湖南省C13教育联盟2025-2026学年九年级上学期12月教学质量检测数学试题

2025年12月九年级上学期质量抽检 数学 班级： 姓名： 准考证号： (本试卷共6页，26题，考试用时120分钟，全卷满分120分) 注意事项： 1,答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准芳 证条形码粘贴在答题卡上的格定位置。 2.逃择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标 号涂黑。写在诚题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区堤均无效。 3.非选择题的作答：用签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、 苹稿纸和答题卡上的非答题区战均无效。 4.考试结束后，将答题卡上交。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求. 1.若√2026-x在实数范围内有意义，则x可取的值是 A.2026 B.2027 C.2028 D.2029 2.如图，在△ABC中，AC=3,AB=4,BC=5,那么tanB的值是 A.3 J B. 4 C.5 D. 3 3.若反比例函数y=m-2025 的图象位于一、三象限，则m的取值范围是 A.m>2025 B.m22025 C.m<2025 D.m≤2025 4.用配方法解方程x2-8x-2=0,配方后的方程(x-m)2=a,则a= A.10 B.14 C.16 D.18 5.如图，AE,BF是人字梯的两条支撑腮，梯子中间的横档AB,CD,EF互相平行. 已知AC=50cm,AE=75cm,DF=20cm,那么BD的长为 A.50 cm B.30cm C.60 cm D.40 cm ”力 50% D B 第5题图 第6题因 第8题国 数学试题卷第1页共6页 6.如图，已知∠A=∠D,下列条件不能判定△ABC~△DF的是 A.∠B=∠E B. AC_AB DF=DE c. D.∠C=F 7.下列命题是其命题的是 A.若两个相似三角形对应中线的比是1：3，则它们的面积比是1：9 8对于反比例函数y=-2 函数值y随x的增大而增大 C.二次函数y=(x+1)2+2的顶点坐标是(1,2) D.√⑧是最简二次根式 8.如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔P.小华在海岸线上的 点A测得灯塔P在北偏东70°的方向上；小华继续沿着正东方向走了α海里到达 点B处，此时测得灯塔P在北偏东50°的方向上.那么灯塔P到海岸线的距离为 A.atan50°海里 B. a一海里 sin40 C.asin40°海里 D.a海里 tan500 9.在第十五届全运会女子10米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动 轨迹成抛物线状，重心相对于水面的竖直高度h（单位：m)与时间1（单位：8) 之间的关系如下表所示： t/s 0 0.3 0.6 0.9 1.5 1.8 h/m 10 10.75 11.25 11.55 11.55 11.25 下列结论正确的是 A.运动员的重心相对水面的最大高度是11.55m B.运动轨迹路线的对称轴是直线t=1.2 C.运动员的重心相对水面的高度是10.75m时，时间为0.3s D.当t=2.4s时，运动员入水 10.如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c满足a-b+c=0,那么我们把 这种函数称为“潇湘”函数，对于“蒲湘”函数，下列说法中正确的个数有 ①该“流湘”函数必过定点(-1,0)： ②若y关于x的函数y=x2+2ar-3a2是“潇湘”函数，则a=-1: ③若该“浙湘”函数的图象与x轴有且只有一个交点时，则a=c; ④若该“潇湘”函数的图象与x轴的两个交点坐标为(x,0)，（3,0),则 为+光2+1=-Xx2； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 数学试医睿第2页共6页 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分 11.一元二次方程x2-3x=0的解为 12.化简V25x, 的结果为 13.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△B0扩大到原来的2倍， 得到△'BO.若点的坐标是(2，-4)，则点A的坐标是 y B< 4-3-2-10 234x -2 3 .4 3 -10 第13题图 第16题图 14. 已知-2<x<4,化简：V(x+2)2+V(x-4)2= 15.若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则代数k的值为 16.如图，是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式a2+br+c>0 的解集是 17.《九章算术》中记载“今有勾6步，股14步，问勾中容方几何？”（注：“勾”“股” 为直角三角形的两条直角边)。如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=14, 内接正方形CDEF(D在AC上，E在AB上，F在BC上)，则正方形的边长为 ·B 第17题图 第18随图 18.如图，点A在反比例函数y=1二的图象上，作Rt△ABC,边BC在x轴上，点D为 斜边AC的中点，直线BD交y轴于点E,则△BCE的面积为 数学试题卷第3页共6页 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（6分)计算：6tan30°+ （-反-a-202s八 20.（6分)已知m,n是关于x的一元二次方程x2+bx+2=0的两个不同的解，其中 m=V3+1,请求出b和n的值. 21.(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=+b的图象与反比例函数y=四 的图象交于A(2,-3),B(-3,)两点. (1)求反比例函数的表达式： (2)请直接写出关于x的不等式x+b>严的解集. 22.（(8分)2025年湖南省足球联赛正在火热进行，球迷们都穿着主队球服应援球队.商 家销售某主队球服，每件进价为60元，销售价为100元时，每天可售出40件： 经市场调查发现若每件降价1元，每天可多售出2件。 （1)在让利于顾客的情况下，每件球服降价多少元时，商家每天能盈利1750元？ (2)当每件球服降价多少元时，商家每天盈利最大？并求出盈利最大值. 23.（9分)如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交CB于点D,点E为线段AD的中 点，AC=5,AB=10. (1)求证：△AEC~△ADB; (2)若D=4,求△DC的面积. B D 数学试愿吞第4页共6页 24.（9分)某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量”项目式学习，形成了 如下报告. 文峰塔（俗称镇龙塔）坐落于湖南省境内，承载着深厚的历史文 化底蕴与科学实践价值，其梢湛的建造技艺与独特的风水文化 活动背景 象征（如“背云得路”“文光射斗”等门额题刻）体现了古人对 自然与人文和谐统一的追求. 活动主题 测算文峰塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，计算器等 1.小山坡AB的坡比为i=1:2; 2.从点B到点A上升的高度为3米； 测量数据 3.A处测得塔顶D的仰角为31°； 4.无人机从地面沿竖直方向飞行15m到达点P处； 5.在P处测得塔角E的俯角为60°，测得坡底B处的俯角为 30°.（点B,E在同一水平线上) D 测量示意图 P 3060° 31 B E 任务1 (1)求BE的距离；（结果精确到1米) 任务2 (2)求文峰塔DE的高度.（结果精确到0.1米） sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6， 参考数据 √2≈1.414，V5≈1.732 数学试题春第5页共6页 25.（10分)如图1，点P为∠MON的角平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别 与射线OM,OW交于A,B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OAOB=OP2, 我们就把∠APB叫做∠MON的互智角. (1)若∠MON=60°，∠APB是∠MON的互智角，求∠APB的度数； (2)若∠MON=a（0°<a<90°)，OP=√2，∠PB是∠MOW的互智角，连接 AB,用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积； (3)如图2，C是函数y=(x>0)图象上的一个动点，过点C的直线分别交x轴 和y轴于A,B两点，且满足BC=CA,请求出∠AOB的互智角∠APB的顶点 P的坐标. 因1 因2 26.（10分)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-3,0),点B,与y轴交于点 C(0,3). (1)求抛物线表达式； (2)点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PD LAC于点D,过点P作 PE∥y轴交直线AC于点E,求△PDE的周长最大值及此时点P的坐标； (3)设M(:,y),N(:+1,y2)(1>0)为抛物线上两点，在x≤x≤x+t中y的最 大值为m,最小值为n.若存在某个x,使得m-n≤4，请求出1的取值范围. 数学试愿善第6页共6页2025年12月九年级上学期质量抽检 数学参考答案 一、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的、 1.【答案】A 【解析】2026-x≥0，.x≤2026.故选：A. 2.【答案】B 【解析】：AC=3,AB=4,BC=5,∠A=90°，tanB=4C=3 AB 4 故选：B. 3.【答案】A 【解析】该反比例函数图象位于一、三象限，m-2025>0,m>2025.故 选：A 4.【答案】D 【解析】：x2-8x-2=0,x2-8x+16-16-2=0,.(x-4)=18.故选：D 5.【答案】D 【解析】：AC=50cm,AE=75cm,.CE=25cm,:AB∥CD∥EF, 二船中碧0：0=0m#递：D 6.【答案】C 【解析】A,D选项符合“两组对应角分别相等，则这两个三角形相似”判定定理； B选项符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理；故选：C 7.【答案】A 【解析】对于A选项：对应中线的比等于相似比，对应面积的比为相似比的平方， 故A是真命题；对于B选项：该反比例函数在同一个象限内，函数值y随x的增大 而增大，故B是假命题；对于C选项：该二次函数顶，点坐标为(-1,2)，故C是假命 题；对于D选项：√⑧=2√5，不是最简二次根式，故D是假命题；故选：A. 8.【答案】C 【解析如图，过点P作PD⊥AB于点D,∴.∠PBC=40°，∠PAB=20°，∴.∠P=20°， ∴.AB=PB=a海里，∴，PD=PB·sin40°=asin40°海里.故选：C. 70° 150° A B 数学参考答案第1页（共8页) 9.【答案】B 【解析】该抛物线过(0.9,1.55)，(1.5,1155)，则对称轴为1=0.9+15 =1.2,最大值 2 为t=1.2时对应的h值，故A错误，B正确；运动员的重心相对水面的高度是10.75m 时，时间为0.3s或者2.1s,故C错误；当t=2.4s时，运动员重心相对于水面的竖 直高度为10m,故D错误；因此答案为B. 10.【答案】c 【解析】①：由于满足α-b+c=0,因此该“潇湘”函数必过定点（-l,0),说法正 确，符合题意；②：由①可知，若y关于x的函数y=x2+2ax-3a2是“潇湘”函数， 则必过定点(-10)，代入得：1-2a-30=0,郎得a=-1,a=写，说法错误，不 符合题意；③：若该“潇湘”函数的图象与x轴有且只有一个交点，即4=b2-4aC=0; 由a-b+c=0得b=a+c,代入并化简得：（(a+c)2-4ac=(a-c2=0,因此a=c, 说法正确，符合题意；④：由韦达定理得，X+x=-。，X5,=二，由a-b+c=0 得b=a+c,代入等式左边并化简得：x+x+1=-+1=-a++1=-￡，而等式 右边-xx,=-C，因此等式左边=等式右边，说法正确，符合题意；因此有①③④ 正确，故选C 二、填空题：本题共8个小题，每小题3分，共24分. 11.【答案】x=3,x2=0 【解析】由x(x-3)=0,解得x=3,x2=0. 12【答案】 13.【答案】（-1,2) 【解析】根据图形和题意可得△ABO和△'BO的位似比为-2，因为，点A'的坐标是 (2,-4),所以x4=2÷(-2)=-1,y4=-4÷(-2)=2,所以A的坐标是(-1,2) 14.【答案】6 【解析因为-2<x<4,所以Vx+2)2+Vx-4)2=x+2-(x-4)=x+2-x+4=6. 15.【答案】1 【解析】因为一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，所以4=b2-4aC= (-2)2-4×1×k=0,解得k=1. 16.【答案】-3<x<1 【解析】根据二次函数的对称性可以得出于x轴的另一个交点坐标为(1,0)，要使 ax2+bx+c>0,即函数值大于0，则-3<x<1. 数学参考答案第2页（共8页）》 171答案】骨 【解析】设正方形的边长为x,由题意可得△AED~△ABC,所以4D=DE ACBC,即 。=音解得x=号，所以正方形的边长为号 614 18.【答案】6 【解析】因为，点D为Rt△ABC斜边AC的中，点，所以BD=DC,所以∠DBC=∠ACB, 又因为∠BOE=∠ABC,所以△EOB△ABC,所以OB-OE,所以OB-BA=OE-BC, BC BA 因为反比制画教y=是，所以5m=6,脚0B-BM=6,所以 OB.BA=0E,BC=12,所以Sace=)x12F6. 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19.【解析】解：原式=6×5+3-25-1 =25+3-2√5-1.… 4分 (每计算对一个计1分) =2 6分 20.【解析】解：.mn=2… .1分 ∴n= 2=3-1… .3分 V3+1 .m+n=-b 4分 ∴b=-[（N5++(5-]-25 b=-25,n=√5-1. …6分 21.【解析】解：（1)一次函数y=c+b的图象与反比例函数y=”的图象交于 A(2,-3),B(-3,n)两点. ∴.m=-3×2=-6, ·反比例函数表达式为y=-6. 4分 (2)A(2,-3),B(-3,n), 则结合图象可知，不等式+b>m的解集为x<-3或0<x<2.8分 数学参考答案第3页（共8页） 22.【解析】解：（1)设每件球服降价x元，则每件的销售利润为(100-x-60)元，每 天的销售量为(40+2x)件， 依题意，得(100-x-60)(40+2x)=1750,… 2分 整理得x2-20x+75=0, 解得x=5,x2=15. 又需要让利于顾客， .x=15. ……n4分 答：每件球服降价15元时，能让利于顾客并且商家每天能盈利1750元. (2)令每天盈利值为w,设每件球服降价a元，则 w=(100-a-60)(40+2a) =-2a2+40a+1600 =-2(a-10)2+1800 … 6分 .-2<0 ∴.当a=10时，wmax=1800 答：当每件球服降价10元，商家每天盈利最大，盈利最大值为1800元.…8分 23.【解析】(1)证明：AD是∠BAC的角平分线 .∠BAD=∠CAE 1分 E是AD中点 AE 1 2分 AD 2 d 51 ·AB102 AEAC 3分 AD AB ,∠BAD=∠CAE .△AEC△ADB 4分 （2)解：过C作CF⊥AD于点F 由(1)得△AEC~△ADB ∴.∠ADB=∠AEC ∴.∠EDC=∠DEC .CD=CE …6分 ,CF⊥AD :.DF=EF=1DE 2 .AD=4且E为AD中，点 .DE=1AD-2, 数学参考答案第4页（共8页) EFDE=1 7分 ∴.AF=AE+EF=3 CF=√AC2-AF2=V52-32=4 .8分 .SMuc-xADxCF-x4x4-8 9分 24.【解析】解：(1)过点P作PH⊥BE于点H,如图所示 30Y60° 41 B H E 由题意得，∠PBH=30°，∠PEH=60°，PH=15米 ·在RtAPBH中，BH=PH 15 ∠PBH5=15V3（米）……1 3 在Rt△PEH中，EH= PH an∠PEa5=5V3(米 2分 .BE=BH+EH=15V5+5V5=20V3≈35（米） 答：BE的距离约为35米.… 4分 （2)过点A作AM⊥BE于点M,AN⊥DE于，点N,如图所示 30y60° 431 MB H 由题意得AM=3米， 小山坡AB的坡比为i=1:2, :M1 MB 2 ∴.MB=2AM=6（米）.. 5分 ∴.ME=MB+BE=6+35=41（米) ,AM⊥BE,DE⊥BE,AN⊥DE .四边形AMEN为矩形 .AN=ME=41米，AM=WE=3米..6分 .在Rt△AND中，DN=AN.tan31°≈41×0.6=24.6（米）.7分 数学参考答案第5页（共8页) .DE=DN+NE=24.6+3=27.6（米) 答：文峰塔DE的高度约为27.6米.… .9分 25.【解析】解：(1)：∠MON=60°，P是∠MON的角平分线上一，点， ∠A0P=∠B0P=2∠M0N=30.… …1分 ∠APB是∠MON的互智角，∴OAOB=OP,即O4_OP OP OB ∴.△AOP~△POB,·.∠OAP=∠OPB, ,∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，∴.∠OAP+∠APO=150° ∠APO+∠OPB=150°，即∠APB=150°.… 3分 (2)∠APB是∠M0N的互智角，OA:OB=Op,即O4_OP OP OB :P为∠MON的角平分线上一点，∠MON=a,:∠AOP=∠BOP=a 2 ∴.△AOP~△POB,.∠OAP=∠OPB 9=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180 即∠APB=180°-a …5分 过点A作AG⊥OB于点G,如图， M Sae=号0B×4G=0 Bx OAsin∠AOB=0P'sina Op=V2,.S△4oB=sina… .7分 （3)设点C(a,b),则ab=2, 过点C作CH⊥OA,垂足为点H, ①当，点B在y轴的正半轴上，点A在x轴的负半轴上时，BC=CA不可能， 8分 ②当，点B在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上时，如图 HA 数学参考答案第6页（共8页) BC=CA,.CA_1 AB 2 CH∥OB,.△ACH~△ABO, ∴.OB=2b,OA=2a ,∠APB是∠AOB的互智角， .OPp2=OA.OB=2b×2a=4ab=8,OP=2√2 :∠AOB=90°，OP平分∠AOB,.点P的坐标为(2,2)… .9分 ③当，点B在y轴的负半轴上时，点A在x轴的负半轴上时，BC=CA不可能. .P的坐标为(2,2)。 .10分 26.【解析】解：（1)将点A(-3,0),C(0,3)代入抛物线y=-x2+bx+c 得 C=3 。。。。。。。分 0=-9-3b+c 解得 b=-2 2分 c=3 。。4000。。。。。,Z .抛物线表达式为y=-x2-2x+3. …3分 (2)直线AC过A(-3,0),C(0,3), .直线AC所在表达式为y=x+3 .OA=OC=3,∠AOC=90° ∴.∠AC0=45° PE∥y轴 ∴.∠PED=∠ACO=45o .PD⊥AC ∴.∠PDE=90° ∴.△PDE为等腰直角三角形 在等腰直角三角形中，PD=DEEy △PDE的周长=PE+PD+DE=(V2+1PE…4分 设P(x,-x2-2x+3),则E(x,x+3) E--2x+r+刃=-3x=-(++9 .-1<0 当x=时，PE有最大位号 2 当PE取到最大值号时，△PDE的周长最大值=+例x号-9 99W2+9 6分 数学参考答案第7页（共8页） 当x= 时，y=-（-2引3=号 2 点P的坐标为 315 -24 7分 (3）y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4 抛物线对称轴为x=-1,开口向下，顶，点为(-1,4)， ①当M,N在对称轴左侧时，x+1≤-1，即x≤-1-1 m-n=-(x+)2-2(x+)+3-(-x2-2x+3)=-2-2t-2x :t>0,x≤-1-t .-2c≥2t+2t2 .m-n=-t2-2t-2x≥-2-2t+2t+2r2=t2 要使m-n≤4，则t2≤4，结合t>0, ∴t的取值范围是0<t≤2； ②当M,N在对称轴右侧时，x≥-1 m-n=(-x2-2x+3)--(:+)}2-2(x+）+3=+21+2x :t>0,x≥-1 .2x1≥-2t .m-n=t+2t+22t2+2t-2t=t2 要使m-n≤4，则t2≤4，结合t>0, .t的取值范围是0<t≤2； ③当M在对称轴左侧，N在对称轴右侧时， 当x=-1时，y取得最大值为4，故m=4, .m-n≤4，∴.n≥0 抛物线与x轴交点为A(-3,0),B(1,0),即n≥0时，-3≤x≤1； ∴.x≤x≤x+t在-3≤x≤1范围内，则t≤1-(-3)=4； 结合t>0,故1的取值范围是0<t≤4；… 9分 综上所述，t的取值范围是0<1≤4. …10分 (直接写出答案只给1分) 数学参考答案第8页（共8页）