精品解析：江苏省淮安市涟水县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025～2026学年第一学期高二年级12月月考 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与轴平行即可得直线的倾斜角. 【详解】直线平行于轴， 则其倾斜角为. 故选：D. 2. 已知数列，，，3，…，则是这个数列的第（ ）项 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，写出通项公式，可得答案. 【详解】由题意可得根号下为奇数，则数列的通项， 验证：，，，，符合题意. 令，解得. 故选：B. 3. 若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将方程配方即可得解. 【详解】将方程配方得 所以圆心坐标为, 又因为方程表示圆，且圆心位于第四象限， 所以，解得. 故选：A 4. 已知等差数列中，，则前项和的值为（ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列求和公式和下标和性质即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A 5. 已知，，对曲线上的任意一点恒有，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及离心率公式即可求解. 【详解】由于，故点的轨迹是以为焦点的椭圆， 依题意，，，故，则离心率为， 故选：A 6. 等比数列满足，则（ ） A. B. 5 C. 10 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解即得． 【详解】在等比数列中，由，得． 故选：D 7. 已知圆上存在两个点到点的距离为，则可能的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆上存在两个点到点的距离为转化为以为圆心，为半径的圆与圆相交即可求解. 【详解】以为圆心，为半径的圆， 圆化为标准方程为， 所以圆心，半径， 所以圆心距， 因为圆上存在两个点到点的距离为，所以圆与圆相交， 所以，解得或， 所以的取值范围为. 故选：B. 8. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（ ）. A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 随位置变化前三种情况都有可能关系 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可根据题意绘出图像，然后设出直线，与抛物线方程联立得出，再然后设出过点的切线，与抛物线方程联立得出，用同样的方式设出过点的切线，得出，最后根据即可得出结果. 【详解】如图，结合题意绘出 图像： 设，，则，， 设直线， 联立，整理得，则，， 设过点的切线为， 联立，整理得， 则，即， 设过点的切线为，同理可得， 则，即，， 故是直角三角形， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的相关问题的求解，考查韦达定理和判别式的应用，考查学生对“阿基米德三角形”的理解，若两条直线的斜率乘积为，则这两条直线互相垂直，考查计算能力，是中档题. 二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 等比数列是递增数列，则的公比 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若为等差数列，为其前项和，则，，，仍为等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用等差数列，等比数列的定义进行验证即可；B选项举反例可判断；C选项首先利用求出，再利用等差数列的定义进行判断即可；D选项利用等差数列的前项和公式分别求出，，，再利用等差数列的定义进行判断即可. 【详解】对于A选项，设非零常数列的通项公式为， 则，所以是公差为的等差数列， 又，所以是公比为的等比数列， 所以非零常数列既是等差数列，又是等比数列.故A正确； 对于B选项，当，时，数列是递增数列，故B错误； 对于C选项，当时，， 当时，， 当时，满足上式，故. 所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故C正确； 对于D选项，设等差数列的公差为，则前项和为， 所以， ， ， 所以，， 所以，，，仍为等差数列，公差为.故D正确. 故选：ACD. 10. 已知曲线，，则（ ） A. 与的焦点坐标相同 B. 的长轴长为8 C. 与的离心率互为倒数 D. 的渐近线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析椭圆和双曲线的性质，再逐项判断即可. 【详解】对：， 可知焦点在轴上，其中，，所以. 所以长轴长为，离心率为； 对，可知焦点在轴上，且，， 所以，所以其离心率， 渐近线为. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD 11. 已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】将圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，转化为圆心到直线的距离，根据圆心到直线距离公式计算即可. 【详解】由题知，圆，圆心为，半径为， 因为圆上有且仅有三个点到直线的距离为1， 所以圆心到直线的距离， 对于A，圆心为到直线的距离，故A错误； 对于B，圆心为到直线的距离，故B正确； 对于C，圆心为到直线的距离，故C正确； 对于D，圆心为到直线的距离，故D正确； 故选：BCD 三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，，成等比数列，则的值是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等比中项建立等式求解即可． 【详解】根据题意可知：， 解得：． 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过的直线与交于，两点.若直线的倾斜角为45°，则=_____ 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线性质求解抛物线方程；解得焦点坐标，表示出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线性质求解. 【详解】由抛物线的性质，故抛物线.焦点坐标为 由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设，联立， 所以，故. 故答案为：. 14. 已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为____________ 【答案】 【解析】 【分析】由题设，确定的轨迹方程，结合已知可得，再根据切线的性质、勾股定理及面积法得到关于的关系式且△的外接圆以线段为直径，结合两圆的位置关系及其动点距离最值情况，写出外接圆的方程. 【详解】由，则动圆心的轨迹方程为. 为圆上的动点，又， ∴， ∵，，， ∴， ∴当最小时，最小，当最大时，最大. 当时，取最大值，△的外接圆以线段为直径，而中点，即中点为， ∴外接圆方程为，即.    故答案为：. 四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分） 15. 已知数列前n项和为 （1）试写出数列的前5项； （2）数列是等差数列吗？ （3）你能写出数列的通项公式吗？ 【答案】（1） （2）不是 （3） 【解析】 【分析】（1）利用数列的前项和与通项的关系求出各项即可； （2）借助（1）运用等差数列的定义“任意相邻两项的差为常数（公差）”判断即可； （3）运用与的关系，需分和两种情况推导，即可得解. 【小问1详解】 因为数列的前项和与通项的关系为： 当时，，当时，， 所以由得： ：， ：， ：， ：， ：， 故 . 【小问2详解】 由（1）知, 所以数列不是等差数列. 【小问3详解】 当时，, 当时，. 验证时，， 因此通项公式： . 16. 已知椭圆的焦距为4，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相切，且直线与直线平行，求直线的斜截式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件列出关于的方程组即可求解；（2）设出与直线平行的直线方程，联立椭圆方程结合判别式等于0即可求解. 【小问1详解】 依题意，，，解得，，即，，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设与直线平行的直线的方程为， 由，解得， 因为直线与椭圆相切，所以，解得，所以直线的斜截式方程是. 17. 在数列中，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用“累加法”求数列的通项公式. （2）利用“裂项求和法”求数列的前项和. 【小问1详解】 因为在数列中，， 当时，， 所以； 又符合上式，所以； 【小问2详解】 由（1）知, 则 ， 所以. 18. 已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】 （1）根据直线与双曲线只有一个公共点，所以联立方程组，若相切则即可，若不相切则直线与渐近线平行即可； （2）根据双曲线的定义和余弦定理即可求得三角形的面积. 【小问1详解】 当时，，则直线l的方程为， 当时，联立方程组，得， 由直线和双曲线相切的条件，可得，解得； 双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； 【小问2详解】 由双曲线，则， 又点P在双曲线上，即，即， 在中，由余弦定理， 即，解得， 所以的面积. 19. 已知圆 （1）若直线与圆相交，求实数的取值范围； （2）若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和. ①求四边形面积的最小值； ②当点横坐标为4时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离小于3求解即可； （2）①根据题意可得，求出的最小值，即可得答案； ②由题意可知四点共圆，求出此圆的方程，与圆的方程相减，即可得答案. 【小问1详解】 由题意可知点到直线的距离小于3， 即， 解得， 所以实数的取值范围为 【小问2详解】 ①易知， 所以， 等号当且仅当时成立， 故最小值是； ②由题意可知， 因为， 所以四点共圆，圆心为的中点， 因为， 所以圆的半径为， 其方程为， 即， 直线为两圆公共弦所在的直线方程， 所以两圆方程相减得直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期高二年级12月月考 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 0 2. 已知数列，，，3，…，则是这个数列的第（ ）项 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列中，，则前项和的值为（ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 5. 已知，，对曲线上的任意一点恒有，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 6. 等比数列满足，则（ ） A. B. 5 C. 10 D. 25 7. 已知圆上存在两个点到点的距离为，则可能的值为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（ ）. A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 随位置变化前三种情况都有可能关系 二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 等比数列是递增数列，则的公比 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若为等差数列，为其前项和，则，，，仍为等差数列 10. 已知曲线，，则（ ） A. 与的焦点坐标相同 B. 的长轴长为8 C. 与的离心率互为倒数 D. 的渐近线方程为 11. 已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，，成等比数列，则的值是_________ 13. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过的直线与交于，两点.若直线的倾斜角为45°，则=_____ 14. 已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为____________ 四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分） 15. 已知数列前n项和为 （1）试写出数列的前5项； （2）数列是等差数列吗？ （3）你能写出数列的通项公式吗？ 16. 已知椭圆的焦距为4，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相切，且直线与直线平行，求直线的斜截式方程. 17. 在数列中，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 19. 已知圆 （1）若直线与圆相交，求实数的取值范围； （2）若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和. ①求四边形面积的最小值； ②当点横坐标为4时，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $