江西省南昌市外国语学校2025-2026学年上学期12月八年级数学检测试卷

2024-2025学年第一学期12月份阶段性学习质量检测 初二数学试卷 说明：1.本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟. 2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，写在试卷上的答案无效， 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下面不是轴对称图形的是( se 2.下列计算结果正确的是( A.d2÷a3=a B.(-a3)2=a6 C.a2.a5=a10 D.(-3a)2=6a2 3.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为() A.x2+1=x(x+)B.x2-4x+3=(x-2)2-1C.(x+1)=x2+2x+1D.2-6at9=(a-3)2 4.如图，△ABC≌ADE,点D在边BC上，若LB=70°，则∠CAE的度数是() A45° B.40° C.35 D.30° E 第4题 第6题 5.己知x2-2(m-1)x+9是某个整式的平方的展开式，则m的值为() A.4 B.±4 C.4或-2 D.4或2 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC-4,AB=5,AD平分∠CAB交BC于D点，E,F 分别是AD,AC上的动点，则CE+EF的最小值为() A.1 20 B. C.3 D. 12 2 3 5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.计算：(-2x3y)2= 8.已知b-6,ab-5,则(at1)b-1)= 9.己知点A(-2,3)和点B关于y轴对称，则A、B两点之间的距离为 10.如果an=2,a"=3,则c2m-n= 11.己知x+y=5,xy=6,则x2+y2= 12.己知等腰△ABC中，BD⊥AC,且BD=二AC,则等腰△ABC的顶角度数为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13把下列各式因式分解： (1)2(a-b)+4(b-a (2)3x3-12x2+12x 第1页共4页 14.先化简，再求值：[(x+2y)2-(x+4y)3x+y)]÷2x,其中x=-4,y=1 15.小明与小乐两人共同计算(2x+a)(3x+b),小明抄错为(2x-a)(3x+b),得到的结果为6x2-13x+6: 小乐抄错为(2x+a)(x+b),得到的结果为2x2-x-6. (1)式子中的a,b的值各是多少？ (2)请计算出原题的答案. 16.如图，在△ABC中，点E、F在AC上，∠DAF=∠BCA,BEDF,AD=BC. ⊙ E C D (I)求证：△BCE≌△DAF. (2)当AE=EB,∠CFD=130°，∠C=35°时，求∠ABC的度数. 17.如图，是由三个等边三角形组成的图形，请仅用无刻度的直尺按要求画图. (1)在图①中画出一个直角三角形，使得AB为三角形的一条边： (2)在图②中画出AD的垂直平分线 图① 图② (1) (2) 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来 论证数量关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为a,宽为b的小长方形）(a>b)拼出以下图形， 延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题. 材料图 图1 图2 图3 (1)图1中空白面积为S,根据图形中的数量关系，用含4、b的式子表示S: (2)图3中空白面积为S,根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示S; (3)图1，图2中空白部分面积S1、S2分别为19、68，求a-b值的值. (友情提示：第(1)(2)问答案要求化简成多项式) 第2页共4页 19.(1)如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE,则∠AEB的 度数为 (2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一 直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE, ①求∠AEB的度数： ②求线段CM,AE,BE之间的数量关系，并说明理由. 图1 图2 20.阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式·如果一个多 项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去 这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。 例如：分解因式x2+2x-3. 原式=(x2+2x+1-1)-3=(x+1)2-4=(x+1+2)x+1-2)=(x+3)(x-1)· 由上式可知：x2+2x-3=(x+1)2-4,因为(x+1)2≥0，所以当x+1=0,即x=-1时，x2+2x-3 的最小值是-4. 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题. (1)利用配方法分解因式：x2-6x-27; (2)利用配方法求多项式x2+4x-10的最小值： (3)已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2-2a(b+c)=0,请判断△ABC的形状， 并说明理由. 五、解答题。（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21.如图，在△ABC中，AC=BC=4,∠ACB=120°，将一个足够大的直角三角尺PMW(∠M90°， ∠MPW=30°)按如图方式放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C,且与 CB边的夹角∠PCB=a,斜边PN交AC边于点D. 309 (1)当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并加以说明： (2)当PN⊥AC时，求此时CP的长： (3)当点P在滑动时，是否存在△PCD是等腰三角形的情形？若存在，请求出夹角α的值： 若不存在，请说明理由， 第3页共4页 22.阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式（a2-2a-1)(a2-2+3)+4进行因式分解的过程. 解：设a2-2a=A 原式=(A-1)(A+3)+4(第一步) =A2+2A+1(第二步) =(A+1)2(第三步) =(a2-2t1)2(第四步) 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的」 (填代号). A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式 (2)按照因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因 式的最后结果为 (3)请你模仿以上方法对多项式(x2-4x-3)(x2-4x+11)+49进行因式分解， (4)证明：若n为正整数，则代数式n(什1)(+2)(t3)+1的值一定是某个整数的平方. 六、解答题（12分) 23. (1)【母题呈现】如图的三角形纸片中，AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm,沿过点B的直线折叠 这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD.求△AED的周长. D ≥B (2)【知识应用】在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上 的点E处，折痕为BD,过点E作∠BED的平分线交BD于点P连接AP. H 图1 图2 图3 ①如图1，若CD=4cm,AB+BC=18cm,求△ABC的面积： ②如图2，求证：AP平分∠CAB; ③如图3，过点P作PH⊥AB于H,若AB=15c,BC=12c,AC=9c,求PH的长. 第4页共4页2024-2025学年第一学期12月份阶段性学习质量检测 初二数学试卷 说明：1.本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟. 2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，写在试卷上的答案无效 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 题号 2 3 4 5 6 答案 C 力 D B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7.计算：(-2xy)2=一4xy2 8.-已知-b=6,ab=5,则（叶1）b-1)=-2 9.已知点A(-2,3)和点B关于y轴对称，则A、B两点之间的距离为 4 10.如果am=2,=3,则2m-n=4/3 11.已知x+y=5,xy=6,则x2+y2=13 12.己知等腰△4BC中，BDL4C,且BD=】4C,则等腰△4BC的顶角度数为30、90°或150°一 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13把下列各式因式分解： （1)2(-b)+4(b-) (2)3x3-12x2+12x 解：原式=d(a-b)-4(rb) 1分 解：原式=3xc2-4x+4) 2分 =(a-b)(a2.4) 2分 =3x(x-2)2 3分 =(a-b)(a+2)(a-2)3分 14.先化简，再求值：(c+2y)2-(x+4y)(3x+)÷2x,其中x=-4,y=1 解：[(x+2y2-(x+4y)(3x+y)]-2x =[(x2+4x4y2)-(3x2+13x+4y2)]-2x 1分 =[x2+4xy+4y2-3x2-13xy4y2]÷2x 2分 =(-2x2-9xy)-2x 3分 =-x-y, 4分 当x=-4,y=1时， 原式=(4)×1=月 6分 15.小明与小乐两人共同计算(2x+a)(3x+b),小明抄错为(2x-a)(3x+b),得到的结果为6x2-13x+6: 小乐抄错为（2x+a)（x+b),得到的结果为2x2-x-6. (1)式子中的a,b的值各是多少？ (2)请计算出原题的答案. 解：(1).(2x-a)(3x+b)=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2-13x+6, .2b-3a=-13①， 1分 :（2x+a)(x+b)=2x2+（2b叶a)x+ab=2x2-x-6, ∴.2b叶a=-1②， 2分 联立方程①②， 可得 2b-3a=-13 3分 2b+a=-1 解得： 了a=3 b-2.: 4分 (2)(2x+a)(3x+b)=(2x+3)(3x-2)=6x2+5x-6. 6分 16.如图，在△ABC中，点E、F在AC上，∠DAF=∠BCA,BE∥DF,AD=BC. B E D (1)求证：△BCE≌△DAF. (2)当AE=EB,∠CFD=130°，∠C=35°时，求∠ABC的度数. (1)证明：，BE∥DF, .∠BEC=∠DFA, 在△BCE和△DAF中， 「∠DAF=∠BCA ∠DFA=∠BEC, AD=BC .△BCE≌△DAF(AAS): (2)解 ,∠CFD=130°， ∴.∠4FD=180°-∠CFD=180°-130°=50° △BCE≌△DAF, ∴.∠BEC=∠AFD=50°， .AE=EB, ∴△ABE是等腰三角形， .∠BAE=∠ABE, :∠BAE+∠ABE=∠BEC=50°， ∠BME=1∠BEC=25°， .∠ABC=180°-∠BAE-∠C=120°. 17.如图，是由三个等边三角形组成的图形，请仅用无刻度的直尺按要求画图. (1)在图①中画出一个直角三角形，使得AB为三角形的一条边： (2)在图②中画出AD的垂直平分线， C 图① 图② (1) (2) 解：(1)如图①，连接AE,则△ABE即为所求作的直角三角形： (2)如图②，连接AE、BD交于点F,过点C、F画直线CF,则直线CF即为AD的垂直平分线， 图① 图② 2分 4分 (1) △ABE即为所求 5分 (2) 直线CF即为所求 6分 (其他正确答案相应给分) 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来 论证数量关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部 分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题. S 材料图 图1 图2 图3 (1)图1中空白面积为S,根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示S1; (2)图3中空白面积为S,根据图形中的数量关系，用含、b的式子表示S,: (3)图1，图2中空白部分面积S1、S2分别为19、68，求-b值. (1)解：51=(a+b)2-3ab=a2+b2-ab: 2分 (2)解：由图形，得S3=3a+b)(a+2b)-7ab=3a2+2b2: 4分 (3)解：S1=a+b2-ab=19①， S2=(2a+b)(a+2b)-5ab=2a2+2b2=68②， .∴.②-①×2，得ab=15. 6分 '(am-b)2=2-2ab+b2=3430=4 .a>b .rb=2 8分 19.(1)如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE,则∠AEB的 度数为一 (2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一 直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE. ①求∠AEB的度数： ②求线段CM,AE,BE之间的数量关系，并说明理由、 图1 图2 (1)60°： 2分 解：(1)，'△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴.CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∴.∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE. 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE, CD=CE .△ACD2△BCE(SAS) .∠ADC=∠BEC. ,△DCE为等边三角形， ∴.∠CDE=∠CED=60°. 点A,D,E在同一直线上， .∠ADC=120°， ∴.∠BEC=120°. ∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=60°. 故答案为：60° (2) ,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， '.CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°. .∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中， CA=CB ∠ACD=∠BCE, CD-CE ∴.△4CD≌△BCE(SAS) 3分 ∴.AD=BE,∠ADC=∠BEC. 4分 ,△DCE为等腰直角三角形， ∴.∠CDE=∠CED=45°. 点A,D,E在同一直线上， .∠ADC=135°， ∴.∠BEC=135°. 5分 ∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=90°. 6分 ,CD=CE,CM⊥DE, .DM=ME ,∠DCE=90°， .DM=ME=CM. 7分 .AE=AD+DE=BE+2CM 8分 20.阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2b+b2这样的式子叫做完全平方式·如果一个多 项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去 这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法， 例如：分解因式x2+2x-3. 原式=(x2+2x+1-1)-3=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)x-1). 由上式可知：x2+2x-3=(x+1)2-4,因为(x+1)2≥0，所以(x+1)2-4≥-4，即x=-1时，x2+2x-3 的最小值是4. 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题. （1)利用配方法分解因式：x2-6x-27: (2)利用配方法求多项式x2-4x-10的最小值： (3)已知a、b、c分别是△ABC三边的长且22+b2+c2-2a(b+c)=0,请判断△ABC的形状， 并说明理由 (1)解：x2-6x-27=（x2-6x+9)-36=(x-3)2-36 1分 =(x-3+6)(x-3-6) =(x+3)(x-9). 2分 (2)解：x2-4x-10=(x2-4x+4-4)-10=(x-2)2-14, 3分 (x-2)2≥0， .(x-2)2-14≥-14 .当x=2,x2-4x-10的最小值是-14 4分 (3)解：△ABC的形状是等边三角形， 5分 理由如下： :2a2+b2+c2-2a(b+c)=0 ∴.2a2+b2+c2-2ab-2ac=0, (a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)=0, 6分 即：(a-b)2+(a-c)2=0, 7分 于是a-b=0,且a-c=0, 所以可以得到a=b=c,即：△ABC的形状是等边三角形. 8分 五、解答题。（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21.如图，在△ABC中，AC=BC=4,∠ACB=120°，将一个足够大的直角三角尺PMW (∠M=90°，∠PW=30°)按如图方式放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始 终经过点C,且与CB边的夹角∠PCB=C,斜边PN交AC边于点D. 306 (1)当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并加以说明： (2)当PN⊥AC时，求此时CP的长； (3)当点P在滑动时，是否存在△PCD是等腰三角形的情形？若存在，请求出夹角的值：若不存 在，请说明理由。 解：(1)△ACP是直角三角形， 1分 其理由是： PN∥BC, ∴.∠PCB=∠MPN=30°， .∠ACB=120°， ∴.∠ACP=∠ACB-∠PCB=120°-30°=90°. △ACP是直角三角形. 2分 (2).PN⊥AC, ∴.∠ADP=90°， .∠ACB=120°，AC=BC=4, .∠A=∠B=30°， 3分 .∠APD=60°. .∠PN=30°， .∠4PC=∠APD+∠MPN=60°+30°=90°. 在Ra40P中，CP4C=2 4分 (3)存在△PCD是等腰三角形，其理由是： 5分 ①当PC=PD时，则∠PCD=∠PDC=75°， 此时=120°-75°=45°. 6分 ②当CD=CP时，则∠CDP=∠CPD=30°. ∴.∠PCD=120°.此时a=0°. 7分 ③当DC=DP时，则∠DCP=∠DPC=30°. 此时0=120°-30°=90°. 8分 综上所述，的值为0°或45°或90°. 9分 22.阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式(2-2a-1)(a2-2a+3)+4进行因式分解的过程. 解：设d2-2a=A 原式=(A-1)(A+3)+4(第一步) =A2+2A+1(第二步) =(A+1)2(第三步) =（a2-2a+1)2(第四步) 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (填代号). A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式 的最后结果为 (3)请你模仿以上方法对多项式(x2-4x-3)(x2-4x+11)+49进行因式分解. (4)证明：若n为正整数，则代数式n(+1)(什2)（什3）+1的值一定是某个整数的平方. 解(1)c 1分 (2) (a-1)4 2分 (3)设x2-4x=A. 3分 (x2-4x-3)(x2-4x+11)+49 =(A-3)(A+11)+49 =(A-3)(A+11)+49 =A2+8A+16 4分 =(A+4)2 =(x2-4x+4)2 =(x-2)4. 5分 (4)n(t1)(+2)(H3)+1 =n(t3)(+1)(t2)+1 =(n2+3m(n2+32)+1 7分 令A=n2+3n 原式=AA+2)十1 =A2+2A+1 (A+1)2 =(2+3t1)2 8安 ,n为正整数， ∴n2+3什1为正整数 ∴.代数式n(什1)（什2）(+3)+1的值一定是某个整数的平方 9分 六、解答题(12分) 23.(1)【母题呈现】如图的三角形纸片中，AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm.沿过点B的直线折 叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD.求△AED的周长. C D B (2)【知识应用】在Rt△ABC中，∠C=9O°沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的 点E处，折痕为BD,过点E作∠BED的平分线交BD于点P连接AP. H 图1 图2 图3 ①如图1，若CD=4cm,AB+BC=18cm,求△ABC的面积： ②如图2，求证：AP平分∠CAB; ③如图3，过点P作PH⊥AB于H,若AB=15cm,BC=12cm,AC=9cm,求PH的长. (I)解：，△BDE是由△BDC折叠而得到， ∴△BDE≌△BDC. 1分 ∴.BC=BE=6cm,DC=DE. .AB=8cm, .AE=AB-BE=8cm-6cm=2cm. 2分 .AC =5cm, ∴.△AED的周长为：AD+DE+AE=AC+AE=7cm. 3分 (2) ①解：根据折叠可知：△BED≌△BCD,∠BED=∠C=90°，CD=ED=3, ∴.SABC=SABD+SacD 4分 =LAB-DE+LBC.CD cp(nc) 5分