，求出x的值（临界点），根据x的取值范围判断哪种方案更优。例如，30+0.2x=0.5x，解得x=100。当x<100时，y₂<y₁，方案二优；当x>100时，y₁<y₂，方案一优；当x=100时，两种方案费用相同。 【例1】扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式1—1】在河道，两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从码头匀速行驶到码头，同时货轮从码头出发，运送一批物资匀速行驶到码头，两船距码头的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，请根据图像解决下列问题： (1)，两个码头之间的距离是_______； (2)求客轮距码头的距离与时间之间的函数表达式； (3)求点的坐标； (4)请问两船出发多久相距？ 【变式1—2】综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 如图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示，板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量，设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ (3)当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度有什么范围要求？ 【题型二】一次函数的特殊三角形问题 方法技巧 一、坐标与距离基础 1. 坐标表示：平面直角坐标系中，点P(x,y)到x轴距离为|y|，到y轴距离为|x| 2. 距离公式：两点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)间距离：AB=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²] 3. 垂直距离：直线y=kx+b与x轴交点，与y轴交点(0,b)，与坐标轴围成三角形面积=|b²/(2k)| 二、等腰三角形存在性问题 代数法三步求解 1. 设点坐标：设动点P，定点A、B坐标已知 2. 列方程：分三种情况 · PA=PB：√[(m-x₁)²+(km+b-y₁)²]=√[(m-x₂)²+(km+b-y₂)²] · PA=AB：√[(m-x₁)²+(km+b-y₁)²]=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²] · PB=AB：√[(m-x₂)²+(km+b-y₂)²]=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²] 3. 解方程：平方去根号后整理成一元二次方程，注意验根 几何法辅助 1. 中垂线法：作AB中垂线与已知直线交点 2. 圆交法：以A为圆心、AB长为半径作圆，求与直线交点 三、直角三角形存在性问题 分类讨论策略 1. 直角顶点分类： · ∠A=90°：PA⊥AB，kₚₐ·kₐᵦ=-1 · ∠B=90°：PB⊥AB，kₚᵦ·kₐᵦ=-1 · ∠P=90°：PA⊥PB，kₚₐ·kₚᵦ=-1（若斜率不存在需单独讨论） 2. 勾股定理法： · PA²+AB²=PB²（∠A为直角） · PB²+AB²=PA²（∠B为直角） · PA²+PB²=AB²（∠P为直角） 斜率关系速算 已知直线AB斜率为k，则： · 垂直直线斜率k'=-1/k（k≠0） · 水平直线的垂线为竖直直线（无斜率） · 竖直直线(无斜率)的垂线为水平直线 四、面积类特殊三角形 等面积问题 同底等高：求与AB平行的直线与已知直线交点 面积最值问题 1. 二次函数法：设动点坐标→面积表达式→配方求最值 2. 几何极值法：三角形面积=(1/2)×底×高，固定底边时高最大则面积最大 五、实战技巧总结 1. 动态问题四步走： · 建系设点→列关系式→建方程→求参数 2. 易错点提醒： · 直线斜率不存在情况（与y轴平行） · 距离公式中绝对值处理 · 解出坐标需在指定范围内（如线段上、射线等） · 三角形三点共线的排除 3. 常用辅助线： · 作x轴/y轴垂线构造直角三角形 · 平移坐标轴简化计算 4. 快速验证： · 等腰三角形：两腰长是否相等 · 直角三角形：两直角边斜率乘积是否为-1 【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与直线相交于点． (1)求，的值； (2)直线与轴交于点D，动点P从点D开始沿射线DA以每秒1个单位的速度向左运动，设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为12，求t的值； ②是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2—1】在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，a，b满足． (1)如图1，求的面积： (2)若点P的坐标为，当时，求点P的坐标： (3)如图2，点P在x轴上，当平分时，在第一象限确定一点M，使是以为直角边的等腰直角三角形，求出点M的坐标． 【变式2—2】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①求的面积S与时间t的关系式； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【题型三】一次函数的新定义问题 方法技巧 一、核心解题步骤解析 1. 精准解构新定义内涵 · 逐字拆解题目中自定义的数学概念，标记关键限定条件（如定义域、对应法则、特殊运算符号等） · 用波浪线标注核心要素：例如"对任意实数x，y※x=ax+b"中的※运算规则、系数a,b的作用范围 · 建立新旧知识联结：将新定义表述转化为熟悉的一次函数表达式y=kx+b的标准形式 2. 构建函数模型 · 根据定义特征确定函数类型：若新定义中含线性运算（如ax+b形式），直接判定为一次函数 · 提取参数关系：如"f(x)◇g(x)=f(x)+2g(x)"需转化为y=k1x+b1 + 2(k2x+b2)的合并形式 · 注意隐含定义域：特别标注分段定义函数的区间断点（如"当x≤0时..."与"当x>0时..."的衔接点） 3. 运用函数性质突破 · 单调性应用：若新定义函数具有"y随x增大而增大"特征，可确定k>0 · 特殊点代入：必用(0,b)点验证截距，用对称点验证奇偶性（若定义允许） · 图像转化：将文字定义翻译成图像语言，如"距离函数"对应两条射线组成的V形图 二、典型题型突破策略 1. 新运算型定义 解题模板： ① 代入具体数值验证运算规则（推荐使用x=0,x=1两个基准值） ② 建立参数方程：如"xy=mx+ny，且23=7，3*(-1)=3"可列方程组： ③ 求解后还原函数表达式，检验定义域边界值 2. 几何特征型定义 关键转化： · "到两定点距离之和"→转化为y=|x-a|+|x-b|形式（注意绝对值函数的图像转折点） · "等距点"问题→联立两个一次方程：|kx+b - y1|=|mx+n - y2| · 面积相关定义→运用割补法转化为一次函数表达式（如"动点与坐标轴围成三角形面积为定值"） 3. 分段复合型定义 处理要点： · 用数轴标出分段区间，明确各段对应解析式 · 求解时遵循"求谁代入谁，边界双验证"原则 · 画图像辅助分析时，用不同颜色标注各段函数，重点标注区间端点（带圈实点表示包含，空心圈表示不包含） 【例3】定义：形如为用自变量表示的代数式，为常数）的函数叫做“翻折函数”．“翻折函数”本质是分段函数． 例如，可以将“翻折函数”写成分段函数的形式： 探索并解决下列问题： (1)将“翻折函数”写成分段函数的形式； (2)直线与（1）中“翻折函数”图像交于、两点（点在点的左侧），点在直线下方的“翻折函数”图象上，且，求出点坐标 (3)当时，（1）中“翻折函数”的最大值和最小值的差是定值，直接写出的取值范围 【变式3—1】点P、点和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点P关于点Q的等垂点． (1)已知点Q的坐标为． ①如图1，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点的坐标 ； ②如图2，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如图3，若点Q的坐标为，P为直线上一点，P关于点Q的等垂点位于y轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 【变式3—2】定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)求一次函数图象的“亮点”； (2)一次函数图象的“亮点”为，求，的值； (3)若一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数的图象上没有“亮点”，点在轴上，，求满足条件的点的坐标． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数（5知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】 变量与函数 变量与常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量。例如：汽车行驶过程中，路程和时间是变量，速度可能是常量（匀速行驶时）。 函数的概念 一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，x是自变量。判断两个变量是否为函数关系的关键：①是否有两个变量；②对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应。 函数的表示方法 1. 解析法：用数学式子表示函数关系的方法。例如：y=2x+1。优点是简洁、准确，便于进行理论分析和计算。 2. 列表法：通过列出自变量的值与对应的函数值的表格来表示函数关系的方法。例如：购买笔记本，单价2元，数量x与总价y的关系可列表：x=1时y=2；x=2时y=4等。优点是能直接看出部分自变量与函数值的对应关系。 3. 图象法：用图象来表示函数关系的方法。例如：气温随时间变化的曲线。优点是直观形象，能清晰地反映函数的变化趋势。 函数值 对于函数y=f(x)，当x=a时，y的值叫做当自变量x为a时的函数值，记作f(a)。例如：函数y=3x-2，当x=1时，函数值f(1)=3×1-2=1。 【清单02】 一次函数的概念 一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，即y=kx（k是常数，k≠0），叫做正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。 一次函数的结构特征 1. 自变量x的次数是1； 2. 比例系数k≠0； 3. 常数项b可以为任意实数； 4. 表达式是关于x的整式。 确定一次函数的表达式 已知一次函数的表达式是y=kx+b（k≠0），要确定其表达式，需要根据已知条件求出k和b的值。通常需要两个独立的条件，列出关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k和b。例如：已知一次函数经过点（1，3）和（-1，-1），代入可得：3=k+b，-1=-k+b，解得k=2，b=1，所以函数表达式为y=2x+1。 【清单03】一次函数的图象与性质 一次函数的图象 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线。由于两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只需描出两点，再过这两点画直线即可。通常选取（0，b）和（-b/k，0）（当k≠0且b≠0时）这两个点，分别是直线与y轴和x轴的交点。 正比例函数的图象 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线。画其图象时，通常选取（0，0）和（1，k）两点。 一次函数的性质 1. k的作用： · k决定直线的倾斜方向和倾斜程度。当k>0时，直线从左到右上升，y随x的增大而增大；当k<0时，直线从左到右下降，y随x的增大而减小。|k|越大，直线越陡；|k|越小，直线越平缓。 2. b的作用： · b是直线与y轴交点的纵坐标，即直线与y轴交于点（0，b）。当b>0时，交点在y轴正半轴；当b=0时，交点在原点；当b<0时，交点在y轴负半轴。 一次函数图象的平移 一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的图象平移得到。当b>0时，向上平移b个单位长度；当b<0时，向下平移|b|个单位长度。例如：y=2x向上平移3个单位得到y=2x+3；y=2x向下平移2个单位得到y=2x-2。 【清单04】用一次函数解决问题 利用一次函数解决实际问题的步骤 1. 审题：理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。 2. 设元：设出合适的自变量和因变量，通常设自变量为x，因变量为y。 3. 列函数关系式：根据题目中的等量关系，列出一次函数表达式y=kx+b。 4. 确定函数关系式：根据已知条件求出k和b的值，确定函数表达式。 5. 求解：利用函数表达式解决实际问题，如求值、判断、预测等。 6. 检验：检验所求结果是否符合实际意义。 常见的实际问题类型 1. 行程问题：涉及路程、速度、时间，常根据路程=速度×时间建立函数关系。例如：甲、乙两地相距100km，一辆汽车从甲地出发，以60km/h的速度驶向乙地，行驶时间t（h）与距乙地的距离s（km）的函数关系为s=100-60t。 2. 工程问题：涉及工作总量、工作效率、工作时间，常根据工作总量=工作效率×工作时间建立函数关系。 3. 销售问题：涉及利润、成本、售价、销售量等，常根据利润=（售价-成本）×销售量等关系建立函数关系。 4. 方案选择问题：根据不同方案的一次函数关系，通过比较函数值或交点坐标等选择最优方案。 【清单05】 一次函数与二元一次方程 一次函数与二元一次方程的关系 任何一个二元一次方程都可以化成y=kx+b（k≠0）的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线。 二元一次方程组的解与一次函数图象的关系 二元一次方程组的解，就是相应的两个一次函数的图象（两条直线）的交点坐标。如果两个一次函数的图象没有交点（平行），那么对应的二元一次方程组无解；如果两个一次函数的图象重合，那么对应的二元一次方程组有无数个解。 用一次函数图象解二元一次方程组 步骤：1. 将二元一次方程组中的两个方程分别化成一次函数的形式；2. 在同一平面直角坐标系中画出这两个一次函数的图象；3. 找出两条直线的交点坐标，这个交点坐标就是二元一次方程组的解。例如：解方程组，将其化为y=-x+3和y=2x，画出图象，交点坐标为（1，2），所以方程组的解为。 【题型一】一次函数的定义 【例1】下列是关于的函数，其中是一次函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的识别，解题的关键是掌握一次函数的定义：形如（、是常数，）的函数是一次函数；一次函数的一般形式的结构特征：，的次数是，常数可以为任意实数．据此判断各选项即可． 【详解】解：A．中的次数不是，则该函数不是一次函数，故此选项不符合题意； B．中的次数不是，则该函数不是一次函数，故此选项不符合题意； C．该函数是一次函数，故此选项符合题意； D．中的次数不是，则该函数不是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】下列选项中，y是关于x的正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数定义来判断即可． 【详解】解：A、，是正比例函数，符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，不是正比例函数，不符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】已知．当m，n满足条件 时，是的一次函数；当m，n满足条件 时，是的正比例函数． 【答案】 ，n为任意实数 【分析】本题主要考查了通过一次函数和正比例函数求参数，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的定义． 根据一次函数和正比例函数的定义，分别要求指数为1、系数不为零，且正比例函数还需常数项为零，进行求解即可． 【详解】解：①当函数为一次函数时，且系数为任意实数， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：，n为任意实数； ②当函数为正比例函数时，、系数，且常数项， 解得或（舍去），， ∴，， 故答案为：． 【题型二】正比例、一次函数的平移 【例2】在平面直角坐标系中，若将一次函数向上平移个单位长度后，恰好经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图像的平移，一次函数图像上点的坐标特征，根据一次函数图像的平移规律求出平移后的函数解析式，再把点代入计算即可求解，掌握一次函数图像的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵将一次函数向上平移个单位，得新函数为， ∵新函数经过点， ∴， 解得， 故选：． 【变式2-1】把正比例函数的图像向下平移1个单位长度，得到的函数图像的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图像的平移规律，上加下减，左加右减． 根据一次函数图像的平移规律作答即可． 【详解】解：把正比例函数的图像向下平移1个单位长度，得到的函数图像的解析式为． 故选：D． 【变式2-2】将一次函数（b是常数且）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，该一次函数图象经过原点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键．先根据一次函数图象的平移规律得到平移后的函数解析式，再将原点坐标代入解析式，解方程求出的值． 【详解】解：∵ 一次函数向左平移1个单位长度， ∴ 解析式变为． ∵ 再向上平移2个单位长度， ∴ 解析式变为． ∵ 平移后的图象经过原点， ∴ 把，代入，得． ∴ ． 故答案为：． 【题型三】一次函数的图象与性质 【例3】已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法错误的是（    ） A．图象经过点 B．随着的增大而减小 C．图象可以由直线平移得到 D．图象经过第一、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，掌握知识点是解题的关键． 先根据点，，求出一次函数的解析式为，再逐一验证各选项的正误即可． 【详解】解：∵图象经过点，， ∴分别代入得：， 解得：， ∴一次函数为． 对于A：当时，， ∴图象经过点(0，1)，正确． 对于B：∵， ∴y随x增大而减小，正确． 对于C：与的k值相同，且可由向下平移2个单位得到，正确． 对于D：当时，， ∴图象不经过第三象限，错误． 故选D． 【变式3-1】对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的图象不经过第二象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象 D．若两点，在该函数图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数的图象与性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、∵，， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故此选项结论错误，不符合题意； B、当时，则，解得， ∴函数的图象与轴的交点坐标是，故此选项结论错误，不符合题意； C、函数的图象向下平移4个单位长度后得到， 即，故此选项结论正确，符合题意； D、∵， ∴函数的图象随的增大而减小， ∵， ∴，故此选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】已知一次函数（，k，b为常数）经过点，且y随x的增大而增大，则b的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出，若代入，求出b值即可． 【详解】解：∵直线（k、b是常数）经过点， ∴． ∵y随x的增大而增大， ∴， 当时，， 解得：， ∴b的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 【题型四】用表格表示变量间的关系 【例4】国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，找到变量的变化规律是解题的关键． ①根据时对应的y值判断即可； ②根据变量的变化规律判断即可； ③根据“油箱剩余油量=加满油后油箱内的油量-消耗的油量”计算即可； ④根据变量的变化规律写出y与x之间的关系式即可． 【详解】解：当时，， 该车的油箱容量为， ①正确，符合题意； 由表格可知，轿车行驶的路程增加，油箱剩余油量减小，即该车每行驶耗油为：， ②正确，符合题意； 由②知，每耗油， 耗油，则油箱中剩余油量为：， ③不正确，不符合题意； 该车每行驶耗油为，油箱容量为， 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为， ④正确，符合题意； 故选：C． 【变式4-1】水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置． 小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/min 1 2 3 4 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（   ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系， 根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，，再逐项判断即可． 【详解】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，时间时，水的高度； 当时，； 且时间每增加，h增加， ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 【变式4-2】某科技小组在网上获取了声音在空气中传播速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表所示： 空气温度 0 10 20 30 声音在空气中传播速度 318 324 330 336 342 348 给出下面三个结论：①空气温度越高声音在空气中传播速度越快；②声音在空气中传播速度与空气温度关系式可以是；③温度每升高，声音在空气中传播速度增加．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，正确从表格获取信息是解答本题的关键． 根据表格中所描述的声音在空气中传播的速度与空气中的温度之间的关系进行逐项分析，进行判断，即可作答． 【详解】解：由题意可得：在这变化过程中，空气的温度越高声音传播的速度越快，故①说法正确； 温度每升高，声音速度增加，故③说法正确； 即温度每升高，声音速度增加， 又∵温度为时，声音的速度是， ∴声音速度与关系式可以是，故②说法不正确； 故答案为：①③ 【题型五】一次函数与坐标轴的交点问题 【例5】若直线与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，先求直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴直线与x轴、y轴分别交于点， ∵直线与坐标轴围成的三角形的面积为2， ∴， 解得， 故选：C． 【变式5-1】一次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点的坐标是 C．随的增大而减小 D．点在函数图象上 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 利用一次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.直线与轴交点坐标为，该选项错误，不符合题意； B.当时，， 解得， ∴点的坐标是， 该选项正确，符合题意； C.结合图象，随的增大而增大，该选项错误，不符合题意； D.当时，， ∴点不在函数图象上， 该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，角平分线的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 过点作，交于点，求出直线和坐标轴的坐标，利用角平分线的性质得出，设，则，利用等面积列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 当时，，即，， 当时，，解得，即，， 由勾股定理得，， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 【题型六】一次函数恒过定点 【例6】在平面直角坐标系中，有直线，则该直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 将变形为，则可得出该点的坐标； 【详解】解：∵， ∴直线必经过定点， ∴直线恒过一点，则该点的坐标是， 故选：A． 【变式6-1】已知直线始终过定点，直线经过点和点，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 先求出点的坐标，然后用待定系数法即可求解． 【详解】解：∵直线始终过定点， 当时，， 即直线始终过点， ∴， 将和代入直线中，有： ， 解得：， ∴直线的表达式为． 故选：B． 【变式6-2】已知直线与直线交于点，直线经过定点． （1）点的坐标是 ； （2）若点到直线的距离是定值，则这个定值是 ． 【答案】 【分析】（1）由，即可求得定点的坐标； （2）求得直线与直线的交点，可知点所在的直线为，由点到直线的距离是定值可知，解直角三角形即可求得点到直线的距离． 【详解】解：（1）∵， 当时，得， 即不论为何值，当时，都有， ∴定点， 故答案为：； （2）由， 解得：， ∴， ∴点所在的直线为，且点到坐标轴的距离相等， ∴直线在第一、三象限的平分线上， ∴直线与轴正半轴的夹角为， ∵点到直线的距离是定值， ∴点所在的直线与直线互相平行， 即直线平移后得到直线， ∴， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵直线过定点， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点坐标，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，确定定点的坐标是解题的关键． 【题型七】函数图象与几何结合问题 【例7】如图①，在中，是边上的一个动点，若，则关于的函数图象如图②所示．下列结论正确的是（   ） A．边的长是8 B．随的增大而增大 C．边上的高是7.2 D．边的长是15 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的识别， 先结合已知图形的运动，根据图象可得当时，，此时，随着x的增大，y减小，当时，，此时，随着x的增大，y也增大，当时，y最大，此时，再求出的长逐项判断即可． 【详解】解：当时，，此时，随着x的增大，y减小， 当时，，此时， 随着x的增大，y也增大， 当时，此时，y最大，此时． 当时，根据勾股定理，得， ∴， 根据勾股定理，得． 所以A，B，D不正确，C正确． 故选：C． 【变式7-1】如图1，在长方形中，点P从B点出发沿着四边按方向运动，开始以每秒1个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒1个单位匀速运动．在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图2所示．则b的值为（   ） A．10 B．11 C． D．12 【答案】B 【分析】本题是动点问题的函数的综合题，解题的关键是函数图象对应动点P的位置关系．由图象可知，的长度，当时，，求出的长；当时，，则点P此时在的中点处，从而得出a的值，当时，，从而求得b的值． 【详解】解：从图象可知，当时，面积不变， 即时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位， ， ， 当时（点P运动到点C），， ，即， 长方形的长为8，宽为4， 当时，，即点P此时在的中点处， ， ， ， 当时，， ， ， ， 故选：B． 【变式7-2】如图①，在中，D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则（1） ；（2）m的值为 ． 【答案】 6 4 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程， ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：6，4． 【题型八】一次函数中的规律问题 【例8】如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于A，B两点，过原点O作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，依此规律作下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过分别作垂足分别为，根据正方形的判定和性质，坐标的规律，解答即可． 本题考查了正方形的判定和性质，一次函数的性质，坐标的规律，准确发现坐标规律是解题的关键． 【详解】解：过分别作垂足分别为， 一次函数的图象分别与轴、轴交于， ， ， ， 可得四边形是正方形， 同理可得四边形，四边形也是正方形， 点，可求， 点，同理，即， …… ，即， 故选：B． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以O为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于点，…，按如此规律进行下去，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标的变化规律以及两点之间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标． 根据题意可以求得点的坐标，点的坐标，点的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为， 设点的坐标为， ， ， 解得：， ∴点的坐标为， 同理可得，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 以此类推可得，点的坐标为 ∴点的坐标为， 故选：D． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；⋯⋯．按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．（结果要求最简形式） 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点， ∵均在直线上， ， ， ， ， ， ， ∴由勾股定理得：， ， 同理，， ， 同理，， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 【题型九】一次函数中的解析式 【例9】如图，正比例函数与一次函数相交于点，点在一次函数图象上且在点的左下方，平分交轴于，． (1)求一次函数表达式； (2)如图，作的垂直平分线交于，作直线，直线是否能通过平移得到直线？若能，给出原因并说明平移方式，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)能，将直线沿轴向下平移个单位可得直线（平移方式不唯一） 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数、线段垂直平分线的性质等，掌握“待定系数法求解析式”是解题的关键． （1）将点代入可求出一次函数表达式； （2）先用待定系数法求出正比例函数表达式，根据垂直平分线的性质可得，代入解析式可得点坐标，再结合点的坐标可求出直线的解析式，进一步可得平移方式． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得， 一次函数表达式为； （2）能，理由如下： 令正比例函数表达式为， 将点代入得， ， ， 正比例函数表达式为， ，， 轴， 点在的垂直平分线上， 所以， 代入得， ， ， 令直线的函数表达式为， 则， 解得， 直线的函数表达式为， 直线的函数表达式为，且， 将直线沿轴向下平移个单位可得直线（答案不唯一）． 【变式9-1】如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入计算，求出的值即可； （2）先求出点的坐标，再结合的面积为2，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得 （2）由（1）知，直线的函数表达式为 将代入，得，所以点的坐标为， 设点的坐标为 的面积为2， ，解得， ①将代入，得， 所以点的坐标为； ②将代入，得， 所以点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中有一条直线． (1)求出直线的关系式； (2)在图中画出直线，并写出这条直线与x轴的交点坐标； (3)把直线向下平移一个单位，得到直线，直接写出直线的关系式； (4)点和点都在直线上，比较a和b的大小并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析，直线与轴的交点坐标为 (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数关系式、画一次函数的图象、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数关系式即可； （2）列表、描点、连线可得函数的图象，进而可得与x轴的交点坐标； （3）根据图象平移规则“上加下减”求解即可； （4）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由图知，直线过原点且过点， 故设直线的关系式为， 将代入，得， ∴直线的关系式为； （2）解：列表为： x 0 2 3 0 描点、连线，如图所示： ∴直线与轴的交点坐标为； （3）解：将直线向下平移一个单位，得到直线的表达式为，即； （4）解：，理由如下： 对于， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点和点都在直线上，且， ∴． 【题型一】一次函数图象与系数的关系混淆 【例1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 分和两种情况讨论，根据的值分别判断出一次函数与正比例函数的图象分布位置，结合选项即可得出答案． 【详解】解：当时，函数经过第一、三象限，函数经过第一、三、四象限； 选项中没有符合条件的图象； 当时，函数经过第二、四象限，函数经过第一、二、三象限； 选项B的图象符合要求． 故选：B． 【变式1-1】在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 本题考查了一次函数、正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数图象与系数的关系是关键． 【详解】解：当，正比例函数图象经过第二、四象限，则一次函数图象经过第一、二、三象限，故D选项正确，A选项错误； 当，正比例函数图象经过第一、三象限，则一次函数图象经过第一、三、四象限，B、C选项错误； 故选：D 【变式1-2】一次函数的值随x的增大而减小，满足条件的m的值可以是 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，当时，函数值随x的增大而减小，因此需满足． 【详解】解：∵一次函数的值随x的增大而减小， ∴，解得．故m的值可以是小于的所有实数． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型二】一次函数与方程、不等式的综合应用 【例2】已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点问题．两条直线的交点坐标即为对应方程组的解，先根据交点坐标求出a的值，再得到方程组的解． 【详解】解：∵直线与的交点坐标为， ∴将代入中，得， ∴交点坐标为， 因为直线可化为，直线可化为，所以该方程组的解即为两直线的交点坐标 ∴方程组的解为． 故选：B． 【变式2-1】如图，已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，以下说法错误的是（    ） A．的面积为3 B．方程组的解为 C．点D的坐标为 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，一次函数与二元一次方程组的关系，与不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．A、求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；B、根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；C、依据题意，由直线为可得与y轴的交点坐标，即可得解；D、依据题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围，结合直线：与直线：都经过，从而可以判断得解． 【详解】解：A．把代入直线，则， 解得， 在中，令，则 ， ∴， ∴， ∵直线经过，交y轴于点， 把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 在直线：中，令，则 ， ∴， ∴， ∴，故A正确； B．∵直线：与直线都经过， ∴方程组的解为故B正确； C．由题意，∵直线为， ∴令，则． ∴，故C错误； D．由题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围， 又∵直线：与直线：都经过， ∴结合图象可得，不等式的解集是，故D正确． 故选：C． 【变式2-2】一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合的思想是解题的关键． 依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ． 故答案为：． 【题型三】两直线的交点与平行问题 【例3】直线l与x轴相交于点，且与直线平行，则直线l的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．设直线l的函数表达式为，由平行得，再将点代入求解即可． 【详解】解：设直线l的函数表达式为， ∵直线l与平行， ∴， 又∵直线l过点， ∴， 解得， ∴直线l的函数表达式为． 故选：A． 【变式3-1】如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 【变式3-2】如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线与直线相交于点，则直线的解析式 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，把代入，求出，得到，再用待定系数法求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∴， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 【题型一】一次函数的解决应用问题 方法技巧 一、审清题意，梳理关键信息 1. 明确问题类型：区分行程问题、工程问题、利润问题、方案选择等不同情境，理解题目核心需求（如求最值、确定等量关系、比较方案优劣等）。 2. 提取已知条件：找出题目中的常量（固定不变的量）、变量（变化的量）以及它们之间的关系，特别注意单位是否统一。 3. 确定函数关系：判断两个变量之间是否为一次函数关系，通常题目中会有“每增加/减少”“匀速变化”等提示，或通过公式（如路程=速度×时间、利润=单价×数量-成本）直接建立关系。 二、建立一次函数模型 1. 设出变量：通常设自变量为x（如时间、数量、单价等），因变量为y（如路程、成本、利润等），并明确x的取值范围（根据实际意义确定，如时间非负、数量为整数等）。 2. 列函数解析式： · 直接列式：根据题目中的等量关系，直接写出y=kx+b的形式（k≠0）。例如，已知初始量b和变化率k，如“出租车起步价8元（3公里内），超过3公里后每公里2元”，可设行驶路程为x公里（x≥3），费用y=8+2(x-3)。 · 待定系数法：若已知函数图像上的两个点（x₁,y₁）、（x₂,y₂），代入y=kx+b中，解方程组求出k和b。例如，已知当x=1时y=3，x=2时y=5，可得方程组{3=k+b,5=2k+b}，解得k=2,b=1，函数解析式为y=2x+1。 三、求解与分析函数 1. 代入计算：已知自变量x的值，求因变量y；或已知因变量y的值，求自变量x。例如，在y=2x+1中，当x=3时，y=7；当y=9时，x=4。 2. 利用函数性质解决问题： · 增减性：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。可用于比较大小、求最值（在自变量取值范围内的端点处取得最值）。例如，“某商品单价为x元，销量y与x的函数关系为y=-10x+500（x≥10），求利润最大时的单价”，利润=xy=x(-10x+500)=-10x²+500x，此为二次函数，但一次函数的增减性可帮助分析销量随单价的变化趋势。 · 图像与坐标轴交点：与x轴交点（令y=0，求x）表示y为0时x的值，与y轴交点（令x=0，求y）表示初始值。例如，行程问题中，与x轴交点可能表示到达目的地的时间，与y轴交点表示初始距离。 四、方案设计与优化 1. 列出多个函数关系式：针对不同方案，分别建立一次函数模型。例如，“方案一：月租30元，每分钟0.2元；方案二：无月租，每分钟0.5元”，设通话时间为x分钟，费用分别为y₁=30+0.2x，y₂=0.5x。 2. 比较函数大小：令y₁=y₂，求出x的值（临界点），根据x的取值范围判断哪种方案更优。例如，30+0.2x=0.5x，解得x=100。当x<100时，y₂<y₁，方案二优；当x>100时，y₁<y₂，方案一优；当x=100时，两种方案费用相同。 【例1】扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件 (2)第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元 【分析】分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； 根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围， 确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时的值即可． 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件， 根据题意得：， 解得 答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件． （2）解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得： ， 随m的增大而增大， ， 当时，W有最大值， 此时件 答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元． 【变式1—1】在河道，两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从码头匀速行驶到码头，同时货轮从码头出发，运送一批物资匀速行驶到码头，两船距码头的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，请根据图像解决下列问题： (1)，两个码头之间的距离是_______； (2)求客轮距码头的距离与时间之间的函数表达式； (3)求点的坐标； (4)请问两船出发多久相距？ 【答案】(1)80 (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时注意分段函数思想的应用，熟练掌握待定系数法求函数的表达式是解题的关键． （1）根据函数图像即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用待定系数法求出货轮距B码头的距离与时间之间的函数表达式，求出两个函数的交点即可解答． （4）按照自变量的取值范围，令，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：根据函数图像即可知，两个码头之间的距离是． （2）解：根据题意可知，为客轮行驶的函数图像， 设，将坐标和代入，得 解得， ∴与之间的函数表达式为． （3）解：根据题意可知，为货轮行驶的函数图像， 设其函数表达式为，将坐标代入，得， 解得， ∴与之间的函数表达式为， 当两船相遇时，，解得，此时， ∴点坐标为． （4）解：①当时，，即，解得或46（舍去）； ②当时，，解得； 综上，两船出发或时，两船相距． 【变式1—2】综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 如图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示，板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量，设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ (3)当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度有什么范围要求？ 【答案】(1)函数解析式为，这些点在同一条直线上； (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 (3)当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度的范围为 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将y代入函数解析式，解方程即可． （3）依据题意，当时，即，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，设函数解析式为， ∵当，，，， ∴． ∴． ∴函数解析式为，经检验其余点均在直线上， ∴函数解析式为，这些点在同一条直线上； （2）解：把代入 得，， ∴． ∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为． （3）解：由题意，当时，即， ∴． 当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度的范围为． 【题型二】一次函数的特殊三角形问题 方法技巧 一、坐标与距离基础 1. 坐标表示：平面直角坐标系中，点P(x,y)到x轴距离为|y|，到y轴距离为|x| 2. 距离公式：两点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)间距离：AB=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²] 3. 垂直距离：直线y=kx+b与x轴交点，与y轴交点(0,b)，与坐标轴围成三角形面积=|b²/(2k)| 二、等腰三角形存在性问题 代数法三步求解 1. 设点坐标：设动点P，定点A、B坐标已知 2. 列方程：分三种情况 · PA=PB：√[(m-x₁)²+(km+b-y₁)²]=√[(m-x₂)²+(km+b-y₂)²] · PA=AB：√[(m-x₁)²+(km+b-y₁)²]=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²] · PB=AB：√[(m-x₂)²+(km+b-y₂)²]=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²] 3. 解方程：平方去根号后整理成一元二次方程，注意验根 几何法辅助 1. 中垂线法：作AB中垂线与已知直线交点 2. 圆交法：以A为圆心、AB长为半径作圆，求与直线交点 三、直角三角形存在性问题 分类讨论策略 1. 直角顶点分类： · ∠A=90°：PA⊥AB，kₚₐ·kₐᵦ=-1 · ∠B=90°：PB⊥AB，kₚᵦ·kₐᵦ=-1 · ∠P=90°：PA⊥PB，kₚₐ·kₚᵦ=-1（若斜率不存在需单独讨论） 2. 勾股定理法： · PA²+AB²=PB²（∠A为直角） · PB²+AB²=PA²（∠B为直角） · PA²+PB²=AB²（∠P为直角） 斜率关系速算 已知直线AB斜率为k，则： · 垂直直线斜率k'=-1/k（k≠0） · 水平直线的垂线为竖直直线（无斜率） · 竖直直线(无斜率)的垂线为水平直线 四、面积类特殊三角形 等面积问题 同底等高：求与AB平行的直线与已知直线交点 面积最值问题 1. 二次函数法：设动点坐标→面积表达式→配方求最值 2. 几何极值法：三角形面积=(1/2)×底×高，固定底边时高最大则面积最大 五、实战技巧总结 1. 动态问题四步走： · 建系设点→列关系式→建方程→求参数 2. 易错点提醒： · 直线斜率不存在情况（与y轴平行） · 距离公式中绝对值处理 · 解出坐标需在指定范围内（如线段上、射线等） · 三角形三点共线的排除 3. 常用辅助线： · 作x轴/y轴垂线构造直角三角形 · 平移坐标轴简化计算 4. 快速验证： · 等腰三角形：两腰长是否相等 · 直角三角形：两直角边斜率乘积是否为-1 【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与直线相交于点． (1)求，的值； (2)直线与轴交于点D，动点P从点D开始沿射线DA以每秒1个单位的速度向左运动，设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为12，求t的值； ②是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)①或；②存在，点P的坐标为或或或． 【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、点到直线的距离等知识．注意（2）的②的分类讨论求解，避免遗漏． （1）由点C在直线上，可求出m的值．又由点C在直线上，即可求出n的值． （2）①根据题意即可求出A、D点坐标和，从而可知的长，即为三角形的底，再利用三角形面积公式即可求出． ②画出图形，分情况进行解答即可． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， ∴； 即又在直线上， ∴ ， ∴． （2）①由题意得：， 对于直线，令，得， ∴ 对于直线，令，得， ∴ 当点在线段上，， ∴， ∴． 当点在点的左侧时，， ∴， ∴． 综上可知，t的值为或； ②存在， 当时，如图,过C作于E， ∴， ∴， ∴． ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴， 当时，如图，当点P在线段上时， ， ∴， ∴ ∴， 当时，如图，当点P在点的左侧时， ， ∴． ∴， 综上，点P的坐标为或或或． 【变式2—1】在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，a，b满足． (1)如图1，求的面积： (2)若点P的坐标为，当时，求点P的坐标： (3)如图2，点P在x轴上，当平分时，在第一象限确定一点M，使是以为直角边的等腰直角三角形，求出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)的坐标为或． 【分析】（1）先由非负性求、得顶点坐标，再用待定系数法求的解析式，确定与的交点的坐标，最后用铅锤法（以为铅锤，分为两段，结合水平宽）计算的面积． （2）根据三角形面积公式，结合面积关系列方程求点坐标． （3）利用角平分线性质确定点，再分情况构造全等三角形求点坐标． 【详解】（1）解：， ， ，， ，， ，，， 设直线的解析式为，代入、，得 ， 解得，， 直线的解析式为， 令与的交点，，得，即与的交点， ， ∴ ； （2）解：，， ， ，， ， ， 或， 或， 或； （3）解：过点作于， 平分，轴，， ，设，则，， 在中，， ， ， ， ，， ， 情况1：，时， 过作轴于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 情况2：， 过作轴于， 同理可证， ，， ， ； 综上，的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、待定系数法求一次函数解析式、铅锤法求三角形面积、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握铅锤法中“找铅锤线与三角形边的交点，拆分面积计算”是解题的关键． 【变式2—2】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①求的面积S与时间t的关系式； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值是6，b的值是 (2)①；②或 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）根据点在直线上，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再根据点C在函数的图象上，可以得到b的值； （2）①根据（1）中的结果可以求得点A、点B、点C、点D的坐标，然后用含t的代数式表示出的长度，然后根据三角形的面积公式用含t的代数式表示出的面积S； ②利用分类讨论的方法分别求得当和对应的t的值即可解答本题． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴点， ∵函数的图象过点， ∴， 解得， 即m的值是6，b的值是； （2）解：①∵函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴点，点， ∵函数的图象与x轴交于点D， ∴点D的坐标为， ∴， ∵点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动），点E的运动时间为t秒， ∴，，， ∴的面积， 即当的面积S与时间t的关系式为； ②如图，分两种情况讨论： 当时，， ∵点，点，点，点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，； 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，； 综上所述，当或时，是直角三角形． 【题型三】一次函数的新定义问题 方法技巧 一、核心解题步骤解析 1. 精准解构新定义内涵 · 逐字拆解题目中自定义的数学概念，标记关键限定条件（如定义域、对应法则、特殊运算符号等） · 用波浪线标注核心要素：例如"对任意实数x，y※x=ax+b"中的※运算规则、系数a,b的作用范围 · 建立新旧知识联结：将新定义表述转化为熟悉的一次函数表达式y=kx+b的标准形式 2. 构建函数模型 · 根据定义特征确定函数类型：若新定义中含线性运算（如ax+b形式），直接判定为一次函数 · 提取参数关系：如"f(x)◇g(x)=f(x)+2g(x)"需转化为y=k1x+b1 + 2(k2x+b2)的合并形式 · 注意隐含定义域：特别标注分段定义函数的区间断点（如"当x≤0时..."与"当x>0时..."的衔接点） 3. 运用函数性质突破 · 单调性应用：若新定义函数具有"y随x增大而增大"特征，可确定k>0 · 特殊点代入：必用(0,b)点验证截距，用对称点验证奇偶性（若定义允许） · 图像转化：将文字定义翻译成图像语言，如"距离函数"对应两条射线组成的V形图 二、典型题型突破策略 1. 新运算型定义 解题模板： ① 代入具体数值验证运算规则（推荐使用x=0,x=1两个基准值） ② 建立参数方程：如"xy=mx+ny，且23=7，3*(-1)=3"可列方程组： ③ 求解后还原函数表达式，检验定义域边界值 2. 几何特征型定义 关键转化： · "到两定点距离之和"→转化为y=|x-a|+|x-b|形式（注意绝对值函数的图像转折点） · "等距点"问题→联立两个一次方程：|kx+b - y1|=|mx+n - y2| · 面积相关定义→运用割补法转化为一次函数表达式（如"动点与坐标轴围成三角形面积为定值"） 3. 分段复合型定义 处理要点： · 用数轴标出分段区间，明确各段对应解析式 · 求解时遵循"求谁代入谁，边界双验证"原则 · 画图像辅助分析时，用不同颜色标注各段函数，重点标注区间端点（带圈实点表示包含，空心圈表示不包含） 【例3】定义：形如为用自变量表示的代数式，为常数）的函数叫做“翻折函数”．“翻折函数”本质是分段函数． 例如，可以将“翻折函数”写成分段函数的形式： 探索并解决下列问题： (1)将“翻折函数”写成分段函数的形式； (2)直线与（1）中“翻折函数”图像交于、两点（点在点的左侧），点在直线下方的“翻折函数”图象上，且，求出点坐标 (3)当时，（1）中“翻折函数”的最大值和最小值的差是定值，直接写出的取值范围 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的增减性，求一次函数的自变量和函数值，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）分和两种情况，分别去绝对值求出y关于x的函数关系式即可得到答案； （2）联立和可求出点A和点B的坐标，过点C作轴交于D，设，则，可得，分和两种情况，求出的长，根据可建立关于m的方程，解方程即可得到答案； （3）由函数解析式可得当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，则当时，y有最小值，再分，即时，，即时和，即时三种情况，分别求出函数的最大值与最小值，看最大值与最小值的差是否为定值即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴； （2）解：联立，解得，此时满足， 联立，解得，此时满足， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 如图所示，过点C作轴交于D，设，则， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点C的坐标为； 当时，， ∴， ∴， 解得 ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：∵， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值， 在中，当时，， 在中，当时，，当时，， 当，即时， 当时，则的最大值为4，最小值为， ∴的最大值和最小值的差为， ∵的最大值和最小值的差为定值，而不是定值， ∴此种情形不成立； 当，即时， 当时，则的最大值为4，最小值为， ∴的最大值和最小值的差为，是定值，符合题意； 当，即时， 当时，则的最大值为，最小值为， ∴的最大值和最小值的差为， ∵的最大值和最小值的差为定值，而不是定值， ∴此种情形不成立； 综上所述，． 【变式3—1】点P、点和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点P关于点Q的等垂点． (1)已知点Q的坐标为． ①如图1，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点的坐标 ； ②如图2，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如图3，若点Q的坐标为，P为直线上一点，P关于点Q的等垂点位于y轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 【答案】(1)①或；②或 (2)有最小值，最小值为，理由见解析 【分析】（1）①根据新定义，得到轴，且，求解即可；②分点在轴正半轴和在轴负半轴上，两种情况进行求解即可； （2）过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，证明，得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，则，进而得到当点与点重合时，的值最小，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：①作出点关于点的等垂点，如图， 则， 点的坐标为，点为原点， ， ∴， ∵，即轴， 关于的等垂点的坐标为或． ②当点在轴的正半轴上时，过点作轴于点，如图， ∵恰好在一次函数的图象上， 设 ∴， 点的坐标为 ． ， ， ， ． 在和中， ， ， ∴ ， ， ∴； 当点在轴的负半轴上时，过点作轴于点，如图， 恰好在一次函数的图象上， 设， ， 同理可得：， ， 综上，点的坐标为或； （2）解：有最小值，最小值为． 理由：过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，如图， 则，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ， ， 点的横坐标为5，即点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则，， 当点与点重合时，的值最小，最小值为． 过点作于点，则，， ， ． 有最小值，最小值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等等．解题的关键是掌握新定义，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 【变式3—2】定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)求一次函数图象的“亮点”； (2)一次函数图象的“亮点”为，求，的值； (3)若一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数的图象上没有“亮点”，点在轴上，，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得n，进而代入求得m即可； （3）根据题意可得，求出，然后根据三角形面积公式求出，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立， 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ， 解得． （3）解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与直线没有交点，即直线与平行， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，当时，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公1 / 63 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $