期末难点06：含圆的阴影图形面积问题“奥数思维训练版”（专项训练）-2024-2025学年六年级数学上册北师大版

期末难点06：含圆的阴影图形面积问题“奥数思维训练版”-2024-2025学年六年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长。 2．东东去超市买了3瓶相同的电解质饮料。售货员阿姨帮他用丝带将饮料捆扎起来（横截面如下图）。若打结处用去15厘米的丝带，则共需要多长的丝带？ 3．如图中阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积。 4．下图中，梯形的上底是6厘米，下底是10厘米，求出阴影部分的面积。（π取3.14） 5．下图中两块阴影部分的面积相等，三角形ABC是直角三角形，BC是直径，长40厘米，求AB的长度． 6．如图，大正方形的面积比小正方形的面积多平方厘米，求阴影部分的面积。 7．利用圆规和三角尺，先画出一个直径为6厘米的大圆，再把直径分成3等份，就可以画出这个美丽的图案。请求出阴影部分的面积。 8．已知下图中正方形周长为16米，求阴影部分面积。 9．下图各圆的半径都是3厘米，三角形是直角三角形。求阴影部分的面积。 10．篮球场上的3分线是由两条平行线段和一个半圆组成的。请根据图中的数据计算出3分线的长度和3分线内区域的面积。（结果保留两位小数） 11．如图所示，图中长方形的面积是60平方厘米，宽是6厘米，求阴影部分的面积。 12．如图所示，已知圆的周长是62.8分米，圆的面积与长方形的面积相等，那么图中阴影部分的面积是多少平方分米？ 13．下图是一个市民健身中心运动场的平面图（单位：米）。要在环形跑道上（阴影部分）铺设塑胶颗粒，铺设塑胶颗粒的面积是多少平方米？ 14．大正方形的面积为400cm2，被平均分成4个相同的小正方形，请依次求出每个小正方形内阴影部分的面积S1、S2、S3、S4（π取3.14）。 15．如图，将半圆AEB绕A点逆时针旋转得到半圆ADC，B点移动到C点，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 16．下面是广场上地砖拼成的图案，已知AB＝BC＝CD＝10米，阴影部分地砖的面积是多少平方米？ 17．下图是手机关机的滑动键，阴影部分的面积是多少？（π取3） 18．校园艺术周就要到了，笑笑想给作品边框做装饰，下图是她设计的精美图案（阴影部分），你能想办法算出做这幅精美图案需要多大面积的彩纸吗？（单位：厘米） 19．科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 20．已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连接起来得下图，那么，图中阴影部分的总面积是多少？ 21．如下图，在3个大小相等的圆内画三个图形。观察这些组合图形涂色部分的面积，猜一猜，它们谁的面积大？你是怎样验证的？ 期末专项·奥数题 期末专项·奥数题 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末难点06：含圆的阴影图形面积问题“奥数思维训练版”-2024-2025学年六年级数学上册》参考答案 1．19.7厘米 【分析】阴影部分的周长相当于一个半径是2厘米的圆周长一半＋一个半径是3厘米的圆周长一半＋2条线段，根据圆周长公式：S＝2πr，用2×3.14×2÷2即可求出一个半径是2厘米的圆周长一半，用2×3.14×3÷2即可求出一个半径是3厘米的圆周长一半，阴影部分左边的线段相当于直径（2×2）厘米减去3厘米，右边的线段是半径3厘米，据此用加法求出阴影部分的周长。 【详解】2×3.14×2÷2＝6.28（厘米） 2×3.14×3÷2＝9.42（厘米） 2×2－3＝1（厘米） 6.28＋9.42＋1＋3＝19.7（厘米） 答：阴影部分的周长19.7厘米。 2．51.84厘米 【分析】根据题意，用丝带将3瓶半径是3厘米的饮料捆扎起来，则所需丝带的长度＝半径为3厘米的圆的周长＋6条3厘米的线段＋打结处用的长度，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 【详解】2×3.14×3＋3×6＋15 ＝18.84＋18＋15 ＝51.84（厘米） 答：共需要51.84厘米长的丝带。 3．157平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝大三角形的面积－小三角形的面积，两个三角形都是等腰直角三角形，大三角形的两条直角边等于大圆的半径R，小三角形的两条直角边等于小圆的半径r；根据三角形的面积＝底×高×，可知阴影部分的面积＝R2÷2－r2÷2＝25，由此得出R2－r2＝50；然后根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出圆环的面积。 【详解】设大圆的半径是R厘米，小圆的半径是r厘米。 R2÷2－r2÷2＝25 R2×－r2×＝25 （R2－r2）×＝25 R2－r2＝25÷ R2－r2＝25×2 R2－r2＝50 3.14×50＝157（平方厘米） 答：圆环的面积157平方厘米． 4．9.87平方厘米 【分析】结合图示信息可知，半圆与梯形下底相切，则其半径为梯形的高，又半圆的直径恰好是梯形的上底，则据此可知其半径是多少。结合圆面积＝πr²，再除以2，即可得出半圆的面积。再结合梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2计算出梯形的面积，最后用梯形面积减去半圆的面积就是阴影部分的面积。 【详解】半圆的直径为6厘米，则其半径为3厘米，意味着梯形的高为3厘米。 梯形面积为：×（6＋10）×（6÷2） ＝×16×3 ＝8×3 ＝24（平方厘米） 半圆的面积为：3.14×（6÷2）×（6÷2）÷2 ＝3.14×3×3÷2 ＝14.13（平方厘米） 阴影部分面积为：24－14.13＝9.87（平方厘米） 答：阴影部分的面积是9.87平方厘米。 5．15.7厘米 【详解】三角形ABC的面积与半圆的面积相等为： 3.14×（）2÷2=157（平方厘米） 所以AB的边长为：157×2÷20=15.7（厘米） 6．5.7平方厘米 【分析】设大正方形的边长是a，利用大正方形与小正方形面积的关系求a2的值，然后利用圆的面积减去小正方形的面积，求阴影部分的面积。 【详解】设大方形的边长是a a2－a2＝10 a2＝10 a2÷＝10÷ a2÷＝10÷ a2＝10×2 a2＝20 阴影部分的面积： 3.14×20×－×20 ＝62.8×－10 ＝15.7－10 ＝5.7（平方厘米） 答：阴影部分的面积是5.7平方厘米。 【点睛】本题主要考查组合图形的面积，关键把组合图形转化成规则图形，利用规则图形面积公式计算。 7．18.84平方厘米 【分析】通过观察可知，空白部分的面积等于半径是（6÷3）厘米的圆的面积，减去半径是（6÷3÷2）厘米的圆的面积； 阴影部分的面积是半径是（6÷2）厘米的圆的面积减去空白部分的面积，根据圆面积公式：S＝πr2，代入数据解答即可。 【详解】6÷3＝2（厘米） 6÷3÷2＝1（厘米） 空白部分的面积： 3.14×22－3.14×12 ＝3.14×4－3.14×1 ＝12.56－3.14 ＝9.42（平方厘米） 阴影部分的面积： 3.14×（6÷2）2－9.42 ＝3.14×32－9.42 ＝3.14×9－9.42 ＝28.26－9.42 ＝18.84（平方厘米） 答：阴影部分的面积是18.84平方厘米。 8．3.44平方米 【分析】已知正方形周长为16米，根据正方形的边长＝周长÷4，求出正方形的边长，也是圆的直径的2倍，据此求出圆的直径，再根据r＝d÷2，求出圆的半径； 观察图形可知，阴影部分的面积＝正方形的面积－4个圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出阴影部分的面积。 【详解】正方形的边长：16÷4＝4（米） 圆的直径：4÷2＝2（米） 圆的半径：2÷2＝1（米） 4×4－3.14×12×4 ＝16－3.14×1×4 ＝16－12.56 ＝3.44（平方米） 答：阴影部分面积是3.44平方米。 9．3.87平方厘米 【分析】观察可知，阴影部分的面积等于三角形面积减去三个扇形的面积的和。已知三角形是直角三角形，它的两条直角边是圆的半径的2倍，这两条直角边分别可看作三角形的底和高，根据，即可求三角形的面积，因三角形三个内角的和是180度，所以三个扇形的圆心角的和是180度，且它们的半径都相等，它们可以拼成一个半径是3厘米的半圆，根据圆的面积公式，再除以2，可得半圆面积。所以用三角形的面积减去一个半径是3厘米的半圆的面积即可得解。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。 10．24.35米；92.80平方米 【分析】3分线的长度等于半径是6.75米的圆的半径加上两条1.575米的长度，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出3分线的长度；3分线的面积等于半径是6.75米的圆的面积的一半，再加上长是6.75×2米，宽是1.575米的长方形面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×6.75×2÷2＋1.575×2 ＝21.195×2÷2＋3.15 ＝42.39÷2＋3.15 ＝21.195＋3.15 ＝24.345（米） 24.345米≈24.35米 3.14×6.752÷2＋6.75×2×1.575 ＝3.14×45.5625÷2＋13.5×1.575 ＝143.06625÷2＋21.2625 ＝71.533125＋21.2625 ＝92.795625（平方米） 92.735625平方米≈92.80平方米 答3分线的长度是24.35米，3分线内区域的面积是92.80平方米。 11．29.44平方厘米 【分析】由图可知，根据长方形的面积÷宽＝长，图中三角形有一个直角，底角是45度，则该三角形是等腰直角三角形，两腰长度相等，所有，长－宽＝扇形的半径，阴影部分的面积＝长方形的面积－三角形的面积－扇形的面积，三角形的面积＝底×高÷2，扇形的面积＝πr2；据此解答。 【详解】60÷6＝10（厘米） 10－6＝4（厘米） 6×6÷2＝18（平方厘米） 4×4×3.14× ＝16×3.14× ＝50.24× ＝12.56（平方厘米） 60－18－12.56 ＝42－12.56 ＝29.44（平方厘米） 12．235.5平方分米 【分析】分析题目，因为长方形的面积等于圆的面积，所以可知阴影面积就等于圆面积的（1－），根据圆的周长公式可知：r＝C÷π÷2，据此求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2求出圆的面积，最后乘（1－）即可得到阴影部分的面积。 【详解】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（分米） 3.14×102×（1－） ＝3.14×100×（1－） ＝3.14×100× ＝235.5（平方分米） 答：阴影部分的面积是235.5平方分米。 13．3170平方米 【分析】观察图形可知，两侧的半圆环可以组成一个整圆环，铺设塑胶颗粒的面积包括圆环的面积和两个面积相等的长方形的面积。圆环的外圆半径是60÷2＝30（米），内圆半径是40÷2＝20（米），长方形的长是80米，宽是（60－40）÷2＝20÷2＝10（米），根据圆环的面积＝π（R2－r2），长方形的面积＝长×宽，分别求出圆环的面积和两个长方形的面积，再把它们相加即可解答。 【详解】外圆半径：60÷2＝30（米） 内圆半径：40÷2＝20（米） 长方形的宽：（60－40）÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 3.14×（302－202）＋80×10×2 ＝3.14×（900－400）＋1600 ＝3.14×500＋1600 ＝1570＋1600 ＝3170（平方米） 答：铺设塑胶颗粒的面积是3170平方米。 14．S1是21.5cm2；S2是28.5cm2；S3是57cm2；S4是28.5cm2 【分析】根据题意，大正方形被平均分成了4个相同的小正方形，那么每个小正方形的面积是400÷4＝100cm2；根据正方形的面积S＝a2，确定小正方形的边长，同时也是圆的半径。 S1的面积＝小正方形的面积－圆的面积； S2的面积＝圆的面积－等腰直角三角形的面积； S3的面积＝（圆的面积－等腰直角三角形的面积）×2； 先把S4画对角线弧形平移一下，发现跟S2一样的，即S4的面积＝S2的面积＝圆的面积－等腰直角三角形的面积； 以上根据圆的面积公式S＝πr2，三角形的面积公式S＝ah×，代入数据计算求出各阴影部分的面积。 【详解】400÷4＝100（cm2） 因为100＝10×10，所以每一个小正方形的边长为10cm，圆半径也是10cm。 S1＝10×10－×3.14×102 ＝10×10－×3.14×100 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） S2＝×3.14×102－×10×10 ＝×3.14×100－×10×10 ＝78.5－50 ＝28.5（cm2） S3＝（×3.14×102－×10×10）×2 ＝（×3.14×100－×10×10）×2 ＝（78.5－50）×2 ＝28.5×2 ＝57（cm2） S4画对角线弧形平移一下发现跟S2一样的： S4＝S2＝28.5（cm2） 答：每个小正方形内阴影部分的面积S1是21.5cm2，S2是28.5cm2， S3是57cm2，S4是28.5cm2。 15．25.12平方厘米 【分析】如图： 半圆ADC是半圆AEB逆时针旋转后得到的图形，根据旋转的特点可知半圆ADC的面积＝半圆AEB的面积；因为半圆ADC的面积－①的面积＝③的面积，半圆AEB的面积－①的面积＝②的面积，所以③的面积＝②的面积，因此，阴影部分的面积就是扇形ACB的面积，扇形ACB圆心角是45°，半径是8厘米，所以阴影部分的面积＝圆周率×半径的平方×，据此解答即可。 【详解】3.14×82× ＝3.14×64× ＝200.96× ＝25.12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是25.12平方厘米。 16．235.5平方米 【分析】根据题意，可发现阴影部分的面积等于半径为10米的圆的面积减去半径为5米的圆的面积。根据圆的面积公式S＝πr2（其中S表示面积，r表示半径）来计算，据此解答。 【详解】10÷2＝5（米） 3.14×102－3.14×52 ＝3.14×100－3.14×25 ＝314－78.5 ＝235.5（平方米） 答：阴影部分地砖的面积是235.5平方米。 17．2.5平方厘米 【分析】观察可知，阴影部分右边的半圆的半径是0.5厘米，图形左边的圆的直径是1厘米，根据半径等于直径除以2，（厘米），可知右边的半圆与左边圆的一半是相等的，通过平移的方法，把右边的半圆平移到阴影部分的左边，则阴影部分的面积等于一个长是厘米，宽是1厘米的长方形的面积，根据，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） 答：阴影部分的面积是2.5平方厘米。 18．200平方厘米 【分析】分析给出的图形，中间的虚线把图形分为上下两个完全相同的长方形，上面长方形中阴影图形的面积就等于下面长方形中两个空白的圆的面积之和，据此可知阴影部分的面积就等于长为20厘米宽为10厘米的长方形的面积，再根据长方形的面积＝长×宽计算即可。 【详解】20×10＝200（平方厘米） 答：做这幅精美图案需要200平方厘米的彩纸。 19．39.25平方米；15.7秒 【分析】观察图形可知：比赛场地是一个不规则图形，右下角的小半圆可以填补到左边的空白半圆处，这样比赛场地就变为一个以10米为直径的半圆，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积，再除以2即可求出需要草皮的面积。 观察图形可知：比赛场地周长的上半部分是以10米为直径的圆的周长的一半，下半部分的两条半圆弧可以组成以（10÷2）米为直径的圆。根据圆的周长＝πd，分别求出两部分的长度，再把它们相加可以求出比赛场地的周长。最后根据路程÷速度＝时间，用场地的周长除以2，即可求出沿赛道跑一周需要多长时间。 【详解】（10÷2）2×3.14÷2 ＝52×3.14÷2 ＝25×3.14÷2 ＝39.25（平方米） 10×3.14÷2＋10÷2×3.14 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（米） 31.4÷2＝15.7（秒） 答：需要准备39.25平方米草皮；沿赛道跑一周需要15.7秒。 20．39.25平方厘米 【分析】如图，正方形的面积等于4个相同的等腰直角三角形的面积之和，根据正方形面积＝边长×边长求出正方形面积；用正方形面积除以4即为一个等腰直角三角形的面积；因为三角形面积＝底×高÷2，则三角形的底×高＝三角形面积×2，即等腰三角形中直角边的平方＝三角形面积×2，所以大圆半径的平方等于等腰直角三角形直角边的平方；因为①②的面积之和等于③④的面积之和，所以图中阴影部分面积的总和可看作大圆面积的一半减去小圆面积的一半，根据圆的面积公式求解即可。 【详解】将正方形分为4个相同的等腰直角三角形，一个三角形的面积： ＝25（平方厘米） 大圆半径的平方： 25×2＝50 大圆面积的一半： （平方厘米） 小圆面积的一半： ＝ ＝ ＝39.25（平方厘米） 阴影部分的总面积： 78.5－39.25＝39.25（平方厘米） 答：图中阴影部分的总面积是39.25平方厘米。 21．一样大；验证见详解 【分析】观察三个图形可知，大圆的半径是小圆半径的2倍。可以设大圆的半径是2r，则小圆半径是r。 图1：如下图，把涂色部分割补到一起，则涂色部分的面积等于大圆面积的一半； 图2：4个完全一样的小半圆可以组成2个完整的小圆，则涂色部分的面积等于2个小圆面积之和； 图3：如下图，把涂色部分割补到一起，则涂色部分的面积等于大圆面积的一半； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出三幅图中涂色部分的面积，再比较，得出结论。 【详解】设大圆的半径是2r，则小圆半径是r。 图1的面积：π×（2r）2×＝π×4r2×＝2πr2 图2的面积：π×r2×2＝2πr2 图3的面积：π×（2r）2×＝π×4r2×＝2πr2 答：它们谁的面积一样大。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $